Chapitre 1 : Phénomènes ondulatoires

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1 Chapitre 1 : Phénomènes ondulatoires Qui oserait contester le rôle essentiel joué par nos yeux et par nos oreilles dans notre perception du monde? Or, la vue est tributaire de l existence de la lumière qu on peut décrire comme une onde électromagnétique, et notre ouïe est sensible aux sons qui peuvent être expliqués en termes d ondes acoustiques. A l évidence donc, les phénomènes ondulatoires font partie intégrante de notre environnement perceptible et méritent que l'on s'y attarde ne serait-ce que pour ces raisons-là! Les ondes électromagnétiques et acoustiques ont cependant une portée bien plus générale que celle qui vient d'être brièvement évoquée : les ondes électromagnétiques permettent de communiquer entre différents points de la planète (radio, TV, Internet), de réchauffer les aliments (four à micro-ondes) ou d'écouter des CD (laser). De plus, comme ces ondes peuvent aussi se propager dans le vide, elles nous renseignent également sur la nature et l état d objets lointains et inaccessibles tels que les étoiles ou les galaxies. Quant aux ondes élastiques, dont les sons constituent un cas particulier et qui ont besoin d'un support matériel pour se propager, elles trouvent des applications dans les investigations médicales (ultrasons), dans la localisation d'objets sous-marins (sonars), ou encore dans la détection de tremblements de terre (sismographes), etc. Pour comprendre le monde matériel qui nous entoure, le concept d onde est donc incontournable. Le but de cette brochure est de traiter un certain nombre d'exemples pour mettre en évidence la diversité des phénomènes qui font appel à ce concept. 1.1 Qu'est-ce qu'une onde? Les objets qui nous sont familiers sont caractérisés par une masse m et obéissent aux lois de la mécanique classique, en particulier à la loi fondamentale de Newton : F = ma. Une onde est une entité différente, sans masse, obéissant à une autre équation et présentant des propriétés particulières. Ainsi deux ondes peuvent s'annuler localement, ce qui n'est jamais le cas de deux objets ordinaires! Pour se représenter une onde, pensons au caillou que l'on jette dans un étang : des vagues circulaires se propagent horizontalement à une certaine vitesse en s'éloignant du point d'impact. On notera que ce n'est pas l'eau qui se déplace le long de la direction de propagation, mais bien la perturbation associée à son mouvement vertical de va-et-vient. Dans ce cas précis la perturbation porteuse d'énergie, et donc d'information, est la fonction décrivant la cote des molécules d'eau par rapport au plan d'eau non perturbé. Coupe verticale du plan d'eau : mouvement vertical de va-et-vient d'une molécule d'eau (cercle plein) en un point fixe de l'espace repéré par le segment de droite vertical

2 Chapitre 1 : Phénomènes ondulatoires Définition : une onde est une perturbation se déplaçant dans l'espace au cours du temps. Qu'est-ce qui assure la propagation d'une perturbation? Les ondes que l'on peut se représenter le plus facilement sont les ondes qui se propagent dans un milieu matériel. La perturbation déplace un certain nombre de particules de matière hors de leur position d'équilibre. Les particules voisines, liées élastiquement aux précédentes, créent ainsi une force de rappel qui tend à ramener les particules hors équilibre à leur position initiale. Ce processus se répète de proche en proche et est à l'origine de la propagation de l'onde dans la matière. Exemples de quelques ondes familières : a) Vagues sur l'eau A l'équilibre, la surface de l'eau est plane. La vague est une perturbation au cours de laquelle de l'eau est déplacée verticalement hors de sa position d'équilibre, créant les creux et les crêtes de la vague qui se propage horizontalement. Remarque : il faut distinguer la vitesse de propagation de l'onde de la vitesse verticale à laquelle oscille une particule d'eau ou un bouchon placé à la surface du plan d'eau. b) Ondes dans une corde Considérons une corde tendue que l'on secoue transversalement à l'une des extrémités : la petite bosse ainsi formée constitue la perturbation qui se déplace le long de la corde jusqu'à l'autre extrémité. c) Ondes dans un ressort La perturbation se propageant le long du ressort est dans ce cas la "densité" des boudins. d) Ondes dans l'air (son) A l'équilibre, il règne une pression moyenne p0 dans l'air. Une onde sonore se propageant dans l'air crée des zones où la pression est alternativement plus grande puis plus petite que la moyenne. La perturbation peut être décrite comme une surpression positive ou négative se déplaçant à la vitesse v du son. e) Ondes lumineuses La perturbation qui constitue l'onde lumineuse est une grandeur non matérielle plus difficile à appréhender, r E puisqu'il s'agit de la vibration d'un champ électrique r et d'un champ magnétique B à angle droit l'un de l'autre. La vibration se propage au plan r perpendiculairement r formé par les champs E et B. Contrairement aux ondes élastiques décrites plus haut, une telle onde peut se propager dans le vide. -4-

