Commande à travers Internet en utilisant la synchronisation

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1 REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE Ministère de l Enseignement et de la Recherche Scientifique Université d Oran - Es Sénia Faculté des Sciences Département d Informatique Commande à travers Internet en utilisant la synchronisation MEMOIRE présenté et soutenu publiquement le 09/02/2011 pour l obtention du Diplôme de Magister en Informatique (Option : Analyse, Commande et Surveillance des Systèmes Industriels) par KADDOUR Mohammed Composition du jury Président : Rapporteurs : Examinateurs : BELDJILALI Bouziane : Professeur - Université d Oran. KHELFI Mohamed Fayçal : Professeur - Université d Oran. BOUAZZA Kheir-Eddine : Maître conférence B - Université d Oran. HAFFAF Hafid : Professeur - Université d Oran. GHOMARI Abdelghani : Maître conférence A - Université d Oran. Promotion : 2010/2011

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3 Remerciements Les résultats présentés dans ce mémoire sont l aboutissement de travaux de recherche effectués au sein du département d informatique de la faculté des sciences à l université d Oran Es-sénia. Je tiens à exprimer mes sincères gratitudes à mes encadreurs ; Mr KHELFI Mohamed Fayçal et Mr BOUAZZA Kheir-Eddine pour avoir accepter de m encadrer, pour leur aide, leur constante disponibilité et pour tout ce qu ils nous ont appris, tout au long de notre travail. J adresse mes sincères remerciements à monsieur B.BELDJILALI, Professeur - Université d Oran, qui m a fait l honneur de présider le jury. Je tiens aussi à remercier : Monsieur H.HAFFAF, Professeur - Université d Oran. Monsieur A.GHOMARI, Maître de Conférence A - Université d Oran. Pour l intérêt qu ils ont bien voulu porter à ce travail, en acceptant de l examiner. Je tiens à remercier monsieur M.OUALI, Maître de Conférence A - Université d Oran pour son aide et ses conseils. Ma reconnaissance va aussi à tous les enseignants de l institut d informatique de l université d Oran Es-sénia, qui m ont beaucoup appris tout au long de notre cursus universitaire. J ai aussi une pensée pour tout le personnel du département d informatique et l équipe de centre de calcul pour humeur et la gentillesse de chacun de ses membres. Je tiens à remercier toutes les personnes que je n ai pas citées, et qui ont contribué de pré ou de loin à l accomplissement de ce travail. ii

4 Je tiens à remercier dieu souverain des cieux et de la terre, le tous puissant de m avoir muni de courage et de patience pour la réalisation de ce travail. A mes parents je dédie le fruit de mes études supérieures qui ont su me guider vers la voie de la réussite grâce à leurs précieuses conseils. A mes soeurs, mes frères. A mes oncles, mes tentes et leurs enfants chacun par son nom, et à tous mes collègues et amis. iii

5 Table des matières Introduction 1 Chapitre 1 Modèlisation et représentation d état des systèmes linéaires 1.1 Introduction Modèles la forme différentielle entrée-sortie Fonction de transfert Représentations d état Équations d état Équations de sortie Représentation d état Stabilité Définition et recherche d un état d équilibre Critères de stabilité Commandabilité et observabilté Commandabilité Observabilité Synthèse d observateur Exemples pour la commandabilité et l observabilité Conclusion Chapitre 2 Réseaux et Protocoles de communication 2.1 Introduction Modèle OSI Modèle TCP/IP iv

6 2.4 Les protocoles TCP et UDP Le protocole UDP Le protocole TCP Le protocole NTP Conclusion Chapitre 3 Systèmes commandés en réseau NCS 3.1 Introduction Avantages et applications de la commande en réseau Catégories des NCSs Composants d un NCS Acquisition de l information dans le réseau La commande des actionneur La Communication Problématiques NCS Quantification et codage Congestion et perte de paquets Présence de retards Allocation de ressources et limite de bande passante Sécurité des réseaux Conclusion Chapitre 4 Estimation du retard : Application en stéréovision 4.1 Introduction Modèle de la caméra et la géométrie épipolaire Modèle de la caméra Géométrie épipolaire Détermination de la matrice fondamentale La rectification La rectification d un système calibré La rectification d un système non-calibré La mise en correspondance Les contraintes pour la mise en correspondance v

