Le modèle de croissance à taux d épargne endogène (Cass-Koopmans-Ramsey)

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1 Macroéconomie 1 (2/6) Le modèle de croissance à taux d épargne endogène (Cass-Koopmans-Ramsey) Olivier Loisel ensae Automne 2014 Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

2 Cass, Koopmans, Ramsey Modèle de Cass-Koopmans-Ramsey modèle issu des contributions de Ramsey (1928), Cass (1965) et Koopmans (1965). Franck P. Ramsey : mathématicien, logicien et économiste anglais, né à Cambridge en 1903, mort à Londres en David Cass : économiste américain, né en 1937 à Honolulu, mort en 2008 à Philadelphie, professeur à l Université de Pennsylvanie à partir de Tjalling C. Koopmans : économiste néerlandais et américain, né en 1910 à s-graveland, mort en 1985 à New Haven, professeur à l Université de Yale à partir de 1955, co-lauréat (avec Leonid V. Kantorovich) du prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d Alfred Nobel en 1975 for their contributions to the theory of optimum allocation of resources. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

3 Motivation Le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey endogénéise le taux d épargne du modèle de Solow-Swan. Cette endogénéisation permet une analyse positive et normative plus fine, en particulier de l effet de politiques économiques. Les principales prédictions du modèle de Solow-Swan concernant les déterminants de la croissance de long terme, la convergence conditionnelle, la possibilité d inefficience dynamique, sont-elles affectées par ce changement? Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

4 Bien, agents privés, marchés Un seul type de bien, utilisé pour la consommation, l investissement. Deux sortes d agents privés : des ménages, des entreprises. Quatre marchés : marché des biens, marché du travail, marché du capital, marché des prêts. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

5 Origine de l offre et de la demande sur chaque marché Marché des biens : offre des entreprises, demande des ménages. Marché du travail : offre des ménages, demande des entreprises. Marché du capital : offre des ménages, demande des entreprises. Marché des prêts : offre des ménages, demande des ménages. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

6 Marchés en concurrence pure et parfaite Ces quatre marchés sont supposés être en concurrence pure et parfaite, c est-à-dire qu ils satisfont les cinq conditions suivantes : 1 atomicité du marché, 2 homogénéité des produits, 3 transparence du marché, 4 libre entrée et libre sortie, 5 libre circulation des facteurs de production. La condition d atomicité dit que l offre ou la demande de chaque agent est négligeable par rapport à l offre ou la demande totale, et implique qu aucun agent ne peut, isolément, influencer le prix. Dans le chapitre 4, nous considérerons des marchés qui ne sont pas en concurrence pure et parfaite parce qu ils ne satisfont pas la condition d atomicité du marché. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

7 Variables exogènes Ni flux ni stocks : Flux : Stocks : temps continu, indicé par t, prix des biens numéraire = 1, (grand) nombre d entreprises I. offre de travail = 1 par tête. capital agrégé initial K 0 > 0, population L t = L 0 e nt, où L 0 > 0 et n 0, paramètre de productivité A t = A 0 e gt, où A 0 > 0 et g 0. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

8 Variables endogènes Prix : coût réel d usage du capital z t, salaire réel w t, taux d intérêt réel r t. Quantités flux : production Y i,t de l entreprise i, demande de travail N i,t de l entreprise i, production agrégée Y t I i=1 Y i,t, demande de travail agrégée N t I i=1 N i,t, consommation agrégée C t. Quantités stocks : capital K i,t de l entreprise i (sauf en t = 0), capital agrégé K t I i=1 K i,t (sauf en t = 0), montant réel agrégé des actifs B t. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

9 Equilibres partiel et général Equilibre partiel situation où l offre est égale à la demande sur un seul marché. Equilibre général situation où l offre est égale à la demande sur tous les marchés. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

