Ecole Polytechnique Macroéconomie avancée-eco 553 Chapitre 2 : Epargne, accumulation du capital et croissance

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1 Ecole Polytechnique Macroéconomie avancée-eco 553 Chapitre 2 : Epargne, accumulation du capital et croissance Pierre Cahuc Septembre 28 Table des matières 1 Le modèle de croissance néoclassique Le sentier de croissance optimal L équilibre décentralisé Politiques budgétaires et scales et équilibre macroéconomique Le mode de nancement des dépenses publiques Taxation distorsive Bibliographie 14 4 Annexe : Eléments d optimisation statique et dynamique Optimisation statique Maximum libre et maximum contraint La technique du Lagrangien Interprétation des multiplicateurs de Lagrange Résumé et guide pratique d optimisation statique Optimisation dynamique Le problème du contrôle optimal Les conditions du premier ordre Horizon in ni Calcul des variations Résumé et guide pratique de contrôle optimal

2 Introduction Ce chapitre présente le modèle de croissance néoclassique, connu sous le nom de modèle de Ramsey ou encore modèle de Cass Koopmans. Ce modèle est une extension du modèle de Solow, étudié dans le chapitre précédent. Contrairement au modèle de Solow où le taux d épargne est supposé exogène, le modèle de croissance néoclassique suppose que le comportement d épargne résulte d un comportement d optimisation des agents économiques. Ce modèle joue un rôle très important en macroéconomie, car il est utilisé pour étudier de très nombreux problèmes dynamiques, liés aux politiques scales et monétaires, à la taxation et aux cycles. Dans ce chapitre, nous commençons par étudier le modèle de croissance néoclassique dans une première section. Nous verrons ensuite, dans la section 2, comment ce modèle éclaire les conséquences des politiques budgétaires et scales. 1 Le modèle de croissance néoclassique Le modèle de Ramsey représente une économie avec un bien produit, consommé et accumulé sous forme de capital, ainsi que du travail, utilisé pour produire le bien consommé. Le bien consommé est le numéraire. Il y a un consommateur représentatif donc la durée de vie est in nie. L économie est supposée parfaitement concurrentielle. Nous commençons par traiter du cas, analysé par Frank Ramsey dès 1928, où un plani cateur maximise l utilité de l agent représentatif. Ses décisions d épargne et d investissement sont, par dé - nition, socialement optimales. Dans un second temps, nous montrons l équivalence du sentier optimal choisi par le plani cateur, avec celui d une économie décentralisée de concurrence parfaite. 1.1 Le sentier de croissance optimal La population L t croît au taux n ; elle peut être conçue comme un ménage, ou un grand nombre de ménages identiques, dont la taille croît au cours du temps. La population active est égale à la population totale. Chaque individu o re inélastiquement une unité de travail par unité de temps. Le temps est continu. Il y a un bien numéraire et du travail. Il n y a pas de progrès technique. La production est soit consommée soit investie. Formellement, en notant Y la production, K le capital et C la consommation : Y t = F (K t ; L t ) = C t + _ K t (1) où F est une fonction de production néoclassique à rendements constants. On note k = K=L le ratio capital travail et f(k) = F (K; L)=L = F (k; 1): f est strictement concave, f() =, et véri e les conditions d Inada : f () = +1; f (+1) = : On note k > le stock de capital initial. On peut écrire l équation (1) en termes par tête, soit en notant c = C=L, comme _ K = _ kn + _ NK; on obtient Y t = f(k t ) = + _ k t + nk t (2) Les préférences sont représentées par l intégrale des utilités : U s = Z +1 s u( )e (t s) dt: Le bien-être du ménage représentatif à la date s; U s ; est la somme actualisée des utilités instantanées u( ) qui dépendent de la consommation par tête = C t =L t : La fonction d utilité instantanée u est concave et strictement croissante. Le paramètre > représente le taux de préférence pour le présent, ou encore le facteur d escompte. 2

3 Le programme du plani cateur Un plani cateur central maximise, à la date t = ; le bien-être du ménage en décidant de sa consommation et de son investissement. Le programme d optimisation du plani cateur s écrit sous contrainte max U = fk t;g t Z +1 u( )e t dt _k t = f(k t ) nk t ; (3) k donné, k t ; pour tout t: La solution optimale s obtient en maximisant le Hamiltonien 1 H t = u( )e t + t [f(k t ) nk t ] où la variable t est le multiplicateur associé à la contrainte (3), ou encore la variable de co-état associée avec la variable d état k t : t représente la valeur marginale évaluée à la date d un accroissement d une unité de capital à la date t: Il souvent plus commode de travailler avec la valeur marginale évaluée à la date t; d un accroissement d une unité de capital à la même date. En notant t = t e t ; on peut ré-écrire le Hamiltonien sous la forme : H t = fu( ) + t [f(k t ) nk t ]g e t Les conditions nécessaires et su santes (étant données les hypothèses sur les fonctions u et f) pour dé nir un sentier optimal pour k et c s écrivent, pour tout = ; _ t t ; lim k t t = : En utilisant la dé nition de H et en remplaçant par on obtient L élimination de t des équations (4) et (5) donne : ou encore u ( ) = t ; (4) _ t = t + n f (k t ) ; (5) lim k tu ( )e t = : (6) d[u ( )]=dt u ( ) _ = + n f (k t ) ct u ( ) u = + n f (k t ) (7) ( ) L expression u ( )=u ( ) représente la courbure de la fonction d utilité. On constate que c est l élasticité de l utilité marginale par rapport à la consommation. Si l utilité est linéaire, cette élasticité est nulle. Il est aussi intéressant de noter que cette expression est reliée à l élasticité de substitution intertemporelle. Pour le constater, rappelons que l élasticité de substitution entre la consommation de deux 1 Voir l annexe du présent chapitre qui contient des éléments d optimisation dynamique. 3

