HISTOIRE DE LA NUMERATION

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1 HISTOIRE DE LA NUMERATION Objectifs: Connaître différents systèmes de numération. Savoir convertir un nombre décimal dans différentes bases. Introduction: Depuis la nuit des temps, l'homme a eu besoin de compter et de calculer. Selon les civilisations, divers systèmes de numération on été mis en place puis abandonnés. Nous allons étudier dans ce chapitre quelques uns des principaux systèmes de numération apparus au cours de l'histoire de l'humanité. A l'heure actuelle, nous utilisons le système de numération décimal. Ce système s'est imposé en Europe à partir du 10 ème siècle. Aujourd'hui le système décimal est quasiment universel. I. LA NUMERATION BABYLONIENNE: BASE 60 En Mésopotamie, les Sumériens ont inventé l'écriture. Cette écriture formée de signes en forme de coin est appelée cunéiforme. Les Sumériens ont représenté les nombres par des symboles: Le Clou pour l'unité Le Chevron pour la dizaine L'écriture cunéiforme des Babyloniens, frappée dans l'argile, utilisait un système de numération positionnel de base 60 avec les mêmes symboles que la numération sumérienne classique. Exemples: ) Quel est le type de numération des nombres jusqu'à 59? 2) Représenter le nombre 35 en écriture babylonienne. A partir de 60, la position des symboles entre en jeu et la numération devient positionnelle. La numération sumérienne est de base 60: on compte par "paquets" de 60. Les unités et les soixantaines sont séparés d'un (ou plusieurs) espaces. Exemples: Rang 1 Rang = 204 Rang 2 Rang 1 Rang = 7392

2 3) Écrire le nombres 182, 342 et 2007 en écriture babylonienne. 4) Quels sont les nombres représentés par: Remarque: pourquoi la base 60? Les sumériens comptaient sur leur doigts. Le pouce d'une main compte les phalanges des quatre autres doigts de la même main, soit un maximum de 12 phalanges. Une fois le maximum atteint, un doigt de l'autre main "retient" ce 12. Avec les 5 doigts de l'autre main, on obtient alors un maximum de 5 x 12 = 60. D'où la base ) Nous avons conservé quelques vestiges de la base sexagésimale. Pouvez-vous en citer un? Remarque: le problème dans ce type de numération est que le symbole "zéro" n'existe pas: alors pour figurer le zéro les scribes laissaient un espace vide plus grand entre les groupes de symbole. Exemple: Rang 1 Rang 0 Rang 2 Rang 1 Rang = = Un symbole tardif est apparu pour figurer le zéro: II. LA NUMERATION EGYPTIENNE La numération égyptienne utilisait les hiéroglyphes ci-contre. Leurs symboles évoquent chacun un ordre de grandeur. - un bâton évoque l'unité, - une anse de panier: il contient environ 10 objets, - une rouleau de papyrus: on peut y écrire environ 100 hiéroglyphes, - une fleur de lotus: on les trouve par milliers, - un doigt montrant le ciel nocturne: on y voit près de étoiles, - un têtard: on en trouve de l'ordre de au bord du Nil après la ponte, - un dieu agenouillé supportant le ciel: le dieu est éternel et 1 million d'années est synonyme d'éternité. On additionne les valeurs de tous les signes utilisés pour écrire le nombre. Exemple: On peut vérifier que ce nombre est 2964.

