LA CONSTRUCTION DE LA NUMERATION DECIMALE AU CP

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1 LA CONSTRUCTION DE LA NUMERATION DECIMALE AU CP POURQUOI CE SUJET? Au terme de sa scolarité à l'école élémentaire, l'enfant doit avoir acquis une foule de compétences dans les domaines mathématiques suivants : la connaissance des nombres, le calcul, la géométrie, les mesures et la résolution de problèmes. La connaissance des nombres est citée, dans les instructions officielles, en tant que domaine à part entière. Mais il est évident que c'est en grande partie sur elle que repose l'essentiel des autres connaissances. Comment l'enfant peut-il maîtriser une technique opératoire s'il ne maîtrise pas la signification de la retenue et comment donc peut-il résoudre un problème? Comment peut-il interpréter et comparer des mesures si les nombres ne lui apparaissent que comme une suite inorganisée? Il importe qu'il saisisse et qu'il fasse fonctionner les mécanismes qui régissent la numération orale et la numération écrite. La compréhension du système décimal dès l'année de CP me semble donc être un point fort des apprentissages mathématiques sur lequel l'ensemble de la progression s'appuiera sans cesse. C'est dans le souci que cet apprentissage soit efficace, que je me suis interrogée sur les procédures à employer. Le terme "efficace" signifiant que d'une part l'enfant soit capable de le faire fonctionner, de l'expliquer et d'autre part que la maîtrise de la numération lui donne un certain pouvoir, lui permettant ainsi de résoudre plus facilement certains problèmes (faisant intervenir le calcul mental par exemple). Ce mémoire se décompose en cinq parties. La première partie, théorique, retrace l'historique de l'élaboration de notre numération et fait l'inventaire des différentes 1

2 procédures d'apprentissages qui sont et ont été utilisées. Ceci m'as permis dégager une problématique que j'explique dans une deuxième partie. Vient ensuite la description du dispositif pédagogique, suivie de l'expérimentation proprement dite en classe avec l'analyse de chaque séquence. La dernière partie est la conclusion de ces expérimentations. I. PARTIE THEORIQUE 1. Bref historique sur l'élaboration de la numération décimale La numération est née du besoin de garder une trace de la quantité, de l'écrire et de pouvoir la relire. Les premiers essais furent de construire une collection ayant le même nombre d'objets que la collection dénombrée, simplement en choisissant des objets moins volumineux (des cailloux par exemple). Il s'agissait juste d'un gain de place, mais ce système permet de garder en mémoire la quantité d'une petite collection. On a ensuite représenté par écrit tous les objets de la collection, c'est à dire à l'aide de dessins figuratifs, gardant ainsi l'aspect quantitatif de la collection mais aussi son aspect qualitatif. Les cailloux précédents ont été remplacés par la représentation des objets à compter. Les dessins figuratifs sont remplacés par un symbole abstrait, comme le bâton L'aspect qualitatif n'est plus là, mais on construit toujours une collection équipotente à la collection de référence. 2

3 L'étape suivante a été d'utiliser un signe numéral conventionnel placé devant la représentation de l'objet qu'on veut mémoriser. Le problème rencontré est qu'il faut inventer et donc surtout mémoriser autant de signes que de quantités rencontrées, et donc autant de mots pour les désigner à l'oral. Le progrès ici est l'évitement de la construction terme à terme d'une seconde collection, puisque celle-ci est résumée en un seul signe. On comprend cependant que ce système ne permet pas de désigner de très grandes quantités, mais qu'il est suffisant pour les besoins de la vie courante. La question de "comment désigner tous les nombres" reste longtemps en suspend. L'idée est que l'on ne peut pas inventer et mémoriser un nombre infini de signes. On va se contenter d'un nombre fini et on construira à partir de ces signes de base des signes composés. On a donc une sorte d'alphabet et de syntaxe qui est la règle de construction de ces signes composés. L'ensemble de ces deux éléments s'appelle la numération. Les romains par exemple n'utilisaient que peu de signes et la règle de construction était la juxtaposition : deux signes placés à côté ajoutaient leurs valeurs. Mais l'inconvénient était l'obligation de répéter plusieurs fois le même signe ( ex : LXXXVII = = 87) Face à ce problème, une seconde règle a été ajoutée : tout signe placé à gauche d'un signe de valeur supérieure s'en retranche. Cependant même si cette numération permettait d'écrire des nombres très grands, elle ne permettait pas d'écrire tous les nombres car il fallait sans cesse inventer de nouveaux signes pour représenter etc. On recule ces limites en inventant d'autres règles telle la barre placée audessus d'un nombre qui lui donne une valeur mille fois plus importante. 3

4 Il faut attendre les numérations de position pour trouver des réponses satisfaisantes qui permettent de désigner tous les nombres. En voici les principes de base : - La valeur d'un signe dépend de sa position dans l'écriture du nombre. - Cette valeur représente un groupement d'unités inférieures qui sont échangées contre un élément de l'unité immédiatement supérieure. - Le groupement est régulier, c'est-à-dire qu'un groupement contient toujours le même nombre d'éléments pour être échangé contre l'unité supérieure, quel que soit l'ordre de cette unité. Et les principes complémentaires : - Il faut disposer d'un nombre de signes différents égal à la "base" - L'un de ces signes doit marquer l'absence de groupement d'une unité. Notre numération est bien positionnelle de base dix, c'est-à-dire que les groupements permettant de passer d'une unité à l'autre se font en échangeant dix unités d'un ordre contre dix unités de l'ordre immédiatement supérieur. Nous disposons d'exactement dix signes appelés chiffres, l'un d'eux permettant de repérer l'absence d'unités. 2. Les aspects des nombres privilégiés dans l'enseignement Au cours du temps, les points de vues quant aux concepts à enseigner concernant les nombres ont évolué. x Avant 1970 : l'apprentissage systématique des nombres Je cite ici le programme de CP de 1945 : 4

