Architecture des ordinateurs

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1 Architecture des ordinateurs 5 - Représentation des nombres en machine Philippe Darche IUT Paris Descartes Année

2 Représentation de l information en machine (rappel) Des 0 et des 1! B = 2 (base binaire) Philippe Darche 2 IUT Paris Descartes

3 Codes de numération (ou numériques) Codage uniquement des nombres Plusieurs familles ensemble des entiers naturels () et relatifs () ensemble des décimaux () ensemble des réels () Philippe Darche 3 IUT Paris Descartes

4 Représentations d un entier naturel (Code) Binaire Naturel (ou CBN) voir cours sur la numération Décimal Codé Binaire (DCB) ou BCD (Binary Coded Decimal) ou code 8421 compacté ou condensé (packed) un chiffre décimal = un quartet (demi-octet) non compacté, non condensé ou étendu (unpacked) un chiffre décimal = un octet! à ne pas confondre avec le binaire naturel Philippe Darche 4 IUT Paris Descartes

5 BCD compacté Exemple Propriétés + conversion élémentaire et lecture directe - place mémoire occupée élevée par rapport à CBN - calculs arithmétiques plus complexes Philippe Darche 5 IUT Paris Descartes

6 BCD non compacté Exemple Propriétés + conversion élémentaire et lecture directe - place mémoire occupée encore plus grande qu en version compactée - calculs arithmétiques plus complexes Philippe Darche 6 IUT Paris Descartes

7 Représentations d'un nombre entier relatif Entier relatif signe : + ou - module = valeur absolue toujours positif Problème : comment coder le signe? la réponse : un seul bit avec - 1 et + 0 intérêt : test du signe sur un seul bit Représentations usuelles signe et module (2sm), appelé aussi «signe et valeur absolue» complément à 2 n BCD signé Philippe Darche 7 IUT Paris Descartes

8 Représentation en signe et module (2sm) Constat : entier relatif = entier naturel avec un signe! Format n bits Philippe Darche 8 IUT Paris Descartes

9 Exemples de codage Format n = 8 bits +1 : : : : (absurde) Valeurs extrêmes pou un format n = 4 bits +7 : : 1111 Philippe Darche 9 IUT Paris Descartes

10 Représentation en signe et module (2sm) Avantages/inconvénients + valeur directement compréhensible par l'utilisateur + calcul simple de l'opposé arithmétique + calcul simple du signe pour la multiplication et la division signées - le chiffre zéro a deux représentations perte d'une valeur pour le codage à cause de la représentation de «-0» - (+x) + (-x) 0! - bit de signe S non pondéré Philippe Darche 10 IUT Paris Descartes

11 Représentation en signe et module (2sm) Etendue des valeurs A 10< 2sm [-(2 n-1-1) -1, -1] Formule de décomposition 10< 2sm = = 2 Philippe Darche 11 IUT Paris Descartes n non représentable A A < 0 > 0 n-1 S ( ) ( n a 2 + K+ a 2 + a 2 ) n S ( ) 1 i= n a i n-1 2 i non représentable 1 0

12 Conversion du nombre A A 10 A 2sm (au format n) vérification de l'appartenance à l'étendue des valeurs fonction du format n codage du signe S (bit a n-1 ) si A 0 alors a n-1 = 1 si A 0 alors a n-1 = 0 codage de la valeur absolue (bits a n-2 à a 0 ) conversion en binaire naturel Conversion inverse utilisation de la formule de décomposition pour le module puis ajout du signe Philippe Darche 12 IUT Paris Descartes

13 Opérations en signe et module Traiter les signes à part Traiter les modules à part calculs en binaire naturel Philippe Darche 13 IUT Paris Descartes

14 Représentation en complément à 2 n Objectif : supprimer les points négatifs du signe et module La réponse : donner au signe un poids Format n bits Philippe Darche 14 IUT Paris Descartes

15 Exemples de codage Format n = 8 bits +1 : : : Valeurs extrêmes pou un format n = 4 bits +7 : : 1000 Philippe Darche 15 IUT Paris Descartes