10 Conditions d équilibre général Chaque agent privé résout son problème d optimisation : du fait que tous les marchés sont en concurrence pure et parfaite, à chaque date t 0, chaque entreprise i choisit (Y i,t, K i,t, N i,t ), en fonction des prix (z t, w t, r t ) qu elle considère comme donnés, de façon à maximiser son profit instantané, à la date 0, le ménage représentatif choisit ( C t L t, B t L t ) t 0, en fonction des prix (z t, w t, r t ) t 0 qu il considère comme donnés, de façon à maximiser son utilité intertemporelle (en anticipation parfaite) sous contraintes. Les prix sont tels que chaque marché est équilibré à chaque date t 0 : z t et r t équilibrent les marchés du capital et des prêts : B t = K t, w t équilibre le marché du travail : N t = L t. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

11 Plan du chapitre 1 Introduction 2 Conditions d équilibre 3 Détermination de l équilibre 4 Optimalité de l équilibre 5 Conclusion Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

12 Conditions d équilibre 1 Introduction 2 Conditions d équilibre Comportement des entreprises Comportement des ménages Equilibre des marchés 3 Détermination de l équilibre 4 Optimalité de l équilibre 5 Conclusion Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

13 Problème d optimisation des entreprises Production de chaque entreprise i : Y i,t = F (K i,t, A t N i,t ), où la fonction de production F satisfait les mêmes propriétés qu au chapitre 1. Chaque entreprise loue à chaque date le stock de capital qu elle souhaite utiliser, et il n y a pas de coût d ajustement du capital (en particulier l investissement est réversible). Donc, à chaque date t, l entreprise i choisit K i,t et N i,t de façon à maximiser son profit instantané F (K i,t, A t N i,t ) z t K i,t w t N i,t en considérant z t et w t comme donnés. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

14 Conditions du premier ordre En notant F j la dérivée partielle de F par rapport à son j ième argument pour j {1, 2}, on obtient les conditions du premier ordre F 1 (K i,t, A t N i,t ) = z t, A t F 2 (K i,t, A t N i,t ) = w t. En utilisant ces conditions et le théorème d Euler appliqué à la fonction F homogène de degré un, on obtient que le profit instantané est nul quels que soient K i,t et N i,t : F (K i,t, A t N i,t ) K i,t F 1 (K i,t, A t N i,t ) A t N i,t F 2 (K i,t, A t N i,t ) = 0 = F (K i,t, A t N i,t ) z t K i,t w t N i,t = 0. Leonhard P. Euler : mathématicien et physicien suisse, né en 1707 à Bâle, mort en 1783 à Saint-Pétersbourg. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

15 Utilité intertemporelle des ménages Ménage représentatif à durée de vie infinie (ou bien lignée dynastique dont les générations sont liées par héritage et altruisme). A la date 0, son utilité intertemporelle est où c t C t L t U e ρt L t u(c t )dt = L 0 e (ρ n)t u(c t )dt 0 est la consommation par tête, ρ est le taux de préférence pour le présent (ρ > 0), u est la fonction d utilité instantanée. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

16 Propriétés de la fonction d utilité instantanée 1 u : R + R (u peut prendre des valeurs négatives car elle est de nature ordinale, pas cardinale), 2 u est strictement croissante : x R +, u (x) > 0, 3 u est strictement concave (ce qui traduit une préférence pour lisser la consommation dans le temps) : x R +, u (x) < 0, 4 u satisfait les conditions d Inada (1963) : lim x 0 u (x) = + et lim x + u (x) = 0. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

17 Stricte concavité de u et lissage de la consommation u(c t ) u(c) u(c e) + u(c+e) 0 c e c c + e c t Cas 1 : c t = c. Cas 2 : Proba[c t = c ɛ] = Proba[c t = c + ɛ] = 1 2 avec 0 < ɛ < c. On a u(c) > 1 2 u(c ɛ) u(c + ɛ). Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

18 Actifs des ménages Chaque ménage peut détenir deux types d actifs : prêts aux autres ménages (nuls à l équilibre), titres de propriété sur le capital. A l équilibre, les ménages doivent être indifférents entre ces deux types d actifs, donc r t taux d intérêt réel sur les prêts aux ménages = taux de rendement réel des titres de propriété (si c était une inégalité stricte, tous les ménages souhaiteraient prêter et aucun ne souhaiterait emprunter, ou vice-versa). B t montant total des actifs en unités de bien. b t B t L t montant total des actifs en unités de bien par personne. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