5 " Etude concrète des nombres de 1 à 5, puis de 5 à 10, puis de 10 à 20. Formation, décomposition, nom et écriture. Usage des pièces et billets de 1, 2,5 et 10 francs, du décimètre et du double décimètre gradué en centimètres. Les nombres de 1 à 100. Dizaines et demi-dizaines. Compter par 2, par 10, par 5. Usage du damier de 100 cases et du mètre à ruban. Exercices et problèmes concrets d'addition, de comparaison et de soustraction (nombre d'un chiffre, puis de deux chiffres), de multiplication et de division par 2 et 5." Ainsi que des extraits des instructions qui accompagnent ce programme : "Dans l'enseignement au CP, l'apprentissage des nombres doit se faire par l'observation de collections d'objets simples ou usuels, maniés ou dessinés. ( ) Pour avoir véritablement la notion d'un nombre, il faut pouvoir le reconnaître sous des aspects divers ; connaître son nom, sa figure, sa constitution." Les leçons d'alors enchaînaient donc les nombres les uns à la suite des autres, jusqu'à 10 et relevaient de la présentation des différents aspects cités plus haut : - la présentation globale du nombre, où on montre une quantité d'objets correspondant au nombre étudié et où en demande d'en constituer une autre - la formation du nombre, c'est à dire ce qu'il représente à partir du nombre précédent, son écriture en chiffre - Sa décomposition notamment à partir de la constellation des dés Les écritures chiffrées ne sont ici qu'un codage particulier. Le chiffre désigne la même réalité qu'une collection d'objets correspondante ou que la constellation des dés. 5

6 L'enfant doit apprendre ce savoir qui lui est transmis par observation, imprégnation et quelques manipulations. L'objectif est qu'il mette en relation tous les aspects qui lui sont présentés pour "acquérir la véritable notion du nombre". Le nombre est donc tout aussi bien un signe, une constellation qu'une collection. Cette idée conduit à distinguer les nombres concrets (une collection) et les nombres abstraits (le nombre en chiffres). Les nombres sont des sortes d'objets pré-existants que l'élève doit apprendre les uns après les autres et dont il doit retenir certaines caractéristiques. Leurs aspects cardinal et ordinal, ne sont pas clairement explicités. Ces nombres appris n'ont d'abord aucune justification par la résolution de problèmes, il s'agit de les apprendre et de ne les utiliser que plus tard. Enfin, il faut ajouter que les mécanismes de la numération décimale ne sont pas abordés, et que la dizaine n'est qu'évoquée lors de l'étude du nombre 10. x A partir de 1970 : donner de la signification aux nombres Je cite là aussi le programme de CP de 1970 : "Activités de classement et de rangement. Notion de nombre naturel. Nommer et écrire des nombres. Somme de deux nombres." Et les extraits des commentaires qui l'accompagnent : 6

7 " C'est par des manipulations nombreuses d'objets que les enfants élaborent peu à peu la notion de nombre naturel. Il est nécessaire de bien comprendre que le nombre naturel n'est ni un objet, ni une propriété attachée à des objets, mais une propriété attachée à des ensembles ( ) La notion de nombre naturel comme propriété d'un ensemble apparaîtra dans la mesure où l'on pourra établir une mise en correspondance terme à terme entre ensembles ( ) L'emploi systématique de la correspondance terme à terme permet de classer des ensembles et d'attribuer à chaque classe un nombre : ainsi la classe de tous les ensembles qui ont autant d'objets que l'on a de doigts dans une main définit le nombre naturel "cinq". ( ) On insistera sur le sens des expressions : autant que, plus que, moins que." La conception de l'apprentissage à cette époque est basée sur le rôle de l'action sur le réel. C'est à partir de celle-ci que l'élève doit pouvoir abstraire la notion et dégager la structure. Il n'y a cependant pas de rupture fondamentale avec les périodes précédentes puisqu'il s'agit d'apprendre d'abord des connaissances pour les appliquer ensuite à la résolution de problèmes. On insiste cependant plus sur l'aspect actif de l'apprentissage Un des principaux changements réside donc dans les contenus. La notion de nombre comme "cardinal d'ensembles finis" est une transposition pour les élèves de l'école primaire de la définition qu'ont les mathématiciens des nombres naturels dans le cadre de la théorie des ensembles. L'aspect cardinal est nettement dominant : on 7

8 propose aux enfants une théorie selon laquelle le nombre est considéré comme attaché à une classe d'ensembles pouvant être mis en correspondance terme à terme. Les nombres qui sont ainsi construits peuvent être rangés en se référant à la comparaison des ensembles, d'où l'importance dans les instructions des activités pré-numériques (comparaisons, classements, utilisation de la correspondance terme à terme ). L'action de dénombrer une collection par le comptage est dévaluée car on considère la comptine comme une récitation. Un autre changement est que le fonctionnement de la numération devient un objet d'étude, on travaille sur les groupements, les échanges, et on utilise d'autres bases que la base "dix". 3. Les procédures dans le temps La mise en place des activités d'enseignement nécessite une réflexion autour de plusieurs facteurs. Le premier qui a été décrit plus haut, est relatif aux différentes approches du nombre qui sont privilégiées, c'est à dire, quels sont les aspects que l'on veut transmettre aux enfants. Le second concerne les représentations et les connaissances que les enfants ont déjà en la matière. Et le troisième concerne la conception que l'enseignant a de l'apprentissage, de la façon dont l'élève construit son savoir. Or, ces trois points ont été inégalement pris en compte au fil du temps. Ceci explique les différences entre toutes les procédures qui ont été mises en œuvre. 8

9 x De l'antiquité à la fin du 19 e Il n'existe pas de réel enseignement, seuls quelques lettrés apprennent les rudiments. Voici un exemple de la façon d'enseigner la numération tiré d'un ouvrage de 1847 : "Pour ne pas multiplier les signes numériques, on a convenu de donner à chacun de ces chiffres une seconde valeur qui dépendrait du rang qu'on lui ferait occuper, et ce, en commençant par la droite ; le premier chiffre représente les unités simples; le deuxième les dizaines, le troisième les centaines " Arrivent ensuite les noms donnés à chaque puissance de dix, puis une série d'exercices : il s'agit d'écrire en lettres des nombres écrits en chiffres et inversement, dans un ordre croissant de difficulté. Une exception toutefois à cette pratique, celle de Condorcet qui enseigne la numération en trois leçons : Dans la première, il explique que la numération est basée sur un petit nombre de chiffres ou de mots, afin d'éviter d'avoir à en inventer d'autres lorsque les nombres à désigner sont de plus en plus grands. Dans la deuxième, il nomme les nombres jusqu'à 99, et dans un souci de corriger les irrégularités de la numération orale, il change le nom des nombres qui "rompent l'analogie". Il remplace ainsi les noms de onze à seize par "dix-un", "dix-deux" et "dixtrois" etc., mais également vingt par "duante", soixante-dix, quatre-vingt et quatrevingt-dix par "septante", "octante" et "nonante". Dans la dernière, il veut faire comprendre la valeur que prend un chiffre en fonction de sa position : "Un chiffre exprimera toujours autant de dizaines qu'il aurait exprimé 9