4 biens c s et dont les prix sont notés respectivement p s et p t est par dé nition la valeur absolue de la variation relative du rapport c s = divisée par la variation relative du rapport p s =p t : ( ) = d(c s=) c s= : d(p s=p t) p s=p t On obtient, en utilisant l égalité du taux marginal de substitution au rapport des prix : ( ) = u (c s )=u ( ) c s = d(c s = ) d[u (c s )=u ( )] On peut calculer la limite de cette expression lorsque c s! en remarquant qu un développement limité au voisinage de donne u (c s ) u ( ) d u ' dc s ( ) u ( ) ; d cs ' dc s : Soit en substituant dans la dé nition de ( ) lorsque c s! : ( ) = u ( ) u ( ) qui correspond à l inverse de la valeur absolue de l élasticité de l utilité marginale. En utilisant la dé nition de ( ); l équation (7) s écrit : _ = ( ) f (k t ) n (8) L équation (8) (ou indi éremment (7)) est l équation d Euler. C est l équation di érentielle qui décrit une condition nécessaire pour que c et k soient sur un sentier optimal. Le choix optimal correspond à l égalité du taux marginal de transformation du bien numéraire entre deux dates au taux marginal de substitution de ce même bien. Cette condition est aussi connue sous le nom de règle de Keynes- Ramsey. Elle indique que la consommation augmente d autant plus que la productivité marginale du capital (nette de la croissance de la population) est plus grande que le taux de préférence pour le présent. En e et, il est plus rentable de réduire aujourd hui sa consommation pour consommer plus dans le futur lorsque le rendement du capital est plus élevé. L équation (8) montre que la consommation est plus sensible à la di érence entre la productivité marginale du capital et le taux de préférence pour le présent lorsque (c) est plus élevée. Il est intéressant de noter que deux spéci cations de la fonction d utilité couramment utilisées en économie aboutissent à des expressions simples de la relation d Euler. La fonction CRRA (Constant Relative Risk Aversion) : u(c) = c1 pour > ; 6= 1 1 u(c) = ln c pour = 1 où désigne le coe cient relatif d aversion au risque ( cu (c)=u c)), implique la forme suivante : _ = 1 f (k t ) n où = 1= ne dépend pas de la consommation. Les nombreux travaux empiriques qui ont estimé la valeur de trouvent généralement une valeur légèrement supérieure à 1 (de l ordre de 1,5). 4

5 La fonction CARA (Constant Absolute Risk Aversion) : u(c) = e c où est le coe cient absolu d aversion pour le risque ( _ = 1 ; > ; f (k t ) n : u (c)=u c))., aboutit à Il faut remarquer l importance de la condition de transversalité, qui s écrit : lim k t t = lim k t u ( )e t = : (9) Elle correspond à une condition terminale qui a une interprétation plus naturelle lorsque l horizon est ni, de date T: Dans ce cas, la condition de transversalité, qui s écrit k T u (c T )e T = ; indique simplement qu il n est pas optimal de conserver un stock de capital positif si l utilité marginale de la consommation est positive à la date terminale. La condition de transversalité lorsque l horizon est in ni peut s interpréter comme la limite de cette condition lorsque T devient très grand. La solution stationnaire On peut à présent déterminer les valeurs d équilibre stationnaire de la consommation et du capital par tête. En posant _c = dans l équation (8), on obtient f (k ) = + n: (1) La productivité marginale du capital est égale à la somme du taux de préférence pour le présent et du taux de croissance de la population. En posant _ k t = dans la contrainte (3), la consommation par tête s écrit c = f(k ) nk : La condition (1) est la règle d or modi ée, en référence à la règle d or, f (k) = n, qui maximise la consommation par tête à l état stationnaire. La règle d or modi ée implique que le stock de capital est plus faible qu avec la règle d or, car la préférence pour le présent implique qu il n est pas optimal de réduire la consommation courante jusqu à un point où l on atteint un niveau de consommation maximal à l état stationnaire. Le sentier de croissance optimal La dynamique de (k t ; ) est dé nie par les équations (3), (8), la condition de transversalité (9) et par la condition initiale k : Soit : _k t = f(k t ) nk t (11) lim tu ( )e t = (12) _ = ( ) f (k t ) n (13) k donné 5

