Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/

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1 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/ RÉSOLUTION DE PROBLÈMES ARITHMÉTIQUES DANS LE CADRE D UNE APPROCHE PAR COMPÉTENCES : ORDRE DES TÂCHES ET PARTS D INFLUENCE DE QUELQUES FACTEURS COGNITIFS ET MOTIVATIONNELS Université de Genève, Suisse Mots-clés : Résolution des problèmes arithmétiques - Variables motivationnelles situées - Approche par compétences - Compréhension du problème - Habiletés mathématiques - Ordre des tâches. Résumé : Enseigner des compétences, telle qu être capable de résoudre des problèmes, requiert de cerner finement les variables impliquées dans ce processus. Dans cette perspective, la présente recherche, menée auprès de 93 élèves de 11 ans du canton de Genève, s intéresse aux facteurs cognitifs et motivationnels situés qui influent sur leurs performances en lien avec les modalités du dispositif de récolte de données (dispositif d évaluation). Les résultats tendent à montrer l influence sur les performances d une série de variables connues (compréhension de l explicite vs. de l implicite de l énoncé, faits arithmétiques vs. algorithmes fluides, sentiment de compétence pour la tâche) mais encore trop peu prises en compte par les enseignants. Ils répondent également à la question de l influence de l ordre des tâches proposées dans le cadre d un dispositif d évaluation en phases en liens avec les variables précitées. 1. Introduction A l heure actuelle, la plupart des pays francophones européens sont passés à l ère des compétences. En effet, comme le rappellent Verschaffel, Greer et Van Dooren (2008), alors que «pendant une grande partie du siècle dernier, la mission principale des écoles a consisté à enseigner des compétences correspondant à un niveau de littéracie faible, c est-à-dire lire, écrire et compter. Les évolutions de la fin du XXe siècle [ ] ont rendu plus urgent le besoin d un niveau de littéracie fort, comprenant la capacité à rassembler et Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

2 68 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/2014 interpréter de nouvelles informations, à évaluer des situations complexes, à identifier et résoudre des problèmes» (p. 588). Aussi, dans les directives officielles en mathématiques, le développement des compétences est préconisé au travers de la résolution de problèmes Processus et composantes en résolution de problèmes Du point de vue de son processus, la résolution de problèmes peut être analysée et décomposée en plusieurs phases. De nombreux auteurs (cf. Van Dooren, Verschaffel, Greer, De Bock & Crahay, 2010) ont décrit ces phases que Verschaffel, Greer et De Corte (2000) ont ensuite synthétisées dans le modèle suivant : Figure 1 : Diagramme schématique du processus de modélisation (Van Dooren et al., 2010, p. 168) Phénomène à investiguer Compréhension Modèle de situation Modélisation Modèle mathématique Analyse mathématique Evaluation Rapport Communication Résultats interprétés Interprétation Dérivation du modèle Ce processus dynamique en 6 phases débute par une phase de compréhension du phénomène à investiguer (1) qui conduit à un modèle de situation portant sur les éléments, relations et conditions qui composent le problème à résoudre. Sur cette base, le sujet recourt à ou construit un modèle mathématique (2) articulant les différents éléments de la situation. Il utilise alors ce modèle mobilisé et les connaissances spécifiques y afférent pour exécuter les opérations nécessaires et arriver à une forme de résultat Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

3 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/ (3). Il interprète alors le résultat (4) afin de parvenir à une solution applicable à la situation réelle. Enfin, il évalue le modèle (5) en contrôlant si le résultat mathématique tel qu il l a interprété est approprié à la situation problématique de départ et, s il juge la solution satisfaisante, il la communique (6). Au-delà de son aspect opérationnel, ce modèle a l avantage de rendre visible une de nos préoccupations : l importance de la compréhension du phénomène à investiguer pour élaborer un modèle de situation. Cette étape initiale met en avant la primauté de l élaboration ou mobilisation d un modèle de situation. Elle affirme la nécessité d une réflexion sur la relation du donné et de l attendu et elle considère l insertion possible du réel dans la modélisation ou la problématisation. A ce stade, le sujet (ou l élève) doit considérer et sélectionner les éléments qui sont essentiels et écarter ceux qui sont sans importance ; ce qui requiert des connaissances relatives au phénomène désigné par l énoncé. Pour de nombreux auteurs (p. ex. : Crahay & Detheux, 2005 ; Gagné, 1985 ; Richard, 1998 ; Thevenot, Coquin & Verschaffel, 2006), cette phase dans le modèle de Verschaffel et al. (2000) est cruciale. Et ceci pour au moins deux raisons. La première est qu elle débouche sur la construction ou la mobilisation d un modèle de situation sur base duquel le modèle mathématique à l origine des opérations nécessaires à la résolution pourra être dégagé. La seconde raison est que le modèle de situation va aussi être celui qui va servir à évaluer la conformité du résultat avec l attendu, idéalement avant communication de la réponse. Du point de vue des composantes, la résolution de problèmes requiert la maîtrise de différentes habiletés : des connaissances spécifiques (des faits, des symboles, des algorithmes, des concepts et des règles), des heuristiques, des connaissances métacognitives et des stratégies d autorégulation concernant la tâche à accomplir (cf. Focant & Grégoire, 2005 ; Verschaffel & Decorte, 2005). Dans le cadre des évaluations de compétences scolaires (p. Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

