L induction électromagnétique et la loi de Faraday (Tous les cours à partir du cours XIX)

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1 L induction électromagnétique et la loi de Faraday (Tous les cours à partir du cours XIX) Le phénomène d induction électromagnétique peut être mis en évidence par les deux expériences simples suivantes. On utilise un circuit électrique C qui est un simple fil électrique formant un contour fermé. Il n y a aucun générateur dans le circuit. Le circuit s apparente donc à une simple résistance. On branche un galvanomètre pour pouvoir mesurer l intensité I qui circule dans C. Expérience A On place le circuit dans un champ magnétique indépendant du temps. Par exemple, on utilise un aimant fixe pour créer ce champ. Si on met C en mouvement (ou si on le déforme), on observe I 0. Si on maintient le circuit fixe (même très proche de l aimant), I = 0. L effet observé est plus important si les mouvements du circuit sont violents. Il est aussi plus important si C est un solénoïde, et encore plus important si on insère un noyau de fer dans le solénoïde. Expérience B Le circuit est fixe. On approche un aimant. On observe que I 0pendant que l aimant est en mouvement. Si on maintient l aimant fixe (même très proche du circuit), I = 0. L effet observé est plus important si les mouvements de l aimant sont violents. Il est aussi plus important si C est un solénoïde, et encore plus important si on insère un noyau de fer dans le solénoïde. Ces phénomèmes d induction électromagnétique sont absolument fondamentaux. Ils sont à la base de toute notre économie moderne puisque c est grâce à eux que l on peut produire de l électricité avec une grande puissance, comme nous le verrons. Nous allons chercher à expliquer les expériences A et B dans la suite. 1. Compléments sur la loi d Ohm et ses conséquences Nous avons vu (section 2 du cours sur la loi d Ohm et l effet Joule) que, dans le cas du régime permanent, l intensité le long d une branche de circuit est indépendante du point de la branche considéré (c est un cas particulier de la loi des nœuds). Ce résultat simple permettait de calculer facilement la circulation du courant électrique J le long d une branche de circuit et d en déduire une formule pour la résistance en particulier. 68

2 Nous voudrions voir comment l analyse peut se généraliser au cas où le régime n est plus permanent (et en particulier l intensité dans le circuit peut dépendre du temps). Pour simplifier, on considère que le circuit C est fixe. Soit z la coordonnée le long de C (z est l abscisse curviligne), u le vecteur tangent unitaire le long du contour. Le courant électrique est J = J(z, t) u et la densité de charge électrique ρ(z, t). 1. (*) En utilisant la loi d Ohm, montrer que le champ électrique est de la forme E = E(z, t) u. 2. (*) Écrire la loi de conservation de la charge pour une surface fermée englobant une petite portion de longueur dz du fil électrique et en déduire que ρ t + J z =0. (74) 3. (*) Écrire le théorème de Gauss pour la même surface fermée que dans la question précédente et en déduire que 4. (*) Montrer que E z = ρ ɛ 0 (75) ρ t + σ ɛ 0 ρ =0. (76) En déduire que toute fluctuation produisant ρ 0 à un instant donné est presque immédiatement éliminée en un temps caractéristique τ que l on calculera en fonction de σ et ɛ 0 ; calculer numériquement τ pour un conducteur métallique standard. En conclusion, on peut toujours considérer que ρ 0, même dans un régime dépendant du temps, tant que les fréquences mises en jeu sont petites devant 1/τ (en particulier ce résultat est parfaitement valable pour les fréquences de 50 Hz utilisées dans beaucoup d applications). 5. (*) Déduire des résultats ci-dessus que J(z, t) ne dépend pas de z, c est-à-dire que le courant électrique reste le même le long d une branche de circuit. Plus généralement, comment s écrit la loi des nœuds? Les électrons de conduction (ou, plus généralement, les charges mobiles) d un conducteur plongé dans un champ électrique E sont soumis à la force de Coulomb q E. Nous avons vu dans un chapitre précédent que ceci entraînait l apparition d un courant électrique macroscopique dans le conducteur, de la forme J = σ E, où σ est la conductivité du conducteur. 69