7 4.4.2 Approche pour la mise en correspondance Expérimentation Conclusion Chapitre 5 Commande et observation d un système non-linéaire en temps discret avec retard 5.1 Introduction Formulation du problème Stabilité de la dynamique libre Stabilisation par retour d état bornée Synthèse de l observateur Exemple d illustration Conclusion Chapitre 6 Mise en oeuvre d une plate forme de commande d un système en réseau 6.1 Introduction Présentation du système Déroulement du système Conception du gain du contrôleur et de l observateur Stabilité globale du système commandé en réseau Utilisation du NTP Le choix du langage utilisé Les S-Functions Implémentation du système de contrôle Structure du maître Structure de l esclave Lien de communication Structure de paquets Blocs Simulink utilisés Description du logiciel conclusion Conclusions et perspectives 101 vi

8 Bibliographie 102 Résumé 106 Abstract 107 vii

9 Table des figures 1.1 Les entrées et les sorties d un système Exemple d un système électronique Point d équilibre stable, instable et asymptotiquement stable Commande par retour d état linéaire Structure en couches de modèle OSI Communication entre les couches sous le modèle OSI Pile des protocoles TCP/IP et OSI format d un datagram UDP format d un segment TCP Architecture du réseau NTP Un système commandé en réseau typique Automatisation d usine Connections à travers un réseau partagé Transmmission des données dans une structure hiérarchisée Transmmission des données dans une structure directe Les différentes sources du retard dans une boucle de contrôle Echantillonnage périodique et le retard généré Le modèle géométrique d une caméra Géométrie épipolaire Exemple d un processus de rectification Opération de rectification Une vue d un plan épipolaire : le point ṕ est contraint d appartenir au segment á q La géométrie de la projection d un vecteur dans les images La contrainte d ordre La contrainte d unicité La contrainte de continuité figurale Images originaux Images après rectification calibrée Images après rectification non-calibrée Résultats de la mise en correspondance V (x k ) en fonction de k W(e k ) en fonction de k viii

10 5.3 x 1 (k) et ξ 1 (k) en fonction de k x 2 (k) et ξ 2 (k)en fonction de k e 1 (k) en fonction de k e 2 (k) en fonction de k système Maître-Esclave Structure du système Maître-Esclave Traitement de la commande Utilisation du NTP Interface Simunik Un bloc de Simulink Structure du maître Structure de l esclave Composants d un paquet Structure en blocs Simulink de l esclave Structure en blocs Simulink du maître résultat de simulation des variables x 1 et ˆx résultat de simulation des varibles x 2 et ˆx résultat de simulation pour l erreur de l observation e 1 et e résultat de simulation de la sortie y et ŷ la commande u(t) et u k ix

11 Introduction Depuis quelques années, le contrôle/commande à distance via des réseaux de communication (privés ou publiques) reçoit un intérêt important. Cet intérêt pour de telles applications distribuées est en effet motivé par l essor des réseaux de communication (filaires, sans fil ou autres), des interfaces de raccordement des actionneurs, capteurs et unités de commande avec ces réseaux de communication et les nombreux champs d applications potentiels tels que ceux rencontrées dans les domaines de transport (aéronautique, automobile, ferroviaire et maritime), de la domotique, de la productique, ou autres. Toutefois, l insertion de réseaux de communication dans les chaînes d action et de mesure dans les systèmes commandés en réseau NCS (Networked control system) rend leur analyse (en terme de stabilité, robustesse et qualité de service,...) et leur conception relativement complexe en induisant des problèmes spécifiques. Ces problèmes sont liés à la présence de retards, à la perte d information, ou à la gestion du flux de données. Ces contraintes prennent une importance considérable lors de la commande de procèdes rapides pour lesquels les caractéristiques du réseau ne peuvent plus être négligées. Nous retrouvons notamment ce genre de systèmes dans tout système complexe géré au travers d un réseau dédié. Le canal de communication entre le système et le contrôleur est souvent modélisé comme une ligne de transmission, c est à dire un élément physique induisant un retard constant, dépendant des propriétés structurelles de la ligne. Cette description devient plus complexe lorsque le système est commandé au travers d un réseau utilisé par de multiples utilisateurs (Internet par exemple). Dans ce cas, le retard induit ne dépend plus seulement d éléments physiques mais aussi et surtout des algorithmes mis en place pour la gestion du trafic sur le réseau et le codage de l information. Le canal de communication utilisé pour la commande du système considéré subi l influence de tous les autres flux de données présents sur le réseau, et par conséquence, un retard variable et inconnu sera induit. Le but est la mise en oeuvre d une plate forme de commande d un système en réseau. Il s agit d une implémentation informatique d un système de type Maître-Esclave communiquant à distance par le moyen d un réseau de type Internet. Notre mémoire sera structurée comme suit : Le premier chapitre va être un rappel sur la modélisation des systèmes linéaires où on va présenter quelques notions de base telles que la représentation d état, la commandabilité et l observabilité en plus des exemples. 1