4 70 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/2014 ex. : Crahay & Detheux, 2005 ; Rey, Carette, Defrance & Khan, 2003), il n est pas rare de tenter d évaluer les connaissances spécifiques nécessaires à la tâche à accomplir. Toutefois, il nous semble que certaines évaluations agglomèrent sous le nom «automatismes» deux éléments qui mériteraient d être différenciés : des faits arithmétiques 1 et des algorithmes fluides 2 (cf. Marcoux, 2012a). Dès lors, il nous semble intéressant de tenter de spécifier un peu mieux ces deux états chez les élèves. Bien sûr, il n est pas évident, dans un contexte scolaire, d en effectuer des mesures pures. Ce n est pas notre prétention. Toutefois, en proposant deux parties dans la tâche «automatismes» (un concours de calcul mental et un concours de vitesse chronométré sur les habiletés), nous espérons repérer une distinction approximative entre les élèves bons sur des calculs qui relèvent soit du rappel d un fait arithmétique (principalement pour les multiplications) soit d une utilisation habile d un algorithme concernant ces opérations, et les élèves qui ne le sont pas. Enfin, pour former une «mathematical disposition», nécessaire pour être compétent en mathématiques, il faut également prendre conscience et maitriser les variables d ordre motivationnel et émotionnel y afférent (De Corte & Verschaffel, 2005 ; Crahay, Dutrévis & Marcoux, 2010 ; Crahay & Marcoux, 2011) ; ce dont nous traitons dans le point suivant. 1 Les faits arithmétiques (Fayol, 2008) peuvent être définis comme des résultats encodés et mémorisés comme des connaissances déclaratives du type «Paris = capitale de la France». En arithmétique, c est probablement le cas d une série de résultats des tables de multiplications apprises à l école (p. ex. : 6 x 6 = 36). 2 Les algorithmes fluides peuvent être définis comme des procédures apprises à l école qui nécessitent nécessairement un traitement rapide permettant d atteindre la réponse. Certains algorithmes sont plus efficaces ou économes (car plus rapides et/ou entraînant moins de risques d erreurs de calcul) que d autres (p.ex. : 9 x 9 = 9 x 10-9 plutôt que ou encore 9 x x 4). Leur choix et la rapidité d exécution de leur utilisation dépendent de l apprentissage consacré. Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

5 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/ Apports et influence des facteurs motivationnels situés Parallèlement et conjointement, au choix et à la mobilisation des facteurs cognitifs, agissent des facteurs motivationnels et émotionnels qui orientent les choix de l élève dans les connaissances à mobiliser, son niveau d activité, ses efforts et sa persévérance dans la tâche (p. ex. : Cosnefroy, 2011 ; Marcoux, 2012a, 2012b). Et, s il y a quelques années encore, il était envisageable d imaginer uniquement un modèle cognitif pour expliquer les difficultés des élèves à résoudre des tâches complexes, les travaux actuels requièrent d intégrer les facteurs motivationnels et émotionnels au modèle (p. ex. : Boekaerts, Pintrich & Zeidner, 2000 ; Marcoux, 2012a, 2012b). En complément, si au départ, ces facteurs étaient saisis comme des traits stables, aujourd hui, les recherches en contexte scolaire montrent la nécessité de mesurer et de comprendre ces facteurs à un niveau plus situationnel (p. ex. : Boekaerts, Pintrich & Zeidner, 2000 ; Volet & Järvelä, 2001). Pour ce faire, le choix de niveau du construit théorique (p. ex. : croyances générales sur l apprentissage (niveau supra-ordonné) ou croyances spécifiques concernant une discipline (niveau intermédiaire) ou encore croyances concernant des contenus spécifiques à une tâche (niveau momentané)) ainsi que le moment de la prise d informations (lors d une séance précédant la passation de tâches mathématiques, juste après la lecture de l énoncé de ces tâches, en cours de tâche ou après celle-ci) ne sont pas sans conséquence. Dans une approche interactionniste, l hypothèse centrale considère que les motivations et les conduites des élèves varient en fonction des contextes et des situations. Dès lors, à l inverse des premières recherches, dans ce nouveau champ d études, les différences motivationnelles individuelles ne sont plus uniquement appréhendées comme des traits de personnalité ou des dispositions personnelles, mais principalement comme des indicateurs de Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

6 72 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/2014 la sensibilité des élèves aux particularités saillantes des contextes. Parmi les variables qui se dégagent dans ce paradigme, nous en retenons trois : le «sentiment de compétence spécifique», l «attrait pour la tâche» et la «peur de l échec spécifique». Dans la lignée des travaux de Bandura (1977), Harter (1982), Wigfield, Eccles et Rodriguez (1998), Zimmerman (2000) mais aussi Bouffard-Bouchard et Pinard (1988), nous définissons le «sentiment de compétence spécifique» comme la perception que l élève a de ses propres aptitudes et capacités à réaliser la tâche qui lui est soumise (Marcoux, 2012a). Celui-ci se distingue de l «attrait spécifique pour la tâche», qui suite aux travaux de Boekearts, Crombach et Voeten (1998), se définit comme l intérêt et le plaisir que l interprétation de la tâche soumise à l élève suscite chez lui ou encore, la valeur intrinsèque de cette tâche qui incite l élève à vouloir s y engager. Enfin, la «peur de l échec spécifique pour la tâche» désigne plus particulièrement, dans la lignée des travaux de Dweck et Goetz (1978) ou Bartels et Magun-Jackson (2009), les pensées de l élève centrées sur le souci ainsi que les réactions affectives et physiologiques qui résultent de l anticipation de fautes ou d un échec dans la tâche spécifique qui lui est soumise. Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

7 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/ Problématique Sur cette base théorique, nous proposons le modèle conceptuel suivant : Figure 2 : Modèle conceptuel Autrement dit, nous postulons, au moment de la mise en contact de l élève avec le phénomène à investiguer, l implication conjointe de facteurs motivationnels situés (sentiment de compétence, attrait spécifique pour la tâche et peur de l échec) et d un processus cognitif de compréhension des attendus explicites et implicites de l énoncé à l origine du modèle mathématique construit ou choisi et utilisé. Sur le plan des variables motivationnelles influant sur la façon dont les élèves abordent le problème complexe, notre modèle conceptuel postule que la mobilisation de procédures susceptibles d aboutir à la résolution du problème complexe posé implique avant tout comme facteurs positifs le sentiment de compétence et l attrait spécifique pour la tâche et, comme facteur négatif, la peur de l échec ; ces trois paramètres déterminant le contrôle de l action en cours de résolution. Ces paramètres motivationnels Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

