Révisions mécanique des fluides et conduction thermique TSI2_2015_2016

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1 Exercice 1 : On considère l atmosphère terrestre comme un gaz parfait isotherme (de température et de masse molaire ). Donner l expression de la pression () en référentiel terrestre galiléen (le champ de pessanteur est considéré uniforme et vertical). On utilisera le repérage ci-contre et une pression au niveau du sol donnée par. Avec la loi de la statique des fluides et un axe ascendant : () = Et la loi des gaz parfait donne alors : = Ainsi : () + = Exercice 3 Soit un écoulement dont le champ des vitesses, en repérage cylindrique, vérifie (avec constante positive) : 1) Dessiner quelques lignes de champ () = 2) Cet écoulement est-il incompressible? Est-il tourbillonnaire? On donne l expression de l opérateur divergent et rotationnel en repérage cylindrique : () = + +, () = Soit () = exp. Exercice 2 : On observe un écoulement axial de symétrie cylindrique dans une conduite cylindrique de rayon. Calculer le débit volumique et la vitesse moyenne de l écoulement (appelée aussi vitesse débitante) si : - = avec vitesse constante - = (1 ) avec vitesse en = Si le champ des vitesses est uniforme alors le débit est évident (et ne nécessite pas de calculer la surface!!!!) : = Avec le profil Poiseuille, on a : = Soit une vitesse moyenne donnée par (1 ) = 2 r 2 4 = 2 Avec le formulaire = = 2. Avec une analyse locale : =. = ( + )( + ) () = soit = = 2 Exercice 4 : Soit un écoulement orthoradial à symétrie cylindrique et tel que : = si > et = si <. Avec et constantes. Déterminer le vecteur tourbillon en fonction de. - Si < : () = 2 donc le vecteur tourbillon est - Si > : () = et le vecteur tourbillon est nul

2 Révisions mécanique des fluides et conduction thermique TSI2_215_216 Exercice 5 : On considère un écoulement stationnaire et homogène dans une canalisation de section variable. Comment augmenter, sans machine, d un facteur 4 la vitesse de l écoulement? Sachant que l écoulement est stationnaire et homogène, on a donc conservation du débit volumique : = = Donc diviser par 4 la section revient à multiplier par 4 la vitesse de l écoulement Exercice 6 : Soit un champ stationnaire tel que = et et tel que les lignes de champ soient des droites parallèles. Montrer que est uniforme. Si,, alors avec, et ce qui impose Exercice 7 : 1) Donner l expression de la pression au fond d un récipient contenant une hauteur de fluide incompressible de masse volumique. On note la pression atmosphérique. 2) On considère un écoulement parfait, stationnaire, homogène et irrotationnel dans une conduite cylindrique horizontale d axe tel que le champ des vitesses soit,,,. a) Montrer que est une constante b) La pression peut-elle être considérée uniforme? 3) On considère l écoulement d un liquide incompressible, parfait et irrotationnel dans un réservoir percé. La situation est maintenue stationnaire par une alimentation continue en eau et l eau évacuée se retrouve à la sortie du dispositif à la pression atmosphérique. 1) Il s agit de a loi de la statique des fluides : 2) Les hypothèses permettent d écrire - - : le champ ne dépend pas de : le champ ne dépend pas de et de L écoulement est stationnaire et uniforme donc d après Bernoulli, la pression est aussi une constante de l espace. Plus réellement, il y a des effets de viscosité et l écoulement est localement tourbillonnaire. Si les lignes de courants sont des droites parallèles à et l écoulement encore stationnaire alors (si on néglige l un des effets de bords) : donc le centre de masse de la particule est animée d un mouvement rectiligne uniforme. Avec la RFD : a) Donner la pression dans le tuyau d évacuation à la profondeur. Le résultat est-il le même qu en statique? b) Exprimer la vitesse d éjection si la section en sortie est bien plus faible que la section du réservoir que et et donc que :

3 Donc, on retrouve la loi de la statique en ce qui concerne l évolution de la pression verticale : = soit = et donc de la pression d une tranche de conduite : = 1 donc, nous pourrons parler 3) La remise à la pression atmosphérique impose une isobare dans le tuyau de Exercice 8 : vidange : c est fondamentalement différent du cas statique. L eau s écoule sous l action de son propre poids et Bernoulli donne alors : = 2h comme dans le cas de la chute de corps. On considère le siphon ci-dessous. L écoulement est supposé parfait, stationnaire et incompressibles. Le siphon est de faible diamètre par rapport à celui du réservoir. Exercice 9 : Montrer que chaque système peut constituer un débitmètre. Les écoulements seront tous supposés parfaits, stationnaires et incompressibles et parfaitement axiaux. On applique Bernoulli sur la ligne de courant axiale : = +. Verticalement, le champ des pressions évolue comme dans le cas statique : = h Donc = 2h On applique Bernoulli sur la ligne de courant axiale : + = +. Verticalement, le champ des pressions évolue comme dans le cas statique : = h et la conservation du débit volumique donne alors : = soit : = On applique Bernoulli sur la ligne de courant axiale : Donner la vitesse de l écoulement à la sortie du siphon en appliquant Bernoulli entre A et S. Préciser la situation pour laquelle le siphon ne peut plus fonctionner. Sur une ligne de courant, on a : = Or, la remise à l air du liquide impose : = et les sections permettent d écrire : soit = 2 ce qui impose d avoir > = = et la conservation du débit volumique donne alors : = soit : = 2 1 Expérimentalement >!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

