Exercices, feuille 8 Hydrostatique

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1 Paris 7 PH MÉCANIQUE DES MILIEUX DÉFORMABLES Exercices, feuille 8 Hydrostatique 1 Isotropie de la pression Au sein d un fluide au repos dans le champ de pesanteur, on isole un prisme rectangulaire, assez petit pour que les pressions sur chacune de ses faces soient à peu près uniformes (si nonégales puisqu on se pose la question de leur isotropie). 1. Énumérez les diverses forces agissant sur ce système. 2. Sachant que ce système est en équilibre, en déduire deux relations entre les pressions sur les faces. 3. Toujours au même endroit dans le fluide, on isole un prisme semblable (même angle β) mais plus petit (b 0). Qu en est-il alors des pressions sur les faces? 2 Trois fluides homogènes Quelle relation l équilibre hydrostatique implique t-il entre les hauteurs h 0, h 1 et h 2? Que devient cette relation dans la mesure où ρ 0 ρ 1, ρ 2? 3 Barrage 1. L eau (profondeur H) dans un canal de section rectangulaire (largeur L) est retenue par une cloison verticale. i) Calculez le module de la force R qu il faut appliquer sur la cloison pour la maintenir en équilibre. ii) Déterminez la hauteur à laquelle il faut appliquer cette force. Cette configuration est-elle stable? 2. La cloison est maintenant inclinée d un angle α par rapport à la verticale. i) Déterminez la direction, le module et la ligne d action de la force F équivalente (même résultante, même moment par rapport à tout point) à l ensemble des forces de pression sur la cloison. ii) On néglige le poids de la paroi ainsi que le frottement entre le pied de la paroi et le fond du canal. Déterminez le module de la force horizontale R qu il faut appliquer à la cloison pour assurer son équilibre. Déterminez (géométriquement, c est plus simple) la position de sa ligne d action. 4 Miraflores Un navire attend patiemment dans la dernière écluse du canal de Panama tandis que le niveau de l eau baisse. Lorsque le niveau est stabilisé et la porte déverrouillée, celle-ci commence d elle-même à s ouvrir vers l océan. Le navire commence à se déplacer vers la mer, sans l aide d un remorqueur ni de sa propre machine. Qu est-ce qui le pousse vers le large? (Masse volumique de l eau de mer ρ 1,025g cm 3, profondeur des écluses 25 m, largeur 35m.)

2 2 Mécanique des Milieux Déformables, PH314 Paris 7 5 Siphon Quelle est la pression du liquide à l extrémité inférieure du tuyau (fermé)? Que se passe t-il lorsqu on ouvre le robinet? Le siphon permet-il de franchir n importe quelle dénivellation? 6 Fluide tournant en bloc Un récipient est entraîné en rotation autour d un axe vertical à vitesse angulaire Ω constante. On attend que l eau dans le récipient tourne en en bloc avec le récipient (autrement dit sans mouvement relatif à celui-ci). 1. Quelle est l équation z = Z(r) d une surface isobare dans l eau? 2. Quelle est l expression de la pression p(r, z) en un point dans l eau? 3. Le récipient est cylindrique de rayon R. Calculez l abaissement du niveau de l eau au centre de la surface libre. 7 Balance Sur le plateau d une balance, on place un récipient contenant de l eau (masse totale du récipient et de l eau : 10 kg) et une potence (2kg) à laquelle est suspendu un cube (10 cm de côté) de cuivre (masse volumique : 8, kg m 3 ). Dans un premier temps, le cube pend dans l air. Dans un deuxième temps, le cube est entièrement immergé dans l eau, sans reposer au fond du récipient. 1. Quelle est la variation de l indication de la balance lorsque l on immerge le cube dans l eau? 2. Même question que précédemment, lorsque la potence n est plus posée sur le plateau de la balance, mais sur la table, le récipient étant toujours posé sur le plateau de la balance. 3. Même question, mais cette fois le cube est attaché sous le plateau de la balance et le récipient d eau est posé sur la table. 8 Atmosphère isotherme 1. On assimile l atmosphère terrestre à un gaz parfait. Estimez la masse molaire de ce gaz. 2. Le champ d attraction terrestre est, localement, à peu près uniforme. Déterminez, dans l hypothèse d une atmosphère uniforme, le champ de pression atmosphérique p T (z) en fonction de z. Calculez la hauteur typique de la variation de la pression. 9 Glaçon Un glaçon flotte dans l eau remplissant un verre plein à ras-bord. Le glaçon fond. Le verre déborderat-il? 10 Petite banquise Un morceau de glace (ρ 0, kg m 3 ) flotte sur l eau. 1. Quelle est la proportion de son volume qui se trouve dans l eau? 2. Quel doit être le volume minimum de ce morceau de glace pour soutenir un homme de 70 kg?

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