8 74 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/2014 sont considérés comme des variables proximales en regard de la performance qui sera accomplie. Sur le plan cognitif, et de façon plus détaillée, notre modèle postule que la mobilisation de procédures capables d aboutir à la résolution du problème complexe posé implique la coordination d au moins trois processus : - avant tout, la compréhension du problème posé dans ses aspects explicites et implicites ; - la modélisation mathématique du problème tel qu il a été interprété par l élève ; - le recours à des algorithmes de résolution fluides et des faits arithmétiques contribuant à l exécution, c est-à-dire à la résolution proprement dite du problème. En corollaire, les dispositifs d évaluation de compétences présentent bien souvent plusieurs phases ordonnées (p. ex. : Crahay & Detheux, 2005 ; Rey et al., 2003). Sur ce point, Rey et ses collègues proposent de commencer systématiquement par la tâche complexe, pour éviter les effets possibles de rappel des procédures qui auraient une influence sur la performance. En effet, il ne peut être exclu que les élèves, soumis aux exercices de la tâche «automatismes» puis de la tâche «décomposée», pensent davantage que les autres à utiliser les procédures activées dans ces exercices lors de la tâche complexe. Dans le même temps, notre dispositif cherche également à relever des facteurs motivationnels pouvant influencer la résolution de la tâche complexe. Or, la posture motivationnelle incite autant à s intéresser à l ordre des tâches. Les élèves qui commencent par la tâche complexe peuvent la trouver compliquée et se décourager face à celle-ci ou, au contraire, percevoir cette tâche comme un défi qui les mobilise pour la suite des activités. Il n est, là aussi, pas exclu que cette démotivation ou surmotivation de ces élèves se répercutent sur les tâches suivantes qu ils ont à Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

9 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/ accomplir, à l opposé des élèves qui auraient la séquence inversée. Nous avons dès lors deux hypothèses à tester. La première, dans la lignée de Rey et al. (2003), considère qu il existe une différence dans les performances à la tâche complexe en fonction des deux ordres de tâches proposés. La deuxième hypothèse considère, dans une lignée motivationnelle, qu il y a des différences de moyennes dans les facteurs motivationnels, en fonction de ces deux ordres. Sur ces hypothèses viennent se greffer deux autres questions intéressantes à investiguer. La première concerne l influence réelle des variables motivationnelles situées sur la résolution de tâches complexes. Ces variables apportent-elles quelque chose à la compréhension des performances dans les tâches complexes? La seconde question en lien avec la première concerne le poids des facteurs cognitifs dans la performance à la tâche et au regard des facteurs motivationnels situés précités. Ces questions ne sont pas totalement neuves mais l originalité du travail présent est de proposer, pour la première, un dispositif d évaluation nouveau dans ce champ et, pour la seconde, l élaboration de nouveaux indicateurs permettant d évaluer ce que certains, dans le champ de l évaluation des compétences scolaires, appellent le «savoir-interpréter» (p. ex. : Rey et al., 2003). Ainsi, nous proposons deux critères (un indice de compréhension de l explicite de l énoncé et un indice de compréhension de l implicite de l énoncé) dont nous tenterons de déterminer la propension dans la résolution de la tâche complexe. Enfin, nous tenterons de vérifier s il y a lieu d effectuer, comme nous le pensons, une distinction en deux formes de ce que certains réunissent sous l appellation «automatismes» (p. ex. : Rey et al., 2003) : les faits arithmétiques et les algorithmes de résolution fluides. Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

10 76 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/ Méthodologie Au cours des années scolaires et , nous avons mené plusieurs études en mathématiques auprès de 417 élèves (22 classes) de 7 e HarmoS 3 du canton de Genève [âge moyen : 11 ans]. Le choix de ce niveau se base sur les résultats d études montrant dès cet âge, pour une part, une amélioration significative des capacités de détermination du but et de planification des activités (p. ex. : Zimmerman & Martinez-Pons, 1992) et, pour une autre part, un développement de la profondeur de l autorégulation (l enfant conceptualise) (p. ex. : Anzai & Simon, 1979). C est l une de ces études que nous présentons ici. Pour celle-ci (93 élèves : période ), après un premier entretien de préparation avec le titulaire de la classe, trois séances, séparées d au moins trois jours et conduites exclusivement par le chercheur, étaient proposées aux élèves. Chaque séance comprenait une ou des tâches à résoudre. L enseignant, présent dans la classe, ne pouvait intervenir. Seul le chercheur répondait aux sollicitations des élèves par des demandes de reformulation, des blancs ou des acquiescements, dès lors que l élève avançait une piste, fusse-t-elle erronée. Les élèves visés ont reçu un questionnaire motivationnel situé à l introduction de la tâche complexe (QIT). Enfin, deux ordres des tâches ont été proposés afin de contrôler, pour une part, un effet possible d apprentissage entre tâches et, pour une autre part, un effet démotivationnel également possible (Tableau 1). 3 Rappelons que dans le découpage annuel de l enseignement primaire genevois, la 7 e HarmoS concerne théoriquement les élèves de 10 à 11 ans ; ce qui correspond à la 5 e primaire en Belgique ou le CM2 en France. Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

