Document Support Technique Minitab Statistical Software : Comment calculer et interpréter la valeur de p?

Transcription

1 Document Support Technique Minitab Statistical Software : Comment calculer et interpréter la valeur de p? La valeur de p est souvent utilisée dans les tests d'hypothèses, tests qui vous permettent de rejeter, ou non, une hypothèse nulle. Elle représente la probabilité de faire une erreur de type 1, ou de rejeter l'hypothèse nulle si elle est vraie. Plus la valeur de p est petite, plus la probabilité de faire une erreur en rejetant l'hypothèse nulle est faible. Une valeur limite de 0,05 est souvent utilisée. Autrement dit, vous pouvez rejeter l'hypothèse nulle si la valeur de p est inférieure à 0,05. Minitab affiche automatiquement les valeurs de p pour la plupart des tests d'hypothèses. Toutefois, vous pouvez également utiliser Minitab pour calculer "manuellement" une valeur de p. 1. Introduction sur le test d'hypothèse Procédure pour évaluer deux affirmations qui s'excluent mutuellement à propos d'une population, le test d'hypothèse utilise des données échantillons pour déterminer l'affirmation qui qualifie le mieux les données. Ces deux affirmations sont appelées "hypothèse nulle" et "hypothèse alternative". Il s'agit toujours d'affirmations à propos d'attributs de populations, tels que la valeur d'un paramètre, la différence entre les paramètres correspondants de plusieurs populations ou le type de distribution qui décrit le mieux la population. Parmi les questions auxquelles un test d'hypothèse permet de répondre figurent les suivantes : La taille moyenne des étudiantes en licence est-elle de 1,67 mètre? L écart type de leur taille est-il égal à 12,70 centimètres? Les étudiants et les étudiantes en licence ont-ils la même taille? La taille des étudiantes en licence suit-elle une loi normale?

2 Veuillez trouver ci-dessous deux exemples d hypothèses fréquemment utilisées : a. L'hypothèse qu'une moyenne μ est égale à une valeur cible μ0. Hypothèse nulle H0 : μ = μ0 Hypothèse alternative H1 ou Ha : μ < μ0 (test unilatéral à gauche) Ou H1 : μ > μ0 (test unilatéral à droite) Ou H1 : μ μ0 (test bilatéral). b. L hypothèse qu une moyenne de population μ1 est égale à la moyenne d une autre population μ2 Hypothèse nulle Hypothèse alternative H0 : μ1 = μ2 H1 ou Ha : μ1 < μ2 Ou H1 : μ1 > μ2 Ou H1 : μ1 μ2 2. La prise de décision de rejet ou non de l hypothèse nulle dans le cadre d un test d hypothèse Pour prendre une décision, choisissez le niveau de significativité α (alpha), avant le test : Si p est inférieur ou égal à α, rejetez H0. Si p est supérieur à α, ne rejetez pas H0 (en principe, vous n'acceptez jamais l'hypothèse H0, mais vous vous contentez de ne pas la rejeter). Une valeur typique d'α est 0,05, mais vous pouvez choisir des valeurs supérieures ou inférieures suivant la sensibilité requise pour le test et les conséquences d'un rejet à tort de l'hypothèse nulle. Hypothèse nulle vraie Hypothèse nulle fausse Décision : ne pas rejeter Décision juste p = 1 - α Erreur de deuxième espèce p = β Décision : rejeter Erreur de première espèce p = α Décision juste p = 1 β (puissance)

3 3. Calcul de la valeur de p dans le cadre d un test d hypothèse La valeur de p est déterminée en fonction de la statistique du test calculée à partir de l échantillon, de la distribution présumée et du type de test réalisé (bilatéral ou unilatéral). Considérons les termes suivants : P -> la probabilité que la variable aléatoire se situe dans un intervalle de valeurs. ST -> la variable aléatoire associée à la distribution présumée. St -> la statistique du test effectué sur votre échantillon (par exemple la valeur t pour un test t à 1 ou 2 échantillons ou valeur z pour un test z à 1 ou 2 échantillons. Vous trouverez cette valeur dans la fenêtre de session du logiciel une fois le test réalisé). frc() > la fonction de répartition cumulée, pour une valeur quelconque de x, donne la probabilité cumulée associée à une loi de probabilité. Pour un test unilatéral à gauche (lower-tailed test) Valeur de p = P(ST < st H0 est vraie) = frc (st) Pour un test unilatéral à droite (upper-tailed test) Valeur de p = P(ST > st H0 est vraie) = 1 - frc (st) Pour un test bilatéral (two-sided test) Valeur de p = 2 * P(ST > st H0 est vraie) = 2 * (1 - frc ( st )) 4. Autres calculs de la valeur de p Exemple 1 : Valeur de p pour un test unilatéral à gauche est -1,785 (st = -1,785). a) Sélectionnez Calc > Lois de probabilité > Normale [Calc > Probability Distributions > Normal]. b) Cochez Probabilité cumulée [Cumulative probability] c) Saisissez 0 pour la moyenne et 1 pour l écart-type [Tapez Mean: 0 et Standard deviation: 1]