10 d'unités, s'il avait été moins avancé d'un rang ; autant de centaines, qu'il aurait exprimé d'unités, s"il avait été moins avancé de deux rangs." Enfin, cette conclusion : "On peut exprimer tous les nombres par cette méthode ; en effet, puisqu'en augmentant d'une unité le nombre des zéros qui suivent le chiffre un, on lui fait exprimer un nombre dix fois plus grand, il est clair que l'on peut lui faire exprimer un nombre plus grand que celui qu'on voudrait écrire : il sera donc exprimé par un nombre de chiffres moindre." Ceci n'est évidemment pas destiné aux enfants, car Condorcet n'a pas réussi à trouver le moyen de s'adresser à eux sur le sujet complexe qu'est la numération. Il insiste cependant sur le fait qu'il ne faudrait rien enseigner aux enfants sans leur en avoir expliqué le motif. x Fin 19 e jusqu'aux années 70 Les enfants étant scolarisés de plus en plus tôt, il s'agit de rendre la numération accessible à un grand nombre de jeunes élèves. Voici l'exemple de la méthode de Morgenthaler en 1948 : Les nombres sont étudiés dans l'ordre jusqu'à dix, et chacun d'eux est présenté comme égal au précédent ajouté de 1. On s'appuie sur la manipulation des bûchettes pour représenter concrètement cette situation. Le nombre est alors nommé, écrit en lettres, décomposé en toutes les sommes possibles. Au-delà de 10, les nombres sont abordés comme la somme de 10+n. Par exemple : 17 = 10+7 La dizaine est considérée comme une sous-collection particulière. Il n'y a donc aucun apprentissage concernant les groupements et échanges qui permettent de passer de la manipulation à l'expression chiffrée. 10

11 La progression est dictée par les difficultés dues aux irrégularités de la numération orale. Les pédagogues occultent les apprentissages concernant la numération positionnelle, mais cherchent plutôt à donner une représentation mentale des nombres à l'aide de matériel qui aide à la visualisation. Ils supposent donc que l'enfant va donner une réalité à la dizaine, à la centaine au travers des nombreuses occasions qu'il a de repérer le chiffre des dizaines et celui des centaines. x De 1960 à 1980 Si les méthodes antérieures restent largement utilisées, les travaux de Jean Piaget font émerger l'idée qu'il est possible d'aider les enfants à construire eux-mêmes leurs connaissances en les mettant en situation d'action. L'objectif est d'amener l'enfant à comprendre la numération, en évitant de lui présenter les connaissances en l'état achevé, comme on le faisait pendant les périodes précédentes. On fournit à l'enfant le matériel qui doit lui permettre d'explorer la structure de la numération, de percevoir et d'utiliser la structure de notre système d'écriture. Il s'agit surtout de blocs multibases, introduits à partir des années 70 et qui veulent faire entrer l'enfant dans la numération de position. Il s'agit pour la première fois de faire travailler la notion d'échanges et de groupements, tant sur les objets que sur les écritures. Celles-ci sont utilisées uniquement pour coder l'organisation des collections et sont le fruit d'actions faites par les élèves. Il faut noter que le travail sur d'autres bases que la base dix, nécessite que les enfants connaissent peu les désignations habituelles des nombres. Les pédagogues tentent donc de faire abstraction des connaissances antérieures des enfants, et souhaitent même qu'elles soient inexistantes pour ne pas entraver la progression. 11

12 Le fait de travailler dans différentes bases doit permettre aux enfants de comprendre que le fonctionnement des groupements-échanges reste le même alors que seules changent les valeurs des groupements et donc les écritures. Ces méthodes ont eu des difficultés à s'implanter d'une part à cause du changement radical d'attitude qu'elles demandaient aux maîtres, par rapport aux méthodes antérieures, et d'autre part à cause de la réticence rencontrée auprès des parents. Elles ont eu le mérite, malgré leur échec relatif, de donner une réalité à la dizaine et à la centaine et de montrer par là la nécessité du travail sur les groupements et les échanges. Il apparaît finalement contestable de passer par d'autres bases en début d'apprentissage, principalement à cause des écritures, mais ce travail peut très bien se faire en CM2, où la numération devient alors sujet d'étude. x Depuis la fin des années 80 On essaie depuis cette période de faire une synthèse des méthodes précédentes, en gardant l'objectif de compréhension de notre compréhension des nombres. En ce sens il n'y a pas de rupture avec la période précédente. Une des différences réside dans le fait qu'on veut prendre en compte les connaissances des enfants, et non plus en faire table rase, les corriger si elles sont erronées et s'appuyer dessus pour en construire de nouvelles. Ensuite, on considère que le matériel, aussi perfectionné soit-il n'est pas suffisant pour permettre l'apprentissage. On privilégie désormais les situations-problèmes qui mettent l'enfant en phase de recherche, l'amènent à découvrir une notion plus complexe que celle qu'il maîtrisait jusque là et qui s'avère maintenant insuffisante. 12

13 II. PROBLEMATIQUE La question centrale de ce mémoire est de savoir comment aider l'enfant à comprendre notre système de numération. Si on veut aider un enfant en numération, il faut l'aider à découvrir qu'on peut "résumer" un comptage de un en un par un comptage de dix en dix, mieux par un comptage des dix. Il faut pour cela qu'il comprenne la signification des chiffres en fonction de leur position, c'est-à-dire l'algorithme lié aux idées de groupements par dix et d'échanges. Pour comprendre qu'un chiffre n'a pas la même valeur s'il est à la place des dizaines ou des unités, il faut avoir eu l'occasion de vérifier que lorsqu'on échange dix éléments contre "un", celui-ci vaut dix. Il s'agit donc d'aider l'enfant à interpréter des écritures qu'il sait déjà plus ou moins produire, des écritures dont il ne perçoit pour l'instant au mieux que l'organisation algorithmique. Les irrégularités de la numération orale posent en plus des embûches supplémentaires. Or toutes les leçons sur la numération écrite sont construites sur le même modèle. On compare la numération de position avec une numération additive, c'est-à-dire qu'on y choisit un symbole pour représenter les unités, un autre pour représenter la dizaine, etc. Brissiaud nous dit sur ce sujet, que dès lors, choisir une sorte de leçon revient en grande partie à choisir un système de symboles plutôt qu'un autre. Le propos sera donc ici de réfléchir sur la question suivante : quelles pratiques numériques convient-il de développer avec les élèves de CP pour que ceux-ci donnent du sens à la numération écrite? 13