11 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/ Tableau 1 : Dispositif expérimental Séance 1 Séance 2 Séance 3 Condition 1 Tâche complexe / QIT Tâche décomposée Tâche automatismes Condition 2 Tâche automatismes Tâche décomposée Tâche complexe / QIT 3.1. Tâches mathématiques Les trois tâches 4 mentionnées, correspondant aux trois séances, sont définies comme suit : La résolution individuelle d un problème arithmétique verbal 5 complexe inédit [Tâche complexe] correspondant aux attentes du programme de 7 e HarmoS et dont l énoncé inscrit dans le contexte genevois le rend crédible. 4 Chacune de ces tâches est présentées en annexes A, B et C. Pour chaque tâche, il a été demandé aux titulaires des classes de ne pas activer les procédures exercées avant les séances. De même, il a été convenu, avec chaque enseignant, que la tâche complexe serait proposée dans un temps limité d une période et un tiers (± 60 minutes) alors que les deux autres tâches ne prendraient qu une période (45 minutes) chacune. 5 Notre domaine se centre donc autour des relations élémentaires (addition, soustraction, multiplication) au sein des nombres rationnels (nombres naturels entiers positifs) à établir sur la base d un texte (énoncé) décrivant les éléments essentiels de la situation au sein de laquelle certaines quantités sont explicitement données alors que d autres ne le sont pas. Sur cette base, l élève doit fournir une ou plusieurs réponses numériques à une ou plusieurs questions spécifiques (la demande), en utilisant les quantités fournies dans l énoncé (les données) et en inférant les relations entre ces quantités à partir de sa compréhension de l énoncé (Fagnant, 2002 ; Verschaffel, Greer & De Corte, 2000). L énoncé prend alors l aspect d une petite histoire qui renvoie à une situation mathématique qu il faut modéliser à partir des relations entretenues entre les divers éléments. Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

12 78 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/2014 La résolution de cinq problèmes arithmétiques verbaux, correspondant à une décomposition de la tâche complexe avec changement d habillages (Jonnaert & Laveault, 1994) mais dont les opérations mathématiques à effectuer restent identiques [Tâche décomposée]. Enfin, un concours de calcul mental sous la conduite du chercheur 6 suivi d un concours de vitesse chronométré concernant les habiletés élémentaires d addition, de soustraction et de multiplication 7 [Tâche automatismes]. Ces deux parties comprenaient principalement les calculs à effectuer dans les deux tâches précédentes Description du questionnaire motivationnel (QIT) présenté aux élèves Dans la poursuite de nombreux questionnaires de la motivation orientés sur cette population (p. ex. : Harter, 1982), nous avons adopté le principe de l échelle de Likert à quatre niveaux. Le nombre de niveaux d appréciation étant constant et correspondant à une valeur numérique pour l ensemble des items composant l échelle, chaque réponse donne lieu à un score partiel. 6 Le concours de calcul mental comprend 10 additions, 10 soustractions et 10 multiplications. En ce qui concerne la passation de cette épreuve, tous les élèves recevaient la feuille d exercices retournée sur le bureau. Le chercheur expliquait alors le déroulement de la séance. Au signal du chercheur, les élèves retournaient la feuille et le chercheur commençait à énoncer les opérations de la première partie suivant un rythme cadencé. A la fin de la première partie, il annonçait que le concours de vitesse débutait alors. 7 Cette partie composée de 5 soustractions, 5 additions et 5 multiplications a pour ambition de mettre en évidence des habiletés algorithmiques des élèves. Pour tenter de les différencier des faits arithmétiques, non seulement les calculs sont présentés sous forme écrite mais également une zone de calcul prévue à cet effet est proposée. Il n est évidemment pas exclu que certaines de ces opérations puissent être résolues mentalement par certains élèves mais l enjeu n est pas là. Que ce soit par écrit ou mentalement, chacune de ces opérations demande, pour les élèves de cet âge, l application d un algorithme. Autrement dit, aucune ne peut relever du simple fait arithmétique. Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

13 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/ Un score pour l échelle peut alors être obtenu en sommant les scores partiels ou en calculant la moyenne de ces scores. Nous suivons en ce sens la «méthode des classements additionnés» (De Landsheere, 1982). La structure de ce questionnaire est la suivante : Tableau 2 : Dispositif expérimental Questionnaire en introduction de la tâche (QIT) Echelle QIT SCSpéTA Sentiment de compétence spécifique pour la tâche 1 Echelle QIT PESpéTA Peur de l échec spécifique pour la tâche 1 3 Echelle QIT AtSpéTA Attrait spécifique pour la tâche 1 4 Nbre d items 3 Nous présentons dès lors, dans l ordre, les échelles relatives au questionnaire à l introduction de la tâche : sentiment de compétence spécifique 8 pour la tâche 1 (3 items), peur de l échec spécifique 9 pour la tâche 1 (3 items) et attrait spécifique 10 pour la tâche 1 (4 items). 8 Pour rappel, ce sentiment de compétence désigne la perception que l élève a de ses propres aptitudes et capacités à réaliser la tâche spécifique qui lui est soumise. 9 La peur de l échec spécifique désigne plus particulièrement les pensées de l élève centrées sur le souci, ainsi que les réactions affectives et physiologiques qui résultent de l anticipation de fautes ou d un échec dans la tâche spécifique qui lui est soumise. 10 L attrait spécifique désigne l intérêt et le plaisir que l interprétation de la tâche soumise à l élève suscite chez lui ou encore, la valeur intrinsèque de cette tâche qui incite l élève à vouloir s y engager. Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

14 80 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/2014 Tableau 3 : Echelle du sentiment de compétence spécifique pour la tâche (questionnaire QIT SCSpéTA) N d item Items 1 Comment trouves-tu cet exercice de math? (Très facile à Difficile) 9 14 Penses-tu que tu peux réussir cet exercice de math? (Entièrement à Pas du tout) Penses-tu que tu es assez fort pour faire cet exercice de math tout seul? (Très fort à Pas fort) Tableau 4 : Echelle de la peur de l échec spécifique pour la tâche 1 (questionnaire QIT PESpéTA) N d item Items 2 Comment te sens-tu pour faire cet exercice de math tout seul? (Calme à Très nerveux) 6 As-tu peur de ne pas arriver à faire cet exercice? (Très peur à Pas peur) 13 Es-tu à l'aise pour faire cet exercice tout seul? (Très à l aise à Pas à l aise) Tableau 5 : Echelle de l attrait spécifique pour la tâche 1 (questionnaire QIT AtSpéTA) N d item Items 3 As-tu envie de faire cet exercice de math? (Très envie à Pas envie) 7 10 Auras-tu du plaisir à faire les calculs de cet exercice de math? (Beaucoup à Pas du tout) Est-ce que ça t'ennuie de faire cet exercice de math? (Beaucoup à Pas du tout) 12 Aimes-tu ce genre d exercice? (J adore à Je déteste) Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