3 1.2 Ondes progressives Comment décrit-on une onde progressive et que peut-on dire de sa vitesse? Considérons une onde se propageant sans atténuation dans une direction donnée. Si l'on fixe le temps t (en prenant une photographie à un instant donné), la perturbation n'est plus alors qu'une fonction de la coordonnée x. On la note y(x) et son amplitude maximum vaut A. La fonction y(x) représente, selon les cas, la cote de l'eau au-dessus de la surface plane, la cote des points de la bosse sur la corde par rapport à la corde non perturbée, la densité des boudins le long du ressort, la surpression de l'air en différents points de l'espace, l'intensité du champ électromagnétique, etc. Les figures suivantes montrent un exemple de perturbation en deux instants donnés, la bosse s'étant déplacée au cours du temps : y(x 1 ) = A y(x 1 ) = 0 La perturbation est donc une fonction de la coordonnée x et du temps t, notée y(x,t). On constate que si l'on se déplace à la même vitesse v que la perturbation, celle-ci paraîtra inchangée le long de l'axe x. Cela signifie que la perturbation y n'est pas une fonction quelconque de la coordonnée et du temps, mais qu'elle dépend de la combinaison x-vt si l onde se déplace dans le sens de l'axe x ou x+vt si l onde se déplace en sens inverse. La forme mathématique d'une perturbation non amortie est par conséquent une fonction qui s'écrit y = f (x vt) ou y = f (x + vt) selon le sens de déplacement de l'onde. Exemple : dans le graphique ci-dessus, la perturbation est donnée par : y = A e (x vt )2 / a 2 où a est un paramètre caractérisant la largeur de la bosse. En prenant a = 0,55 m, A = 2 cm, v = 20 m/s on retrouve les fonctions dessinées ci-dessus aux temps t 1 = 0,08 s et t 2 = 0,16 s. Vitesse de propagation pour quelques ondes progressives dans un milieu matériel : a) Vagues sur l'eau : Si l'eau est peu profonde et si la profondeur vaut h, la vitesse est donnée par v = gh, avec g = 9,81 m/s 2. "Peu profonde" signifie que la profondeur de l'eau est faible par rapport à la distance entre les crêtes successives de l'onde (longueur d'onde). Exemple : L'onde du tsunami de décembre 2004 s'est propagée dans une zone où la profondeur de l'océan était d'environ 7000 m (eau peu profonde en comparaison de la longueur d'onde qui était d'environ 800 km!). La vitesse de propagation du tsunami vaut dans un tel cas v = 9, m/s soit environ 1000 km/h. En se rapprochant des rives, la vitesse du tsunami diminue considérablement. Ceci explique la formation de murs d'eau au voisinage de la terre ferme ainsi que le déferlement des vagues

