Conduction électrique

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1 Conduction éectrique. Courant éectrique.1. Intensité Dans a première partie de ce cours nous nous sommes intéressés aux charges éectriques immobies (éectrostatique). Or i existe des miieux avec des charges éectriques mobies. Par exempe, dans es conducteurs des éectrons de a couche externe des atomes ne participent pas aux iaisons du réseau cristain et sont ainsi très faibement iés aux atomes. Dans un éectroyte es ions en soution sont égaement mobies. En présence d un champ éectrique ces charges, soumises à une force éectrique, se mettent en mouvement et créent un courant éectrique. Les charges mobies sont appeées porteurs. Un courant éectrique est un mouvement coectif de charges éectriques. L intensité d un courant éectrique mesure e débit des charges en mouvement au travers d une surface. Soient une surface (S) et un intervae de temps infinitésima dt. Si nous notons dq a charge traversant a surface entre es instants t et t+dt, intensité est définie par : i = dq dt L intensité éectrique s exprime en ampère, symboe. L ampère est une unité fondamentae qui correspond à une charge de un couomb s écouant en une seconde :.2. Vecteur densité de courant 1 = 1 C s -1 Dans un premier temps considérons un miieu ne comportant qu un seu type de charges mobies, par exempe es éectrons ibres d un conducteur. Nous notons ρ a densité voumique de ces charges et eur vitesse moyenne d ensembe. Considérons un éément de surface ds orientée par un vecteur norma. Les porteurs situés à instant t dans e cyindre éémentaire de base ds =ds et de génératrice dt traversent a surface ds dans intervae dt. Ce cyindre de voume d = dt ds contient a charge dq = ρ d =ρ dt ds. Nous avons donc pour intensité i traversant a surface ds : i= dq dt =ρ ds Cette intensité apparaît comme e fux d un vecteur : i=j ds avec j = ρ Ce vecteur j est appeé vecteur densité de courant. S. Tisserant PHY11 : Eectromagnétisme VI - 1

2 Fig. 1 : Intensité au travers d une surface infinitésimae. L intensité au travers d une surface finie S s obtient en sommant e fux éémentaire, soit : i = j ds S En présence de pusieurs porteurs i faut sommer eurs contributions : j = ρ i i i On appee igne de courant une igne qui est en tout point tangente au vecteur densité de courant. On appee tube de courant ensembe des ignes de courant s appuyant un contour fermé..3. Reation de continuité Considérons un voume ( ) d un miieu ayant une densité de porteurs ρ et de densité de charges fixes ρ. La charge totae de ce voume est : Q= ρ+ρ' d La densité de charges fixes ne pouvant varier avec e temps, pendant un intervae de temps dt a charge Q varie de : dq= ρ dt d t Cette variation correspond au fux entrant de charges mobies pendant intervae dt au travers de a surface (S) engobant e voume ( ) : dq= j ds S dt S. Tisserant PHY11 : Eectromagnétisme VI - 2

3 où e vecteur ds est orienté vers extérieur. Or e théorème de Green-Ostogradsky nous permet d écrire pour e fux sortant : Ce qui nous donne : Soit : dq dt j ds S = div j d ρ = t d = div j d ρ t +div j d = 0 Ce résutat doit être vaabe queque soit e voume considéré. Nous avons donc : ρ t +div j =0 I s agit de a reation de continuité de a densité de courant. En régime stationnaire permanent (densité de charge indépendante du temps) e vecteur densité de courant est à fux conservatif : div j =0 Dans e cas d une distribution surfacique de porteurs de densité σ on définit une densité surfacique de courant : j = σ. Loi d Ohm.1. Conductivité Dans e vide, sous action de a seue force éectrique, es porteurs auraient un mouvement accééré. Dans a matière (conducteur, semi-conducteur, éectroyte) ces porteurs heurtent es atomes du miieu (du réseau cristain, des moécues du iquide, etc.). Entre deux chocs chaque porteur est accééré. Lors de chaque coision i perd de énergie (transmise à a matière) et repart dans une direction aéatoire. Notons m, q et v a masse, a charge et a vitesse d un porteur d un certain type et E e champ éectrique oca. Entre deux chocs nous pouvons écrire : m dv dt = q E Ce qui nous donne pour a vitesse : q v = m E t+v 0 La variabe t représente e temps écoué depuis e choc précédent et v a vitesse après e choc. Le courant éectrique étant induit par e mouvement coectif des porteurs nous devons S. Tisserant PHY11 : Eectromagnétisme VI - 3

