Expédition dans la semaine n Etape Code UE N d envoi de l UE 45 1 UE_2_5 1. Physique (Électricité et Optique)

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1 LICENCE SCIENCES VIE TERRE. L1 BOE Expédition dans la semaine n Etape Code UE N d envoi de l UE 45 1 UE_2_5 1 - Contenu de l'envoi Physique (Électricité et Optique) cours 1 partie du cours : Électricité - Travail à effectuer Lire et comprendre le cours d'électricité - Coordonnées de l'enseignant responsable de l'envoi Marcel Carrère Institut de Neurosciences des Systèmes INS-BDI-UMR boulevard jean Moulin Faculté de Médecine La Timone Marseille cedex 5 tel: (Véronique Ayala) tel: (Sonia Timourian)

2 Cours de PHYSIQUE (L1_Bio) Le cours de physique se divise en deux parties égales : une partie sur l'électricité puis une autre sur l'optique. Les Travaux pratiques sont au nombre de quatre avec deux Travaux d'électricité et deux d'optique. Les supports de ces cours sont les petits manuels : d'électro-cinétique et d'optique. Ils sont précis,concis et vont à l'essentiel. Le programme suivi est : pour l'électricité, celui du livre moins une partie du chapitre 7 sur la résonance ; pour l'optique, celui du livre moins le chapitre sur le prisme. ELECTRICITE 0. Histoire de l'électricité 1. Les dipôles, et les générateurs 1.1 Définition 1.2 Exemple de résistance 1.3 Résistance en fonction de la température 1.4 Le pont diviseur de tension 1.5 Les générateurs réels 2. Lois de Kirchhoff, mailles et nœuds 2.1 Lois de Kirchhoff 2.2 Thévenin et Norton 2.3 Exercices d'applications 3. Les circuits RLC en régime sinusoïdal, filtre, diagramme de Bode 3.1 Le diagramme de Fresnel 3.2 Les nombres complexes 3.3.L impédance en régime sinusoïdal La résistance La capacité La bobine 3.4 Le diagramme de Bode 4. Les circuits RC en régime transitoire 4.1 Etude du circuit RC

3 OPTIQUE 0 Histoire de l'optique 1 L optique géométrique 1.1 La Lumière Propagation dans le vide Propagation dans les milieux matériels. 1.2 L optique géométrique. 1.3 Principes et lois fondamentales Principe de Fermat Lois de Snell-Descrates Conséquences. 1.4 Les dioptres sphériques. 1.5 Les lentilles minces Relations de conjugaisons Constructions géométriques Grandissement transversal et longitudinal g, grossissement G 2 Le doublet 2.1 Foyers du doublet. 2.2 Grandissement du doublet. 2.3 Tracés des rayons particuliers du doublet. 2.4 Points Principaux H et H 2.5 Formule de Gullstrand 3 Le Miroir 3.1 Miroir plan 3.2 Miroir sphérique 3.3 Relation de conjugaison 3.4 Construction des rayons.