14 Je suppose à partir de maintenant, que les élèves ont acquis les connaissances de base sur la numération, c'est à dire qu'ils savent lire, écrire, nommer les nombres dont ils ont besoin et reconnaître les écritures chiffrées. Mon travail se portera donc sur les méthodes à employer pour donner du sens à ces écritures. En s'appuyant sur Ermel, il paraît intéressant de découper l'apprentissage de la numération décimale, à partir du moment où l'enfant maîtrise les écritures chiffrées, en trois étapes : - l'approche algorithmique de la suite numérique, c'est-à-dire sa régularité, son organisation en familles de dix. - Le travail sur les échanges, c'est-à-dire la compréhension que la valeur d'une collection ne dépend pas forcément du nombre de ses éléments. Ceci pour amener à la compréhension qu'une unité d'un certain ordre est équivalente à n unités du rang inférieur. - Le travail sur les groupements par dix III. LE DISPOSITIF MIS EN PLACE : Les travaux dans le domaine de l'apprentissage de la numération sont innombrables et très aboutis. Il apparaît donc impossible de proposer quelque chose de nouveau en la matière, du moins dans le cadre particulier de cette année de PE2 où le contact avec les enfants est très restreint. Les trois séquences portant sur chacune des parties citées, sont donc toutes trois tirées de manuels. Les deux premières sont proposées par le groupe Ermel et la troisième par le fichier de l'élève de Brissiaud. Il s'agit donc d'une mise en pratique personnelle qui vise à tester l'efficacité des situations proposées. 14

15 Les trois séquences ont lieu dans la même classe de CP à Castelnau-le-Lez. La première s'est déroulée pendant le stage du mois de janvier, la seconde et la troisième ont eu lieu par la suite avec l'accord de la maîtresse, lors des demijournées disponibles dans mon emploi du temps. IV. EXPERIMENTATION 1. LA REGULARITE DE LA FILE NUMERIQUE : Les objectifs de cette première partie sont : - d'observer la régularité de la file numérique - de la décomposer en familles de dix - d'utiliser l'algorithme qui permet d'écrire les nombres qui précèdent et qui suivent un nombre donné - de maîtriser la comptine de dix en dix Les séances ont eu lieu lors du stage en responsabilité, au début du mois de janvier dans une classe de CP/CE1 qui compte 12 CP. Les activités choisies s'appuient sur la bande numérique. Il s'agit de la mise en pratique d'une séance proposée par Ermel. Je veux leur faire remarquer certaines régularités de la file numérique et leur permettre de savoir écrire un nombre à partir du précédent. Les enfants disposent de plusieurs bandes numériques jusqu'à 99. Elles ne tiennent bien sûr pas sur une seule ligne et j'ai volontairement veillé à ne pas faire la coupure toujours après une dizaine. 1.Je leur demande d'abord de colorier toutes les cases dans lesquelles il y a un 6. 15

16 La consigne est bien suivie. Les enfants ont bien repéré tous les nombres ayant 6 comme chiffre des unités ainsi que des dizaines. Ils ont ainsi repéré que le nombre 6 revenait à des intervalles réguliers dans la file numérique, et qu'il y avait un "gros paquet" de nombres qui se suivent et qui ont un 6. Un enfant a cependant eu du mal à effectuer ce tri, sa difficulté venant du fait qu'il ne parvenait pas à faire la distinction entre 6 et Je souhaite ensuite qu'ils repèrent la régularité quant à l'apparition du chiffre des unités. Sur une autre bande, la consigne était donc de colorier toutes les cases dont le nombre se termine par 4. Ici une difficulté imprévue est survenue. Deux enfants n'ont visiblement pas compris "se termine". Ils ont sélectionné tous les nombres qui contenaient un 4, comme dans la première consigne. J'ai donc fait plusieurs tentatives pour changer les termes de la consigne avec "premier chiffre, et deuxième", ou encore " premier et dernier" ou encore "chiffre de gauche et chiffre de droite". Pourtant, la difficulté a subsisté pour un enfant. Après une phase de verbalisation, ils ont constaté que très régulièrement dans la file, les nombres se terminent par le même chiffre. 3. Enfin, sur la dernière bande, la consigne est de colorier de la même couleur toutes les cases qui commencent par le même chiffre. Ici, pour tous les enfants est apparue une réponse que je n'avais pas prévue. 16

17 Ils ont colorié les cases de 1 à 9 de la même couleur que les dizaines commençant par le même chiffre. Ils ont ainsi obtenu une partie de la bande de 0 à 9 de toutes les couleurs, ne faisant pas apparaître le caractère commun à ce groupe que je recherchais. La remédiation à cette erreur ne m'et pas apparue simple. Et j'ai dû imposer le fait de les colorier tous de la même couleur en le justifiant par le fait que c'était les seuls nombres qui n'avaient qu'un seul chiffre. Cette explication ne me paraît pas satisfaisante. Il m'a paru pourtant nécessaire de corriger cette erreur pour la suite des exercices, afin d'éviter des découpages nombre par nombre dans la première partie de la bande. Devant l'impossibilité d'expliquer que le point commun de ces nombres était l'absence de dizaine, j'ai donc opté pour l'explication du chiffre unique, qui définit un groupe à part entière. 4. Il faut maintenant organiser cette bande numérique en "familles", mais sans introduire pour autant le terme de dizaine. La disposition adoptée très fréquemment consiste à disposer les nombres par dix et à placer les portions de bande les unes sous les autres. Pourtant il existe deux modèles différents : celui où chaque ligne commence par la dizaine juste, c'est-à-dire où le chiffre des unités est zéro (Ermel) et celui où chaque ligne commence par la dizaine plus un (Brissiaud). Il me semble plus facile, repérable et surtout compréhensible par les enfants de regrouper ensemble tous les nombres qui commencent par le même chiffre. Comment pourraient-ils spontanément placer 20 dans le même groupe que 18 par exemple? A partir de la dernière consigne, je leur ai donc demandé de découper la bande en morceaux, en s'aidant des couleurs et de les coller les uns au-dessous des autres, sur une feuille blanche en respectant l'ordre des nombres. 17

