Représentation et analyse des systèmes linéaires

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Thierry Denis
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1 ISAE-NK/Première année présentation et analyse des systèmes linéaires Petite classe No Compléments sur le lieu des racines. Condition sur les points de rencontre et d éclatement Les points de rencontre,(les points où deux branches complexes intersectent sur l axe réel) et les points d éclatement, (les points où deux branches réelles se rencontrent pour former deux branches complexes), correspondent à des racines multiples de l équation caractéristique. Ainsi, si l on réécrit l équation caractéristique comme : f(p) =D(p)+KN(p) = où N(p) etd(p) ne contiennent pas K, f(p) a des racines multiples en les points solutions de l équation algébrique : df (p) dp = Comme, df (p) dp = dd(p) dp + K dn(p) dp on obtient que les valeur particulières de K conduisant à des racines multiples de l équation caractéristique sont : dd(p) dp K = dn(p) dp Par substitution de cette valeur de K dans l équation caractéristique, nous avons alors : D(p) dn(p) dp = dd(p) N(p) = dp Les racines multiples de l équation caractéristiques vérifient donc nécessairement l équation : dn(p) D(p) dd(p) dk dp = dp dp N(p) N (p) = Il est à noter que toutes les solutions de l équation précédente ne sont pas nécessairement des points de rencontre ou des points d éclatement. Pour cela, il est nécessaire que la solution déterminée corresponde à une valeur de K.

branches réelles se rencontrent pour former deux branches complexes), correspondent à des racines multiples de l équation caractéristique.

2 . Obtention graphique du gain K Une fois que le lieu des racines est construit, il peut être intéressant de déterminer la valeur du gain K en un point du lieu des racines. Graphiquement, l amplitude de K peut être déterminée par : K = longueur des vecteurs des pôles issus de G(p)H(p) de p longueur des vecteurs des zéros issus de G(p)H(p) de p Cela est illustré par la figure suivante où ilyaunzéro en etdeuxpôles en +j et j en boucle ouverte : K = A B C p A C B +j j Fig. Calcul graphique du gain. Configurations caractéristiques du lieu des racines La figure suivante propose un ensemble de configurations usuelles des pôles et zéros en boucle ouverte ainsi que les lieux des racines correspondant.

Cela est illustré par la figure suivante où ilyaunzéro en etdeuxpôles en +j et j en boucle ouverte : K = A B C p A C B +j j Fig. Calcul graphique du gain.

3 Fig. Lieux des racines caractéristiques Fig. Lieux des racines caractéristiques

4 Exercices Exercice : Exercice : Tracer le lieu des racines pour K des équations caractéristiques suivantes : (a) p +p +(K +)p +K = (b) p + p +(K +)p +K = (c) p +Kp += (d) p +(K +)p +(K +)p +(K +)p += (e) p +p +p + K(p )(p +)= (f) p p + K(p +)(p +)= (g) p +p +9p + K(p +p +)= (h) p +p +p + K(p )(p +)= (i) p(p ) + K(p +)(p +.) = (j) p +p +p +Kp +K = La fonction de transfert en boucle ouverte d un asservissement à retour unitaire est définie par : G(p) = K(p +) p(p +p +)(p +)(p +) G(p) = K(p +p + ) p(p +)(p + ) G(p) = G(p) = K p(p + )(p +)(p +) K(p +) (p +) (p +)(p +) Tracer le lieu des racines pour K. Déterminer la valeur de K telle que l amortissement en boucle fermée de la paire de pôles dominante soit égal à.77. Exercice : L équation caractéristique d un système asservi est donnée par :.p(p +.)(Ap + K ) + N = (a) Pour A = K =, construire le lieu des racines de l équation caractéristique quand N. (b) Pour N =eta =, construire le lieu des racines de l équation caractéristique quand K.

) = (j) p +p +p +Kp +K = La fonction de transfert en boucle ouverte d un asservissement à retour unitaire est définie par : G(p) = K(p +) p(p +p +)(p +)(p +) G(p) = K(p +p + ) p(p +)(p + ) G(p) =

5 Exercices Exercice : (a) L équation caractéristique peut se factoriser sous la forme : + K(p +) p(p +)(p +) = Axe imaginaire Axe reel (b) L équation caractéristique peut se factoriser sous la forme : + K(p +) p(p + p +) = aginary Axis al Axis (c) L équation caractéristique peut se factoriser sous la forme : + Kp (p + ) =+ Kp p + =

..7 Axe imaginaire.7.....7.. Axe reel (b) L équation caractéristique peut se factoriser sous

6 aginary Axis al Axis (d) L équation caractéristique peut se factoriser sous la forme : + K(p + p +p) p +p + p +p + = aginary Axis al Axis (e) L équation caractéristique peut se factoriser sous la forme : + K(p +)(p ) p +p +p =

peut se factoriser sous la forme : + K(p + p +p) p +p + p +p + =..97

7 aginary Axis al Axis (f) L équation caractéristique peut se factoriser sous la forme : + K(p +)(p +) p p = aginary Axis al Axis (g) L équation caractéristique peut se factoriser sous la forme : + K(p +p +) p +p +9p = 7

8 aginary Axis al Axis (h) L équation caractéristique peut se factoriser sous la forme : + K(p )(p +) p +p +p = aginary Axis al Axis (i) L équation caractéristique peut se factoriser sous la forme : + K(p +)(p +.) p p =