19 Contrainte budgétaire des ménages I La contrainte budgétaire instantanée du ménage représentatif est B t = r t B t + w t L t C t. Elle se réécrit, en grandeurs par tête, b t = (r t n)b t + w t c t. En réarrangeant les termes et en multipliant par e t 0 (rτ n)dτ, on obtient [ ] b t (r t n) b t e t 0 (rτ n)dτ = (w t c t ) e t 0 (rτ n)dτ. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

20 Contrainte budgétaire des ménages II Puis, en intégrant entre 0 et T, b T e T T 0 (rτ n)dτ b 0 = (w t c t ) e t 0 (rτ n)dτ dt. 0 En passant à la limite T + et en réarrangeant les termes, on obtient la contrainte budgétaire intertemporelle + 0 c t e t + 0 (rτ n)dτ dt b 0 + w t e t 0 (rτ n)dτ dt 0 (valeur actualisée à la date 0 des consommations futures richesse à la date 0 + valeur actualisée à la date 0 des revenus salariaux futurs) si et seulement si lim [b T e ] T 0 (r τ n)dτ 0. T + Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

21 Contrainte de solvabilité des ménages La condition lim [b T e ] T 0 (r τ n)dτ 0 T + est la contrainte de solvabilité des ménages. Elle impose que la valeur actualisée à la date 0 du montant total d actifs à long terme doit être positive ou nulle. Elle implique qu à long terme, la dette totale ( B T lorsque B T < 0) ne peut pas croître à un taux plus élevé que le taux d intérêt (r T ). Elle élimine la possibilité de montage financier où chaque emprunt serait remboursé au moyen d un nouvel emprunt ( jeu de Ponzi ). Carlo P. G. G. T. Ponzi : escroc italo-américain, né en 1882 à Lugo, mort en 1949 à Rio de Janeiro. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

22 Problème d optimisation des ménages Pour (r t, w t ) t 0 et b 0 donnés, sous les contraintes [ max (c t ) t 0,(b t ) t>0 L ] e (ρ n)t u(c t )dt 1 t 0, c t 0 (contrainte de positivité de la consommation), 3 lim t + 2 t 0, b t = (r t n)b t + w t c t (contrainte budgétaire instantanée), [b t e ] t 0 (r τ n)dτ 0 (contrainte de solvabilité). Problème difficile car intertemporel. Parabole de Robinson Crusoé et des grains de blé. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

23 Application de la théorie du contrôle optimal I Comme vu dans l introduction générale, la théorie du contrôle optimal permet de décomposer ce problème en des problèmes instantanés. On définit le hamiltonien associé au problème d optimisation des ménages par H(c t, b t, λ t, t) u(c t ) + λ t [(r t n) b t + w t c t ], où λ t représente la valeur, mesurée en unités d utilité à la date t, d une augmentation du revenu à la date t d une unité de bien. On appelle b t la variable d état, c t la variable de contrôle, λ t la co-variable d état. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

24 Application de la théorie du contrôle optimal II [(c t ) t 0, (b t ) t>0 ] est une solution du problème d optimisation du ménage si et seulement s il existe (λ t ) t 0 tel que 1 t 0, c t 0 et λ t 0 (contraintes de positivité), 2 t 0, c H t (c t, b t, λ t, t) = 0 (condition du premier ordre sur la variable de contrôle), 3 t 0, λ t = (ρ n) λ t b H t (c t, b t, λ t, t) = (ρ r t ) λ t (condition d évolution de la co-variable d état), 4 t 0, b t = (r t n)b t + w t c t (contrainte budgétaire instantanée), 5 lim t + [ b t λ t e (ρ n)t] = 0 (condition de transversalité). Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

25 Existence et unicité de la solution On montre en trois étapes qu il existe une unique solution : 1 montrer que c 0 est fini (du fait que, à l équilibre, c 0 Y 0 L 0 < + ), 2 utiliser les trois premières conditions pour obtenir c t et λ t en fonction de c 0, 3 utiliser les deux dernières conditions pour obtenir (b t ) t>0 et c 0 (via la contrainte budgétaire intertemporelle saturée). Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