3 1) Combien de symboles comporte cette numération? Quelle est la base de cette numération? 2) D'après vous, pourquoi cette base a-t-elle été souvent choisie dans les numérations inventées par l'homme? 3) Quel est le type de numération? 4) Écrire les nombres 210, et 2007 en écriture égyptienne. III. LA NUMERATION MAYA: BASE 20 En Amérique centrale, les Mayas ont adopté un système de numération à base 20. On a représenté ci-contre les chiffres de 1 à 19 ainsi que le chiffre zéro. Les 19 chiffres sont représentés par seulement 3 symboles: Symbole Valeur Point 1 Trait 5 coquille 0 Les Mayas écrivaient leurs nombres de haut en bas. Le nombre 20 s'écrit donc ainsi: 1) Quels sont les nombres ci-après écrits en Maya? 2) Écrire les nombres 264, 643 et 2007 en Maya. 3) Le système de numération est en partie additif puis positionnel: pouvez-vous préciser? IV. LA NUMERATION CHINOISE La numération chinoise est une numération à base dix. Elle comporte neuf chiffres, le zéro étant indiqué par un espace. Selon le rang du chiffre dans le nombre, il existe deux séries d'écritures différentes: série verticale (V) : chiffres de rangs impairs, utilisés pour les unités, les centaines,... série horizontale (H): chiffres de rangs pairs, utilisés pour les dizaines, les milliers,... Exemples: Série verticale: rangs impairs Série horizontale rangs pairs Ainsi, 1987 s'écrit : et 2026 s'écrit H V H V H V H V On pourrait reprocher à ce système de numération un risque d'erreur, si l'espace est oublié. L'alternance des deux types de chiffres évite cependant cette ambigüité. 1) Ecrire en numération savante chinoise, les nombres : 2007, 3692, 640, 64 et ) Lire les nombres suivants et

4 Les Chinois ont inventé la première calculatrice dont ils se servent encore de nos jours: le boulier (les jeunes élèves apprennent toujours à l école à compter avec le boulier) avec une efficacité remarquable. Il repose sur les dix doigts de la main et sur les positions des chiffres dans le nombre. Un boulier «se lit» de droite à gauche, la première colonne représentant les unités, la seconde les dizaines, la troisième des centaines, etc. La ligne du haut comporte deux boules qui valent chacune 5 unités. La ligne du bas comprend 5 boules valant chacune une unité. Les boules sont «actives» si elles sont: en bas sur la ligne du haut en haut sur la ligne du bas; La lecture est faite donc le long de la barre de séparation ) Quel est le nombre indiqué par le premier boulier? 4) Quel nombre indique le boulier 2? Vérifier vos manipulation avec le de J.F Noblet sur le boulier (voir site labotp.org). Pour faire une addition, on effectue l addition colonne par colonne en tenant compte des retenues dans la colonne suivante. Exemple: pour faire = 16 on affiche 9 dans la colonne 1, puis on ajoute 10 dans la colonne 2 (on monte une boule) et on retire 3 dans la colonne 1. 5) Essayer l'addition en faisant afficher 159 puis en ajoutant 78 en tenant compte des retenues. 6) Trouvez la somme des deux nombres précédents en tenant compte des retenues et l inscrire dans la case 3. V. LA NUMERATION ROMAINE La numération romaine permettait d'écrire les neufs premiers chiffres comme l'indique la figure ci-contre. On remarque l'écriture du chiffre quatre et celle du chiffre neuf. Ce n'est qu'au Moyen-Age qu'on a écrit les chiffres romains en utilisant des différences telles que IV (quatre), IX (neuf), XC (quatre-vingt dix)... Les chiffres romains sont plus simples et plus lisibles que les chiffres égyptiens.

5 1) La numération romaine est-elle additive ou positionnelle? 2) Ecrire les nombres 1948 et 2007 en numération romaine, en évitant d'écrire 4 symboles identiques à la suite. 3) Traduire les nombres ci-dessous en numération actuelle.

6 VI. HISTORIQUE DE LA NUMERATION Date Asie Amérique Europe Moyen-Orient / Egypte Entailles numériques sur des os ou de la corne Mésopotamie: Usage des calculi: jetons d'argile ayant une valeur attribuée et permettant de représenter un nombre Mésopotamie : Création des chiffres cunéiformes pour compter les animaux, les hommes et pour chiffrer les récoltes (env) Egypte: Usage de la numération additive à base dix Babylone: Première numération de position (base 60) Invention des chiffres en Chine Système de numération grecque. Système hybride, ni purement additif, ni vraiment de position (env) Système de numération romaine. Première invention du zéro: 4 ème siècle Numération de position à base dix en Inde. Invention du zéro. Créations de dix chiffres correspondants chacun à un symbole différent. 5 ème siècle Numération maya de position. Invention du zéro. 10 ème siècle Chiffres arrivant en Espagne. Partis de l'inde, ils ont étés modifiés au Moyen-Orient et au Maghreb. 12 ème siècle Arrivée du zéro en Europe.

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