4 b) Perturbation transversale dans une corde de masse M et de longueur L : On peut montrer que la vitesse est donnée par v = F µ où F est la tension de la corde, c'est-à-dire l'intensité de la force avec laquelle la corde est tendue, force qui ramène les éléments de corde hors équilibre à leur position initiale (force de rappel). µ est la masse linéique, définie comme la masse de la corde par unité de longueur, µ = M L. Exemple : La masse de la corde de Mi d'un violon est de 0,123 g pour une longueur de 32,5 cm et elle est tendue avec une force d'environ 70 N. La masse linéique valant alors µ = 0, /0,325 = 0, kg/m, la vitesse de propagation de l'onde transversale est de v = 70/0, = 429 m/s. c) Vitesse du son dans un corps solide : Il s'agit dans ce cas d'une onde de compression se propageant dans une roche ou dans une barre métallique ou de l'onde dans une corde que l'on excite parallèlement à son axe. La vitesse vaut v = E où E représente la rigidité du corps solide (E est nommé module d'élasticité ou module ρ de Young) et ρ est la masse volumique du solide. Cette expression donne la vitesse de certaines ondes sismiques. Exemple : La vitesse de propagation d'une onde de compression dans le granite pour lequel E = 60'000 MPa et ρ = 2600 kg/m 3 est de v = E /ρ = /2600 = 4800 m/s soit environ 17'000 km/h. d) Vitesse du son dans un gaz diatomique tel que l'air : La vitesse dépend de la nature du gaz, de sa température et vaut v = 1,4RT M où M est la masse molaire du gaz, T sa température absolue et R = 8,31 J/(K. mol) est la constante des gaz. Pour l'air sec on obtient v = 1,4 8,31 T = 20 T Exemple 1 : La vitesse du son dans l'air à 0 C vaut v = = 331 m/s ; à 20 C, cette vitesse est de v = = 342 m/s, soit environ 1200 km/h. Exemple 2 : Dans l'hydrogène à 20 C, la vitesse vaut v = 1,4 8,31 293/ =1306 m/s, soit environ quatre fois plus que dans l'air à même température. De manière générale, la vitesse à laquelle une onde élastique se propage dans un milieu dépend de l'inertie du milieu matériel ainsi que de l'intensité de la force (force de rappel) ramenant vers leur position d'équilibre les éléments qui en sont écartés : vitesse = force de rappel inertie = rigidité densité - 6 -

5 La lumière, quant à elle, n'est pas une onde élastique et sa propagation ne peut donc s'expliquer de la même manière que celle des ondes traitées ci-dessus. On notera par ailleurs que la lumière présente la propriété remarquable de pouvoir se déplacer dans le vide. e) Vitesse de la lumière : Elle dépend du milieu transparent dans lequel l'onde lumineuse se propage et est donnée par v = c /n où c est la vitesse de la lumière dans le vide (c = 299'800 km/s 300'000 km/s) et n est l'indice de réfraction du milieu transparent considéré. Exemple : La vitesse de la lumière dans l'air pour lequel n 1 est de v c m/s ce qui représente 900'000 fois la vitesse du son dans l'air. Dans l'eau pour laquelle n =1,33 la vitesse de la lumière vaut m/s. 1.3 Types d'ondes Toutes les ondes vues jusqu'ici peuvent être classées en deux catégories selon que la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde (ondes transversales) ou que la perturbation est parallèle à la direction de propagation (ondes longitudinales). Ainsi qu'on peut le voir dans les images ci-dessous, les perturbations dans une corde et dans un ressort représentent les exemples les plus simples de ces deux types d'onde : Ondes transversales Ondes longitudinales Les vagues, la lumière, les principales ondes dans une corde, certains types d'ondes sismiques sont des ondes transversales (figure de gauche). Le son dans l'air, d'autres types d'ondes sismiques, les perturbations dans un ressort produites par compression de boudins, sont des ondes longitudinales (figure de droite). Il peut arriver que dans un système mécanique les deux types d'ondes soient présents : c'est le cas pour une corde que l'on frappe et étire en même temps, le cas d'un ressort dont on resserre un certain nombre de boudins tout en l'agitant latéralement, etc. Seules les ondes transversales ont la propriétés d'être polarisées. Si l'on se représente en effet une corde que l'on secoue, on imagine facilement pouvoir produire une perturbation dans un plan particulier (vertical, horizontal ou autre) contenant la direction de propagation. Dans le cas de la lumière, cette propriété conduit à des applications spécifiques telles que les lunettes polaroïd par exemple. Notons qu'il est plus facile de dessiner une onde transversale qu'une onde longitudinale! - 7 -