4 d) Dans le champ Constante d entrée, entrez la valeur 1,785 [dans le champ Input constant, entrez 1,785] e) Cliquez sur OK dans la boîte de dialogue La valeur ainsi obtenue est la probabilité d observer une valeur aléatoire inférieure à la statistique du test, soit : P(ST < -1,785) = 0,0371. Ainsi, la valeur de p est 0,0371. Exemple 2 : Valeur de p pour un test unilatéral à droite est 1,785 (st = 1,785). a) Sélectionnez Calc > Lois de probabilité > Normale [Calc > Probability Distributions > Normal]. b) Cochez Probabilité cumulée [Cumulative probability] c) Saisissez 0 pour la moyenne et 1 pour l écart-type [Tapez Mean: 0 et Standard deviation: 1] d) Dans le champ Constante d entrée, entrez la valeur 1,785 [dans le champ Input constant, entrez 1,785] e) Dans le champ Stockage facultatif, saisissez K1 [dans le champ Optional storage, entrez K1] f) Cliquez sur OK dans la boîte de dialogue g) K1 correspond à la probabilité d observer une valeur aléatoire inférieure à la statistique du test, P(ST < 1,785) = 0,9629. h) Sélectionnez Calc > Calculatrice [Calc > Calculator] i) Dans le champ Stocker la variable dans, indiquez K2 [dans le champ Store result in variable, indiquez K2] j) Dans le champ Expression, tapez 1-K1 k) Cliquez sur OK dans la boîte de dialogue l) Sélectionnez le sous-menu Données > Afficher les données [Data > Display Data] m) Dans le champ de la colonne de gauche de la boîte de dialogue, cliquez deux fois sur K2. n) Cliquez sur OK dans la boîte de dialogue o) K2 correspond à la probabilité d observer une valeur aléatoire supérieure à la statistique du test, P(ST > 1.785) = 0,0371. La valeur de p est alors de 0,0371. La distribution normale est une distribution symétrique. Par conséquent, vous pourriez saisir la valeur 1,785 à l étape numéro 4 ci-dessus pour ne pas avoir à soustraire la valeur obtenue du chiffre 1.

5 Exemple 3 : Valeur de p pour un test bilatéral est 1,785 (st = 1,785). La statistique du test st étant une valeur positive, suivez tout d abord les étapes numérotées de 1 à 13 de l exemple 2 : Valeur de p pour un test unilatéral à droite. Si la statistique du test st est une valeur négative, suivez les étapes numérotées de 1 à 4 de l exemple Valeur de p pour un test unilatéral à gauche. Pour l étape numéro 5 de l exemple 2, dans le champ Stockage facultative, saisissez K2 [dans le champ Optional storage, entrez K2]. La valeur obtenue est la valeur de p pour un test unilatéral. Multipliez-la par deux pour calculer la valeur de p pour un test bilatéral. Sélectionnez le menu Calc > Calculatrice [Calc > Calculator] Dans le champ Stocker la variable dans, indiquez K3 [dans le champ Store result in variable, indiquez K3] Dans le champ Expression, tapez 2*K2 Cliquez sur OK dans la boîte de dialogue Sélectionnez le sous-menu Données > Afficher les données [Data > Display Data] Dans le champ de la colonne de gauche de la boîte de dialogue, cliquez deux fois sur K3 Cliquez sur OK dans la boîte de dialogue Cette valeur est deux fois la probabilité d observer une variable aléatoire supérieure à la valeur absolue de la statistique du test, soit : 2* P(ST > 1,785 ) = 2 * 0,0371 = 0,0742. La valeur de p est alors égale à 0,0742. Selon le test employé ou la nature des données, le mode de calcul change mais la valeur de p est en général interprétée de la même façon.