4 0 Histoire de l'électricité Je vous présente une histoire à partir d'informations glanées sur Wikipedia et sur d'autres sites, et en y ajoutant mes souvenirs. Elle est évidemment non exhaustive, l'avantage de connaître l'histoire c'est que souvent elle permet de mieux mémoriser les concepts et de comprendre comment les observations de la nature ont permis de construire une architecture mathématique afin de prévoir les conséquences d'une expérience. Depuis la nuit des temps, le phénomène électrique le plus fascinant et le plus terrifiant exerce son pouvoir sur les hommes : la foudre. Les Grecs de l'antiquité n'avaient aucun soupçon sur l'origine électrique de la foudre. Pour eux, elle indiquait que Zeus, le roi des dieux était en colère et cette interprétation divine de la foudre était partagée par toute les civilisations de l'antiquité. Les aimants sont connus depuis l Antiquité, sous le nom de magnétite, pierre trouvée à proximité de la ville de Magnesia (Turquie). C est de cette pierre que provient le nom actuel de champ magnétique. Les chinois furent les premiers à utiliser les propriétés des aimants, il y a plus de 1000 ans, pour faire des boussoles. Elles étaient constituées d une aiguille de magnétite posée sur de la paille flottant sur de l eau contenue dans un récipient gradué. Pourtant, c'est à Thalès de Millet, un mathématicien et philosophe grec, habitant Millet, une petite cité d'asie Mineure, à qui l'on doit la première découverte scientifique d'un phénomène électrique. En effet, Thalès, connu de tous les collégiens par son célèbre théorème, observe vers 600 avant J.-C. que l'ambre jaune, résine fossile dont on fait des bijoux, frottée à une peau de chat attire de petits corps léger tels des brins de paille ou des barbes de plumes. Il convient de préciser à cet instant de l'histoire que l'ambre jaune se nomme en Grec : êlektron. Évidemment, Thalès ne disposait pas à l'époque des informations nécessaires pour interpréter correctement le phénomène observé, il affecta à l'ambre un pouvoir divin : "tout est plein de Dieu, affirmait-il, l'ambre frotté a une âme puisqu'il possède une puissance attractive." On peut aisément reprendre l'expérience de Thalès en frottant, par exemple, un bâton de verre avec de la fourrure de chat ou de la laine. Le verre se charge alors positivement, des électrons qui lui appartiennent sont arrachés par la fourrure qui se charge négativement. Quand on approche le bâton de verre de petits objets légers, comme des bouts de papier, ceux-ci, par l'intermédiaire de leurs électrons périphériques sont attirés par le bâton de verre. Nous savons maintenant que ce phénomène est de l'électricité statique, il faudra attendre le 17ème siècle pour en comprendre les mécanismes, et notamment pour que l'électricité apparaisse en tant que science. Le précurseur est un Anglais, natif de Colchester qui se nomme William Gilbert ( ). Il reprend les expériences des Grecs et compare les forces électriques et magnétiques. Alors que l'ambre frottée attire tous les corps légers, il remarque que l'aimant n'attire que le fer ou d'autres aimants. En 1600, il publie ses travaux dans un ouvrage qui fera longtemps référence De Magnete.(à cause de la magnétite) C'est à lui que l'on doit l'utilisation du mot êlektron pour qualifier les phénomènes associés à l'électricité, il en découlera par la suite tout les termes donnés aux phénomènes électriques : électron, électrique, électronique, électrotechnique... Il est intéressant de noter que partout en Europe et aux Etats-Unis, les scientifiques ont travaillé avec des machines électrostatiques, cette électricité due aux frottements est appelé tribologie. Par exemple, cette électricité statique sera utilisée par Galvani en Italie pour réaliser des expériences sur les cuisses de grenouilles, il appellera cela l'électricité animale, il découvrira aussi la propagation des ondes électromagnétiques générées par une étincelle. Plus tard, le fameux bourgmestre de Madgebourg (Allemagne), Otto Von Guericke ( ) invente la première machine électrostatique, véritable générateur d'électricité : Il frotte avec ses mains

5 une boule de souffre en rapide rotation. Il observe qu'a l'aide de cette boule il pouvait, par contact, électriser une autre boule et, ensuite, que les deux boules se repoussaient lorsqu'il les approchait l'une de l'autre. Il obtint ainsi la première étincelle électrique. La machine de Von Guericke sera successivement améliorée et permettra l'obtention de découvertes majeures. Ainsi Stephen Gray ( ) fait en 1729 la distinction entre conducteur et isolant. Comme souvent la découverte est fortuite. Il souhaitait réaliser des expériences sur la transmission de l'électricité. Il relia une corde chanvre à une machine électrique, la corde étant suspendue au plafond par des cordonnets de soie. L'extrémité de la corde de chanvre continue à attirer des duvets de plume, l'électricité se transmet, mais soudain un cordonnet de soie casse. Alors Gray le remplace par un fil de cuivre plus résistant. L'extrémité de la corde de chanvre n'attire plus le duvet. Gray comprend que l'électricité s'échappe par le fil de cuivre. Gray distingue les corps isolants qui s'électrisent par frottement tels le verre, le diamant, les huiles, les oxydes métalliques... de ceux, conducteurs qui ne s'électrisent pas comme les métaux, les solutions acides, l'eau, le corps des animaux... Le botaniste français Charles du Fay ( ) reprend les expériences de Gray pour étudier les interactions des corps chargés. Il observa que deux objets du même matériau et électrisés de la même façon se repoussent. Deux tiges de verre frottées avec de la soie se repoussent, tous comme deux morceaux d'ambres frottés avec la fourrure. En revanche, le verre attire à la fois, l'ambre et la soie chargés. Vers 1934, du Fay conclut qu'il existe deux "sortes" d'électricité, c'est à dire deux sortes de charges électriques. A la même époque les salons féminins font de la physique expérimentale avec l'abbé Nollet et tous les moyens sont bons afin d'expérimenter les passages de l'électricité à travers les corps et les matériaux, on raconte que l'abbé mis une décharge sur une vingtaine de moines des Chartreux, sans doute afin d'éprouver leurs croyances. L'abbé Nollet rédigea d'ailleurs en 1735 le premier cours de physique expérimentale. Pour Benjamin Franklin ( ), inventeur du paratonnerre(dont le premier fut construit à Paris en ), le fluide électrique apparaît sous deux états, notés + et - et ainsi la décharge d'un corps électrisé correspond à la remise à l'équilibre d'un excès de l'une des deux charges du corps. Il développe cette notion à partir de 1750, énonce le principe de conservation de la charge électrique, et interprète l'attraction exercée par un corps électrisé sur un corps léger par une action à distance. Les années qui suivirent le passage de Benjamin Franklin à Paris furent propices à des modes surprenantes. On vit les robes «lightning conductor» et des chapeaux,des gants, des blagues à tabac de Benjamin Franklin. Franklin n'a pas simplement inventé le paratonnerre, il fut gouverneur, écrivain, et chargé par le roi Louis XVI de rapporter sur les agissements de Mesmer qui proposait des soins médicaux en utilisant le magnétisme animal...comme pour l'abbé Nollet, il existe de croustillantes histoires sur les expérimentations... C'est Charles Augustin Coulomb ( ), né à Angoulême, qui énoncera la loi la plus importante de l'électrostatique, dite loi de Coulomb, et donnera la forme mathématique de la force électrique qu'exercent deux charges électriques l'une sur l'autre. Cette loi portera le nom de Coulomb à la postérité, car il sera attribué à l'unité de charge électrique. Il fabriqua une machine avec un pendule de torsion. L'unité de charge électrique s'exprime en Coulomb, symbole : C. En même temps que les travaux en France de Coulomb, il y a aux Pays Bas, la mise au point avec une machine électrostatique par Musschenbroek ( ), de la bouteille de Leyde qui est la première capacité, c'est à dire un réservoir de charge électrique. Ce scientifique Hollandais travailla surtout sur la résistance des matériaux. Malgré ces progrès importants de la nouvelle science électrique, celle-ci ne fournit pas d'application pratique au contraire de la mécanique, de l'optique ou de la chimie. C'est parce que l'électricité générée par les machines du 17ème-18ème siècles est de forme "statique". Cela signifie que, sauf lors des brusques décharges, la charge électrique générée reste immobile. Il faudra attendre la révolution que fut la pile Volta (1800),Alessandro Volta ( ), pour voir l'électricité sortir des expériences