4 Exercice 1 : Une pompe P alimente un château d eau à partir d un puits à travers une conduite de rayon unique R= 1 mm. L écoulement est stationnaire, parfait et incompressible. On donne : - les altitudes :Z2=1 m, Z1= - 1 m, - les pressions P1=P2=1 bar ; - la vitesse d écoulement V = 1 m/s,!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! - l accélération de la pesanteur g=1 m/s2. Exercice 11 : On considère un régime d écoulement laminaire d un fluide Newtonien dans une conduite cylindrique de section S constante. L expérience montre que dans ces conditions l énergie massique linéique dissipée par les effets visqueux est donnée par où est une constante et la vitesse débitante (ou moyenne sur une section) Donner l expression de la résistance hydraulique du tuyau de longueur pour un régime d écoulement stationnaire et incompressible + = résistance hydraulique = + = = Par analogie avec la loi d Ohm, on trouve la Exercice 12 : 1) Calculer le débit volumique Qv de la pompe en l/s. 2) Calculer la puissance utile Pu de la pompe. 3) En déduire la puissance Pa absorbée par la pompe sachant que son rendement est de 5%. On considère une conduite de radiateur de longueur = 1 de diamètre = 2. La perte de charge singulière (énergie massique) sur chaque coude est donnée par = avec =,3 et les pertes de charge régulières sont données par =,2366. Comparer les deux pertes. Par définition = = =,3 / = 3/. L équation de Bernoulli donne = ( ) = 6 et = 12 Le rapport entre ces deux pertes donne : =, =,7 les pertes régulières, sont ici plus importantes.

5 Exercice 13 On considère un régime stationnaire et une conduction unidirectionnel (aucun effet de bords). L intérieur d une pièce est séparé de l extérieur par une paroi vitrée de surface, orthogonale à l axe Ox (axe dirigé vers l'extérieur de la pièce), et dont le verre a une conductivité thermique. L intérieur de la pièce et l extérieur sont respectivement aux températures et avec <. 1. Simple vitrage : La vitre a une épaisseur. Évaluer le flux thermique sortant de la pièce à travers cette paroi. Donner l expression de la résistance thermique de la vitre. 2. Double vitrage : La paroi est un ensemble de 2 vitres de même épaisseur, séparées par une épaisseur = d air de conductivité. On ne tient compte que de la conduction. Etablir le nouveau flux thermique pour ce double vitrage puis l'expression de. Représenter l allure de (). 3. En plus de la conduction, on veut tenir compte des échanges superficiels entre le verre et l air. Soit un simple vitrage de surface en verre à la température de surface. On donne la relation de Newton traduisant le transfert conducto-convectif = h( ) (avec h constante positive). Donner l expression de la résistance thermique associé au transfert conducto-convectif. Est-il utile de tenir compte de cette résistance? Te = 27K ; T i= 29K ; e v= e a= 3mm; v = 1W.m 1.K 1 ; a =,1W.m 1. K 1 et h= 1W.m 2.K 1 1. D'après la théorie des états stationnaires pour la conductivité thermique : 1 = donc la résistance est 2. Il s'agit de l'association de 3 résistances thermiques en série, d'où la résistance équivalente : d'où : = + + = (2 + ) 2 = =. 2 1 = ~.1 On comprend l'intérêt du double vitrage Le double vitrage nous permet d'écrire 3 équations : 1 = ; 2 1 = ; 2 = T(x) est une fonction affine par morceaux (loi de Fourier + vecteur densité de flux thermique à flux conservatif) Rq : On en déduit les 2 inconnues T1 et T2 : 1 = = Dans le cas du simple vitrage, le flux thermique total est donc : ~!!!!!!!!!!!!!!!!!! Le phénomène de conduction!!!!!!!! peut donc être négligé en première approche pour l'étude des échanges thermiques dans le cas du simple vitrage Exercice 14 : On considère un matériau conducteur compris entre deux cylindres coaxiaux, de rayon et >, de conductivité. Les parois cylindriques de ce matériau sont maintenues constantes à la température pour = et à la température pour =. On se place en régime stationnaire, on néglige les effets de bords et le système présente un profil des températures à symétrie cylindrique. Donner la résistance thermique entre deux cylindres de hauteur en fonction de,, et. Etudier le cas particulier où et sont très proches. Les invariances de la température sont celles du vecteur densité de courant qui est radial : = (). En régime stationnaire le flux est conservatif et : Donc : = et = = () 2 = 2

6 Donc : = Si les deux rayons sont proches alors : Et : = Exercice 15 : + = 1 + et on retrouve une résistance analogue à celle d une plaque d épaisseur Soit un transistor de puissance assimilé à une forme parallélépipédique de température supérieure à la température extérieure constante également. Pour faciliter le transfert thermique vers l extérieur du transistor, on le munit d un radiateur cylindrique de longueur, de rayon et de conductivité thermique. Ce barreau est suffisamment mince pour que sa température ne dépende que de la variable compté dans le sens de sa longueur. On prendra en considération le transfert conducto-convectif de cette ailette avec l extérieur dont le vecteur densité de flux de chaleur est donné par h(() ) avec h constante. On donne =,4, = 2.., h = 1.., = 2. Soit : 2h = ( ) = D où une distance de variation donnée par = = 2 2 Donc () = + avec la condition aux limites : () = ( ) + Le flux traversant la tige est donnée par : = = ( ) Et sans la tige : = h( ) Donc = = = 1 1. Déterminer l équation différentielle vérifiée par () pour ce régime supposé stationnaire. 2. En déduire une distance caractéristique de variation de la température. Proposer une expression de () 3. Calculer le rapport =, rapport des puissances évacuées à travers =, avec, et sans le radiateur. Pour un élément de longueur, le bilan enthalpique donne : = = + + h(() )2