15 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/ Description des scores et indices construits sur la base des tâches mathématiques Ayant présenté le questionnaire, il nous paraît utile d expliciter plus en détail la construction de nos scores et indices, constitués sur la base des tâches mathématiques et synthétisés dans le tableau Score pour la tâche complexe Pour cette première tâche, un score a été créé pour établir «une mesure quantitative du degré d avancement d un élève dans la réalisation de la tâche» (Rey et al., 2003, p. 52). Nous proposons dès lors un indicateur [ScoTC variant de 0 à 10] correspondant à la prise en compte des différentes démarches nécessaires à la résolution de la tâche 1 : - faire au moins les 4 additions nécessaires dans la partie 1 ; - attribuer les points dans la partie 1 ; - choisir les 4 meilleures pour la partie 2 ; - attribuer les points dans la partie 2 ; - multiplier les points par le coefficient 2 dans la partie 2 ; - attribuer les pénalités aux 4 premières dans la partie 3 ; - classer les 4 premières dans la partie 3 ; - attribuer les points dans la partie 3 ; - multiplier les points par le coefficient 3 dans la partie 3 ; - additionner les points pour constituer le podium. Ce score a pour nous un double avantage : il respecte le souhait d une mesure quantitative du degré d avancement d un élève dans la réalisation de la tâche et permet d éviter le piège de considérer comme non compétent à l ensemble de l épreuve, un élève qui ne maîtriserait pas ou imparfaitement une seule des procédures (cf. Bain, 2000 ; Crahay, 2006). Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

16 82 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/ Score pour la tâche automatisme Pour la première partie de cette tâche [concours calcul mental], un score moyen [ScoTA1], variant de 0 à 30 puis ramené à 10, est calculé. Il correspond à l addition des scores partiels pour chaque opération (+, -, x). Pour la deuxième partie [concours de vitesse], un score moyen [ScoTA2], variant de 0 à 15 puis ramené à 10, est calculé. Il correspond aussi à l addition des scores partiels pour chaque opération (+, -, x) Indices de compréhension de l implicite et de l explicite des énoncés Enfin, sur base de la tâche décomposée qui propose une décomposition de la tâche complexe en problèmes distincts avec changement d habillages, il est possible, au-delà de la vérification des opérations effectuées et des réponses données, d observer la prise en compte de l explicite des énoncés (p. ex. voir annexe B : trouver, pour le deuxième problème, les quatre chemins les plus rapides) mais également leur implicite (dans ce problème : tenir compte des arrêts). En ce sens, un indice de compréhension de l explicite des énoncés [CprExpE], variant de 0 à 12, est produit sur la base du relevé des prises en compte ou non des éléments explicites de l énoncé de chacun des cinq problèmes composant la tâche complexe. De même, suivant le même processus, un indice de compréhension de l implicite des énoncés [CprImpE], variant de 0 à 11, est constitué. Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

17 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/ Tableau 6 : Tâches, Scores et Indices cognitifs Tâche complexe [TC] Tâche décomposée Tâche automatismes [TA] 1 problème arithmétique verbal complexe inédit 5 problèmes arithmétiques verbaux composant la TC 1 exercice de modélisation 1 concours de calcul mental 1 concours de vitesse chronométré concernant les habiletés élémentaires pour la TC Score de degré d'avancement [ScoTC] Indice de compr. expl. énoncés [CpExpE] Indice de compr. Impl. énoncés [CpImpE] Score calcul mental [ScoTA1] Score concours de vitesse [ScoTA2] 3.4. Description du traitement des données Notre dispositif de recherche vise à recueillir des données cognitives et motivationnelles en situation expérimentalement ancrée dans un milieu scolaire. La démarche combine plusieurs instruments de recueil de données : un questionnaire constitué d échelles de Likert à quatre niveaux et trois tâches mathématiques en adéquation avec le Plan d Etudes Romand (PER). Dès lors, les données motivationnelles recueillies feront, dans un premier temps, l objet d une analyse de cohérence interne (alpha de Cronbach). Ensuite, elles feront l objet d analyses corrélationnelles (coefficient de Pearson) avec la tâche complexe au centre de nos intérêts. Les performances aux tâches feront l objet d analyses de la variance (ANOVA) pour tester l effet de nos conditions et d analyses corrélationnelles (coefficient de Pearson) pour leurs mises en relation. Les indices cognitifs feront l objet d analyses corrélationnelles (coefficient de Pearson) dans leur rapport principalement à la tâche complexe. Par ailleurs, il est convenu que, tout au long de notre expérimentation, le risque d erreur de première espèce ou seuil de significativité est fixé à.05. Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

18 84 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/ Résultats 4.1. Description de l échantillon Notre étude est réalisée auprès de 93 élèves de 7 e HarmoS répartis dans 6 classes de l enseignement primaire du canton de Genève, toutes situées dans des communes urbaines du canton. L effectif des classes varie entre 9 et 24 élèves. 48 (51.6 %) sujets sont des filles pour 45 (48.4 %) garçons. 51 (54.8%) sujets ont pour première langue le français alors que 40 (43%) ont une autre langue comme langue première. L âge moyen de notre échantillon est de ans [σ =.44]. La moyenne des résultats académiques en mathématiques de ces élèves pour la première période de l année est de 4.88/6 [σ =.72] et de 4.90 [σ =.83] pour la deuxième période 11. La répartition de nos sujets sur les variables «genre» et «langue», en fonction de la condition de passation «complexe-simple vs. simplecomplexe» est détaillée dans les deux tableaux ci-dessous : 11 Par résultat académique, nous entendons la note scolaire moyenne écrite par l enseignant dans le livret scolaire de l élève. Nous avons obtenu celle-ci pour les deux périodes (novembre et mars) qui ont précédé notre venue. Rappelons encore que dans le canton de Genève, dès la 3 e année primaire, l'évaluation des élèves fait l'objet de notes allant de 6 (Atteint avec grande aisance) à 1 (Pas du tout atteint). La note de 4 (Atteint) correspond au niveau d'acquisition requis. Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