26 Equation d Euler I La deuxième condition implique λ t = u (c t ). En utilisant la troisième condition, on obtient alors u (c t ) u (c t ) = ρ r t puis l équation d Euler (ou règle de Ramsey d épargne optimale, ou règle de Keynes-Ramsey ) : c t c t = [ u ] 1 (c t )c t u (r t ρ). (c t ) John M. Keynes : économiste anglais, né en 1883 à Cambridge, mort en 1946 à Firle. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

27 Equation d Euler II c Il y a croissance de la consommation par tête ( t c t > 0) si et seulement si le taux d intérêt est supérieur au taux de préférence pour le présent (r t > ρ). Cette croissance est d autant plus importante que l élasticité de substitution intertemporelle σ(c t ) est élevée, où [ u σ(c t ) ] 1 (c t )c t u > 0. (c t ) L inverse de σ(c t ) est égal à l opposé de l élasticité de l utilité marginale u (c t ) par rapport à c t, d ln[u (c t )] d ln(c t ) = u (c t )c t u, (c t ) qui mesure la courbure de u au point c t et est aussi appelé coefficient d aversion relative pour le risque. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

28 Cas de préférences exponentielles ou de Stone-Geary Le TD 2 étudie le cas où les préférences sont exponentielles : u(c t ) αe 1 α c t, où α > 0, ainsi que le cas où elles sont de Stone-Geary : u(c t ) (c t c) 1 θ 1 1 θ pour c t > c, avec θ R + {1}, où c > 0 représente le niveau de consommation de subsistance. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

29 Cas d une élasticité de subst. intertemporelle constante I Forme fonctionnelle { 1 u(c t ) = c1 θ t 1 θ pour θ R + {1}, u(c t ) = ln(c t ) pour θ = 1. L élasticité de substitution intertemporelle est constante : σ(c t ) = 1 θ (on parle de cas CRRA pour Constant Relative Risk Aversion ). La condition d Euler devient c t c t = r t ρ θ c t = c 0 e et s intègre pour donner t rτ ρ 0 ( θ )dτ. En remplaçant c t par cette expression dans la contrainte budgétaire intertemporelle (saturée), on obtient alors c 0 = b w t e t + t 0 e 0 [( 0 (r τ n)dτ dt rτ ρ θ ) (r τ n)]dτ dt. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

30 Cas d une élasticité de subst. intertemporelle constante II Effets d une hausse de (r t ) t 0 sur c 0 à (w t ) t 0 donné : effet de revenu négatif (terme r τ au numérateur), via la baisse de la valeur actualisée des revenus salariaux futurs, effet de substitution négatif (terme r τ θ au dénominateur), via l équation d Euler, effet de revenu positif (terme r τ au dénominateur), via la hausse du taux d actualisation des consommations futures. L effet total est négatif lorsque θ 1 : lorsque θ = 1, les deux derniers effets se compensent exactement, lorsque θ < 1, le deuxième effet domine le troisième, car l élasticité de substitution intertemporelle est élevée (faible concavité de u). Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

31 Condition de transversalité En intégrant l équation différentielle λ t = (ρ r t ) λ t, on obtient où λ 0 = u (c 0 ) > 0 car c 0 est fini. La condition de transversalité λ t = λ 0 e t 0 (r τ ρ)dτ [ lim b t λ t e (ρ n)t] = 0 se réécrit donc t + lim [b t e ] t 0 (r τ n)dτ = 0 t + (valeur actualisée à la date 0 du montant total d actifs à long terme = 0). Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

32 Conditions de transversalité et contrainte de solvabilité La condition de transversalité implique la contrainte de solvabilité : [b t e ] t 0 (r τ n)dτ = 0 = lim [b t e ] t 0 (r τ n)dτ 0. t + lim t + La contrainte de solvabilité empêche les ménages d avoir une dette totale ( B t > 0) croissant éternellement à un taux supérieur ou égal à r t. La condition de transversalité indique qu il n est pas optimal pour les ménages d avoir un montant total d actifs (B t > 0) croissant éternellement à un taux supérieur ou égal à r t. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