18 Certains morceaux de bande se sont retrouvés coupés en deux, vu la présentation de la bande numérique que j'ai volontairement coupée au milieu de certaines dizaines. Les difficultés rencontrées ici sont essentiellement d'ordre matériel : le découpage assez malhabile, les morceaux de bandes qui s'éparpillent, qui se déchirent Mais les couleurs appliquées précédemment ont permis de minimiser le risque d'erreurs. Un élève cependant qui avait colorié chaque nombre à un chiffre de couleur différente a commencé à les découper un par un. Les écritures se trouvent alors organisées grâce au chiffre de gauche : Ce dispositif a donné la possibilité aux enfants de mettre en évidence l'algorithme qui régit l'écriture de la bande numérique : les familles des dizaines qui commencent par le même chiffre dans l'ordre de 1 à 9, et l'apparition régulière de nombres qui se terminent par le même chiffre. Deux évaluations de cette séance ont été faites : La première par l'intermédiaire de la bande numérique entière dans l'ordre mais comportant des cases vides à compléter. La deuxième par l'intermédiaire de la bande numérique coupée en cinq morceaux et rangés les uns sous les autres dans le désordre et qui comporte également des cases vides à compléter. 18

19 Dans le premier cas, les difficultés ont été correctement surmontées, du moins en ce qui concerne l'ajout d'une unité dans la même dizaine. Ceci montre que cet algorithme a été bien compris puisque les enfants n'avaient pas appris la file numérique jusqu'à 99. La difficulté est venue du passage à la dizaine supérieure, quand celle-ci n'était pas inscrite dans la file. Ici, quelques enfants ont bien "remis à 0" les unités mais n'ont pas ajouté la dizaine supplémentaire. On se retrouve donc avec une file comme celle-ci : Lorsqu'ils arrivent à une case inscrite, ils ne tiennent plus compte de ce qu'ils viennent d'écrire et repartent sur la nouvelle base sans doute jugée plus solide qu'on vient de leur fournir. A l'issue de cette évaluation, j'ai fait reprendre les collages effectués auparavant afin de les comparer avec les réponses qui avaient été données et de faire resortir la régularité dans les changements du premier nombre. La consigne était dans un premier temps de corriger ses erreurs. Je leur ai demandé ensuite de compter combien de nombres à deux chiffres commençaient par un 1, combien commençaient par un 2, etc. Ils ont ainsi vérifié que lorsqu'on complète la bande numérique, il ne peut pas y avoir plus de dix nombres qui se suivent et qui commencent par le même chiffre. J'ai ensuite fait entourer à ceux qui avaient commis l'erreur, le dernier nombre de chaque groupe. Ils ont pris conscience que tous se terminaient par neuf, et nous sommes arrivés à la conclusion que lorsqu'un nombre se termine par neuf, le suivant ne commence jamais par le même chiffre. La deuxième évaluation a été proposée le lendemain. Elle était du même type à la différence près que la bande était découpée de façon irrégulière et que les morceaux n'étaient pas rangés dans l'ordre. Elle a globalement été mieux réussie. Le problème 19

20 le plus fréquemment rencontré fut lorsqu'un morceau de bande commençait directement par une case vide. Plusieurs enfants y ont alors inscrit le nombre suivant de la ligne précédente. Sans tenir compte du nombre inscrit dans la case suivante. Tout semble fonctionner comme s'ils avaient compris le mécanisme en avançant, mais ont du mal à le faire fonctionner à l'envers. Une fois le nombre erroné écrit, ils prennent conscience de l'erreur s'ils reprennent la file en avançant, mais certains enfants ont du mal à trouver le nombre précédent. Cette séquence a l'avantage de permettre aux enfants de manipuler dans un domaine où les manipulations ne paraissent pourtant pas évidentes, c'est-à-dire les écritures chiffrées. Ils ont d'abord repére des régularités, notamment lorsqu'ils ont colorié les nombres ayant les mêmes unités puisqu'ils allaient plus ou moins directement à l'endroit où il devait se trouver en se basant sur l'écart repéré. Puis ils ont groupé, selon un critère que je leur ai fourni, les nombres par familles, et les ont séparés en les découpant, c'est une sorte de démontage de la file. Ils les ont enfin remontés pour reconstituer la file en l'organisant de façon plus intelligible. Les interventions directives de la part de l'enseignant sont indispensables car il semble difficile que les enfants puissent repérer d'eux même les caractères pertinents et la récurrence des évènements dans la suite numérique. Il est également impératif de rectifier les erreurs qui surviennent à chaque étape de la séquence car il n'y a ici aucune vérification possible, aucun moyen de validation possible par les enfants eux-même. 20

21 2. LES ECHANGES : Leur but est de faire accepter à l'enfant que la valeur d'une collection ne dépend pas forcément du nombre d'éléments de cette collection. L'objectif du travail est d'amener l'enfant à comprendre qu'une unité d'un certain ordre est égale à n unités de l'ordre inférieur. Les règles d'échanges souvent proposées dans les manuels sont basées sur des nombres variés, choisis assez petits en général pour faciliter les manipulations. On choisit souvent le nombre 5. Dans la séquence suivante, je choisis d'utiliser 10 comme valeur d'échange car il me semble que la multiplication des valeurs d'échanges n'apporterait ici pas de meilleure compréhension de la règle utilisée. Le but ici n'est non pas de faire le lien avec la numération décimale ( L'enfant qui aura échangé 23 éléments contre 2 autres équivalents à 10 et à qu'il en reste 3, ne fera pas forcément le rapprochement avec l'écriture de ce nombre.), mais plutôt de leur faire prendre conscience de certaines équivalences. Les séances ont étés conduites dans la même classe que précédemment. Il y en a cinq distinctes. Les deux premières ont eu lieu pendant la dernière semaine du stage en responsabilité de janvier et les trois autres pendant les trois semaines qui ont suivi, au rythme d'une par semaine. Le jeu du banquier : Les enfants doivent opérer des échanges à partir des jetons gagnés et comparer l'état de la collection après les échanges. Ici le choix des représentations pour les dizaines et les unités m'a posé problème : soit je choisissais les petits cubes pour les unités et les barres pour les dizaines, 21