12 Le deuxième chapitre sera consacré aux réseaux et protocoles de communication où on présentera deux modéles de référence : le modèle de référence OSI (Open System Interconnection) de l OSI (International Organization for Standardization) et le modèle TCP/IP. On va décrire la couche transport avec leur principaux protocoles TCP et UDP. En fin, on va présenter un protocle de synchronisation sur Inetrnet. Dans le troisième chapitre on va étudier les systèmes commandées en réseau ou NCS. On donnera leurs catégories, leurs composants et quelques problématiques liées à ce type de systèmes. Dans le quatrième chapitre, on va présenter une application en stéréovision pour l estimation du retard. Ce chapitré va étudier la rectification et la mise en correspondance où on va présenter le modèle des caméras, la géométrie épipolaire afin d étudier les deux types de rectification : calibrée et non-calibrée. En suite, on va présenter brièvement une méthode de matching. En fin, des résultats des expérimentations seront présentés. Le cinquième chapitre aura pour objectif, la stabilisation et l observation d une classe de systèmes non-linéaires en temps discret avec retard où on va introduire une commande bornée qui permet de stabiliser cette classe de systèmes. Cette même commande sera être utilisée dans la génération d un observateur à convergence asymptotique. Des conditions, sous forme de LMI, simple à vérifier, qui permettent de conclure à la stabilité au sens de Lyapunov de la dynamique libre vont être également présentées. Le dernier chapitre sera consacré à la mise en oeuvre d une plate forme d un système commandé en réseau (télé-opération) avec quelques résultats. Il s agit d une implémentation informatique d un système de type Maître-Esclave communiquant à distance par le moyen d un réseau de type Internet. Cette plate forme consiste en une simulation sous Matlab/Simulink d un comportement de processus esclave dont on connaît son modèle. Ce processus va être commandé à distance à travers un réseau par le maître. 2

13 1 Modèlisation et représentation d état des systèmes linéaires Sommaire 1.1 Introduction Modèles la forme différentielle entrée-sortie Fonction de transfert Représentations d état Équations d état Équations de sortie Représentation d état Stabilité Définition et recherche d un état d équilibre Critères de stabilité Commandabilité et observabilté Commandabilité Observabilité Synthèse d observateur Exemples pour la commandabilité et l observabilité Conclusion

14 1.1. Introduction 1.1 Introduction L automatique désigne tout ensemble de commandes visant à asservir un système. Elle est au coeur des grandes évolutions technologiques. Un des exemples les plus fameux est certainement le pilotage automatique des véhicules : avions, trains, voitures etc. Le système (le véhicule par exemple) reçoit des informations (vitesse, angle de braquage...) et réagit en fonction de l environnement extérieur (dérive, accélération, ect). Pour imposer au véhicule un comportement, il faut le commander, c est à dire asservir son comportement sur une ou plusieurs consignes. Si l on prend l exemple d un véhicule, le système d asservissement agit sur le système à la manière d un conducteur qui, selon la pente, la dérive, le vent et les obligations du code de la route, va contrôler via le volant, les pédales, le comportement de son véhicule. Lorsqu il n y a pas de pilotage automatique, c est le conducteur qui réalise la correction. Dans le cas d un pilotage automatique, il faut synthétiser un correcteur susceptible de réagir correctement dans le plus grand nombre de circonstances possibles et capables d atteindre la consigne au plus juste. On parle de commande robuste et précise. La question posée maintenant est comment on peut réaliser cet asservissement? Le système de pilotage va réaliser l asservissement comme un pilote humain. Dans un premier temps, le système de pilotage va mesurer le comportement du système (compteur de vitesse par exemple) via des capteurs. Dans un deuxième temps, cette information va être comparée à la consigne (limitation de vitesse) et dans un troisième temps le correcteur (comme le conducteur) va corriger son action sur le véhicule (plus d accélération, moins d accélération, freinage...) afin d amener son véhicule à la vitesse correspondant à la consigne. Avant de poursuivre arrêtons-nous sur les deux termes importants que nous avons utilisés de façon intuitive : Système : un système est un ensemble de pièces, d objets ou d entités qui réalise une opération spécifique. Il y a donc une notion d action sur l environnement en fonction d excitations extérieures. Un système est ainsi défini par ses entrées et ses sorties qui le relient à l environnement extérieur. Comportement dynamique : c est le comportement des variables de sortie du système au cours du temps relativement à l évolution des variables d entrées. Ce comportement est à distinguer du comportement statique où les variables de sorties reproduisent, à un gain près, le comportement des variables d entrée. Le comportement dynamique met en évidence le fonctionnement temporel du système ainsi que la transformation d information impliquée par son action. 4