16 Représentation en complément à 2 n Avantages/inconvénients + une seule représentation du zéro + signe pondéré pas de perte de codage + un seul opérateur pour l'addition et la soustraction utilisation de l opposé (+x) + (-x) = 0 - valeurs négatives non compréhensibles directement Philippe Darche 16 IUT Paris Descartes

17 Représentation en complément à 2 n Etendue des valeurs A 10< c2n [-2 n-1, 2 n-1 A -1] non représentable < 0 > 0 n-1 Formule décomposition n-1 non représentable A 10< c2n = ( a n 1 2 n 1 ) + a n 2 2 n 2 + K+ a a = ( a n 1 2 n 1 ) + n 2 i= 0 a i 2 i Philippe Darche 17 IUT Paris Descartes

18 Relation fondamentale Calcul de l opposé = calcul du complément à 2 n A + 1 A -A A + 1 Philippe Darche 18 IUT Paris Descartes

19 Conversion du nombre A A 10 A c2n vérification de l'appartenance à l'étendue des valeurs fonction du format n Si A 0 Alors codage en binaire naturel en respectant le format Sinon codage de A, complémentation et incrémentation (i.e. + 1) Conversion inverse utilisation de la formule de décomposition Philippe Darche 19 IUT Paris Descartes

20 Arithmétique en c2n Un exemple d addition algébrique n = 8 nombre [-128,+127]) (sur-)dépassement de capacité (overflow) Philippe Darche 20 IUT Paris Descartes

21 Importance de l étendue des valeurs Le format et le code détermine l ensemble des valeurs numériques codables n = 8 généralisation Philippe Darche 21 IUT Paris Descartes

22 Formule et exemple S = A - B = A + (-B) = A + B + 1 Exemple (n = 8 bits) : Soit à calculer S = 8 10 = 8 + (-10) = - 2 A = B = +10 = B = = S = = Philippe Darche 22 IUT Paris Descartes

23 Résultats d'une addition algébrique Règles sur les opérandes signes opposés : aucun dépassement possible signes identiques : risque de dépassement Le CPU vérifie la validité du résultat à chaque addition indicateur ou drapeau OF (Overflow Flag) dans son registre d état (dépassement pour opération sur nombres signés) Philippe Darche 23 IUT Paris Descartes

24 Multiplication et division en c2n Le plus simple : traiter les signes à part et réaliser les opérations en binaire naturel! Philippe Darche 24 IUT Paris Descartes

25 Multiplication en c2n Algorithme de [Baugh and Wooley 73] Philippe Darche 25 IUT Paris Descartes

26 BCD signé Un octet est ajouté à gauche du module contenant le signe Même convention de codage du signe que pour les entiers relatifs sauf cas particuliers Philippe Darche 26 IUT Paris Descartes

27 BCD signé normalisé Standard IEEE 754 octet le plus à gauche un bit pour le signe avec sept bits de bourrage (stuffing bit) 18 quartets pour les chiffres du nombre Philippe Darche 27 IUT Paris Descartes

28 Tableau de correspondance entre représentations d entiers Philippe Darche 28 IUT Paris Descartes

29 Vue circulaire Format n = 4 bits complément à 2 3 module et signe binaire naturel > < Philippe Darche 29 IUT Paris Descartes -2

30 Conversions entre représentations en machine d entiers Philippe Darche 30 IUT Paris Descartes

31 Autres représentations entières signées Complément à la base diminué appelé aussi complément à 1 Représentation à chiffre signé (Signed-Digit Number Systems (SDNS), Signed-Digit Number Representations (SDNR) ou Redundant Number Systems) BSDNS (binary SDNS) chiffres -1, 0 et +1 Etc. Philippe Darche 31 IUT Paris Descartes

32 Extension de format Passage d un format n à un format n (n > n) CBN 2sm ajout de 0 non significatif à gauche ajout de 0 entre le signe et le module complément à 2 n extension du bit de signe = recopie du signe Philippe Darche 32 IUT Paris Descartes

33 Exemple de déclarations de type d entier dans un langage évolué (C) Forme signée (implicite) ou non signée (unsigned) Type char entier naturel codé en binaire naturel (si préfixe unsigned) ou entier relatif codé en complément à 2 n format n = 8 Type int entier relatif en complément à 2 n format n = 16 ou 32 Philippe Darche 33 IUT Paris Descartes