6 c c * k * k Fig. 1 La dynamique du capital et de la consommation. Tous les points k t > ; ; sont admissibles. La contrainte (3), _ k = f(k) c nk; implique que _ k = pour tous les couples (k; c) tels que c = f(k) nk ce qui donne une courbe qui passe par l origine, qui atteint un maximum pour f (k) = n et décroît ensuite continûment en coupant l axe des abscisses lorsque f(k) = n: En outre, k _ est positif (resp. négatif) en tout point situé sous (resp. au dessus de) la courbe c = f(k) nk: L équation (8), _ct = ( ) [f (k t ) n ] ; implique que _c = pour tous les couples (k; c) tels que f (k) = n + ce qui donne une droite verticale. En outre, _ > en tout point situé à gauche de cette droite. Le diagramme des phases, représenté sur la gure 1, montre donc que l équilibre stationnaire, c > ; k >, a une con guration de point selle. Toute valeur initiale de k et c située au dessus de la trajectoire qui passe par le point c > ; k > coupe l axe des ordonnées, ce qui correspond à une valeur nulle de k; en ce point c doit sauter à une valeur c = ; ce qui est incompatible avec la condition (8). De telles trajectoires ne sont donc pas admissibles. Toute valeur initiale de k et c située au dessous de la trajectoire qui passe par le point c > ; k > converge vers le point c = et k tel que f (k) = + n; ce qui est incompatible avec la condition de transversalité lim k t u ( )e t = ; de telles trajectoires sont donc inadmissibles. La seule trajectoire admissible est donc la trajectoire qui passe par le point d équilibre stationnaire c > ; k > : La trajectoire optimale peut donc être décrite de la manière suivante : à la date t = ; le stock de capital initial est égal à k ; et la consommation saute sur la trajectoire qui passe par le point c > ; k > : La consommation et le capital convergent ensuite de façon monotone vers leur valeur stationnaire. On peut montrer formellement que l équilibre stationnaire a une con guration de point selle en 6

7 linéarisant le système d équations (3), (8) au voisinage de l état stationnaire. La linéarisation donne _c = (k k ); avec = f (k )c (c ) > _k = [f (k ) n](k k ) (c c ) = (k k ) (c c ): En dérivant la seconde équation par rapport au temps et en utilisant la première on obtient d 2 k dt = _ k + (k k ): Les racines de l équation caractéristique associée avec cette équation di érentielle du second-ordre sont 1 2p 2 4: Il y a donc deux racines réelles, dont une négative et l autre positive, ce qui correspond à la propriété de point selle. Il est aussi possible de connaître la vitesse de convergence du stock de capital par tête vers sa solution stationnaire. Notons la racine négative, la solution pour k t est k t = k + (k k )e t : La vitesse de convergence est donc donnée par la valeur absolue de, qui croît avec l élasticité de substibution intertemporelle. En e et, plus cette dernière est élevée et plus les agents sont près à sacri er une consommation importante aujourd hui (en supposant k < k ) pour atteindre plus rapidement l état stationnaire. 1.2 L équilibre décentralisé On analyse maintenant l équilibre de concurrence parfaite de l économie étudiée jusqu à présent. Il y a un marché du travail et un marché du capital. On note w t le taux de salaire et r t le taux d intérêt. La production est réalisée par une entreprise représentative (l hypothèse de rendements constants implique que l équilibre ne dépend pas du nombre d entreprises tant que la concurrence est supposée parfaite) qui peut louer le capital et le travail aux ménages. Les ménages détiennent une richesse composée de titres nanciers qui peuvent être des reconnaissances de dette des entreprises ou d autres ménages. Les ménages sont indi érents à la composition de leur richesse, car les rendements de tous les placements sont supposés égaux à r t : Chaque ménage, qui peut être créditeur ou débiteur net, décide à chaque instant du montant de consommation et donc d épargne. Les ménages et les entreprises ont des anticipations rationnelles. On peut écrire le programme de maximisation du ménage représentatif en notant a t la richesse par membre du ménage à la date t: Notons fw t ; r t g ; t 2 [; 1[ la séquence des salaires et des taux d intérêt. Le programme du ménage représentatif s écrit sous la contrainte budgetaire avec max U s = Z 1 s u( )e (t s) dt _a t = w t + r t a t na t pour tout t; k donné (14) k t = a t + b t où b t désigne l endettement du ménage représentatif, puisque la richesse du ménage est égale au capital loué à l entreprise diminuée de son endettement. 7