6 amusantes des salons des cours d'europe, comme celles réalisées par ce grand vulgarisateur et promoteur de l'électricité que fut l'abbé Nollet ( ). A ce sujet la pile de Volta fut l'aboutissement d'une longue discussion houleuse entre Galvani et Volta. Elle utilise les propriétés des métaux et surtout le fait que deux métaux différents présentent des différences de potentiel lorsqu'ils sont en contact. Le nom de Volta est passé à la postérité en étant attribué à l'unité de tension électrique. La tension électrique s'exprime en Volt,( V). L'invention de la pile ouvre une nouvelle ère, car elle permet d'obtenir un courant continu et donc permanent. Pour les scientifiques de l'époque, c'est un outil formidable d'investigation, notamment pour les chimistes qui, par le biais de l'électrolyse, possèdent un moyen inégalé pour la recherche de nouveaux éléments. A cette même époque, en Allemagne, les travaux du mathématicien Karl Friedrich Gauss ( ) vont permettre une formulation plus compacte des équations, et nous retiendrons son théorème en électrostatique dont l'application est très utile. Dès le 19ème siècle la physique va prendre un essor considérable, elle va générer des machines thermiques et libérer l'homme de la pénibilité du travail. Elle va aussi sortir des salons et les hommes vont l'accaparer, laissant aux femmes la mode et l'art de recevoir à la maison, des salons scientifiques ne restera que l'art du thé. La mesure de l'électron sera faite plus tard par Thomson en 1897, prix Nobel en 1906, il a fait d'ailleurs un modèle de l'atome que l'on appelle le pudding de Thomson. Nous voilà en France avec le physicien André Marie Ampère ( ) qui reprend les expériences du danois Oersted ( ) sur les fils électriques, Oersted montra que les fils échauffés par un courant avait une influence à distance sur une boussole, Ampère énoncera la règle donnant le sens du champ magnétique, il faut noter aussi le théorème d'ampère qui permet de quantifier l'intensité du champ magnétique en fonction de la distance pour un courant donné. C'est d'ailleurs afin de lui rendre hommage que l'unité de flux de courant ou intensité sera l'ampère (A). Ampère mettra au point le premier solénoïde, utilisé par Nicolai Tesla ( ) un brillant physicien (inventeur) aux États Unis mettra au point le premier alternateur, mais à cette époque, mon professeur Luc Valentin nous affirmait que ces pionniers (Wilde, Siemens..) auraient jugé le courant alternatif peu utile. Quand on réalise maintenant que le courant alternatif est utilisé partout... Le calcul systématique des réseaux électriques est basé sur deux énoncés fondamentaux dûs au physicien allemand Gustav Robert Kirchhoff vers Il ne s'agit pas de nouvelles lois physiques, mais de simples règles de calcul, basées sur des lois connues. En parallèle, en Écosse un brillant physicien (James Clerk Maxwell ) va travailler sur les lois de l'électromagnétisme et montrer le caractère électromagnétique des ondes de radiofréquences. Ses équations au nombre de quatre permettent d'édifier tout l'électromagnétisme. A la fin du 19éme siècle un «boum» énorme sera lancé par l'allemand (Néerlandais par sa mère) Rœntgen ( ) et ses rayons X (2000 papiers scientifiques en quelques années), en imageant la main de sa femme il croit sombrer dans la folie,en effet pour la première fois on voit l'intérieur du corps. La radioactivité est en plein essor (Becquerel, Curie) et va permettre à Rutherford ( ) de démontrer la taille du noyau à l'aide de particule alpha (noyau d Hélium). Comme lui, les physiciens Bohr et Oppenheimer seront formés à «Cavendish university», ils seront les pères pour le premier de la mécanique quantique et pour le deuxième de la bombe atomique. J'ajoute que la mécanique quantique lancée par Bohr est développée grâce aux travaux de l'autrichien Erwin Schrödinger( ), la mécanique quantique aussi appelée ondulatoire va permettre de comprendre le spectre des atomes, c'est la quantification des niveaux d'énergie, l'électron devient aussi une onde alors qu'on le considérait comme une particule et c'est d'ailleurs suffisant pour vous en électricité. En optique nous verrons que de la nature ondulatoire connue plus tôt (dans les années 1801 : fente de Young), les quanta de Planck vont faire naître la notion de photon ou grain de lumière. Cette dualité onde-corpuscule pour l'électron et pour la lumière perdure car nous devons encore utiliser les deux méthodes qui sont adaptées en fonction du problème à traiter. Nous pouvons maintenant utiliser notre électron afin de faire de l'électricité, la dualité (De Broglie) permettra de comprendre la spectroscopie, la chimie et la statistique fermionique des structures de bandes en physique du solide. Nous resterons avec les unités du 18éme en sachant que nos charges positives n'existent pas dans les métaux, mais sont présentes dans les semi-conducteurs, et que ce sont nos électrons qui sont le flux de charge et donc le courant.