33 Coût d usage du capital et taux d intérêt réel On suppose que le capital se déprécie au taux δ, comme au chapitre 1. A la date t, un ménage peut en particulier louer entre t et t + dt une unité de bien comme capital aux entreprises, prêter entre t et t + dt cette unité de bien aux autres ménages. A la date t + dt, la première option lui rapporte z t dt δdt unités de bien, la seconde r t dt unités de bien. A l équilibre, le ménage doit être indifférent entre ces deux options, donc r t = z t δ (si r t > z t δ, alors tous les ménages souhaiteraient prêter et aucun ne souhaiterait emprunter ; si r t < z t δ, alors tous les ménages souhaiteraient emprunter et aucun ne souhaiterait prêter). Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

34 Equilibre des marchés A l équilibre, le ménage représentatif ne fait ni prêt ni emprunt, donc tous ses actifs sont des titres de propriété sur le capital : B t = K t. Sur le marché du travail, la demande est égale à l offre : N t = L t. Sur le marché des biens, la variation du stock de capital est égale à l épargne moins la dépréciation du capital : K t = Y t C t δk t. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

35 Détermination de l équilibre 1 Introduction 2 Conditions d équilibre 3 Détermination de l équilibre Conditions d équilibre sur κ t et γ t Etat régulier Convergence vers l état régulier 4 Optimalité de l équilibre 5 Conclusion Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

36 Conditions d équilibre sur κ t et γ t I En notant f (x) F (x, 1) pour tout x > 0 et en dérivant F (K i,t, A t N i,t ) = A t N i,t f ( K i,t A t N i,t ) par rapport à K i,t, on obtient F 1 (K i,t, A t N i,t ) = f ( Ki,t A t N i,t ). On en déduit, en utilisant la condition du premier ordre F 1 (K i,t, A t N i,t ) = z t, que K i,t N ne dépend pas de i et vaut donc K t i,t N t. Par conséquent, ( ) Ki,t, A t N i,t ( ) ( ) Kt Kt, A t = N t F, A t = F (K t, A t N t ). N t N t Y t I i=1 Y i,t = I i=1 F (K i,t, A t N i,t ) = I i=1 N i,tf = I i=1 N i,tf Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

37 Conditions d équilibre sur κ t et γ t II En dérivant F (K i,t, A t N i,t ) = A t N i,t f ( K i,t A t N i,t ) par rapport à K i,t et N i,t, on obtient ( ) F 1 (K i,t, A t N i,t ) = f Ki,t, ( Ki,t A t F 2 (K i,t, A t N i,t ) = A t [f A t N i,t A t N i,t ) K i,t A t N i,t f ( Ki,t A t N i,t )]. En utilisant K i,t N i,t = K t N t, N t = L t, κ t A t L t et r t = z t δ, on peut alors réécrire les conditions du premier ordre du problème d optimisation des entreprises comme r t = f (κ t ) δ ( taux d intérêt réel = productivité marginale du capital taux de dépréciation du capital ), w t = A t [f (κ t ) κ t f (κ t )]. K t Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

38 Conditions d équilibre sur κ t et γ t III Ces dernières conditions permettent de réécrire la contrainte budgétaire instantanée des ménages comme b t = [ f (κ t ) δ n ] b t + A t [ f (κt ) κ t f (κ t ) ] c t. En utilisant B t = K t, on obtient b t = A t κ t et donc où γ t c t A t = C t A t L t κ t = f (κ t ) γ t (n + g + δ) κ t est la consommation par unité de travail efficace. Cette équation différentielle s interprète comme variation du stock de capital = épargne dilution dépréciation (par unité de travail efficace) et implique l équilibre sur le marché des biens. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

39 Conditions d équilibre sur κ t et γ t IV Le résultat selon lequel cette équation différentielle implique l équilibre sur le marché des biens est une conséquence de la loi de Walras. Loi de Walras : sur l ensemble des marchés, la somme des demandes nettes pondérées par les prix est égale à zéro. Corollaire de la loi de Walras : dans une économie à N marchés, si N 1 marchés sont en équilibre, alors le N ième marché est également en équilibre. La loi de Walras implique donc qu une condition d équilibre de marché est redondante par exemple ici la condition d équilibre sur le marché des biens. Léon Walras : économiste français, né à Evreux en 1834, mort à Clarens en Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

