Licence «Droit Economie Gestion» Magistère «Développement économique»

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1 Licence «Droit Economie Gestion» Magistère «Développement économique» Chapitre 4. Contrôle optimal Pascale Combes Motel Cerdi CNRS Université d Auvergne

2 Table des matières CHAPITRE 4. CONTROLE OPTIMAL LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES D ORDRE Méthode de résolution Solution générale de l équation homogène Solution particulière de l équation générale Solution générale Exemples économiques La contrainte budgétaire inter-temporelle des ménages Solution générale de l équation homogène Le taux d intérêt moyen Le taux de croissance maximal de l endettement Solution particulière de l équation générale Solution générale : la relation entre la somme actualisée des dépenses de consommation et des salaires Prix d un actif et absence de bulle spéculative sur les marchés de capitaux La condition d absence d arbitrage dans la détention d actifs Solution générale de l équation homogène Solution particulière de l équation générale Solution générale : la valeur fondamentale d un actif QU EST-CE QU UN PROBLEME DE CONTROLE OPTIMAL? Un modèle générique de contrôle optimal Exemples d application du contrôle optimal La fonction de Hamilton CONDITIONS D OPTIMALITE Le principe du maximum de Pontryagine Les problèmes autonomes Prise en compte de contraintes statiques Les conditions de transversalité Conditions portant sur la valeur de la variable d état Variable d état terminale libre Variable d état terminale contrainte par valeur minimale Remarque Remarque Prise en compte d un critère terminal Conditions portant sur la date terminale Interprétations Les multiplicateurs dynamiques et la fonction de Hamilton Les multiplicateurs La fonction de Hamilton Exemples Valeur de l entreprise Fonction de Hamilton et épargne véritable i

3 Le principe du maximum Illustrations Illustration Illustration 2. Vente d une denrée périssable par une entreprise en situation de monopole Illustration 3. Exploitation d une ressource naturelle épuisable en concurrence et en monopole La résolution du problème Les conditions nécessaires d optimalité Les conditions de transversalité Effort d exploration Simulation de l évolution du prélèvement et des prix Concurrence pure et parfaite Le monopole Illustration 4. Le partage du gâteau avec progrès technique LA REPRESENTATION DES SOLUTIONS Etude du système d équations différentielles d ordre Cas général Exemple : Brander & Taylor Le diagramme de phases Exemple 1 : arbitrage consommation épargne Evolution du multiplicateur dynamique Evolution de la variable d état sur le diagramme de phase Etude de l évolution simultanée du multiplicateur et de la variable d état Vitesse de convergence quand T tend vers l infini ANNEXE Résolution d un problème de contrôle optimal avec une feuille de calcul Diagrammes de phases Exemple 2 : Brander & Taylor Exemple 3 : Plourde Exemple 4 : Brown Exemple 5 : Le modèle de Solow augmenté Linéarisation à proximité de l état régulier Le diagramme des phases Table des illustrations Définition 1. Un problème générique de contrôle optimal Définition 2. Problème générique de contrôle optimal Définition 3. Un problème autonome de contrôle optimal Définition 4. Un problème de contrôle optimal avec contraintes statiques Définition 5. L arbitrage entre consommation présente et future, formulé sous la forme d un problème de contrôle optimal Encadré 1. La spéculation Encadré 2. Le principe de Bellman Encadré 3. La gestion optimale d une ressource non renouvelable formulée comme un problème de contrôle optimal Encadré 4. Exploitation de la RNE par une entreprise en présence d effets de stock et d un effort d exploration Contrôle optimal ii