7 1. Les dipôles, et les générateurs 1.1 définition : Le circuit le plus simple est la résistance, qui suit la loi d'ohm,le physicien allemand Ohm découvrit cette loi en 1827, il intitula son livre : le circuit galvanique décrit mathématiquement. La loi d'ohm fixe simplement le rapport tension sur courant. Cela donne une relation affinée entre les deux. (Les figures sont prises sur le site wikipedia et d'autres sites) exemple de dipôle résistif Nous verrons que les matériaux présentent des propriétés de résistance ou de conductance : inverse de la résistance, qui sont directement reliées aux densités d'électrons libres ainsi que la façon dont ils se déplacent (notions de chocs et de libre parcours moyen). La notion de dipôle nous sert exclusivement afin de relier le courant électrique avec la tension électrique, et nous verrons qu'il sera plus utile de parler de quadripôle afin d'avoir une formulation en termes de matrice de transfert. 1.2 Exemple de résistance : cas d'un conducteur filiforme et homogène Lors de ces expériences, Ohm s'était aperçu que, bien que tout les conducteurs métalliques répondent à la loi d'ohm, leur comportement est différent suivant le matériau dont ils sont constitués. Ainsi deux conducteurs, constitués de matériaux différents, de même longueur et de même section, n'ont pas la même résistance. Ohm entreprit alors de comparer des conducteurs de différentes longueurs, de différentes sections et constitués de différents matériaux. Il s'aperçut que leur résistance est proportionnelle à leur longueur l et inversement proportionnelle à leur section S. La résistance d'un conducteur de longueur l et de section S s'écrit : R = ρ.l/s Où ρ est la résistivité du matériau utilisé pour fabriquer le conducteur.