19 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/ Complexe au Simple Simple au Complexe Tableau 7 : Répartition "genre" fonction "condition passation" 12 Fille Garçon Total Effectif % compris dans Condition Passation % compris dans Genre 51,1% 48,9% 100,0% 47,9% 48,9% 48,4% % du total 24,7% 23,7% 48,4% Effectif % compris dans Condition Passation % compris dans Genre 52,1% 47,9% 100,0% 52,1% 51,1% 51,6% % du total 26,9% 24,7% 51,6% 12 Pour exemple : 51.1% correspond au pourcentage de filles qui ont participé à la condition «Complexe au simple» (23/45) ; 47.9% correspond au pourcentage de filles qui ont participé à la condition «Complexe au simple» au regard du nombre total de filles (23/48) ; 24.7% correspond au pourcentage de filles qui ont participé à la condition «Complexe au simple» au regard de l effectif total (23/93). Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

20 86 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/2014 Tableau 8 : Répartition "langue" fonction "condition passation" Complexe au Simple Simple au Complexe Autre langue Français Effectif % compris dans Condition Passation % compris dans Langue Total 55.6% 44.4% 100.0% 62.5% 39.2% 49.5% % du total 27.5% 22.0% 49.5% Effectif % compris dans Condition Passation % compris dans Langue 32.6% 67.4% 100.0% 37.5% 60.8% 50.5% % du total 16.5% 34.1% 50.5% 4.2. Analyses concernant la performance à la tâche complexe Pour commencer, il importe de vérifier l influence que pourraient avoir les deux variables précitées sur la performance à la tâche complexe Une performance en fonction du genre? En ce qui concerne la performance aux tâches mathématiques, certaines études sur le sujet (p. ex. : Kenney-Benson, Pomerantz, Ryan & Patrick, 2006 ; Lafontaine & Monseur, 2009) indiquent un effet du genre en faveur des garçons. Dès lors, la première analyse consiste à vérifier s il y a effectivement une différence dans les résultats entre les filles (m = 2.46) et les garçons (m = 3.50). Nous avons donc effectué une analyse de variance à un facteur (ANOVA) afin de déterminer si cette différence est significative. Le Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

21 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/ résultat, F(1,86) = 3.75, p =.056, montre un effet tendanciel. Nous avons alors décidé de tester cette variable au regard de notre condition «complexe-simple vs. simple-complexe». Nous avons réalisé une ANOVA 2 (condition passation) 2 (genre) pour tester cette hypothèse. Le résultat ne révèle pas d effet d interaction entre la condition et le genre, F(1,87) = 0.31, p >.05, mais un effet tendanciel principal du genre, F(1,87) = 3.73, p =.057. Autrement dit, qu une élève ou un élève participe à l une ou l autre condition, son résultat sera sensiblement le même. Par contre, pour chacune des deux conditions, il y a un effet du genre, au sein de la tâche, en faveur des garçons Une performance en fonction de la langue? Concernant ce facteur, notre hypothèse principale est classique en la matière : la langue première des élèves joue un rôle sur leur performance aux tâches. Plus spécifiquement, dans le cadre de notre dispositif en relation avec l évaluation des compétences, la tâche complexe (énoncé verbal complexe) nécessite une maîtrise de la langue plus importante que celle nécessaire pour les problèmes de la tâche décomposée puis pour les tâches d habiletés. En effet, bien souvent, ce n est pas tant la nature des opérations à effectuer qui fait difficulté, mais plutôt la complexité de la situation décrite (p. ex. : De Corte & Verschaffel, 1985 ; Fagnant, 2005 ; Fayol, 1990 ; Thevenot, Barrouillet & Fayol, 2010). Ce type de problème inclut prioritairement la compréhension de l aspect verbal. Nous pouvons dès lors nous attendre à un effet de la langue première en ce sens pour la tâche complexe. Nous avons donc effectué une analyse de variance à un facteur (ANOVA), afin de déterminer si cette différence existe. Le résultat produit, F(1,84) = 0.30, p >.05 ne montre pas d effet significatif. Il se peut que ce manque de différence soit lié à la prise en compte de notre échantillon dans sa totalité, sans tenir compte de la condition de passation «complexe-simple vs. simplecomplexe». Il n est pas exclu que les élèves ayant reçu la tâche complexe Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

22 88 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/2014 après les deux autres tâches aient un avantage possible de rappel des procédures influençant la performance. Nous avons alors décidé de tester cette variable au regard de notre condition. Nous avons réalisé une ANOVA 2 (condition passation) 2 (langue première) pour tester cette hypothèse. Le résultat ne révèle pas d effet d interaction entre la condition et la langue première, F(1,85) = 0.33, p >.05. Autrement dit, qu un élève ait ou pas le français comme langue première, son résultat sera sensiblement le même, quelle que soit la condition dans laquelle il se trouve Une performance en fonction de l ordre des tâches? Le genre et la langue première contrôlés, nous pouvons nous intéresser à notre condition de passation : l ordre des séances. Lors de la deuxième séance, à peu près la moitié de l échantillon commençait par la tâche complexe, l autre moitié se voyait attribuer la tâche automatismes. Nous avons procédé à une analyse de la variance qui ne révèle pas de différence significative entre ces deux conditions de passation, F(1,86) = 1.71, p >.05. Cela signifie que les résultats des élèves ne sont significativement pas différents, que ceux-ci aient eu la tâche complexe lors de la deuxième séance (avant les deux autres tâches) (m = 2.67) ou lors de la cinquième séance (après les deux tâches) (m = 3.25). Autrement dit, pour notre dispositif, l ordre des tâches n affecte pas la performance au problème complexe. Comment interpréter ce résultat? Une explication consiste à penser que les élèves n ont pas repéré, d une tâche à l autre, que les procédures nécessaires pour l une l étaient également pour l autre (principalement entre la tâche décomposition et la tâche complexe). Etant donné le découpage de la tâche complexe en problèmes partiels dans la tâche décomposition et le changement d habillage, les élèves peuvent ne pas avoir perçu les similitudes d une tâche à l autre (cf. Bastien, 1997). Une seconde possibilité tient à l écart temporel entre l exécution des deux tâches. En effet, les tâches étant Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