4 cacuer a vitesse moyenne de ensembe des porteurs dans un éément de voume, ce que nous notons : = <v > Soit : q = m E <t> + <v 0 > Notons τ intervae de temps moyen séparant deux chocs consécutifs. Nous considérons qu après es chocs es vitesses sont distribuées de manière aéatoire dans toutes es directions. insi a vitesse moyenne après es chocs est nue : <t> = τ et <v 0 > = 0 Nous avons aors pour a vitesse d ensembe des porteurs : = q τ m E = μ E La vitesse des porteurs est proportionnee au champ éectrique. Le coefficient de proportionnaité est appeé mobiité. La mobiité dépend de a nature du porteur (q et m) et de son interaction avec e miieu (τ). Notons n a densité de porteurs. La densité voumique de charges est aors ρ = n q, ce qui nous permet d écrire pour e vecteur densité de courant : j =ρ = n q τ m E = σ E La densité de courant est égaement proportionnee au champ éectrique (oi d Ohm ocae). Le coefficient de proportionnaité σ (positif) représente a conductivité éectrique. Queque soit a nature des porteurs es ignes de courant se confondent avec es ignes de champ et es tubes de courant avec es tubes de champ. En présence de pusieurs porteurs a conductivité d un matériau est égae à a somme des conductivités :.2. Notion de résistance σ = σ i Considérons un conducteur cyindrique de section S et de ongueur soumis à une différence de potentie U = V 2 V 1 entre ses deux extrémités notées 1 et 2. En régime permanent stationnaire a charge à intérieur de n importe quee tranche de conducteur étant constante nous en déduisons que intensité est constante et que a densité de courant est uniforme dans e conducteur. Nous pouvons écrire i = j S. La proportionnaité de a densité de courant et du champ éectrique nous permet d affirmer que ceui-ci est égaement uniforme. Nous avons aors : E = V 2 V 1 i = U S. Tisserant PHY11 : Eectromagnétisme VI - 4

5 Nous pouvons écrire pour intensité : i = j S = σ E S = σ S U Nous obtenons a oi d Ohm : U = R i avec R = σ S = ρ S La quantité R représente a résistance du conducteur. L unité internationae est ohm (symboe : Ω). L inverse de a conductivité ρ (à ne pas confondre avec a densité de charges mobies) est appeée résistivité (Ω m). Remarquons que dans e système internationa de a conductivité s exprime en (Ω m) Effet Joue Considérons une charge mobie δq. Ee est soumise à une force éectrique f = δq E. Lors d un dépacement ds cette force fournit un travai : dw=δq E ds Cette énergie est fournie à a charge par e champ éectrique et transmise au conducteur dans es chocs. I s agit donc de énergie dissipée dans e conducteur sous forme de chaeur : effet Joue. Considérons un cyindre infinitésima de section ds et de ongueur d. Pendant un intervae de temps dt i est traversé par une charge : Cette charge reçoit une énergie : dq = i dt = j ds dt dw = dq E d = j ds dt E d Cette énergie, dissipée dans e conducteur, peut se mettre sous a forme suivante : dw = j E dτ dt faisant apparaître e voume dτ = ds d du cyindre éémentaire. Nous pouvons donc exprimer a densité de puissance dissipée par unité de voume : Pour un conducteur nous avons : p= dp dτ = j E j =σ E = 1 ρ E p= dp dτ = σ E2 =ρ j 2 S. Tisserant PHY11 : Eectromagnétisme VI - 5

6 Dans e cas du conducteur cyindrique du paragraphe précédent nous avons pour cette densité : p = σ U2 2 Ce qui nous donne pour a puissance dissipée dans ensembe du conducteur : Soit encore : P = p S = σ S P = U2 R = R i2 U 2 C. Champ éectromoteur C.1. Définition Dans un circuit éectrique i est indispensabe de disposer d une source d énergie pour compenser es pertes par effet Joue et maintenir un courant permanent stationnaire. Dans un conducteur purement résistif, te que ceui étudié au paragraphe précédent, nous avons supposé que e champ éectrique dérive du potentie éectrique avec : E = grad V Pour rendre compte de existence de courants permanents i faut introduire dans certaines portions du circuit au moins un champ éectromoteur E m. Le champ éectrique s écrit aors : E = grad V+E m Un conducteur pour eque nous avons E m =0 est dit conducteur passif. C.2. Loi d Ohm généraisée Dans un conducteur où règne un champ éectromoteur, e vecteur densité de courant a pour expression : j =σ E =σ grad V+E m Considérons un tube de courant de section droite constante S. Notons et deux sections de ce tube. Cacuons a circuation du champ éectrique entre et e ong d un chemin situé à intérieur du tube de courant. Nous avons d une part : E d = grad V+E m d = V V + E m d et d autre part : E d = j σ d S. Tisserant PHY11 : Eectromagnétisme VI - 6

7 Or dans un tube de courant es vecteurs j et d sont paraèes. Nous pouvons donc écrire : j σ d = j σ d = i σ S d =i σ S =R i Nous obtenons ainsi a oi d Ohm généraisée vaabe dans un dipôe comportant un champ éectromoteur : V V =R i e avec e= E m d C.3. Générateurs et récepteurs Considérons un dipôe simiaire à ceui du paragraphe précédent. Pendant un intervae de temps infinitésima dt une charge dq = i dt "entre" en et "sort" en. Cette charge passe donc dans son parcourt entre et d une énergie E = dq V à une énergie E = dq V. Nous pouvons écrire que e courant perd une énergie : dw=dq V V =i dt V V Soit une puissance perdue : P= V V i Ce qui nous donne avec a oi d Ohm généraisée : P=R i 2 e i Nous avons vu que e premier terme R i 2 représente a puissance perdue par effet Joue. Si e produit e i est négatif e courant subit une perte suppémentaire. Le dipôe est dit récepteur. La quantité e est appeée force contre éectromotrice (f.c.e.m.). Si e produit e i est positif e courant acquiert de énergie dans son passage dans e dipôe. Ceui-ci est dit générateur. La quantité e est appeée force éectromotrice (f.e.m.). S. Tisserant PHY11 : Eectromagnétisme VI - 7