8 l s'exprime en mètre (m), S en mètre carré (m²), donc ρ s'exprime en Ohm.mètre (Ω.m)(attention il ne faut pas confondre ce ρ avec la densité de porteur qui est aussi un ρ) Ceci est somme toute logique, puisque, plus la longueur du conducteur est grande, plus les électrons devront parcourir de chemin pour le traverser et plus ils seront ralentis par des chocs potentiels. De même plus la section du conducteur est faible, plus les électrons auront du mal à le traverser. Valeur de résistivité pour différentes substances : Substance Résistivité en Ω.m Aluminium 2, Constantan (60% Cu, 40% Ni) Cuivre 1, Fer Mercure Nichrome (59% Ni, 23% Cu, 16%Cr) Platine Argent 1, Tungstène 5, Carbone Silicium Verre Néoprène 109 Polystirène Porcelaine Téflon 1014 Chlorure de sodium 0,044 Sang 1,5 Matière grasses 25 Il existe essentiellement 3 classes de substances : des substances comme le cuivre ou le fer dont la résistivité est très faible, servent à réaliser des conducteurs pour lesquels la résistance doit être la plus proche de 0 possible. Des substances comme le carbone, qui avec une résistivité non négligeable permettent de fabriquer des résistances calibrées (résistances radios). Des substances comme la porcelaine qui avec leur très grande résistivité sont des isolants. 1.3 Résistance en fonction de la température Exercice : On veut utiliser un ruban de nichrome de section rectangulaire 0,25 mm x 1,0 mm comme élément chauffant d'un grille-pain. Quelle doit être sa longueur, pour que sa résistance soit de 1,5 Ω à la température ambiante? Si nous regardons l'effet de la température sur la résistance, nous avons un effet dit métallique où la résistance augmente avec la température et un effet inverse dit «semi-conducteur». Regardons l'effet métallique. Si la température d'un conducteur augmente, la vibration aléatoire de ses atomes et ses ions augmente ; les collisions des électrons avec ses atomes et ses ions deviennent plus fréquentes, gênant d'avantage leur mouvement et augmentant la résistivité du matériau. La résistivité ρ d'un matériau à la température θ, s'exprime en fonction de la résistivité ρ0 à la température de 0 C de la façon suivante :

9 ρ = ρ0 (1 + a.θ) Où a est appelé coefficient thermique de la résistivité, a dépend du matériau. Pour les métaux, a = C-1 Exercice : L'un des dispositifs les plus utiles pour mesurer la température, est le thermomètre à résistance de platine. Un fil d'environ 2,0 m de platine pur de 0,1 mm de diamètre est enroulé en forme de bobine de résistance 25,5 Ω à 0 C. Prenant le coefficient de température de la résistivité égal à 0, K-1, déterminez la variation de la résistance due à une augmentation de température de 1,00 C. Quelle est la température, si la résistance est de 35,5 Ω? voici quelques exemples de dipôles. Nous pouvons constater que les deux dipôles de gauche sont passifs alors que les deux dipôles de droite sont actifs. L'un est un générateur de tension, c'est à dire qu'il crée une ddp à ses bornes, et l'autre génère un courant sans contrainte bien sûr sur sa tension. 1.4 le pont diviseur de tension

10 La résistance sur la figure ci-dessus représente une résistance variable, c'est le cas d'un potentiomètre. Les lois d'ohm et de Kirchhoff vont permettre de montrer facilement qu'il s'agit d'un pont diviseur de tension. On constate facilement que ce système peut se mettre sous la forme d'un quadripôle. 1.5 Les générateurs réels Revenons maintenant sur les générateurs de tension et de courant. Un générateur d'une f.e.m e(tt) ne peut exister sans une résistance interne, ce qui donne le schéma équivalent ci-dessous : Pour un courant nul nous auront bien une ddp e mais dès que du courant circule alors la fonction est différente, nous avons une fonction affinée u=e-ri, qui est la caractéristique tracée sur la partie droite du schéma. De même pour un générateur de courant nous auront la fonction ci-dessous :

11 2. Lois de Kirchhoff, mailles et nœuds, Thévenin et Norton 2.1 Les lois de Kirchhoff permettent l'étude des circuits électriques, elles sont la base des calculs. Les lois de base sont celles des mailles et celle des nœuds, les autres (Millmann par exemple) sont déduites de ces deux lois fondamentales. La loi des mailles stipule simplement que lorsque que l'on parcourt un circuit électrique, si l'on retourne au point de départ alors la somme des potentiels sera nulle. L'analogie mécanique la plus simple, consiste à regarder un marcheur, son énergie potentielle est fonction juste de l'altitude, si son chemin revient au point de départ alors son énergie est la même et la somme de chaque tronçon sera nulle (la seule dépense vient des frottements). Pour les courants, ou les flux de charge nous avons besoin d'une conservation du flux, ou conservation de la charge. L'image d'un tuyau permet de comprendre facilement que toute l'eau qui arrive est égale en valeur absolue à toute l'eau qui repart. La somme algébrique des courants est nulle sur un nœud.