3 Les électrons de conduction ne font bien sûr pas de discrimination entre les différentes forces qui peuvent d exercer sur eux. Si la force prend la forme q E, où E est un certain champ de vecteurs qui ne coïncide pas forcément avec le champ électrique, alors la loi d Ohm s écrira J = σ E. (77) Nous avons montré ci-dessus que la densité de charge dans un conducteur reste très proche de zéro lorsque E = E est le champ électrique. Nous admettrons que ce résultat, et donc toutes ses conséquences, reste valable dans le cas plus général considéré ici. 1. (*) Montrer que C E dm = RI (78) si R est la résistance du circuit et I l intensité qui le parcourt. En déduire qu une intensité peut circuler dans le circuit, même en l absence de générateur, à condition que le champ E ne soit pas à circulation conservative. La quantité e = s appelle la force électromotrice induite dans le circuit. C E dm (79) 2. (*) Comment est modifiée (78) dans le cas où le circuit contient des générateurs de tension? Justifier l appellation force électromotrice induite pour la quantité définie en (79). 2. Explication de l expérience A Nous avons maintenant tout en main pour pouvoir expliquer l expérience A. 1. (*) Montrer que, dans les conditions de l expérience A, une charge de conduction q placée au voisinage d un point M du circuit est soumise à une force f = q( w + v) B(M), (80) où w est la vitesse de la charge par rapport au circuit et v la vitesse du point M du circuit. En déduire E dans ce cas. 2. (*) Montrer que, en moyenne, w est parallèle au vecteur tangent au circuit et que donc le terme w B ne peut pas contribuer, en moyenne, à la force électromotrice induite (79). 70

4 3. (*) En déduire que la force électromotrice induite s écrit e = E m dm (81) où le champ électromoteur E m est C E m = v B. (82) Attention : la vitesse v qui intervient dans l équation précédente est la vitesse du circuit et non pas celle des électrons! 4. (*) En remarquant que le calcul de l intégrale (81) pour le champ électromoteur (82) est essentiellement le même que celui, déjà fait dans un cours précédent, du travail de la force de Laplace, en déduire que E m n est pas, en général, à circulation conservative et que la force électromotrice induite est e = dφ dt, (83) où φ est le flux du champ magnétique à travers le circuit. 5. (*) Expliquer toutes les facettes des phénomènes observés dans l expérience A. 3. Explication de l expérience B et la loi de Faraday Dans le cas de l expérience B, le circuit étant fixe, la seule force électromotrice possible est la force de Coulomb (*) Montrer que le résultat de l expérience A démontre que le champ électrique ne peut être à circulation conservative en présence d un champ magnétique dépendant du temps. 2. (*) Quelle est la conséquence pour la notion de potentiel et de différence de potentiel électrique? Les conséquences de l expérience A, et de multiples autres expériences du même type, peuvent s interpréter à l aide de la loi de Faraday. C est une grande loi de la Physique, toujours vraie, l une des quatre équations de Maxwell. Elle s énonce comme suit. La circulation du champ électrique le long d un contour fermé fixe quelconque est égale à l opposé de la variation du flux du champ magnétique à travers le contour. Il faut noter que dans l énoncé de la loi de Faraday, le contour considéré est un contour mathématique quelconque qui n a rien à voir a priori avec un circuit électrique. 71