4 Figure 1. Evolution du prix d un actif non productif dans l hypothèse d un taux d intérêt constant et variable Figure 2. Chemin possible du prix d une unité de capital (une action par exemple) Figure 3. Diagramme de phases Figure 4. Evolution du prélèvement optimal au cours du temps Figure 5. Evolution des prix et des quantités en concurrence Figure 6. Evolution des quantités et des prix dans l hypothèse d un monopole Figure 7. Evolution du multiplicateur dynamique Figure 8. Représentation de l évolution de la variable d état sur un diagramme de phase Figure 9. Représentation de l évolution simultanée du multiplicateur et de la variable d état Figure 10. Représentation de l évolution simultanée du multiplicateur et de la variable d état compte tenu des conditions initiales et de transversalité Figure 11. Diagramme de phases : les trajectoires (uniques) vers l état régulier Figure 12. Résolution d un problème de contrôle optimal sur solveur Figure 13. Evolution de la population dans le plan (S, L), dans le modèle de Brander et Taylor (1998) Figure 14. Evolution de la RNR dans le plan (S, L), Brander & Taylor Figure 15. Dynamique transitionnelle dans le modèle de Brander & Taylor Figure 16. Diagramme de phases du modèle de Solow augmenté dans l hypothèse d une fonction de production néoclassique Cobb- Douglas Tableau 1. Exemples de problèmes économiques formulés sous la forme d un problème de contrôle optimal Tableau 2. La croissance optimale : traitement par la méthode de Lagrange et la technique du contrôle optimal Tableau 3. Pollution optimale : traitement par la méthode de Lagrange et la technique du contrôle optimal Tableau 4. Le principe du maximum de Pontryagine d un problème autonome Tableau 5. Evolution des prix et des quantités prélevées dans l hypothèse de concurrence et d une demande linéaire par rapport au prix Tableau 6. Evolution des prix et des quantités prélevées dans l hypothèse d un monopole et d une demande linéaire par rapport au prix Tableau 7. Valeur des paramètres d intérêt Bibliographie Angel, E. & Bellman, R.E., Dynamic programming and partial differential equations, New York & London UK: Academic Press. Blanchard, O.J. & Fischer, S., Consumption and Investment: Basic Infinite Horizons. In Lectures on macroeconomics. Cambridge MA & London UK: MIT Press, pp Brander, J.A. & Taylor, M.S., The Simple Economics of Easter Island: A Ricardo-Malthus Model of Renewable Resource Use. The American Economic Review, 88(1), pp Brown, G., An Optimal Program for Managing Common Property Resources with Congestion Externalities. The Journal of Political Economy, 82(1), pp Cass, D., Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation. The Review of Economic Studies, 32(3), pp Conrad, J.M., Resource Economics, Cambridge: Cambridge University Press. Cuthbertson, K., Économie financière quantitative: Actions, obligations et taux de change, Bruxelles: De Boeck Université. Dorfman, R., An Economic Interpretation of Optimal Control Theory. The American Economic Review, 59(5), pp Hamilton, K., Accounting for sustainability. Available at: [Accessed December 1, 2010]. Hamilton, K. & Atkinson, G.D., Wealth, welfare and sustainability: advances in measuring sustainable development, Edward Elgar Publishing. Hamilton, K. & Clemens, M., Genuine Savings Rates in Developing Countries. The World Bank Economic Review, 13(2), pp Heal, G.M., Chapter 18 The optimal use of exhaustible resources. In Handbook of Natural Resource and Energy Economics. Amsterdam: Elsevier Science Publishers, pp Available at: [Accessed December 1, 2010]. Kaldor, N., Spéculation et stabilité économique (1939). Revue française d économie, 2(3), pp Kamien, M.I. & Schwartz, N.L., Dynamic Optimization. The Calculus of Variations and Optimal Control in Economics and Management 2nd ed., Amsterdam: Elsevier Science. Koopmans, T.C., On the Concept of Optimal Economic Growth. Cowles Foundation Paper, (238). Available at: [Accessed November 24, 2011]. Krautkraemer, J.A., Nonrenewable Resource Scarcity. Journal of Economic Literature, 36(4), pp iii

5 Krautkraemer, J.A., Optimal Growth, Resource Amenities and the Preservation of Natural Environments. The Review of Economic Studies, 52(1), pp Lacaze, D., Optimisation appliquée à la gestion et à l économie. Cours et exercices corrigés, Paris: Economica. Léonard, D., Commande optimale C. Jessua et al., eds. Dictionnaire des sciences économiques, pp Léonard, D. & Long, N. van, Optimal control theory and static optimization in economics, Cambridge: Cambridge University Press. Lucas, R.E., On the mechanics of economic development. Journal of Monetary Economics, 22(1), pp Mankiw, N.G., Romer, D. & Weil, D.N., A Contribution to the Empirics of Economic Growth. The Quarterly Journal of Economics, 107(2), pp Perman, R. et al., Natural resource and environmental economics 3rd ed., Harlow: Pearson Education. Pezzey, J.C.V., Sustainable Development Concept. An Economic Analysis, Washington D.C.: The World Bank. Available at: Pindyck, R.S., The Optimal Exploration and Production of Nonrenewable Resources. Journal of Political Economy, 86(5), pp Pingle, M., Introducing Dynamic Analysis Using Malthus s Principle of Population. The Journal of Economic Education, 34(1), p.3. Plourde, C.G., A Model of Waste Accumulation and Disposal. The Canadian Journal of Economics / Revue canadienne d Economique, 5(1), pp Romer, D., Chapitre 3 Dépassements du modèle de Solow : nouvelles théories de la croissance. In Macroéconomie approfondie. Sciences Economiques. Paris: Ediscience International, pp Seierstad, A. & Sydsæter, K., Optimal Control Theory with Economic Applications, North-Holland. Shone, R., Economic Dynamics: Phase Diagrams and Their Economic Application, Cambridge University Press. Available at: Smith, V.L., Control theory applied to natural and environmental resources an exposition. Journal of Environmental Economics and Management, 4(1), pp iv