8 Avant de résoudre ce problème de maximisation, il est important de remarquer qu il n y a pas de contrainte de non négativité sur la richesse des ménages. Or, si chaque ménage peut emprunter sans limite, il existe une incitation à s endetter à l in ni. Dans ce contexte, un ménage peut soutenir n importe quel niveau de consommation constant au cours du temps en augmentant indé niment son endettement. En e et, il est possible de nancer un euro de consommation en t avec un emprunt, et de réemprunter à la date suivante pour nancer un euro de consommation plus le remboursement de l emprunt, égal à r t. Il faut alors emprunter 1+r t euro en t+1 pour nancer un euro de consommation à cette date, et emprunter (1+r t )(1+r t+1 ) euro pour nancer un euro de consommation en t+2:::si le taux d intérêt est constant, égal à r; on constate qu il est possible de nancer un euro de consommation sur une durée in nie par un endettement qui croît au taux r: Ainsi, un ménage peut consommer une quantité in nie si son endettement peut croître au même taux que le taux d intérêt. Il est donc nécessaire d introduire une condition supplémentaire qui empêche les ménages de s endetter à l in ni de la sorte. Néanmoins, imposer toute possibilité d endettement en imposant une contrainte de dette non négative à tout instant serait irréaliste. Une condition naturelle, connue sous le nom de No-Ponzi game condition, consiste à imposer que la dette augmente asymptotiquement moins vite que le taux d intérêt (net du taux de croissance de la taille de la population pour le ménage représentatif 2 ) : lim a te (rs n)ds : (15) Comme il n est pas optimal de conserver une richesse qui croît à un taux plus grand que r s n à l in ni dès lors que l utilité marginale de la consommation est positive (c est la condition de transversalité du programme de maximisation du ménage), cette condition peut s écrire sous forme d égalité lim a te (rs n)ds = : (16) Il est intéressant de noter que cette condition implique que la valeur présente de la consommation est égale à la richesse. Pour le montrer on peut intégrer la contrainte de budget (14) entre et T: On intègre la contrainte de budget (14) entre et T: On obtient En remarquant que on peut ecrire (17) sous la forme [ _a t (r t n)a t ]dt = R T h [ _a t a t (r t n)]e t (rs n)ds R T dt = a t e t (rs n)dsi T a T a (r t n)er T (rs n)ds = En multipliant chaque coté par e R T (r s n)ds ; on obtient R T a T e (r s n)ds a = (w t )dt: (17) R T (w t )e t (rs n)ds dt (w t )e (rs et en faisant tendre T vers l in ni, on obtient, avec la condition (16) : Z 1 e n)ds dt (rs n)ds dt = h + a (18) 2 Notons B la dette du ménage et b = B=L celle d un membre du ménage composé de L membres. La condition _B=B < r implique b=b _ < r n; où n = L=L _ désigne le taux de croissance du nombre de membres du ménage. 8

9 où h = R 1 w t e rsds dt désigne le capital humain, égal à la somme actualisée des revenus du travail. h + a représente la richesse du ménage, égale à la somme de son capital humain et de son capital nancier Le programme d optimisation du ménage peut se résoudre avec la même méthode que celle utilisée pour le plani cateur. Les conditions du premier ordre du programme du ménage s écrivent _ ct u ( ) u = + n f (k t ); ( ) soit avec la condition de transversalité _ = ( )[r t n] avec ( ) = u ( ) u ( ) (19) lim a te (rs n)ds = : (2) La condition (19) est l équation d Euler similaire à celle obtenue comme solution du programme du plani cateur. C est l équation di érentielle qui décrit une condition nécessaire pour que la consommation du ménage soit sur un sentier optimal. Le choix optimal correspond à l égalité du taux marginal de susbtitution entre les dates t et t + s; au taux de rendement (net de la croissance de la population) du capital entre ces mêmes dates. Cette condition indique que la consommation croît d autant plus que le taux d intérêt est grand par rapport au taux de préférence pour le présent. Pour déterminer le taux d intérêt, il faut examiner la demande de capital (l épargne du ménage correspond à une o re de capital), soit, en d autres termes, l investissement de l entreprise. L entreprise maximise son pro t max fk t;l tg F (K t; L t ) w t L t r t K t ce qui donne, en notant k t = K t =L t et f(k t ) = F (k t ; 1); les conditions du premier ordre : f (k t ) = r t (21) f(k t ) k t f (k t ) = w t : (22) A l équilibre, l endettement net privé agrégé est nécessairement nul. L égalité entre l épargne et l investissement s écrit donc a t = k t : En utilisant les relations (14), (21), (22) et (19) ainsi que la condition de transversalité (2), on obtient _k t = f(k t ) nk t (23) lim tu ( )e t = (24) _ = ( ) f (k t ) n (25) k donné ce qui correspond exactement au sentier dé ni par le plani cateur social. L équilibre décentralisé aboutit donc à une allocation socialement optimale. 9

10 2 Politiques budgétaires et scales et équilibre macroéconomique On suppose à présent que l économie doit nancer des dépenses publiques, dont le montant est égal à g unités de bien numéraire par unité de temps. Par souci de simplicité, on néglige l impact des dépenses publiques sur les préférences du ménage représentatif et on suppose que le taux de croissance de la population est nul. Nous commençons par considérer une situation où les taxes sont non distorsives (elles sont prélevées sous forme forfaitaire, indépendamment du revenu de l agent représentatif) et nous analysons les conséquences de di érents modes de nancement des dépenses publiques. Nous étudions ensuite les conséquences d une politique budgétaire nancée par une taxe distorsive. 2.1 Le mode de nancement des dépenses publiques L objet de cette sous-section est de comparer les conséquences de deux modes de nancement des dépenses publiques : la taxation et l endettement. Dans un premier temps, on suppose que les dépenses de l Etat sont entièrement nancées, à chaque date par des taxes payées par le ménage représentatif et notées t : Il n y a donc pas d endettement de l Etat. La contrainte budgétaire instantanée du ménage représentatif à toute date t s écrit à présent _a t = w t + r t a t t En intégrant la contrainte de budget, on peut écrire, comme prédemment, en utilisant la No-Ponzi game condition R lim a t te rsds = : (26) la contrainte budgétaire intertemporelle du ménage Z 1 e rsds dt = h + a G (27) où h = R 1 w t e rsds dt désigne le capital humain. Comme à chaque date on a t = g t ; on a G = R 1 g t e rsds dt: h + a G représente la richesse du ménage, égale à la somme de son capital humain et de son capital nancier diminuée de la somme actualisée des prélèvements scaux égale à la somme actualisée des dépenses de l Etat. Une hausse de la dépense publique correspond donc à une baisse de la richesse du ménage. Les conditions du premier ordre du programme du ménage s écrivent _ = ( )[r t ] avec ( ) = u ( ) u ( ) (28) lim a te rsds = : (29) L entreprise maximise son pro t max fk t;l tg F (K t; L t ) w t L t r t K t 1