5 Le champ d application de cette grande loi de la Physique ne se limite d ailleurs évidemment pas au cas des circuits électriques! Cependant, dans la pratique, lorsque nous étudions des circuits électriques, la loi est souvent appliquée le long d un contour coïncidant avec une maille d un circuit électrique. Noter également que la loi de Faraday fait intervenir les variations de flux et non pas le flux lui-même. Noter enfin que l énoncé de la loi de Faraday présuppose que l on sache que le champ magnétique est à flux conservatif. Dans le cas contraire, la notion de flux du champ à travers le contour n aurait aucun sens. Mathématiquement, la loi s écrit dφ E dm = dt = d dt C Σ B n ds, (84) où dans la deuxième égalité on a introduit une surface Σ quelconque s appuyant sur le contour C et orientée par lui, Σ = C. Comme le contour C est fixe dans l énoncé de la loi de Faraday, on peut aussi écrire (84) comme C E dm = Σ B t n ds. (85) Sous cette forme, la loi de Faraday ne dépend pas du fait que C soit fixe ou non ; l égalité (85) est automatiquement valable à tout temps t pour un certain contour C donné au temps t. (*) Expliquer toutes les facettes des phénomènes observés dans l expérience B. 4. Le cas général d un circuit en mouvement dans un champ B(t) variable 1. Montrer que dans le cas général d un circuit C en mouvement dans un champ magnétique dépendant du temps, la force électromotrice induite dans le circuit prend la forme e = E m dm (86) C pour un certain champ électromoteur E m qui est la somme d une composante d origine électrique et d une composante d origine non-électrique que l on explicitera. 2. Soit un contour fermé C (t) qui se déplace au cours du temps, v(m, t) étant la vitesse d un point M du contour à l instant t. Soit a(m, t) un champ de vecteurs 72

6 à flux conservatif, et soit ϕ(t) le flux de ce champ de vecteurs à travers C (t) à l instant t. Montrer que dϕ dt = a ( ) n ds + a v dm, (87) t Σ(t) où Σ(t) est n importe quelle surface s appuyant sur le contour C (t) et orientée par lui. 3. Déduire de la question précédente que la force électromotrice induite (86) s écrit C (t) e = dφ dt, (88) où φ est le flux du champ magnétique à travers le circuit électrique. Le point remarquable est que la formule (88) tient compte, dans tous les cas de figure, à la fois des composantes électriques et non-électriques du champ électromoteur. 5. La loi de Lenz La loi de Lenz est une loi qualitative qui donne une interprétation au signe dans la formule (88) : les courants induits circulent toujours dans un sens tel que par leurs actions ils s opposent à la cause qui les crée. Ce principe est très pratique et permet de décrire qualitativement, sans avoir à faire de calcul, les effets des phénomènes d induction (sens des courants induits et du champ magnétique qui en résulte, forces qui s exercent entre circuits, etc... ). (*) Illustrer la loi de Lenz sur quelques exemples (par exemple en discutant le sens des courants induits et les forces qui s exercent lorsque l on approche ou que l on éloigne un aimant d un circuit, ou lorsque l on déforme un circuit en présence d un champ magnétique extérieur). La loi de Lenz régit tous les phénomènes d induction électromagnétique et nous en verrons de multiples exemples dans la suite. 6. La notion de d.d.p. n est pas bien définie dans un champ B(t) variable La loi de Faraday implique qu en présence d un champ magnétique variable le champ électrique n est pas à circulation conservative. En particulier, la notion de potentiel du champ électrique ou de différence de potentiel ne peut plus être définie sans ambiguïté et n a donc plus aucune signification physique. Pour illustrer ce fait, 73

7 A V 1 V 2 R 1 R 2 B(t) B Fig. 2 Circuit plongé dans un champ magnétique variable. On branche deux voltmètres, qui mesurent les tensions V 1 et V 2 aux mêmes bornes A et B. En raison du phénomène d induction électromagnétique, V 1 V 2. considérons le montage de la Fig. 2. Un champ magnétique variable B(t) règne dans la maille centrale du circuit. Il est créé par un solénoïde traversant la maille centrale perpendiculairement au plan du circuit et parcouru par une intensité variable. En raison de ce champ variable, in existe une force électromotrice induite e 0 dans la maille (on oriente la maille comme indiqué sur la figure). (*) Les voltmètres mesurent les d.d.p. V 1 et V 2. Calculer V 1 et V 2. Montrer que, bien que les voltmètres soient branchés aux mêmes bornes, V 1 V 2. Que vaut V 1 V 2? 7. Quelques applications Nous discutons ci-dessous quelques applications des phénomènes d induction électromagnétique. D autres applications seront discutées dans les chapitres suivants. 1. (*) (a) Que sont les courants de Foucault? (b) Expliquer qualitativement le principe des plaques de cuisson à induction. (c) Expliquer qualitativement le principe du freinage magnétique. Donner quelques exemples (par exemple : chute d un aimant dans un tube en aluminium ; freinage magnétique des trains ou des camions). 74