6 1.4 Propriétés des ondes Lorsqu'une onde change de milieu au cours de sa propagation (par exemple lors du passage d'une onde d'une corde mince à une corde épaisse, ou lors du passage d'une onde de pression de l'intérieur d'un tuyau à l'extérieur de ce même tuyau, ou encore lors du passage d'une vague d'un milieu ouvert tel que l'océan à un milieu limité tel que l'entrée d'un port), il se produit un certain nombre d'effets que nous décrivons brièvement ci-dessous. On notera tout d'abord qu'une partie de l'énergie est réfléchie à l'endroit du changement de milieu, alors qu'une autre partie est transmise ou absorbée. L'énergie incidente I se répartit ainsi en énergie réfléchie R et transmise T (ou absorbée A). La conservation de l'énergie impose que I=R+T(+A). Réflexion La réflexion est le phénomène le plus familier et le plus simple à décrire : la réflexion d'une onde sonore sur une surface produit un écho, celle de la lumière explique la formation des images par un miroir. Cependant, selon que la réflexion a lieu sur un milieu plus rigide ou moins rigide que le premier milieu, elle se produit avec ou sans changement de signe (ce que l'on appelle avec ou sans saut de phase). Ceci est vrai pour tous les types d'ondes et est illustré dans les figures ci-contre dans le cas d'une onde se propageant le long d'une corde. Réfraction : Une onde de direction donnée qui passe d'un milieu à un autre change généralement de direction : la direction réfractée dépend de la vitesse de propagation de l'onde dans chacun des milieux. La loi de Snell-Descartes pour la lumière est un cas particulier de la réfraction. Diffraction : Une propriété remarquable propre aux ondes, est celle de pouvoir contourner un obstacle. C'est ainsi que l'on peut entendre des sons provenant de sources qui ne sont pas dans notre ligne de visée. Cela ne serait pas le cas si les sons étaient constitués de particules matérielles : celles-ci se propageraient immanquablement en ligne droite et l'on ne pourraient entendre les sons provenant de sources invisibles! La diffraction est d'autant plus marquée que l'ouverture de l'obstacle est petite par rapport à la longueur d'onde

7 1.5 Principe de superposition Lorsque deux particules se rencontrent, elles obéissent aux lois régissant les chocs des corps matériels. Qu'en est-il lorsque deux ondes se trouvent au même endroit au même instant? Si les amplitudes des ondes ne sont pas trop importantes, les perturbations se superposent l'une à l'autre sans s'influencer mutuellement. Pour obtenir la perturbation résultante, il suffit d'additionner les amplitudes des ondes individuelles à un endroit donné au même moment : Dans le cas où deux ondes se déplacent en sens opposés, on obtient la série des instantanés suivants montrant qu'après s'être superposées, les ondes poursuivent leur chemin sans être déformées (ce qui est le cas par exemple dans une conversation croisée entre plusieurs personnes ou lorsque les ondes radio provenant de diverses stations s'interpénètrent, etc). Le principe de superposition revient donc à une addition algébrique simple des fonctions décrivant les ondes. Il a des conséquences très particulières et intéressantes dans le cas des ondes harmoniques qui seront décrites dans le chapitre suivant, permettant d'expliquer toutes une catégorie de phénomènes tels que les interférences, les ondes stationnaires, les battements