40 Conditions d équilibre sur κ t et γ t V En utilisant b t = κ t A 0 e gt, A 0 > 0 et r t = f (κ t ) δ, on peut réécrire la condition de transversalité comme lim {κ t e } t 0 [f (κ τ ) (n+g+δ)]dτ = 0. t + On considère dorénavant une élasticité de substitution intertemporelle constante, égale à 1 θ. En utilisant r t = f (κ t ) δ et γ t c t A t, on peut alors réécrire l équation d Euler comme γ t = 1 [ f (κ t ) δ ρ θg ]. γ t θ Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

41 Conditions d équilibre sur κ t et γ t VI (κ t ) t 0 et (γ t ) t 0 sont donc déterminés par deux équations différentielles, une condition initiale et une condition terminale : κ t = f (κ t ) γ t (n + g + δ) κ t, γ t = 1 [ f (κ t ) δ ρ θg ], γ t θ κ 0 = K 0, A 0 L 0 lim {κ t e } t 0 [f (κ τ ) (n+g+δ)]dτ = 0. t + Les autres variables endogènes sont déterminées résiduellement, à partir de (κ t ) t 0 et (γ t ) t 0, par les autres conditions d équilibre. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

42 Etat régulier I Etat régulier situation dans laquelle κ 0 est tel que toutes les quantités sont non nulles et croissent à taux constants. L équation différentielle en γ t implique que κ t est constant à l état régulier. L équation différentielle en κ t implique alors que γ t est constant à l état régulier. Donc, à l état régulier, κ t et γ t sont constants, k t K t L t = A t κ t et c t C t L t = A t γ t croissent au taux g, y t Y t L t = A t f (κ t ) croît au taux g, le taux d épargne Y t C t Y t = 1 γ t f (κ t ) comme dans le modèle de Solow-Swan. est constant, Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

43 Etat régulier II En remplaçant κ t par 0 dans l équation différentielle en κ t, on obtient γ t = f (κ t ) (n + g + δ) κ t, qui correspond à une courbe en cloche dans le plan (κ t, γ t ). En remplaçant γ t par 0 dans l équation différentielle en γ t, on obtient f (κ t ) = δ + ρ + θg, qui correspond à une droite verticale dans le plan (κ t, γ t ). Le point d intersection de cette courbe et cette droite correspond à la valeur de (κ t, γ t ) à l état régulier, notée (κ, γ ). Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

44 Etat régulier III γ t 0 γ * κ * κ or κ t Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

45 Etat régulier IV La valeur κ or de κ t maximisant la courbe en cloche est définie par f (κ or ) = n + g + δ (règle d or d accumulation du capital du modèle de Solow-Swan). Les conditions κ 0 > 0 et lim t + {κ 0 e t 0 [f (κ ) (n+g+δ)]dτ } = 0 impliquent f (κ ) > n + g + δ = f (κ or ) et donc κ < κ or, comme apparent sur le graphique précédent. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

46 Etat régulier V On n a pas κ > κ or, donc pas d inefficience dynamique (due à une sur-accumulation du capital), du fait du comportement optimisateur des ménages. On a κ < κ or et non κ = κ or car les ménages sont suffisamment impatients pour que ρ n > (1 θ) g : lorsque κ t > κ, une baisse de l épargne augmente la composante de court terme de l utilité intertemporelle plus qu elle réduit sa composante de long terme. L équation f (κ ) = δ + ρ + θg est appelée règle d or modifiée. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

47 Etat régulier VI En dérivant f (κ ) = δ + ρ + θg et γ = f (κ ) (n + g + δ) κ par rapport à ρ, θ, g, δ ou n, on obtient que κ est strictement décroissant en ρ, θ, g, δ, et constant en n, γ est strictement décroissant en ρ, θ, g, δ, n. Ces décroissances sont illustrées par le graphique précédent : une hausse de n déplace la courbe en cloche vers le bas, une hausse de ρ ou θ déplace la droite verticale vers la gauche, une hausse de g ou δ fait les deux à la fois. Interprétation de l effet d une hausse de θ sur κ : θ élasticité de substitution intertemporelle r t pour faire accepter c t c t = g aux ménages f (κ t ) κ t. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