8 ω B R I Fig. 3 Une roue conductrice (grisée sur la figure), de rayon l, plongée dans un champ magnétique constant B perpendiculaire à son plan, peut tourner autour de son axe à la vitesse angulaire ω. On relie un fil électrique au centre de la roue d une part et à l extrémité de celle-ci d autre part (le contact se faisant par exemple par l intermédiaire d une brosse). La résistance du circuit fermé ainsi constitué est R. Plusieurs applications de ce montage (compteur d électricité, dynamo,...) sont discutées dans le texte principal. 2. (*) On considère le montage de la Fig. 3. Les effets de l auto-inductance pour ce montage sont faibles et on les négligera dans la suite. (a) Dans cette question, on suppose qu un générateur est présent dans le circuit (même s il n est pas représenté sur la figure) et qu il fait circuler une intensité I constante. Calculer le couple C, dû à la force de Laplace, qui s exerce sur la roue. Expliquer le principe de fonctionnement d un compteur d électricité. (b) Dans cette question, il n y a plus de générateur branché dans le circuit. Par contre, un opérateur extérieur fait tourner la roue à la vitesse angulaire constante ω. i. Montrer qu un courant circule et calculer son intensité I. ii. Quelle est la puissance développée par l opérateur? Que devient l énergie qu il fournit? iii. L opérateur lache la roue. Que se passe-t-il (on néglige toute force de frottement)? On calculera ω(t) de deux manières différentes, l une 75

9 en utilisant le résultat de la question 2a, l autre en faisant un bilan d énergie. On notera J le moment d inertie de la roue par rapport à son axe. Commenter sur l efficacité du freinage magnétique. iv. Expliquer le principe de fonctionnement d une dynamo de vélo. 3. (*) On considère un cadre rectangulaire en rotation à la vitesse angulaire ω autour d un axe (Oz) qui est contenu dans son plan, parallèle à deux de ses arêtes et passe en son centre. Le cadre est plongé dans un champ magnétique constant B = B u x. Les effets de l auto-inductance dans ce problème sont faibles et on les négligera. (a) Calculer le courant électrique qui circule dans le cadre. (b) Expliquer le principe de fonctionnement d un alternateur et comment il est utilisé dans une centrale électrique (thermique, hydraulique ou nucléaire). (c) Expliquer comment on peut produire aisément du courant alternatif multiphasé (par exemple triphasé). Pouvez-vous citer une utilisation intéressante du courant multiphasé? 4. (*) Expliquer le principe de fonctionnement d un transformateur (on pourra effectuer un calcul explicite dans le cas où le couplage entre le primaire et le secondaire est parfait). Quel est l intérêt de cet appareil? 5. Les gaz, dans un moteur de voiture, sont enflammés par un arc électrique créé par un dispositif simple appelé une bougie. Il y a une bougie dans chaque cylindre du moteur, et les bougies produisent chacune un éclair à chaque tour de moteur (ceci fait combien d éclairs par minute dans la Ferrari 599X qui est un V12 pouvant tourner jusqu à 9000 tours par minute?). Pour produire un éclair, la d.d.p. aux bornes des pointes des bougies doit être de l ordre de V. Comment peut-on réaliser cela, sachant que les voitures (même les Ferrari!) ne sont munies que d une batterie de 12 V? 6. Lorsque l on approche un aimant d une barre de fer, les domaines de Weiss de la barre ont tendance à s aligner avec le champ magnétique de l aimant. Décrire un dispositif permettant d entendre (littéralement!) les domaines de Weiss s aligner (effet Barkhausen). 7. (*) Un moteur asynchrone (aussi appelé moteur à induction) est constitué par un rotor cylindrique d axe (Oz) dont la section est un polygone régulier à n côtés (voir Fig. 4). Chacune des faces du rotor est un rectangle de surface S. On prendra ces rectangles creux, et chaque face sera assimilée à un circuit fermé rectangulaire de résistance R. Le stator, constitué d un jeu de bobines alimentées en courant alternatif triphasé de pulsation ω, crée un champ magnétique 76