22 lesquelles gardent la trace des dix unités plus petites, mais il était alors difficile de compter le nombre d'éléments de la collection après les échanges puisqu'il n'y avait pas unité de forme de ces éléments, soit des jetons de deux couleurs différentes qui permettaient mieux un comptage des éléments après échanges, mais qui n'expriment pas clairement leur valeur. Ce dernier choix s'est en fait imposé car il est nécessaire de compter l'ensemble des objets et de prendre conscience que deux éléments qui se ressemblent peuvent avoir une valeur différente, une valeur qu'on lui attribue arbitrairement. La première approche du jeu se fait en demi-groupe. J'ai alors douze enfants que je divise en deux groupes. Ils disposent d'un dé par groupe. A tour de rôle un enfant lance un dé et demande au banquier (moi) le nombre de jetons correspondants. La consigne est que dès que l'on a dix jetons jaunes, on les échange contre un jeton rouge. Et si on a dix jetons rouges, on les échange contre un vert. Les enfants du groupe doivent intervenir s'il y a des échanges à faire qui n'ont pas été faits. L'après-midi même, en classe entière, les enfants sont disposés par quatre, un banquier et trois joueurs. Les règles restent les mêmes, mais le banquier doit veiller à la bonne lecture du dé, à la distribution des jetons, au respect des règles des échanges. Au bout d'une vingtaine de minutes, je stoppe le jeu, dès que je m'aperçois qu'un des enfants a obtenu un jeton vert. La question "qui a gagné?" a soulevé de nombreux problèmes et de réponses différentes pour chaque groupe : - Certains enfants n'ont pas tenu compte des échanges effectués et ont simplement compté le nombre total de jetons, sans distinction de couleur. 22

23 - D'autres enfants ont été obligés d'inverser leurs échanges, de revenir aux jetons jaunes pour pouvoir répondre. - D'autres étaient perplexes face au fait que l'un avait plus de jetons rouges et l'autre plus de jetons jaunes et pensaient donc qu'on ne "pouvait pas savoir". Une phase de mise en commun a été nécessaire. Les enfants ont dessiné les pions qu'ils avaient obtenus au tableau et je leur ai demandé d'expliquer comment savoir qui a gagné. L'erreur la plus fréquente est de tenir le nombre total de jetons comme égal au nombre total des points marqués. Il est alors nécessaire de revenir sur les règles des échanges et de refaire une démonstration devant la classe : Un élève lance plusieurs fois le dé, un autre note sur un coin du tableau les points obtenus à chaque tirage, le banquier distribue les jetons jaunes et procède aux échanges que demande le joueur. Après comptage des jetons et calcul du nombre de points, les enfants en viennent à admettre que le nombre de points est supérieur au nombre de jetons. Une autre erreur est de croire que plus on a de jetons, plus on a de points. Là j'ai dû m'appuyer sur les exemples des enfants et leur demander de passer par la redécomposition des pions rouges en pions jaunes pour vérifier leurs résultats. Ils ont dû alors admettre qu'un petit nombre de jetons rouges pouvait avoir une plus grande valeur qu'un grand nombre de jetons jaunes. Lors de cette deuxième séance, un seul enfant est parvenu à l'obtention d'un jeton vert. Pour cet exemple précis, tout le monde a alors admis que c'était lui le vainqueur, car personne d'autre que lui n'était parvenu à avoir suffisamment de 23

24 rouges pour les échanger contre un vert. Le vert symbolisait alors un nombre très grand qu'il était difficile d'atteindre à moins de continuer encore à jouer pour obtenir plus de points. Pour la troisième séance, l'objectif est de coder une valeur donnée par la représentation des jetons jaunes et rouges. Les enfants travaillent par quatre avec deux joueurs, un secrétaire et le banquier. Le secrétaire est chargé de noter sur une feuille et en colonne les points obtenus par chacun des deux joueurs, le banquier distribue les jetons, les joueurs lancent les dés et procèdent aux échanges auprès du banquier. Chaque joueur joue huit coups. En fin de partie, les jetons des joueurs sont placés dans une enveloppe et les feuilles des secrétaires sont échangées. La consigne est la suivante : "retrouver les jetons des joueurs de l'équipe dont on a la feuille". Deux procédures ont été suivies par les enfants : 1. Dessiner le nombre total de jetons jaunes obtenus par chacun des joueurs avant de procéder aux échanges. Ensuite, regrouper dix jetons jaunes en les entourant, barrer le groupe formé et le remplacer par un jeton rouge. 2. Dessiner les jetons obtenus à chaque tirage, à coté du nombre noté par le secrétaire, et dès que le nombre total de jetons dessinés atteint dix, remplacer immédiatement les jetons jaunes par un jeton rouge. La première procédure prend en compte la totalité de la collection de jetons et fait apparaître les paquets de dix. La deuxième prend moins en compte cet aspect groupement par dix, mais fait apparaître la nécessité de nouveaux échanges lorsqu'il y a réunion de deux collections. 24

25 Après vérification dans les enveloppes, les résultas se sont trouvés faux pour deux groupes. Après une rapide vérification je me suis aperçue qu'ils n'avaient pourtant pas commis d'erreur dans la représentation de leurs échanges. J'ai alors mis en place une procédure de contrôle afin de retrouver l'erreur qui avait dû survenir pendant la phase de jeu. Cette procédure s'est avérée assez fastidieuse : - d'abord calculer le nombre total de points obtenus par le joueur. Les enfants ne disposant pas de calculette, ils ont dû effectuer l'addition des huit résultats en comptant sur leurs doigts, avec toutes les erreurs que cela comporte. J'ai dû intervenir à plusieurs reprises pour éviter les erreurs de calcul et finalement recourir à la représentation des points par des bâtons sur une feuille. Ceci a donc nécessité une représentation supplémentaire, une organisation matérielle de plus que j'ai trouvé difficile à gérer. - Ensuite reconvertir les jetons rouges de l'enveloppe en jetons jaunes pour vérifier que le nombre de jetons jaunes correspondait bien au nombre de points calculés. Cette vérification a permis de montrer que l'erreur était survenue au cours du jeu, soit parce que le secrétaire a fait une erreur en recopiant le nombre de points, soit parce que le banquier a donné un mauvais nombre de jetons, soit lors des échanges. La quatrième séance a pour objectif de leur faire prendre conscience de la nécessité de faire de nouveaux échanges lorsqu'on réunit plusieurs collections. Le dispositif est simple : toujours regroupés par quatre, avec un banquier et trois joueurs, les enfants jouent six coups chacun. A l'issue de la partie, je demande quelle est l'équipe qui a gagné. Les enfants sont alors obligés de mettre en commun leur jetons. Certains enfants ont refusé dans un premier temps de mettre leurs jetons 25