15 1.2. Modèles 1.2 Modèles Quant on veut commander un système, la première étape consiste à le modéliser. Modéliser un système cela peut consister à, d une part, élaborer un objet mathématique qui permette de décrire et prédire le comportement dynamique du système lorsque ce dernier est soumis à des influences externes. Ou bien, d autre part, cela peut consister à élaborer un objet mathématique qui permette d appliquer des méthodes pour améliorer son comportement dynamique. Dans le cadre des modèles linéaires nous allons rencontrer essentiellement 3 types de modèles : la forme différentielle entrée-sortie, la fonction de transfert et la représentations d état la forme différentielle entrée-sortie Lorsque l on écrit les équations de fonctionnement du système on obtient un ensemble de relations algébriques et différentielles qui relient les variables d entrées, regroupées dans le vecteur u(t) de dimension m, les variables de sorties, regroupées dans le vecteur y(t) de dimension p, et des variables internes. Après élimination des variables internes, ce qui peut se faire par l utilisation de la méthode des graphes de fluence, on obtient des relations algébriques et différentielles qui lient les sorties aux entrées. L on obtient alors une unique équation différentielle ne faisant apparaître que l entrée u, la sortie y et, éventuellement, leurs dérivées successives. Une telle équation a l allure suivante : a n d n y(t) dt n +a n 1 d n 1 y(t) dt n 1 d m u(t) + +a 1 ẏ(t)+a 0 y(t) = b m dt m +b m 1 d m 1 u(t) dt m 1 + +b 1 u(t)+b 0 u(t) (1.1) Il s agit là d un modèle de comportement entrée/sortie, c est-à-dire qui traduit l évolution de la sortie en fonction de celle de l entrée et ce, en éludant la dynamique interne du système. Physiquement, il est inconcevable que m soit strictement supérieur à n. L on peut toujours imaginer un modèle mathématique correspondant à ce cas mais en pratique, cela signifierait que la sortie du système à un instant donné dépend de la valeur de l entrée à un instant ultérieur. C est pourquoi, l on suppose que m n. Un tel système est dit causal Fonction de transfert La fonction de transfert est un modèle de comportement entrée/sortie qui s obtient à partir de l équation différentielle linéaire à coefficients constants. Plutôt que de chercher à obtenir y(t) en fonction de u(t), l on cherche à obtenir Y (p) = (y(t)) en fonction de U(p) = (u(t)). Comme il s agit de déterminer un modèle qui soit indépendant des conditions initiales, ces dernières sont considérées nulles et l on applique tout simplement la transformée de Laplace à l équation différentielle (1.1), ce qui conduit à l expression suivante : Y (p) N(p) = G(p) = U(p) D(p) = b mp m + bm 1p m b 1 p + b 0 a n p n + an 1p n 1 (1.2) + + a 1 p + a 0 5