12 2.2 Thevenin et Norton sont les théorèmes permettant de trouver le générateur équivalent dans un circuit. Les règles sont : -Les générateurs ne peuvent s'additionner qu'entre mêmes générateurs. -On peut additionner les générateurs de tension en série. -On peut additionner les générateurs de courant en parallèle. -Pour trouver la résistance équivalente on supprime les générateurs de courant (un interrupteur ouvert) et les générateurs de tension deviennent des fils (interrupteur fermé). A l'aide de ces règles simples nous pouvons calculer tous les types de circuits, je remarque juste qu'en mathématique pour passer d'un générateur de tension à son équivalent en courant il suffit d'avoir la même fonction dans le diagramme courant-tension. 2.3 Exercices d'applications - Association de résistances 1. On considère les circuits suivants, dans lesquels tous les résistances ont la même résistance r :

13 a) Calculer la résistance équivalente R 1 du premier circuit. b) Comparer à R 1 la résistance de la maille de droite du second circuit. En déduire la résistance équivalente R 2 de ce dernier. 2. On considère le circuit suivant (dans lesquels tous les résistors ont la même résistance r) comportant un nombre très grand de mailles, symbolisé mathématiquement par ( ) : a) Déterminer la relation récurrente entre R n+1 et R n ; en déduire la résistance équivalente R de l'ensemble infini. b) Comparer R et R 2. - Générateurs en opposition On considère le montage ci-contre, avec E 2 = 12 V et E 1 = αe 2 ; r 1 = 5 Ω et r 2 = 0,05 Ω ; R = 20 Ω. 1. L'interrupteur K étant ouvert, calculer le courant I dans la résistance R. 2. On ferme l'interrupteur ; calculer les valeurs I et I du courant dans R pour les deux cas α = 0,5 et α = 1,5. Calculer les valeurs correspondantes I 2 et I 2 ; conclure. Étude d un courant dans un ruban d argent. Un ruban d argent de conductivité γ = 6, Ω -1.m -1, de section rectangulaire de largeur = 12,5 mm et d épaisseur a = 0,2 mm, est traversé suivant sa longueur par un courant constant d intensité I = 10 A. Calculer en supposant que chaque atome d argent est susceptible de fournir un électron libre : 1) la densité volumique des charges mobiles de ce ruban, 2) la densité de courant et le module du champ électrique à l intérieur du ruban, 3) la vitesse moyenne des charges mobiles et leur mobilité, 4) la puissance volumique dissipée dans ce conducteur. On donne : charge élémentaire e = 1, C, nombre d Avogadro : N = mol -1, Ag = 108, masse volumique de l argent : µ = 10,5 g.cm -3 Jauge de contrainte Une jauge de contrainte est constituée d une petite plaquette dans laquelle est moulé un fil

14 conducteur replié ( n 1 ) fois sur lui-même. Cette jauge est montée sur un support déformable élastiquement. En l absence de contrainte, la longueur totale du conducteur vaut 0 = n. a. Lorsque le support est soumis à la contrainte de compression F, on admet que sa longueur varie selon la loi simple : ( 0 ) / 0 = d / 0 = K 1. F ( K 1 < 0 ). 1) Calculer le diamètre D du fil ( en µm ) pour obtenir une résistance initiale R 0 égale à 100 Ω. On donne n = 10 ; a = 10 mm ; conductivité électrique du fil σ = 1, Ω -1.m -1. 2) On suppose que, lorsque la jauge est sous contrainte, le volume du fil reste constant. Les déformations restant petites ( d / 0 << 1 ), en déduire que la résistance du fil varie sensiblement selon la loi simple : ( R R 0 ) / R 0 = dr / R 0 = K 2. F Courant dans un fil de cuivre. Un fil de cuivre cylindrique de diamètre D = 1,63 mm possède une résistivité ρ qui varie linéairement avec la température θ en C : ρ (θ) = ρ 0. ( 1 + α.θ ) avec ρ (20 C) = 1, Ω.m et α = 3, ( C) -1. Quand un courant d intensité 50 A s établit dans le fil, sa température monte à 35 C 1) Quelle est la densité de courant dans le fil? 2) Quelle est la résistivité du fil à cette température? 3) Quelle est la conductivité du fil? 4) Quel est le champ électrique dans le fil? 5) Que pourrait-on calculer si on nous donne la longueur du fil?

15 3. Les circuits RLC en régimes sinusoïdaux la figure ci-dessous montre que la projection horizontale d'un point tournant à vitesse constante sur le cercle trigonométrique forme la fonction sinus. La fonction sinus est la courbe générée par la projection orthogonale sur l'axe vertical du cercle et la fonction cosinus, par la projection orthogonale sur l'axe horizontal du cercle La loi des nœuds et la loi des mailles restent valables en régime sinusoïdal, mais uniquement sur les grandeurs instantanées. 3.1 Les vecteurs de Fresnel On se sert de la propriété mathématique suivante des grandeurs sinusoïdales : il y a équivalence entre une grandeur sinusoïdale et son point représentatif dans le plan du cercle trigonométrique. Ainsi, la tension sinusoïdale u(t) = U 2 sin (ωt + φ) peut être représentée par un point tournant. On associe à une grandeur sinusoïdale u(t) de valeur efficace U et de phase à l origine φ, un vecteur de Fresnel défini de la façon suivante : Longueur du vecteur égale à la valeur efficace (avec une échelle préalablement choisie). Orientation du vecteur par rapport à un axe (O,x) horizontal égal à la phase à l origine. Toutes les relations valables sur les grandeurs instantanées (loi des mailles, loi des nœuds) le sont aussi sur les vecteurs de Fresnel associés.