26 en commun et ont essayé de les compter en conservant des tas bien distincts, c'est à dire simplement en mémorisant : on compte tous les rouges et tous les jaunes. J'ai alors fourni deux boîtes pour recueillir les jetons : une boîte pour les rouges et une boîte pour les jaunes, et ce, à chacune des équipes. Le problème qui s'est posé est venu du fait que trois groupes n'ont pas eu besoin de procéder à de nouveaux échanges, alors que les autres dépassaient les dix jetons jaunes. J'ai donc décidé de faire une mise en commun collective avant de procéder aux échanges, pour les groupes qui en avaient besoin. La difficulté a été l'organisation matérielle. Les enfants ont collé chacun leurs jetons au tableau avec de la patafix avant de procéder aux échanges nécessaires. Tous les groupes qui avaient besoin de pratiquer des échanges sont passés un à un au tableau pour les effectuer devant toute la classe. Une fois tous les échanges effectués, les jetons de chaque équipe sont représentés sur une feuille de papier pour permettre la comparaison des résultats. L'absence de jeton vert rend la comparaison plus difficile, le vert étant pour un très grand nombre qu'on peut difficilement atteindre, et il est nécessaire de bien insister que lorsqu'on a un jeton rouge, c'est comme si on avait dix jetons jaunes. L'étape suivante, doit permettre de renforcer l'idée qu'une dizaine est égale à dix unités et permettre d'approcher la correspondance entre les chiffres dans une écriture chiffrée et le résultat d'un échange avec la règle dix contre un. Les jetons de couleur et le dé sont remplacés par des cartons où sont inscrits des nombres. A la place du dé j'ai fabriqué des cartes portant les nombres de 15 à 30, et à la place des jetons, des cartes de valeur 1, 10 et 100. Le but est que l'enfant s'aperçoive, qu'il est 26

27 plus facile de demander directement deux cartes qui valent dix plutôt que vingt cartes qui valent 1. Cette démarche ne s'impose pas tout de suite. Il faut attendre un ou deux tours. D'abord les enfants demandent autant de cartes que de points indiqués sur la carte qu'ils ont tirée. Puis ils procèdent immédiatement à des regroupements par dix pour faire l'échange. Certains même persistent dans cette démarche qui les rassure, sorte de validation préalable qui permet d'être sûr de ne pas se tromper. Face à ce refus, je décide de limiter le nombre de cartes à un point en en retirant une grande partie du jeu. Face à cette difficulté, les enfants les plus réticents ont dû se poser la question : "dans 24, combien y a-t-il de 10?". Cette réponse n'a pas été évidente, car cette réticence venait en partie du fait qu'ils maîtrisaient mal l'algorithme de la file numérique et qu'ils n'avaient pas bien intégré que 20 était égal à 2 dix. Petit à petit, la décomposition en dizaines et en unités est devenue systématique. 3. LES GROUPEMENTS PAR DIX Les activités pratiquées jusqu'à maintenant ont permis aux enfants de décomposer les nombres en paquets de dix, et de procéder aux échanges de dix unités contre une dizaine. Il faut maintenant établir le lien entre le nombre de dizaines et d'unités et l'écriture chiffrée. Les enfants n'ont pas encore remarqué que dans un nombre à deux chiffres, le chiffre de gauche représente le nombre de groupes de dix et celui de droite le nombre d'unités qui n'ont pas été groupées. Les deux séances suivantes sont appuyées sur les activités proposées par le fichier de mathématiques de Brissiaud. Elles ont eu lieu dans la classe où j'ai effectué mon stage en responsabilité du mois de janvier et qui a l'habitude de travailler sur ce 27

28 fichier. Les enfants sont familiarisés avec le fonctionnement de la boîte de picbilles qui comporte dix emplacements séparés en deux compartiments, ainsi qu'à la disposition des billes en constellation du dé ( comme Dédé dans le fichier ). La première phase est celle du fichier de l'élève pages 86 et 87. 0n veut que l'enfant assimile la boîte de picbilles pleine à une dizaine et les billes restantes qui n'ont pas pu remplir une boîte entière à des unités. L'activité choisie propose de ranger des billes qui sont dans le désordre dans les boîtes de dix puis de compter le nombre de boîtes pleines et de billes restantes. La démarche attendue est de procéder parmi une collection d'objets éparpillés à des regroupements de dix objets, à dénombrer ces groupements et à les coder comme unité d'ordre supérieur aux billes restées seules. Reste ensuite à dénombrer les unités restantes, ceci pour faire apparaître la relation entre le nombre de boîtes de dix, le nombre de billes restées seules et l'écriture chiffrée. Le premier exercice est une sorte de démonstration de la façon de ranger de Picbille et Dédé. L'enfant doit coder le résultat obtenu mais aussi s'assurer que le rangement effectué ne comporte pas d'erreurs, en procédant lui-même aux groupements par dix et en vérifiant que le nombre de groupements obtenu correspond au nombre de boîtes de picbilles, et que le nombre de billes restantes correspond bien au rangement effectué par Dédé. Les exercices suivants sont des entraînements à reproduire cette façon de ranger, les enfants doivent représenter eux-même les boîtes et la constellation. Dans ces exercices, plusieurs enfants, une fois leurs regroupements par dix effectués, ont fait un paquet des billes restantes. Mon intervention est nécessaire pour rappeler que tous les paquets formés doivent comporter 10 billes. 28