11 ce qui donne, en notant k t = K t =L t et f(k t ) = F (k t ; 1); les conditions du premier ordre : f (k t ) = r t (3) f(k t ) k t f (k t ) = w t : (31) On peut à présent déterminer le système d équations qui dé nit les valeurs d équilibre de k t et pour t : A l équilibre, l endettement net privé agrégé est nécessairement nul. On a donc a t = k t : En utilisant les relations (36), (3), (31) et (28) ainsi que la condition de transversalité (29), on obtient _k t = f(k t ) g t (32) lim tu ( )e t = (33) _ = ( ) f (k t ) (34) k donné Supposons g constant au cours du temps. On peut calculer l impact d un accroissement de g sur le stock de capital et la consommation à l équilibre stationnaire. En utilisant les équations précédents, l équilibre stationnaire s écrit f (k) = c = f(k) g: Il apparaît que les dépenses publiques évincent la consommation privée et n ont aucun impact sur le stock de capital. Ceci est bien sûr lié à l hypothèse selon laquelle l utilité marginale de la consommation privée est indépendante de la dépense publique. On suppose à présent que l Etat nance ses dépenses par endettement et par des taxes toujours notées t. On note b t la dette de l Etat et _ b t sa dérivée par rapport au temps. La contrainte budgétaire instantanée de l Etat à la date t s écrit _b t = g t t + r t b t La contrainte budgétaire instantanée et la No-Ponzi game condition de l Etat, lim b te rsds = : (35) permettent d écrire la contrainte budgétaire intertemporelle de l Etat : b = Z 1 ( t g t )e rsds dt Cette équation montre que l Etat doit choisir une suite de dépenses et de recettes qui lui permet de rembourser sa dette initiale. La contrainte budgétaire instantanée du ménage représentatif à la date t à la même forme que dans le cas précédent _a t = w t + r t a t t pour tout t; a donné (36) avec a t = k t + b t 11

12 puisque la richesse du ménage est égale au capital loué à l entreprise et à sa détention de titres émis par l Etat. La contrainte budgétaire intertemporelle du ménage représentatif s écrit donc Z 1 e R Z t 1 rsds dt = h + b + k t e rsds dt En utilisant les contraintes budgétaires intertemporelles du ménage représentatif et de l Etat, on peut montrer qu un accroissement des dépenses publiques a le même impact sur la consommation des ménages et sur le stock de capital indépendamment du sentier de la dette publique. b = Z 1 ( t g t )e rsds dt En consolidant les contraintes budgétaires intertemporelles du ménage représentatif et de l Etat, on peut écrire la contrainte intertemporelle du ménage représentatif de la manière suivante : Z 1 e R 1 t r sds dt = h + k G (37) qui est identique à l équation (27) avec a = k. Ainsi, un sentier donné des dépenses publiques a un impact identique sur la consommation des ménages et sur l évolution du stock de capital quel que soit le mode de nancement, par endettement public ou par taxes. C est la propriété de neutralité du nancement de la dette publique, connu sous le nom de Ricardo équivalence ou de Barro équivalence. Cette propriété repose sur l hypothèse d agents rationnels, optimisant sur un horizon in ni dans un environnement où les marchés sont parfaitement e caces. Dans les faits, ces hypothèses ne sont pas remplies, et le mode de nancement de la dette n est pas neutre. N 2.2 Taxation distorsive Nous avons supposé dans le cas précédent que les dépenses publiques sont nancées par des prélèvements forfaitaires. Dans les faits, les taxes sont des fonctions des revenus du capital et/ou du travail. Dans notre modèle, l o re de travail est exogène, puisque chaque agent o re une unité de travail par unité de temps indépendamment du niveau du salaire. Il n est donc pas possible d étudier les conséquences de taxes distorsives sur le revenu du travail. Pour le faire, il faudrait introduire des comportements d o re de travail en considérant les artibrages entre consommation et loisir (voir Barro et Sala-i-Martin, 23). En revanche, nous pouvons étudier les conséquences de taxes distorsives sur le capital. Nous notons à présent le taux de taxation sur le revenu du capital, de telle sorte que le revenu net du capital, après paiement de la taxe est (1 )r t. A n d isoler les e ets de la distortion induite par la taxe sur le capital, nous supposons que les revenus de cette taxe sont reversés sous forme forfaitaire au ménage représentatif. La contrainte budgétaire instantanée du ménage représentatif à la date t s écrit à présent _a t = w t + r t (1 )a t + f t pour tout t; a donné, (38) où f t désigne le montant forfaitaire redistribué. La maximisation de l utilité du ménage sous la contrainte budgétaire implique _ = ( ) [r t (1 ) ] Comme la maximisation du pro t implique toujours l égalité entre la productivité marginale du capital et le taux d intérêt, le système d équations qui dé nit les valeurs d équilibre de k t et pour t s écrit 12