48 Convergence vers l état régulier I L équation différentielle en κ t implique que au-dessous de la courbe en cloche, κ t croît dans le temps, au-dessus de la courbe en cloche, κ t décroît dans le temps. L équation différentielle en γ t implique que à gauche de la droite verticale, γ t croît dans le temps, à droite de la droite verticale, γ t décroît dans le temps. Le système d équations différentielles admet donc un bras stable et un bras instable dans le plan (κ t, γ t ). Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

49 Convergence vers l état régulier II Diagramme des phases : forme générale des trajectoires γ t κ * κ t Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

50 Convergence vers l état régulier III Au voisinage de l état régulier, le bras stable (resp. instable) correspond au vecteur propre associé à la valeur propre négative (resp. positive) de la matrice M du système d équations différentielles log-linéarisé [ ln( κ t κ ) ln( γ t γ ) ] = M (2 2) [ ln( κ t κ ) ln( γ t γ ) ]. Le bras stable est l unique sentier, appelé sentier-selle, le long duquel (κ t, γ t ) peut converger vers (κ, γ ). Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

51 Convergence vers l état régulier IV κ 0 > 0 étant donné, trois cas sont envisageables pour γ 0 : 1 γ 0 est tel que (κ 0, γ 0 ) est sur le sentier-selle : (κ t, γ t ) converge vers (κ, γ ) ; les quatre conditions d équilibre sont satisfaites. 2 γ 0 est tel que (κ 0, γ 0 ) est au-dessous du sentier-selle (point P 1 ) : (κ t, γ t ) croise la droite verticale puis converge vers le point Q 1 ; au voisinage de Q 1, κ t > κ or, donc f (κ t ) < f (κ or ) = n + g + δ, donc la condition de transversalité n est pas satisfaite : lim t + {κ t e t 0 [f (κ τ ) (n+g+δ)]dτ } > 0 (les ménages pourraient augmenter leur utilité en épargnant moins). Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

52 Convergence vers l état régulier V Diagramme des phases : trajectoires pour un κ 0 donné γ t Q γ 0 P 2 P κ 0 κ * Q 1 κ t Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

53 Convergence vers l état régulier VI 3 γ 0 est tel que (κ 0, γ 0 ) est au-dessus du sentier-selle (point P 2 ) : (κ t, γ t ) croise la courbe en cloche puis atteint le point Q 2 en un temps fini car κ t < 0 dans le quadrant en haut à gauche ; en effet, en dérivant κ t = f (κ t ) γ t (n + g + δ) κ t, on obtient κ t = [f (κ t ) (n + g + δ)] γ t > 0 et f (κ t ) > f (κ or ) = n + g + δ ; κ t γ t avec, dans ce quadrant, κ t < 0, à la date où le point Q 2 est atteint, γ t devient instantanément nul (car Y t = 0), donc l équation différentielle en γ t n est pas satisfaite. Donc l unique trajectoire d équilibre (c est-à-dire l unique trajectoire satisfaisant les quatre conditions d équilibre) est le sentier-selle. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

54 Convergence vers l état régulier VII Le modèle prédit donc une convergence conditionnelle des ln(y t ) entre les pays, comme le modèle de Solow-Swan. Il s agit ici de la convergence à long terme des ln(y t ) entre les pays ayant des y 0 différents mais les mêmes paramètres de technologie A 0, g, f (.), d évolution du capital et du travail n, δ, de préférence ρ, θ. On admet que, pour κ 0 < κ, le taux d épargne peut croître ou décroître dans le temps, le taux de croissance décroît toujours dans le temps, donc une économie croît d autant plus vite qu elle est plus éloignée de son sentier d état régulier, comme dans le modèle de Solow-Swan. Le TD 2 étudie la vitesse de convergence au voisinage de l état régulier, ainsi que la trajectoire de l économie suite à une baisse permanente de ρ. Olivier Loisel, Ensae Macroéconomie 1 (2/6) : le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey Automne / 68

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