29 A la question "combien y a-t-il de billes en tout?", beaucoup ont répondu en recomptant l'ensemble des billes, sans se servir des boîtes et des billes restantes. Là aussi, j'ai été obligée de leur faire remarquer la similitude entre les nombres obtenus et l'écriture chiffrée. L'analyse de l'écriture, c'est-à-dire la compréhension que le chiffre de droite correspond au nombre de billes comme Dédé qui ne rentraient pas dans une boîte et le chiffre de gauche au nombre de boîtes de dix pleines, doit se faire collectivement après les deux exercices de la première page. L'objectif étant la compréhension de cette construction, il m'a paru nécessaire d'intervenir à ce moment pour faire prendre conscience aux enfants qui recomptaient les billes que leur travail était très fastidieux et leur proposer une solution plus rapide pour la suite des exercices. Cette séance s'est donc déroulée comme suit : une phase de découverte et d'appropriation de la consigne, la reproduction du modèle proposé mais sans réelle prise de conscience de la correspondance entre les groupements et les chiffres du nombre, une phase collective pour mettre en place l'algorithme et une dernière pour consolider ce nouveau savoir. V. CONCLUSION : Les trois phases ont chacune un objectif propre. La première est une découverte de certaines régularités de la suite numérique qui introduit la notion de dizaines. L'articulation entre la deuxième et la troisième séance semble évidente puisque pour la troisième, il est nécessaire que l'enfant ait assimilé que les dix billes sont représentées par la grande boîte. Les remarques quant à la première séquence sont les suivantes : 29

30 - elle nécessite un guidage assez pointu de la part du maître, et sans son intervention, il paraît difficile à l'enfant de se poser lui-même des questions sur une éventuelle régularité. Je n'ai pour ma part pas trouvé de situation-problème qui le permette. Le guidage est également indispensable pour corriger les erreurs commises dans les coloriages notamment. Ces erreurs, si difficiles à déceler pour eux au milieu d'une file numérique qui leur paraît très étendue, entravent la visualisation de la régularité ainsi que la poursuite des consignes (notamment lors du découpage des bandelettes des dizaines). - elle a l'avantage de permettre une manipulation, là où habituellement il n'y a qu'observation/écriture. Ceci permet de démonter et remonter le mécanisme de l'écriture et semble avoir donné une explication que les enfants ont trouvée satisfaisante : les nombres sont rangés en fonction du premier chiffre, et ensuite il faut regarder le deuxième pour connaître l'ordre. La deuxième séquence qui occupe la plus grande place dans mes expérimentations, rend l'enfant plus actif, puisque les problèmes se posent d'eux-mêmes à partir d'une consigne claire et simple. Les stratégies différentes qu'ils ont pu élaborer sont affinées d'elles-mêmes par les contraintes que l'enseignant ajoute à chaque fois. La difficulté principale vient du fait que le dispositif demande un travail par groupes et que tous les enfants ne sont donc pas confrontés aux mêmes problèmes, je pense à la réunion des jetons notamment pour en trouver le nombre total. Il faut donc prévoir un moyen de faire partager les stratégies d'un groupe à l'ensemble de la classe. La représentation des jetons sur une affiche me semble la meilleure solution, vu la difficulté que j'ai eue pour montrer l'ensemble des jetons à la classe. La dernière séquence est dans le prolongement de la première. La différence est qu'ici j'ai abandonné les manipulations pour rester au niveau de la représentation. 30

31 Dans la stricte continuité, j'aurais pu proposer la même activité que Brissiaud mais en faisant compter le nombre de jetons rouges et le nombre de jetons jaunes. L'avantage des représentations proposées par Brissiaud est à mon avis, dans cette phase difficile de compréhension de la dizaine, de permettre de conserver une trace des dix billes que l'enfant peut imaginer dans la boîte. Les valeurs différentes de la dizaine et de l'unité sont ainsi à mon sens mieux représentées. 31

32 I. PARTIE THEORIQUE Bref historique sur l'élaboration de la numération décimale Les aspects des nombres privilégiés dans l'enseignement...4 x Avant 1970 : l'apprentissage systématique des nombres...4 x A partir de 1970 : donner de la signification aux nombres Les procédures dans le temps...8 x De l'antiquité à la fin du 19 e...9 x Fin 19 e jusqu'aux années x De 1960 à x Depuis la fin des années II. PROBLEMATIQUE...13 III. LE DISPOSITIF MIS EN PLACE :...14 IV. EXPERIMENTATION LA REGULARITE DE LA FILE NUMERIQUE : LES ECHANGES : LES GROUPEMENTS PAR DIX...27 V. CONCLUSION :

33 RESUME La numération décimale a mis des milliers d'années à s'élaborer. Notre système de comptage repose sur des mécanismes relativement complexes qu'il est important de comprendre si on veut pouvoir s'en servir efficacement. A l'issue de sa scolarité à l'école élémentaire, l'élève doit avoir une bonne connaissance des nombres mais aussi dans d'autres domaines mathématiques où la numération tient une grande place. Dès lors l'enseignant se doit de trouver des moyens efficaces pour favoriser cet apprentissage, pour lui donner du sens et pour le rendre stable. Au fil du temps, les approches ont été très différentes : d'abord apprentissage systématique, on est venu à partir de 1970 à privilégier l'aspect cardinal pour donner du sens au nombre. Les pratiques, quant à elles, ne présentent plus les connaissances en l'état achevé, mais fournissent à l'enfant le matériel pour qu'il puisse lui même en découvrir la structure. La notion d'échanges et de groupements devient dominante. La progression que j'ai choisi d'expérimenter se décompose en trois étapes : - une première où l'enfant doit repérer les régularités de la file numérique et où il découvrira les mécanismes de l'écriture des nombres. - une deuxième où il pratiquera des échanges d'unité de rang inférieur contre un unité de rang supérieur, ceci pour prendre conscience que la valeur d'une collection ne dépend pas du nombre d'objets qui la composent. - une troisième où il doit comprendre la correspondance entre le nombre de paquets de dix qu'il a formé avec le chiffre des dizaines, et le nombres d'objets restants qui n'ont pas pu être groupés avec celui des unités. Ces séquences m'ont montré l'efficacité de certaines phases de manipulation, mais également le danger de s'appuyer uniquement sur elles. Concernant le travail sur l'algorithme de la file numérique par exemple, il est impossible de s'appuyer sur du concret, il est donc très difficile pour l'enfant de vérifier l'exactitude de son travail. L'enseignant doit rester présent pour valider le résultat de l'élève et pour le guider quant à la démarche à suivre. Les manipulations prennent tout leur sens quand il est possible de faire des expériences par leur intermédiaire, de résoudre les problèmes posés, de faire et de défaire pour vérifier ce que l'on pense avoir trouvé. Il me semble donc que la situation-problème où on laisse l'élève manipuler seul pendant une phase de recherche n'est pas toujours applicable et que certains apprentissages ne s'y prêtent pas. 33