23 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/ espacées d au moins trois jours, les élèves ont eu le temps d oublier les procédures sollicitées et, certainement, d en avoir sollicité d autres dans le cadre de leurs cours Une performance qui reste faible Enfin, du point de vue de la performance (score moyen général à la tâche complexe = 2.95), quelles que soient les caractéristiques précédentes prises en compte, il est à relever que, comme dans d autres études (p.ex. : Crahay & Detheux, 2005 ; Rey et al., 2003), le taux des omissions 13 tout au long de la tâche complexe n est pas négligeable. Ainsi une analyse plus fine des résultats montre que 75% des sujets n ont pas effectué au moins la moitié des procédures attendues pour la résoudre (Tableau 9). Tableau 9 : Procédures effectuées pour résoudre la tâche complexe Effectifs Pourcentage Pourcentage valide, , , , , , , Pourcentage cumulé 13 Rappelons que lorsque nous rapportons que 8 élèves n ont effectué aucune des procédures attendues, cela ne veut pas nécessairement dire qu ils n ont rien fait. Certains d entre eux ont bien tenté quelque chose mais, dans ce cas, aucune de leurs tentatives ne rencontrait l une des dix procédures permettant de résoudre le problème. Le terme «omission» est alors à prendre dans le sens d oubli ou d exécution non pertinente plus que de manque. Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

24 90 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/2014 7, , , , n = Manquante N = Ce constat reste troublant. En effet, lors de la construction de cette épreuve ainsi que lors des entretiens préalables avec les titulaires de classe, une attention particulière portait sur la «faisabilité» de cette épreuve par les élèves et sur le temps de passation requis. A l unanimité, les enseignants ont considéré que 60 minutes semblaient largement suffisantes pour la réaliser. Si ce n est pas le temps qui leur a manqué, pourquoi ce fort taux d omission : difficulté des énoncés et problème de compréhension et/ou problèmes motivationnels? C est bien ce que nous cherchons à comprendre Analyses concernant les facteurs motivationnels Si l ordre des tâches dans notre dispositif ne semble pas a priori avoir d influence sur la performance à la tâche complexe, une posture motivationnelle incite à s intéresser également à l ordre des tâches avec d autres postulats. En effet, pour rappel, un élève qui commence par la tâche complexe pourrait percevoir cette tâche comme un défi qui le mobilise pour la suite des activités alors qu un autre qui aurait déjà eu, lors des deux séances précédentes, la tâche automatismes puis la tâche décomposition pourrait la trouver compliquée et se décourager. Aussi, une autre hypothèse testée considère, dans une lignée motivationnelle, qu il y aurait des différences de moyennes dans les facteurs motivationnels, en fonction des deux ordres de tâches proposés : Complexe-Simple vs. Simple-Complexe. Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

25 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/ Dans un premier temps, nous allons nous intéresser à nos facteurs motivationnels situés sur l ensemble de notre échantillon, puis en fonction de notre condition de passation Une performance en fonction des facteurs motivationnels situés? Les études corrélationnelles peuvent nous aider à traiter le sujet et nous intéresser aux relations qui existent entre ces variables et la performance à la tâche complexe. Pour y arriver, nous devons préalablement calculer les alphas de Cronbach (α) de nos trois facteurs. Les résultats obtenus (Tableau 10) indiquent une homogénéité suffisante 14. Tableau 10 : Facteurs motivationnels situés pour la tâche complexe Facteur (n items) m σ α Sentiment de compétence spécifique à la tâche (3) Peur de l échec spécifique à la tâche (3) Attrait spécifique pour la tâche (4) Moyenne (m), écart-type (σ) et coefficient alpha de Cronbach (α) Nous pouvons dès lors procéder à l'utilisation du coefficient de corrélation 15 de Pearson qui permet de révéler (Tableau 11) une relation positive entre : 14 Pour rappel, une échelle est jugée suffisamment homogène, si la valeur du coefficient alpha de Cronbach (α) est égale ou supérieure à.70. Elle est considérée comme limite entre.50 et.70, et insuffisante en-dessous de.50. Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

26 92 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/ la performance à la tâche complexe et le sentiment de compétence spécifique à cette tâche, r(86) =.466, p <.05 ; - la performance à la tâche complexe et la peur de l échec spécifique à cette tâche, r(86) =.288, p <.05 ; - la performance à la tâche complexe et l attrait spécifique pour cette tâche, r(86) =.325, p <.05. Tableau 11 : Coefficents de corrélation (produit des moments de Paerson- r) et part de variance expliquée (R 2 ) pour la performance à la tâche complexe r R 2 SCSpéTC Sentiment de compétence spécifique pour la.466 ** 21,7 PeESpéT tâche Peur complexe de l échec spécifique pour la tâche.288 ** 8,3 C AtSpéTC complexe Attrait spécifique pour la tâche complexe.325 ** 10,6 **. La corrélation est significative au niveau 0.01 (bilatéral). *. La corrélation est significative au niveau 0.05 (bilatéral). Si le coefficient de corrélation (r) est une mesure d association entre deux variables métriques (p. ex. : l attrait spécifique pour la tâche complexe et la performance à celle-ci), la part de de variance expliquée (R 2 ) indique le pourcentage de la variance de la variable dépendante expliquée par la ou les variables indépendantes. Dans notre cas, il faut reconnaître qu excepté le sentiment de compétence spécifique à la tâche (R 2 = 21.7%), la peur de l échec spécifique à cette tâche 15 Pour rappel, le coefficient de corrélation (r) est une mesure d interdépendance entre deux variables métriques. Il mesure l intensité de la co-variation entre deux variables. Cette mesure standardisée est comprise entre -1 et +1. Plus le coefficient est proche de 1 en valeur absolue, plus les variables sont dites corrélées. Si (r) est proche de +1, cela signifie que les deux variables varient dans le même sens ; Si (r) est proche de -1, les deux variables varient en sens inverse. Plus (r) est proche de 0, moins les variables sont corrélées. Le nombre entre parenthèse correspond au nombre d observations croisées. Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