16 3.2 Les nombres complexes associés En utilisant les propriétés du plan complexe, on peut représenter une grandeur sinusoïdale par un nombre complexe associé. On associe à une grandeur sinusoïdale u de valeur efficace U et de phase à l origine φ, un nombre complexe U défini de la façon suivante : Module de U égal à U, valeur efficace de la grandeur sinusoïdale. Argument de U égal à, phase à l origine de la grandeur sinusoïdale. U = [U ;j] c est la notation polaire. U = U cos + j U sin c est la notation cartésienne. Toutes les relations valables sur les grandeurs instantanées (loi des mailles, loi des nœuds) le sont aussi sur les grandeurs complexes associées. 3.3 Loi d Ohm en régime sinusoïdal Considérons un dipôle D passif, linéaire alimenté en régime sinusoïdal. i(t) D u(t) Comme le dipôle est linaire, si sa tension d alimentation u(t) est sinusoïdale de fréquence f, alors l intensité du courant qui le traverse est aussi sinusoïdale et de même fréquence. Comme le dipôle est passif, il ne peut que recevoir de l énergie et pas en fournir. Les grandeurs u(t) et i(t) s exprime de la façon suivante : u(t) = U. sin(ωt+ϕ u ) i(t) = I. sin(ωt+ϕ i ) Où U et I sont les valeurs efficaces de u(t) et i(t) et ϕ u et ϕ i les phases à l origine de u(t) et i(t). Pour un dipôle linéaire, alimenté en régime sinusoïdal à fréquence f donnée : - Le rapport Z = U/I des valeurs efficaces de u(t) et i(t) est constant, indépendant de la valeur efficace U de la tension d alimentation. La grandeur ainsi définit, Z est appelée impédance du dipôle et s exprime en Ohm (Ω). - Le déphasage ϕ = ϕ u - ϕ i de la tension par rapport à l intensité est constant, indépendant de la valeur efficace U de la tension d alimentation. Conséquence : A la fréquence considérée, la connaissance de Z et ϕpermet de caractériser totalement le dipôle D. On peut alors : - Soit exploiter Fresnel : + - Soit écrire le rapport des grandeurs complexes : U Z = I = [ U ] ;ϕ I Z est appelée impédance complexe du dipôle D et a pour module Z, l impédance du dipôle et pour argument ϕ, le déphasage de la tension par rapport à l intensité du dipôle considéré. On définit aussi : 0 ϕ x

17 Y, l admittance complexe du dipôle D, comme étant l inverse de l impédance complexe : I Y = U = 1 Z Y, le module de Y s exprime en Siemens (S). Les dipôles élémentaires Tout dipôle D passif et linéaire peut être vu comme un groupement constitué de un ou plusieurs dipôles élémentaires. Ces dipôles passifs élémentaires sont au nombre de 3 : la résistance, le condensateur, l inductance. Il suffit alors de connaître le fonctionnement de ces 3 dipôles, ainsi que les lois d associations pour pouvoir étudier le fonctionnement de n importe quel dipôle La résistance i R (t) R u R (t) La résistance R est alimentée en régime sinusoïdal, alors, u R (t) et i R (t) s expriment de la façon suivante : u R (t) = U R. sin(ωt+ϕ u ) (1) i R (t) = I R. sin(ωt+ϕ i ) (2) La loi d Ohm s applique sur les valeurs instantanées : u R (t) = R. i R (t) En substituant par les relations (1) et (2), on obtient : U R. sin(ωt+ϕ u ) = R.I R. sin(ωt+ϕ i ) Cette relation implique les deux égalités suivantes : U R = R.I R ϕ u = ϕ i Ainsi : Pour une résistance R alimentée en régime sinusoïdal, l impédance Z R s exprime par : Z R = U R /I R = R et le déphasage de la tension par rapport à l intensité du courant ϕ R = ϕ u - ϕ i = 0. L impédance complexe Z vérifie : Z = [R ; 0] = R. Il s agit d un nombre complexe purement réel. Le diagramme de Fresnel donne : + U et I sont colinéaires. ϕ υ = ϕ ι x Le condensateur i C (t) C q(t) u C (t) Le condensateur C est alimentée en régime sinusoïdal, alors, u C (t) et i C (t) s expriment de la façon suivante : u C (t) = U C. sin(ωt+ϕ u ) (1) i C (t) = I C. sin(ωt+ϕ i ) (2)