13 c dc/dt= c* c * dk/dt= k* k* k Fig. 2 Les conséquences de la taxation du capital (le capital par tête stationnaire passe de k à k lorsque la taxe passe de = à = > ): _k t = f(k t ) g t (39) lim tu ( )e t = (4) _ = ( ) f (k t )(1 ) (41) k donné A l équilibre stationnaire, le stock de capital par tête véri e f (k) = 1 : Il diminue avec le taux de taxe du fait de la concavité de la fonction f: Par conséquent, la consommation par tête de l état stationnaire décroît avec le taux de taxe : La dynamique induite par un accroissement de la taxe est représentée sur la gure 2. Si l on suppose que l économie est à l état sationnaire (k ; c ); un accroissement non anticipé du taux de taxe conduit à un nouvel état stationnaire (k ; c ): La consommation augmente instantanément en sautant sur la trajectoire stable à l instant ou la taxe est augmentée. La consommation diminue ensuite progressivement tout comme le stock de capital. 13

14 3 Bibliographie Barro, R. et Sala-I-Martin, X. (23), Economic Growth, 2nd edition, McGraw-Hill Advanced Series in Economics. Blanchard, O. et Fischer, S., (1989), Lectures on Macroeconomics, MIT Press. Gandolfo, G. (1997), Economics Dynamics, Springer Verlag. Michel, P. (1982), On the transversality condition in in nite horizon optimal problems, Econometrica, 5(4), pp Ramsey, F., (1928), A Mathematical Theory of Saving, Economic Journal,, 38, pp Takayama, M. (1986), Mathematical Economics, Cambridge University Press, 2ème édition. Varian, H. (1992), Microeconomic Analysis, Norton, New-York, 3ème édition. 14

15 4 Annexe : Eléments d optimisation statique et dynamique 4.1 Optimisation statique Dans cette Annexe, nous établissons de manière heuristique les résultats qu il est bon de connaître pour résoudre un problème d optimisation statique. Pour un exposé plus complet et plus rigoureux, il est conseillé de se reporter, par exemple, à Takayama (1986), Gandolfo (1997) ou Varian (1992, Chapitre 27) Maximum libre et maximum contraint En économie, de nombreux problèmes d optimisation se présentent sous la forme : Sous la contrainte : Max U(C 1; ::; C n ) (42) (C 1 ;::;C n) (C 1 ; ::; C n ) R (43) Dans cette inégalité, U et sont des fonctions deux fois continument di érentiables de R n dans R: Le critère U représente, par exemple, l utilité d un consommateur et les variables (C 1 ; ::; C n ) sont alors ses consommations des divers biens. Selon cette interprétation, le paramètre R désigne le revenu du consommateur et l inégalité (43) s identi e à sa contrainte budgétaire. Dans un premier temps, faisons abstraction de la contrainte (43) et considérons simplement le maximum libre du probème (42). Ses solutions, notées C i pour i = 1; ::; n; véri ent les équations = pour i = 1; ::; n (44) Pour que le vecteur (C 1 ; ::; C n) soit une solution du problème (42) contraint par la relation (43), il faut que (C 1 ; ::; C n) R: Si cette inégalité n est pas véri ée, il est certain que la contrainte (43) sera saturée à l optimum du problème (42) et s écrira donc (C 1 ; ::; C n ) = R: Admettons qu à partir de cette dernière égalité on puisse exprimer la variable C 1 en fonction du vecteur (C 2 ; ::; C n ); soit C 1 = (C 2 ; ::; C n ): Le problème (42) devient ainsi : Max U [ (C 2; ::; C n ); C 2 ; ::; C n ] (C 2 ;::;C n) Les solutions ( C 2 ; ::; C n ) de ce problème sont alors dé nies implicitement par les équations : Avec @C 1 = pour i = 2; ::; n (45) C 1 ( C 2 ; ::; C n ) () ( C 2 ; ::; C n ); C 2 ; ::; C n R (46) La dérivation de la seconde égalité apparaissant dans (46) = = 1 ), et en reportant cette dernière relation dans (45) on trouve que le vecteur ( C 1 ; ::; C n ) est caractérisé @ 8i = 1; ::; n; avec ( 1 ; ::; C n ) = R (47) 1 15