27 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/ (R 2 = 8.3%) et, dans une moindre mesure, l attrait spécifique pour cette tâche (R 2 = 10.6%) expliquent peu la performance à la tâche complexe. Nous verrons dans la suite de ce texte si d autres facteurs cognitifs peuvent apporter plus d explication Facteurs motivationnels et ordre des tâches Pour tester notre hypothèse selon laquelle il y aurait des différences de moyennes dans les facteurs motivationnels, en fonction des deux ordres de tâches proposés (Complexe-Simple vs. Simple-Complexe), nous avons procédé à une analyse multivariée de la variance sur les facteurs motivationnels spécifiques à cette tâche. Tableau 12 : Facteurs motivationnels situés fonction condition Attrait Spécifique à TC Sentiment de Compétence Spécifique à TC Peur Echec Spécifique à TC Moyenne (m), écart-type (σ) Complexe au Simple Simple au Complexe N m σ Total Complexe au Simple Simple au Complexe Total Complexe au Simple Simple au Complexe Total Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

28 94 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/2014 Nous n observons d effet de l ordre des tâches ni en lien avec le sentiment de compétence spécifique à la tâche complexe, F(1,84) =.60, p >.05, ni avec la peur de l échec spécifique à cette tâche, F(1,84) =.73, p >.05. Par contre, notre analyse relève un effet significatif avec l attrait spécifique à la tâche, F(1,84) = 9.21, p <.05. Autrement dit, que les élèves commencent par la tâche complexe ou qu ils terminent par celle-ci, leur sentiment de compétence et leur peur de l échec spécifique à cette tâche ne sont pas différents mais leur attrait pour la tâche, lui, varie. Nous avons complété cette analyse par une étude corrélationnelle en fonction de la condition de passation. Les résultats sont détaillés dans le tableau 13. Sur la base de nos résultats engrangés au tableau 11, nous montrions qu un sentiment de compétence spécifique à la tâche était lié à la performance dans cette tâche et que la part de variance expliquée de ce facteur sur la performance n était pas négligeable (21.7%). Cela est également vrai, dans une moindre mesure, en ce qui concerne l attrait spécifique pour cette tâche (10.6%) ; la peur de l échec spécifique à cette tâche expliquant peu cette performance (8.3%). La prise en compte de la condition ordre des tâches nous montre que tant le sentiment de compétence spécifique à la tâche que la peur de l échec spécifique à cette tâche ne varie pas sensiblement d une condition à l autre alors que l attrait spécifique varie significativement : Complexe au Simple (m = 2.93) - Simple au Complexe (m = 2.38). Autrement dit, lorsqu il est demandé à un élève l attrait qu il a pour la tâche complexe, celui-ci est plus fort quand cette tâche complexe est présentée en premier lieu (2 e séance) qu en dernier lieu (4 e séance). En ce qui concerne le sentiment de compétence spécifique à la tâche et la peur de l échec spécifique à cette tâche, les moyennes ne varient pas significativement d une condition à l autre. On pourrait donc penser qu il vaut mieux commencer par la tâche Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :

29 Cahiers des Sciences de l Éducation Université de Liège (aspe) 36/ complexe, si on imagine que l attrait spécifique pour cette tâche influence la performance à cette tâche. Toutefois l analyse corrélationnelle effectuée en tenant compte de notre condition (Tableau 13) nous offre une autre perspective : Tableau 13 : Coefficents de corrélation (produit des moments de Paerson- r) et part de variance expliquée (R 2 ) pour la performance à la tâche complexe en fonction de la condition passation Complexe au Simple r R 2 SCS Sentiment de compétence spécifique pour la tâche.388 * 15 pét PeE complexe Peur de l échec spécifique pour la tâche complexe.244 n.s. C Spé AtS Attrait spécifique pour la tâche complexe.321 * 10,3 TC pét Simple au Complexe r R 2 C SCS Sentiment de compétence spécifique pour la tâche.548 ** 30 pét PeE complexe Peur de l échec spécifique pour la tâche complexe.347 * 12 C Spé AtS Attrait spécifique pour la tâche complexe.420 ** 17,6 **. TC pét La corrélation est significative au niveau 0.01 (bilatéral). *. C La corrélation est significative au niveau 0.05 (bilatéral). Ainsi, si dans la condition Complexe au Simple, l attrait spécifique pour cette tâche est plus important, son pourcentage de variance expliquée est moindre (Complexe au Simple : R 2 = Simple au Complexe : R 2 = 17.6). Autrement dit, il semble que commencer par la tâche complexe engendre un attrait plus grand mais que celui-ci ne se traduise pas dans l action en une performance meilleure. En complément, nous avons vu que le sentiment de compétence spécifique à la tâche ne variait pas significativement d une condition à l autre (Complexe au Simple : m = Simple au Complexe : m = 2.68) et qu il en allait de même pour la peur de l échec spécifique à cette tâche (Complexe au Simple : m = Simple au Complexe : m = 2.56). Là aussi, l analyse corrélationnelle effectuée en tenant compte de notre condition nous offre un Résolution de problèmes arithmétiques dans le cadre d une approche par compétences :