16 1.3. Représentations d état G(p) est une fraction rationnelle dépendant de la variable de Laplace, de numérateur N(p) et de dénominateur D(p). Elle est appelée fonction de transfert et se révèle très utile pour l étude des systèmes linéaires monovariables. G(p) est dite d ordre n et selon la règle de causalité, l on aura généralement m n. L on note que les racines de N(p) sont appelées zéros du système et celles de D(p) sont appelées pôles du système. Bien que les zéros aient une influence difficile à estimer sur le comportement du système, il convient surtout de se souvenir que les pôles ont une influence encore plus grande en termes de stabilité et de régime transitoire de la réponse du système. Cette influence des pôles est beaucoup plus facile à prévoir. 1.3 Représentations d état Devant la complexité croissante des systèmes, la fonction de transfert peut parfois sembler ne pas être le modèle le plus approprié pour décrire les comportements considérés. La notion d état d un système dynamique représente un ensemble minimal de variables, connus sous les variables d état, qui décrivent d une maniére complète le système et sa réponse à chaque ensemble d entrées donné. En particulier, le modèle des systèmes linéaires stationnaires (en anglais : Linear Time Invariant, LTI) a la caractéristique suivante : Une description mathématique du système en termes d ensemble minimum de variables x i (t)i = 1,...,n, ainsi que la connaissance de ces variables à un instant initial t 0 et le système d entrée pour l instant t > t 0, est suffisante pour prédire l état futur du système et les sorties pour tout t t 0. Cette définition montre que le comportement dynamique d un système linéaire stationnaire est complètement caractérisé par la réponse de l ensemble de n variables x i (t), où le nombre n est définie comme l ordre du système. Fig. 1.1 Les entrées et les sorties d un système Le système donné dans la figure 1.1 a deux entrées u 1 (t) et u 2 (t) et quatre variables de sortie y 1 (t),...,y 4 (t). Le système est linéaire stationnaire si la connaissance de ses variables d état (x 1 (t 0 ),x 2 (t 0 ),...,x n (t 0 )) à un certain temps initial t 0, et les entrées u 1 (t) et u 2 (t) pour t t 0, est suffisante pour déterminer tout le futur comportement du système. 6

17 1.3. Représentations d état Les variables d état représentent une description interne du système qui caractérisent complètement l état de système à tout moment t, et à partir de ces variables, les variables de sortie y i (t) peuvent être calculées. Les variables d état constituent les supports des souvenirs du système. Plus généralement, les variables d état dans les systèmes physiques sont les éléments aptes à emmagasiner de l énergie sous forme cinétique ou potentielle : inductances, capacités, masses, ressorts.... Ce sont les éléments ayant une capacité de mémoire. Il n y a pas un ensemble unique de variables d état qui décrit un système donné ; plusieurs ensembles de variables peuvent être choisis pour fournir une description complète de système. Cependant, pour un système donné l ordre n du système est unique, et est indépendant de l ensemble particulier de variables d état choisies. Des descriptions de variable d état des systèmes peuvent être formulées en termes de variables physiques et mesurables, ou en termes de variables qui ne sont pas directement mesurables. Il est possible de transformer mathématiquement un ensemble de variables d état à l autre ; l aspect important est que chaque ensemble de variables d état doit fournir une description complète du système. L état d un modèle est l ensemble des informations indépendantes nécessaire à connaître à l instant initial pour pouvoir prédire le comportement du modèle en réponse à une entrée donnée. L idée de base des représentations d état est que le futur d un système dépend de son passé, de son présent et de ses entrées : le futur peut alors être décrit à partir d un ensemble de variables bien choisies. Construire une représentation d état d un modèle consiste donc à proposer un modèle ne faisant intervenir que des équations différentielles d ordre 1. Dans le cas d un système linéaire à coefficients constants, ce sera une équation de la forme : ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + du(t) Fig. 1.2 Exemple d un système électronique 7

18 1.3. Représentations d état Dans le cas des représentations d état, l analyse a lieu dans le domaine temporel contrairement à l analyse classique des systèmes où on utilise la représentation de Laplace. Pour bien comprendre, considérons l exemple de la figure 1.2 décrit par les équations différentielles suivantes : e(t) = (R 1 + R 2 )i(t) + L di d(t) + v(t) i(t) = C dv d(t) s(t) = R 2 i(t) + v(t) (1.3) Dans le cas de l exemple dans la figure 1.2, l information nécessaire et suffisante pour résoudre le système d équations precedente (1.3) est liée aux conditions initiales : i(t 0 ) et v(t 0 ). Par conséquent, un ensemble possible de variables d état est : [i(t),v(t)] (où e(t) est l entrée et s(t) la sortie) Équations d état Une forme standard pour les équations d état est utilisée dans toute la dynamique de système. Dans la forme standard, la description mathématique du système est exprimée comme un ensemble de n équations différentielles ordinaires couplés en premier ordre, connues sous le nom d équations d état, dont la dérivé temporelle de chaque variable d état est exprimée en fonction de n variables d état x 1 (t),.., x n (t) et l entrée du système u 1 (t),.., u m (t). Dans le cas général la forme des n équations d état est : x 1 = f 1 (x,u,t) x 2 = f 2 (x,u,t).. x n = f n (x,u,t) (1.4) Où ẋ i = dx/d(t) et chaque fonction f i (x,u,t),(i = 1,...,n) est peut être une fonction générale non linéaire en temps varié des variables d état, des entrées du système et du temps. Généralement, on exprime les équations d état sous forme vectoriel, où l ensemble de n variables d état est noté comme le vecteur d état x(t) = [x 1 (t),x 2 (t),...,x n (t)] T, et l ensemble de m variable d entrées est noté comme le vecteur d entrée u(t) = [u 1 (t),u 2 (t),...,u m (t)] T. Chaque variable d état est une composante variable dans le temps du vecteur de colonne x(t). Cette forme des équations d état représente explicitement les éléments de base contenus dans la définition d un système linéaire stationnaire. Pour un ensemble de conditions initiales (les valeurs du x i à un moment donné t 0 ) et des entrées pour t t 0 données, les équations d état spécifient explicitement les dérivés de toutes les variables d état. La valeur de chaque variable d état à un moment donné t plus tard peut être trouvée par l intégration directe. L état de système à un instant donné peut être interprété comme un point dans un espace d état de dimension n, et la réponse dynamique d état x(t) peut être interprété 8