16 Les relations (44) et (45) s appellent les conditions du premier ordre du problème de maximisation (42) sous la contrainte (43). Ce sont des conditions nécessaires pour que le vecteur (C 1 ; ::; C n) ou le vecteur ( C 1 ; ::; C n ) soient e ectivement un maximum local du problème (42). Elles deviennent su santes lorsque les fonctions U et sont concaves La technique du Lagrangien Le Lagrangien L relatif au problème (42) sous la contrainte (43) est dé ni par : L(C 1 ; ::; C n ; ) = U(C 1 ; ::; C n ) + [R (C 1 ; ::; C n )] La variable s appelle le multiplicateur de Lagrange (ou de Kuhn et Tucker) associé à la contrainte (43). Nous allons montrer que l on retrouve les conditions du premier ordre (44) et (45) en annulant les dérivées partielles du Lagrangien par rapport aux variables C i, soit ) = pour tout i = 1; ::; n; et en tenant compte de la condition dite de complémentarité (ou d exclusion) : On a ainsi : [R (C 1 ; ::; C n )] = avec = 8i = 1; ::; n (49) Si la contrainte budgétaire n est pas saturée, on a R > (C 1 ; ::; C n ) et la relation d exclusion (48) impose alors = : Dans ce cas, l équation (49) est identique à la condition du premier ordre (44) pour un maximum libre du problème (42). En revanche, si la contrainte (43) est saturée, on a R = (C 1 ; ::; C n ) et (49) implique 1 ) = 1 ): En éliminant le multiplicateur entre cette dernière égalité et la relation (49) pour i 6= 1; on retrouve les conditions du premier ordre (47) pour un optimum contraint Interprétation des multiplicateurs de Lagrange Le multiplicateur s interprète assez simplement en considérant les variations de la valeur optimale du critère U(C 1 ; ::; C n ) lorsque le paramètre R se modi e. Supposons que la contrainte budgétaire (43) soit saturée, on a alors : = 1 En utilisant cette dernière égalité et les conditions du premier ordre (49), on = = = Le multiplicateur de Lagrange représente donc l accroissement de l objectif U(C 1 ; ::; C n ) lorsque la contrainte (43) est relachée d une unité. Il mesure en quelque sorte le poids de cette contrainte, c est pourquoi il est encore appelé prix ctif ou prix implicite de la contrainte budgétaire (43). Si cette dernière n est pas saturée, son prix implicite est alors nul puisque la condition d exclusion (48) impose = : 16

17 4.1.4 Résumé et guide pratique d optimisation statique Si l on est confronté à un problème de la forme : Sous les contraintes : Max U(C 1; ::; C n ) (5) (C 1 ;::;C n) j (C 1 ; ::; C n ) R j ; j = 1; ::; m (51) On peut suivre la procédure décrite ci-dessous. 1) On attribue un multiplicateur j à chaque contrainte (51) et on écrit le Lagrangien : nx L = U(C 1 ; ::; C n ) + j [R j j (C 1 ; ::; C n )] 2) On annule les dérivées du Lagrangien par rapport aux variables de choix C i ; soit : mx j=1 j = ; pour i = 1; ::; n (52) 3) On écrit les conditions de complémentarité : j [R j j (C 1 ; ::; C n )] = avec j ; 8j = 1; ::; m (53) 4) Les conditions du premier ordre du problème (42) s obtiennent en éliminant les multiplicateurs de Lagrange j entre les relations (52) et (53). 5) Les relations (52) et (53) sont des conditions nécessaires d optimalité. La solution doit aussi véri er les conditions du second ordre pour être un maximum. Les conditions du second ordre sont véri ées si les fonctions U(C 1 ; ::; C n ) et j (C 1 ; ::; C n ) sont concaves. Des précisions sur les conditions du second ordre peuvent être trouvées dans l ouvrage de Takayama (1986) 4.2 Optimisation dynamique Comme dans l Annexe précédente, nous ne ferons pas ici un exposé exhaustif. Nous présentons de manière intuitive les résultats et les techniques qu il faut connaître lorsque l on doit a ronter un problème d optimisation dynamique. Pour une approche plus rigoureuse le lecteur peut se reporter à Takayama (1986, Chapitre 5 et 8) et à l Annexe mathématique de l ouvrage de Barro et Sala-I-Martin (23) dont nous nous inspirons largement. 17

18 4.2.1 Le problème du contrôle optimal En économie, les problèmes d optimisation dynamique en temps continu se présentent le plus souvent sous la forme : Avec les contraintes : Max U [K(t); C(t); t] dt (54) C(t) _K(t) = G [K(t); C(t); t] (55) K() = K donné (56) K(T ) (57) Le paramètre T représente la date terminale qui peut être eventuellement in nie. La variable K(t) est la variable d état, elle sert à décrire l évolution du système étudié. La variable C(t) est la variable de contrôle, elle s identi e dans la majorité des problèmes aux décisions prises par un agent. Le critère instantané U est en général une fonction décrivant l utilité d un consommateur, ou le pro t d une entreprise ou les arbitrages du gouvernement. Comme le programme (54) consiste à trouver les variables de contrôle qui rendent maximal un objectif intertemporel bien spéci é, ce programme est encore quali é de problème de contrôle optimal. L équation (55) décrit les interactions entre les variables de contrôle et les variables d état, elle porte le nom d équation de transition. Elle peut, par exemple, décrire l accumulation du capital au sein d une entreprise. L égalité (56) précise la condition initiale, elle énonce que la valeur K() de la variable d état à la date initiale t = est une donnée K : En n, l inégalité (57) est une condition terminale qui impose que la valeur nale K(T ) de la variable d état soit positive ou nulle. Elle veut dire, par exemple, qu un agent n a pas le droit de laisser des dettes à ses descendants Les conditions du premier ordre Nous allons établir de manière plus intuitive que rigoureuse les conditions du premier ordre du problème (54). Pour cela nous allons nous appuyer sur la technique des multiplicateurs de Lagrange développée dans l Annexe A consacrée à l optimisation statique. Associons à chaque date t un multiplicateur (t) pour l équation de transition (55). Associons également un multiplicateur à la condition terminale (57). Dans ce contexte, (t) porte le nom de multiplicateur dynamique ou de variable adjointe. Le Lagrangien du problème (54) s écrit alors de la façon suivante : L = n U [K(t); C(t); t] dt + (t) G [K(t); C(t); t] o _K(t) dt + K(T ) Cette expression se distingue d un Lagrangien statique par l apparition de la dérivée _ K(t) de la variable d état. Il est possible d éliminer cette dérivée en intégrant par parties le terme où se trouve _K(t): On a ainsi : (t) _ K(t)dt = [(t)k(t)] T K(t) _ (t)dt Après quelques regroupements, le Lagrangien prend alors la forme : 18