9 aginary Axis al Axis (j) L équation caractéristique peut se factoriser sous la forme : + K(p +.) K(p +.) =+ p +p +p p +p +p aginary Axis al Axis 9

10 Exercice : - Le lieu des racines de G(p) est représenté ci-dessous Axe imaginaire Axe reel Pour K = K.77, la paire de pôles complexes conjuguées dominantes s écrit p.77 = ω+jω. ω et K.77 doivent être solutions de l équation caractéristique en boucle fermée ω( +j)( jω +ω( +j) + )( ω + jω)( ω + jω)+kω( + j) = On obtient K.77. etω.. - Le lieu des racines de G(p) est représenté ci-dessous. Pour K = K.77,la paire de pôles complexes conjuguées dominantes s écrit p.77 = ω + jω. ω et K.77 doivent être solutions des équations ω( +j)( ω + jω)( ω + jω)( ω + j)+k = On obtient K etω.7.

77 doivent être solutions de l équation caractéristique en boucle fermée ω( +j)( jω +ω( +j) + )( ω + jω)( ω + jω)+kω( + j) = On obtient K.77. etω.

11 Axe imaginaire Axe reel - Le lieu des racines de G(p) est représenté ci-dessous Axe imaginaire Axe reel Pour K = K.77, la paire de pôles complexes conjuguées dominantes s écrit

.99.99 Axe imaginaire.99.99.9.9.9..7. Axe reel Pour K = K.

12 p.77 = ω+jω. ω et K.77 doivent être solutions de l équation caractéristique ω( +j)( ω+jω+)( ω+jω+)+k.77 (ω ( +j) +ω( +j)+) = On obtient K etω.9. - Le lieu des racines de G(p) est représenté ci-dessous Axe imaginaire Axe reel Pour K = K.77, la paire de pôles complexes conjuguées dominantes s écrit p.77 = ω+jω. ω et K.77 doivent être solutions de l équation caractéristique ( ω + jω) ( ω + jω +)( ω + jω +)+K.77 (ω ( +j) +)= Exercice : On obtient K.77. et ω.. (a) Pour A = K =, l équation caractéristique se factorise comme (p +.p)(p +)+/.N = (p +.p)(p +)+N = + = N (p +.p)(p +)

77, la paire de pôles complexes conjuguées dominantes s écrit p.77 = ω+jω. ω et K.

13 Axe imaginaire Axe reel (b) Pour N = et A =, on factorise l équation caractéristique comme (p +.p) + + (.K )p(p +.) = (p +.p + )+K p(p +.) = + = K p(p +.) p +.p + / Axe imaginaire Axe reel

14 Notes bibliographiques Le lieu des racines est traité de manière détaillée dans tous les manuels généraux et classiques d Automatique. Les ouvrages recommandés en bibliographie ont été regroupés suivant des catégories ayant trait à leur nature ou au sujet traité si ce dernier est particulièrement pertinent pour un des sujets du chapitre. - Articles fondateurs : article de W.R. Evans dans l ouvrage collectif [] ; - Manuels historiques : [], [], [], [], [], [], [9], [] ; - Manuels généraux : [], [7], [7], [], [9], [], [], [], [] ; - Manuels modernes : [], [], [], [], [], []. Références [] A. Abramovici and J. Chapsky. Feedback control systems : A fast-track guide for scientists and engineers. Kluwer Academic Publishers, Boston, Massachusetts, USA,. [] T. Basar, editor. Control theory, twenty-five seminal papers (9-9). IEEE press, Piscataway, New Jersey, USA,. [] B. M. Brown. The mathematical theory of linear systems. Chapman and Hall, London, UK, 9. []H.ChesnutandR.W.Mayer. Servomécanismes et régulation. Dunod, Paris, France, 97. [] R. C. Dorf and R. H. Bishop. Modern control systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, USA, 99. [] S. Engelberg. A mathematical introduction to control theory. perial College Press, Singapore, Singapore,. [7] G. F. Franklin, J. D. Powell, and A. Emami-Naeni. Feedback control of dynamic systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, USA, 9. [] B. Friedland. Control system design. Dover publications, Mineola, New York, USA, 9. [9] T. Glad and L. Ljung. Control theory : Multivariable and nonlinear methods. Taylorand Francis, New York, New York, USA,. [] G.C. Goodwin, S. F. Graebe, and M. E. Salgado. Control system design. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, USA,. [] I. M. Horowitz. Synthesis of feedback systems. Academic Press, London, UK, 9. [] H. M. James, N. B. Nichols, and R. S. Phillips. Theory of servomechanisms. McGraw-Hill book company, New York, New York, USA, 9. [] B. C. Kuo and F. Golnaraghi. Automatic control systems. John Wiley, New York, New York, USA,. [] J. R. Leigh. Control theory. MPG books LTD, Bodmin, UK,. [] A. G. O. Mutambara. Design and analysis of control systems. CRC press, Boca Raton, Florida, USA, 999. [] P. Naslin. Technologie et calcul pratique des systèmes asservis. Dunod, Paris, France, 9. [7] K. Ogata. Modern control engineering. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, USA, 99. [] R. Oldenburg and H. Sartorius. Dynamics of automatic control systems. Oldenburg, Munich, Allemagne, 9. [9] R. Pallu de la Barrière. Cours d automatique. Dunod, Paris, France, 9. [] W. J. Palm. Modeling, analysis and control of dynamical systems. John Wiley, New York, New York, USA,.

chapitre. - Articles fondateurs : article de W.R.

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