10 Fig. 4 Le rotor en forme de cage d un moteur asynchrone (dans le cas n = 6). Les boucles de courant sont indiquées en gras sur la figure. uniforme tournant dans le plan (Ox, Oy) dans lequel le rotor est plongé. On repère la position angulaire du rotor par l angle θ (sa vitesse de rotation angulaire est donc θ). On négligera les effets de l auto-induction. (a) Calculer le flux du champ magnétique à travers chaque boucle rectangulaire et en déduire la force électromotrice induite et l intensité qui circule dans les boucles. (b) En déduire le couple de force qui s exerce sur chaque boucle puis sur le rotor tout entier. (c) Quelle est la vitesse angulaire maximale d un moteur asynchrone? Comment peut-on varier cette vitesse? Les moteurs asynchrones ont remplacé les moteurs à commutateurs (qui fonctionnent en courant continu) dans de nombreuses applications (ils équipent par exemple les TGV modernes). 8. Un problème très important et non-résolu de la géophysique moderne est de comprendre l origine du champ magnétique terrestre. Qualitativement, on pense que ce champ apparaît spontanément en raison des mouvements de convection du fer liquide dans le noyau de la Terre. Cependant, résoudre le problème complètement à partir des équations est extrêmement difficile, en particulier en raison du caractère turbulent des écoulements dans le noyau. Notre but ici est de montrer, sur un modèle extrêmement simple, comment un champ magnétique peut 77

11 z ω O I Fig. 5 La dynamo de Bullard. apparaître spontanément sous certaines conditions. Cette dynamo de Bullard est censée donner au moins une idée qualitative de certains des mécanismes à l œuvre dans le noyau. Le dispositif est représenté sur la Fig. 5. La barre est animée d un mouvement de rotation à la vitesse angulaire ω imposée par un opérateur extérieur (ce mouvement modèlise les mouvements du fer liquide dans le noyau terrestre ; dans ce cas les mouvements sont produits par la convection due aux différences de température). Elle repose sur un anneau conducteur fixe de rayon l et est attachée à l axe de rotation, lui aussi conducteur. Un fil conducteur relie l anneau fixe à l axe de rotation de la barre, selon une géométrie particulière qui, comme on le verra, produit un effet de contre-réaction positive sur le phénomène d induction électromagnétique. Si un courant I circule, un champ magnétique est créé. On supposera que ce champ est essentiellement dû aux spires de courant inférieures. Ces spires sont des cercles centrés sur l axe de rotation. On note M la mutuelle inductance entre les spires inférieures et l anneau conducteur fixe. L est l auto-inductance des spires inférieures (qui est à peu près égale à l auto-inductance du circuit dans son ensemble). On note aussi R la résistance totale du circuit (qui est considérée comme constante). On n applique aucun champ externe dans le problème. (a) On pourra utiliser des coordonnées cylindriques (ρ, θ, z), l axe (Oz) correspondant à l axe de rotation et l origine O étant le centre de l anneau 78

12 fixe. i. On veut que M > 0. Ceci correspond à une orientation de l anneau que l on précisera (les spires étant orientées comme sur la figure). ii. Soit B le champ magnétique créé par les spires inférieures. Montrer que l ρb z (ρ, z = 0) dρ = MI 2π (89) 0 (b) Montrer que la force électromotrice totale dans le circuit se décompose en une composante électrique e E et une composante non-électrique e B. Exprimer e E et e B en fonction de L, M, I et ω. (c) Écrire l équation différentielle satisfaite par I. Montrer que si Mω > 2πR il peut apparaître spontanément une intensité dans le circuit et donc un champ magnétique. Qu est-ce qui limite ce champ magnétique? (on pourra calculer le moment de force qui s exerce sur la barre). 79

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