19 L = fu [K(t); C(t); t] + (t)g [K(t); C(t); t]g dt + K(t) (t)dt _ + ()K [(T ) ] K(T ) La fonction H = U + G apparaissant dans la première intégrale du Lagrangien s appelle le Hamiltonien du problème (54). Par analogie avec le problème statique étudié dans l Annexe A, les conditions du premier ordre s obtiennent en annulant les dérivées du Lagrangien L par rapport aux variables C(t) et K(t) pour tout t compris entre et T: On trouve ) + _ (t) ) + _ (T ) + (T ) = (6) La condition (58) porte le nom de Principe du Maximum. Elle indique, qu à l optimum, la dérivée du Hamiltonien par rapport à la variable de contrôle doit être nulle pour tout t: L ensemble constitué des équations de transition (55) et de la condition (59), s appelle les équations d Euler. En n, l égalité (6) exprime la condition terminale du problème d optimisation. Or, on a vu dans l Annexe A que les solutions optimales doivent véri er les conditions de complémentarité (48). Ces conditions imposent ici en particulier K(T ) = : Par continuité, la relation (59) est vraie en t = T: A l aide de (6), on obtient alors la condition de transversalité : (T )K(T ) = (61) Par analogie avec le cas statique, le multiplicateur (t) s interprète comme le prix ctif, évalué à la date t =, d une unité supplémentaire de la variable d état à la date t: La condition de transversalité (61) signi e ainsi que si à la date terminale K(T ) est strictement positif, son prix ctif est nécessairement nul. A l inverse, si (T ) > ; le stock nal K(T ) est alors égal à Horizon in ni On passe du problème (54) en horizon ni au problème en horizon in ni en faisant tendre la date terminale T vers l in ni. L équation d accumulation (55) et la condition initiale (56) ne sont pas modi ées, mais la condition terminale (57) s écrit maintenant : lim K(t) t!+1 Les conditions du premier ordre (58) et (59) restent inchangées, mais en faisant T! +1 dans (61) la condition de transversalité prend désormais la forme : lim [(t)k(t)] = (62) t!+1 Si, par exemple, K(t) représente un stock de capital croissant au taux g constant, la relation (62) implique que la variable adjointe c est-à-dire le prix ctif du capital doit tendre vers à un taux supérieur à g: En fait, malgré son caractère intuitif, Michel (1982) a montré que les solutions du problème d optimisation dynamique en horizon in ni n étaient pas obligées de satisfaire l égalité (62). La véritable condition de transversalité serait lim H(t) = ; l équation (62) étant cependant t!+1 19

20 une condition su sante. Dans la majorité des problèmes rencontrés en économie, il est assez facile de s assurer que la condition (62) est véri ée Calcul des variations On rencontre parfois des problèmes d optimisation dynamique ayant la forme particulière : h Max U K(t); _ i K(t); t dt (63) K(t) Où les seules contraintes sont les conditions initiales et terminales (56) et (57). Il peut s agir, par exemple comme au Chapitre 2, de la maximisation du pro t intertemporel d une entreprise subissant des coûts d ajustement liés aux variations _K(t) de la variable d état. On fait souvent référence au programme (63) comme étant un problème de calcul des variations. Formellement, on passe du problème de contrôle optimal (54) au problème de calcul des variations (63) en considérant que l équation de transition (55) s écrit simplement K(t) _ = C(t). Dans ce cas le Hamiltonien du problème (54) est donné par H = U + C; et le Principe du Maximum (58) implique : L équation d Euler (59) s écrit @K(t) + _ (t) + (t) @K(t) + _ (t) = En dérivant la relation (64) par rapport à t et en se rappelant que C(t) = K(t); _ il vient : K(t) _ + (t) _ = En éliminant (t) _ entre les deux dernières équations, on trouve = K(t) _ Cette condition, qui porte également le nom d équation d Euler, fournit une équation di érentielle caractérisant la trajectoire optimale de la variable K(t): Les conditions de transversalité (61) et (62) restent valides Résumé et guide pratique de contrôle optimal Considérons le problème d optimisation dynamique comportant n variables de contrôle C 1 (t); ::; C n (t); et m variables d état K 1 (t); ::; K m (t); et prenant la forme : Sous les contraintes : Max fc 1 (t);::;c n(t)g U [K 1 (t); ::; K m (t); C 1 (t); ::; C n (t); t] dt avec T +1 (65) _K j (t) = G j [K 1 (t); ::; K m (t); C 1 (t); ::; C n (t); t] 8j = 1; ::; m (66) K j () = K j donné 8j = 1; ::; m 2

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