19 1.3. Représentations d état comme une trajectoire dans l espace d état. On peut écrire l ensemble de n équations de l équation (1.4) Par : ẋ = f (x,u,t) (1.5) Où f (x,u,t) est une fonction de vecteur avec n composants de f i (x,u,t). Pour un système LTI d ordre n, et m entrées, l équation (1.5) devient un ensemble de n équations différentielles linéaires d ordre 1 couplées avec des coefficients constants : x 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n + b 11 u b 1m u m x 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n + b 21 u b 2m u m... x n = a n1 x 1 + a n2 x a nn x n + b n1 u b nm u m (1.6) Où les coefficients a i j et b i j sont des constantes qui décrivent le système. Cet ensemble de n équations définit les dérivés des variables d état. L équation (1.6) peut être écrite sous forme matricielle comme : d dt x 1 x 2. x n = a 11 a a 1n a 21 a a 2n.. a n1 a n2... a nn Cette équation (1.7) peut être réécrite comme : x 1 x 2. x n + b b 1m b b 2m.. b n1... b nm u 1 u 2. u m (1.7) ẋ = Ax + Bu (1.8) Où le vecteur d état x est un vecteur colonne de taille n 1, le vecteur d entrée u est un vecteur colonne de taille m 1, la matrice d état A est une matrice carrée n n des coefficients constants a i j, et la matrice de contôle B est une matrice n m des coefficients constants b i j. Reprenons notre exemple de la figure 1.2 et le système d équations 1.3, l équation d état peut être écrite sous la forme suivante : [ ] [ ] d (R1 [ +R x1 2 ) 1 1L ] = L L x + e (1.9) dt x 2 0 Avec x=[i(t) v(t)] T. 1 c 0 9

20 1.3.2 Équations de sortie 1.3. Représentations d état Une sortie du système est définie pour être la variable d intérêt pour n importe quel système. Une description d un système physique en termes d ensemble de variables d état n inclut pas nécessairement toutes les variables d intérêt. Une propriété importante de la description linéaire d équation d état est que toutes les variables de système peuvent être représentées par une combinaison linéaire des variables d état x i et les des variables d entrées du système u i. Une variable de sortie arbitraire dans un système d ordre n avec m entrées peut être donnée par : y(t) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n + d 1 u d m u m Où les c i et d i sont constants. Si un total de p variables sont définies comme des variables de sortie, les p équations peuvent être écrites comme : y 1 = c 11 x 1 + c 12 x c 1n x n + d 11 u d 1m u m y 2 = c 21 x 1 + c 22 x c 2n x n + d 21 u 1 + d 2m u m... y p = c p1 x 1 + c p2 x c pn x n + d p1 u d pm u m (1.10) Ou sous une forme matricielle : y 1 y 2. y p = c 11 c c 1n c 21 c c 2n.. c p1 c p2... c pn x 1 x 2. x n + d d 1m d d 2m.. d p1... d pm Les équations de sortie (1.11) sont généralement écrites sous la forme : u 1 u 2. u m (1.11) y = Cx + Du (1.12) Où y est un vecteur colonne des variables de sortie y i (t) de taille p 1, C (matrice de mesure) est une matrice p n des coefficients constants c i j, D est une matrice p m des coefficients constants d i j. Pour beaucoup de systèmes physiques la matrice D est une matrice nulle, et l équation de sortie réduit à une combinaison simple des variables d état : y = Cx L équation de sortie pour notre exemple de la figure 1.2 et le système d équations 1.3, peut s écrire comme : S(t) = [ R 2 1 ] x (1.13) 10