34 Représentations d'un nombre réel La problématique majeur risque d une représentation approchée ce problème n existe pas pour un entier! Philippe Darche 34 IUT Paris Descartes

35 Représentations d'un nombre réel A cela s ajoute le problème classique d une représentation qui est le risque d un surdépassement (overflow) Mais il y a aussi le risque d un sous-dépassement (underflow) - -A max -A min 0 A min A max + Philippe Darche 35 IUT Paris Descartes

36 Représentations des réels en machine Deux familles représentation en virgule fixe (2vfx) fixed-point representation en anglais pour le traitement numérique du signal principalement représentation en virgule flottante (2vfl) floating-point representation en anglais pour le calcul scientifique Philippe Darche 36 IUT Paris Descartes

37 Représentation en virgule fixe Une partie entière I au format i, signée dans la quasi-totalité des cas Une partie fractionnaire F au format f Format n = i + f Philippe Darche 37 IUT Paris Descartes

38 Représentation en virgule fixe Quelle représentation signée utilisée pour la partie entière? le complément à 2 n Philippe Darche 38 IUT Paris Descartes

39 Représentation en virgule fixe Exemple n = 4 avec i = 2 et f = 2 1,5 10 = 01,10 2vf Mais virgule implicite en mémoire pour un gain de place Philippe Darche 39 IUT Paris Descartes

40 Représentation en virgule fixe La précision Appelée aussi quantum q = B -f absolue et non relative grande étendue et grand quantum ou petite étendue et petit quantum Philippe Darche 40 IUT Paris Descartes

41 Philippe Darche 41 IUT Paris Descartes Représentation en virgule fixe Etendue des valeurs Formule ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + + = = = = < 2 n 0 j j j-f 1 i 1 i f 1 k -k -k 2 i 0 j j j 1 i 1 i c2n_vfx 10 2 a 2 2 a 2 a 2 a 2 a A f ( ) ( ) ( ) f 1 i 1 n f 1 n f 1 n f 2 2 A 2 2 ou A 2 2

42 Représentation en virgule fixe Notion de sous-dépassement de capacité si A < 2 -f Notion de sur-dépassement de capacité si A > 2 i-1 2 -f Philippe Darche 42 IUT Paris Descartes

43 Représentation en virgule fixe Avantages/inconvénients + calcul simplifié d où vitesse de calcul élevée utilisation en traitement numérique du signal quantum q absolu et non relatif = 2 -f = précision Philippe Darche 43 IUT Paris Descartes

44 Méthode de conversion proposée Pour la partie entière même méthode que pour les entiers Pour la partie fractionnaire multiplication par 2 méthode à généraliser pour une base B B Philippe Darche 44 IUT Paris Descartes

45 Exemple de conversion Soit à convertir 0,6875 en base 2 (i = 1) : 0, = 1,375 1 (poids a -1 = 2-1 ) 0,375 2 = 0,75 0 (poids a -2 = 2-2 ) 0,75 2 = 1,5 1 (poids a -3 = 2-3 ) 0,5 2 = 1 1 (poids a -4 = 2-4 ) D'où le résultat A = (0,1011) 2vfx Philippe Darche 45 IUT Paris Descartes

46 Un problème Comment faire des calculs mettant en œuvre des nombres avec des ordres de grandeur élevés? masse de l électron = 9, g masse du soleil = 1, g N A 6, mol -1 La réponse : la représentation en virgule flottante Philippe Darche 46 IUT Paris Descartes

47 Représentation en virgule flottante Un nombre peut s écrire sous la forme : A = M B E = M 2 E La représentation du nombre A se compose : d une mantisse M signée au format m elle définit la précision d un exposant E signé au format e il définit l ordre de grandeur format n = m + e Philippe Darche 47 IUT Paris Descartes

48 Exemple En base 10, pour faciliter la compréhension : A = = 2009, = etc. Un gros problème : plusieurs écritures du nombre! la solution : la normalisation de la mantisse en base B : B -1 M < 1 en base 10 : 10-1 M < 1 matrice uniquement fractionnaire pour avoir un maximum de chiffres significatifs l'exemple précédent devient : A = 0, Philippe Darche 48 IUT Paris Descartes