18 Les relations suivantes s appliquent sur les valeurs instantanées : u C (t) = q ( t) (3) C i C (t) = dq ( t) dq ( t) (4) où représente la dérivée de q(t) par rapport au temps. dt dt duc En dérivant l équation (3), on obtient : ( t) dq( t) = 1 dt C dt D où la relation entre les valeurs instantanées des tensions et courant pour un condensateur : duc( ) 1 i C (t) dt t = C Il suffit alors de dérivée l équation (1) pour obtenir : ω. U C. sin(ωt+ϕ u +π / 2 ) = C 1.IC. sin(ωt+ϕ i ) Cette relation implique les deux égalités suivantes : I C = C ω.u C ϕ i = ϕ u +π / 2 Ainsi : Pour un condensateur C alimenté en régime sinusoïdal, l impédance Z C s exprime par Z C = U C /I C = 1/Cω et le déphasage de la tension par rapport à l intensité du courant ϕ C = ϕ u - ϕ i = -π / 2. L impédance complexe Z C vérifie : Z C = [ imaginaire pure. C 1 ; ω π ] = 2 jc 1 ω. Il s agit d un nombre complexe Le diagramme de Fresnel donne : ϕ = π 2 + x U est en quadrature retard sur I L impédance ou bobine parfaite L i L (t) u L (t) L inductance L est alimentée en régime sinusoïdal, alors, u L (t) et i L (t) s expriment de la façon suivante : u L (t) = UL C. sin(ωt+ϕ u ) (1) i L (t) = I L. sin(ωt+ϕ i ) (2) La relation suivante s applique sur les valeurs instantanées : u L (t) = L. di L ( t) di (3) où L ( t) représente la dérivée de i L (t) par rapport au temps. dt dt

19 Nous obtenons : U est en quadrature avance sur I. 3.4 Le diagramme de Bode. Afin d'étudier le quadripôle en régime sinusoïdal, nous allons à l'aide des complexes écrire la fonction de transfert en appliquant notre diviseur de tension : H(ω) =1/1+jR 1 Cω Pour étudier cette fonction de transfert qui est le rapport s(t)/e(t), nous allons tout d'abord étudier son module puisque c'est lui qui va nous montrer comment le signal est atténué en fonction de la pulsation. Puis nous allons étudier sa phase. Voila ci-dessous la courbe en décibel (db) du module, c'est à dire 10 Log (H(ω) 2 ). Nous pouvons réécrire la fonction de transfert sous la forme H (ω)= 1 1+ j ω ω 0 le gain et la phase vont s'écrire : G( ω) = 1 ω 1+ ω0 2 ; ω ϕ( ω) = arctan ω0 va donner le diagramme de Bode suivant :

20 En étudiant la phase on constate que la phase est nulle, puis pour la fréquence de coupure (f 0 )vaut -π/4, et tend vers -π/2 lorsque ω tend vers l'infini, nous avons affaire à un filtre passe bas car il fait passer toutes les fréquences jusqu'à la fréquence de coupure. 4. Les circuits RC en régime transitoire 4.1 Étude du circuit RC Si nous reprenons le circuit précédent et que nous voulons connaître sa réponse en général (sans supposer que la forme des signaux est sinusoïdale) alors il nous faut écrire l'équation qui régit le circuit e(t) =Ri(t)+U C (t) ; la valeur de la tension aux bornes de la capacité est directement proportionnelle à la charge Q(t) de la capacité donc U C (t) =CQ(t). Nous savons que le courant est la variation de charge dans la capacité donc i(t)=dq(t)/dt donc notre équation différentielle s'écrit : e(t)= RdQ(t)/dt+CQ(t) le comportement de la charge pour cette équation du premier ordre est une exponentielle -t/τ ou le temps caractéristique τ est le produit RC. Pour une tension continue de 6 Volts, nous allons obtenir les résultats de tension aux bornes de la capacité suivants : La courbe avec les points roses montre la charge de la capacité au cours du temps. Nous allons recalculer cette équation en guise d'exercice et faire quelques exercices autour des équations différentielles du premier ordre. Quelques exercices d'application Exercice 1 : intensité dans un circuit inductif. A t = 0 on ferme l interrupteur. Donner la loi de variation avec le temps de l intensité du courant qui traverse le générateur. On donne R = 6000 Ω, L = 30 mh, E = 6 V.

21 Exercice 2 : évolution d une tension aux bornes d un condensateur. A l instant t = O on ferme l interrupteur. Décrire la différence de potentiel u(t) aux bornes du condensateur. Données : R = 10 kω, C = 100 μf, e = 15 V.

22 Exercice 3 : donner les impédances suivantes (régime sinusoïdal) Exercice 4 : Tracer le diagramme de Bode du schéma suivant, quel est ce filtre?