8 Exercices Sauf indication contraire, la température ambiante est de 20 C dans les exercices suivants. 1. Une perturbation de forme triangulaire se propage le long d'une corde à la vitesse de 1 m/s et est réfléchie à l'une des extrémités, une fois avec saut de phase (extrémité fixée), une fois sans saut de phase (extrémité libre). Dessiner la perturbation pour chaque seconde entre t = 0 et t = 8 s. t = 0 s t = 0 s x(m) Extrémité fixe x(m) Extrémité libre 2. Calculer et esquisser la fonction f (x) = paramètre t : t = 0 s ; t = 0,5 s ; t = 1 s. Faire de même pour la fonction g(x) = 1 0,8(x 2t) 2 + 0,1 1 0,8(x 2 2t) + 0,1. Comparez. pour différentes valeurs du 3. Le bruit du tonnerre vous parvient 2,3 secondes après que vous ayez été éblouis par l'éclair. A quelle distance l'orage a-t-il lieu? 4. Un séisme a lieu à une distance d d'un observateur. L'onde primaire (onde de compression se propageant à 6 km/s) parvient à l'observateur 30 s avant l'onde secondaire (onde transversale se propageant à la vitesse de 5 km/s). Que vaut la distance d? 5. La vitesse de propagation d'une onde sonore dans l'acier est de 5050 m/s. Quelle serait la vitesse de propagation de cette onde dans le cuivre dont la rigidité est inférieure de 40% à celle de l'acier? 6. Calculer la vitesse d'une onde se propageant dans une corde longue de 6 m, de masse de 560 g et tendue avec une force de 3 N. 7. Une corde longue de 3 m et dont la masse vaut 500 g, est le siège d'une onde progressive. Quelle doit être la tension de la corde pour que la vitesse soit de 10 m/s?

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10 8. Une des cordes de violon est en acier et son diamètre vaut 1/4 mm. (a) Quelle est la vitesse d'une onde élastique dans cette corde lorsque la corde est tendue avec une force de 70 N? (b) Une corde en boyau (ou nylon) possède une masse volumique environ 7 fois inférieure à celle de l'acier. Quelle serait la vitesse de l'onde si on remplaçait la corde en acier par la corde en boyau en maintenant la même tension? 9. Une corde tendue, longue de 12 m, est constituée sur un quart de sa longueur d'une matière dans laquelle la perturbation se propage à 20 m/s. Le reste de la corde est plus mince, son diamètre valant le tiers de celui de la première partie de la corde. Combien de temps faut-il à la perturbation pour faire un aller-retour d'un bout à l'autre de la corde? 10. Quel est le temps mis par le son pour parcourir la nef d'une église longue de 121 m lorsque la température est de 25 C? Lorsqu'elle est de 0 C? 11. Comparer la vitesse du son dans l'oxygène à sa valeur dans l'air pour une température T donnée. 12. Discuter la variation de vitesse de propagation d'une onde dans une corde lorsqu'on (a) double la tension de la corde (b) double le diamètre de la corde (c) double la tension ainsi que le diamètre de la corde (d) à tension et diamètre égaux, si on remplace une corde en acier par une corde en nylon. 13. Un tuyau d'orgue est long de 5 m. Combien d'allers-retours le son peut-il faire en une seconde? 14. On produit des ondes dans un bac rempli d'eau. La profondeur de l'eau est de 8 mm. A quelle vitesse se déplacent les ondes? On dépose un petit bouchon à la surface de l'eau. Si la distance entre deux crêtes successives est de 6 cm, combien de va-et-vient le bouchon exécute-t-il par seconde? 15. Comparer la vitesse d'une onde à la surface de l'eau lorsqu'elle se déplace dans l'océan (profondeur moyenne 4000 m) et lorsqu'elle se rapproche de la plage (profondeur 1 m). [ λ >> h] 16. Montrer que le module d'élasticité, ou module de Young, a pour unité des Pa ou N/m

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