49 Normalisation de la mantisse Facteur de normalisation α B α-1 M B α α = 0 en général : 1 M < 1 B α = 1 avec la norme IEEE (B = 2) : 1 < M < 2 Philippe Darche 49 IUT Paris Descartes

50 Normalisation de la mantisse Avantages/inconvénients précision relative améliorée précision absolue réduite A < 0,1 2 2 e(min) non codable zéro en particulier Philippe Darche 50 IUT Paris Descartes

51 Représentation en virgule flottante Avantages/inconvénients + quantum relatif + précision adaptable difficultés d'implémentation bogue de l instruction FDIV du Pentium Pro (1994) bogue du vol 501 d Ariane (1996) valeur nulle non représentée Philippe Darche 51 IUT Paris Descartes

52 Représentation en virgule flottante Dispositions possibles de l exposant et de la matrice En général, la mantisse est représentée en signe et module (2sm) l exposant est en complément à 2 n (c2n) Philippe Darche 52 IUT Paris Descartes

53 L exposant décalé (ou biaisé) En anglais, biased exponent ou E b Objectif : rendre l exposant E toujours positif comparaison en machine d exposants plus facile Valeur de décalage = offset Nous avons : E b = E + offset = E + (2 e-1 1) Pour e = 8 bits, l offset est de 127 Philippe Darche 53 IUT Paris Descartes

54 Exemple En simple précision 0 et 255 sont des valeurs spéciales Philippe Darche 54 IUT Paris Descartes

55 Représentation en virgule flottante Formule (avec exposant décalé 1 < M < 2) M = m 2 i 1 f i 2 0 ( ) 1,f f 2 Kf ( m 2) = 1+ 2 i= Philippe Darche 55 IUT Paris Descartes

56 Les normes IEEE 754 et 854 Quatre précisions : simple, simple étendue, double et double étendue Philippe Darche 56 IUT Paris Descartes

57 Les normes IEEE 754 et 854 Étendue des valeurs Format Etendue normalisée approximative Simple précision 1, A 3, Double précision 2, A 1, Précision étendue 3, A 1, Philippe Darche 57 IUT Paris Descartes

58 La norme IEEE 754 Caractéristiques principales Format Paramètres simple précision simple précision étendue double précision double précision étendue Format (n bits) Mantisse (p bits) Exposant (e bits) E max E min Décalage exposant +127 = (7F) 16 non spécifié = (3FF) 16 non spécifié Philippe Darche 58 IUT Paris Descartes

59 La norme IEEE 754 Implémentée dans le coprocesseur Intel 80x87 Format Paramètres simple précision double précision double précision étendue Format (n bits) Mantisse (p bits) Exposant (e bits) E max E min Décalage exposant +127 = (7F) = (3FF) = (3FFF) 16 Philippe Darche 59 IUT Paris Descartes

60 Récapitulatif Format Précision Magnitude Représentation Entier 16 bits 16 bits 10 4 complément à 2 n Entier court 32 bits 10 9 complément à 2 n Entier long 64 bits complément à 2 n BCD compacté 18 chiffres BCD Réel simple précision 24 bits 10 ±38 virgule flottante Réel double précision 53 bits 10 ±308 virgule flottante Précision étendue 64 bits 10 ±4932 virgule flottante Philippe Darche 60 IUT Paris Descartes

61 Récapitulatif Format Format n Nb chiffres significatifs Etendue normalisée approximative (décimal) Entier 16 bits A Entier court A Entier long A BCD compacté A (18 chiffres) Réel simple précision , A 3, Réel double précision , A 1, Précision étendue , A 1, Philippe Darche 61 IUT Paris Descartes

62 Conclusion sur la représentation de l information en machine b 7 b 6 b 0 (50) 16 etc. "P" + bit d'imparité (80) 10 (+80) code ASCII binaire naturel complément à 2 format n = 8 des carottes!! une information est caractérisée par sa représentation et son format n Philippe Darche 62 IUT Paris Descartes