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Sabine Leblanc
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Conservatoire National des Arts et Métiers Région Centre-Val de Loire Ecole de calculs IN2P3 2015 La théorie

1 Conservatoire National des Arts et Métiers Région Centre-Val de Loire Ecole de calculs IN2P La théorie des poutres Sollicitations simples : o o o o Traction-compression Cisaillement Torsion Flexion Daniel Bernoulli

Poisson ν est négligé (les dimensions de la section ne varient pas) Par

2 Théorie des poutres Hypothèses sur la géométrie : une distance très grande devant les deux autres Hypothèses sur le matériau : le coefficient de Poisson ν est négligé (les dimensions de la section ne varient pas) Par exemple : si poutre de diamètre D et longueur L Alors L>>D et ΔD=0 Torricelli Evangelista

3 Notion d isostatisme et hyperstatisme Exemples : isostatisme Exemples : hyperstatisme Avantages et inconvénients isostatisme et/ou hyperstatisme Isostatisme : calculable, montable, interchangeabilité, Hyperstatisme : rigide, usinage, apérage, liaison élastiques,.

4 Détermination des efforts extérieurs Principe Fondamental de la Mécanique { actions mécaniques extérieures } = { D S / R } Σ F actions mécaniques extérieures / S = M ΓG S / R0 Σ M A actions mécaniques extérieures / S = δ A S / R0 0

5 Sollicitations intérieures Partie gauche Partie droite Gi Notion de «coupure» Gi On isole la partie gauche

6 Sollicitations intérieures Au niveau de la coupure, la matière de la partie droite exerce des efforts sur la matière de la partie gauche Mf Gi T N Infinité d efforts Effet résultant N T Mf effort normal effort tranchant moment de torsion moment de flexion Thomas Watt

7 Etude de la traction Notion de «coupure» action de la partie droite sur la partie gauche N Hypothèse de répartition des contraintes σ Joseph Alfred Serret

Etude de la traction : calcul à la résistance σ = théorique N S N effort «normal» (en N) S section de la poutre (en mm²) σ contrainte normale (en Mpa : N/mm²) Si présence

8 Etude de la traction : calcul à la résistance σ = théorique N S N effort «normal» (en N) S section de la poutre (en mm²) σ contrainte normale (en Mpa : N/mm²) Si présence d un défaut de forme : rajouter un coefficient de concentration de contrainte k σ = k σ σ = σ réelle théorique admissible e Ce qui donne : N k S σ e S N k σ e Walter Ritz

9 Etude de la traction : calcul de la déformée Loi de comportement du matériau (relation contrainte-déformation) σ = E ε E module Young (en Mpa) Ce qui donne pour l étude de la traction N S = E L L D ou N L L = L S E adm S E N L L adm Coulomb Charles

10 Etude de la Torsion Notion de «coupure» action de la partie droite sur la partie gauche τ Max Hypothèse de répartition des contraintes

11 Etude de la Torsion calcul à la résistance τ = Max théo ( I v) 0 Moment de torsion (en N mm) Io moment polaire (en mm 4 ) v distance fibre neutre/fibre + éloignée (en mm) Si présence d un défaut de forme : rajouter un coefficient de concentration de contrainte τ = k τ = k τ I v e réelle Max adm ( 0 ) 2 R 2 I0 v k R e Avec pour un cylindre plein : 4 π d d I0 = et v = 32 2 d 3 10 k R e Et pour un tube : 4 4 ( ) π D d D I0 = et v = 32 2

12 Etude de la torsion : calcul de la déformée = G I θ 0 θ = α L G module transversal G 0, 4 E θ Déformée angulaire par unité de longueur Castigliano Carlo Alberto α Déformée angulaire de la poutre entre deux sections distantes de L

13 Etude de la torsion : astuce 1! P, ω et d P, ω et d Arbres pleins, même matériau et rendement égal à 1 Arbre 1 : Arbre 2 : τ τ ( P / ω ) = = τ Max1 adm1 ( I01 / v1 ) d1 /16 3 ( π ) ( P / ω ) = = τ Max2 adm2 ( I02 / v2 ) d2 /16 τ = τ Si même matériau adm1 adm2 3 ( π ) d = d ω / ω Copernic Nicolas Si rendement = 1 P1 = P2

14 Etude de la torsion astuce 2! Pour la torsion préférer les cylindres creux de section circulaire René Descartes

15 Etude de la flexion Notion de «coupure» action de la partie droite sur la partie gauche Mf σ max v James Prescott Joule

16 Etude de la flexion calcul à la résistance σ = Max théo Mf ( I v) Mf Moment de flexion (en N mm) I moment quadratique (en mm 4 ) v distance fibre neutre/fibre + éloignée (en mm) Si présence d un défaut de forme : rajouter un coefficient de concentration de contrainte Mf σ = k σ = k σ = R ( I v) réelle Max adm e I v Mf k R e Avec pour un cylindre plein : 4 π d d I = et v = 64 2 d 3 32 k π R e Et pour un tube : 4 4 ( ) π D d D I = et v = 32 2

17 Etude de la Flexion calcul de la déformée E I y" = Mf Avec y déformée angulaire Et y déplacement de la section

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