Corrigés des épreuve de mathématiques s voies scientifique et

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1 Mathématiques voies S et E Corrigés des épreuve de mathématiques s voies scientifique et François Delaplace (voie E), Pierre Girard (voie S) Professeurs de mathématiques en classes préparatoires économiques et commerciales, lycée Notre-Dame du Voie scientifique Numéro Octobre 6

2 6 écifiques à l EM Lyon, conomique Grandchamp (Versailles) Numéro Octobre 6

3 Numéro Octobre 6

4 Numéro Octobre 6 Préliminaires Problème I a On sait que pour tout α > et tout β >, t α = o t + (eβt ), c est ce qu on appelle naïvement les «croissances comparées» ; En particulier, pour tout entier n N, T n+ = o T + (et ) ce qui s écrit : lim T + T n+ e T = En posant t = t n+ T, on obtient donc lim t + e t ( ) t n e t = o t + t =, c est à dire b Les fonctions t t n e t et t étant continues et positives sur [, + [, l intégrale de t ( ) Riemann t dt étant convergente (coefficient > ) et tn e t = o (d après la t + t question précédente), on peut donc déduire du critère de négligeabilité des intégrales impropres que convergente t n e t dt est convergente Le changement de variable u = t appliqué à l intégrale t n e t dt prouve que la fonction t t n e t sur [ ; +], on sait que t n e t dt est convergente ; enfin, par continuité de t n e t dt converge t n e t dt existe On déduit de tout cela que On vient de montrer que, pour tout entier k N, t k e t dt converge Soit alors n un entier ( + n naturel et (a,,a n ) une suite de réels, on déduit de ce qui précède que a k t )e k t dt converge Ceci prouve que si P est un polynôme à coefficients réels, alors 3 a Soient A et B deux réels, on intègre par parties de classe C sur R : u : t t n+ et v : t P(t)e t dt converge B A k= t n+ e t dt en utilisant les deux fonctions ( ) e t dont les dérivées sont : u : t (n + )t n et v : t te t, B on obtient immédiatement : t n+ e t dt = Bn+ e B + A n+ e A + n + t n e t En A A utilisant le résultat du a), et le résultat du b) on voit que l on peut faire tendre A vers et B vers + pour obtenir : I n+ = n + I n converge b Soit p un entier naturel et soit A un réel strictement positif, la fonction t t p+ e t est continue et impaire sur [ A, +A] donc A limite I p+ lorsque A tend vers +, on en déduit que : A B t p+ e t dt = et puisque cette intégrale a pour I p+ = Par récurrence bien sûr! La propriété est vrai pour p = car c est l énoncé qui le dit Supposonsla vraie pour un entier p quelconque, fixé et positif, on a alors : I (p+) = I p+ = p + (p + ) (p)! (p + )(p + ) (p)! I p = π = π p p! (p + ) p p! C est à dire I (p+) = I p+ = (p + )! π = [(p + )]! π La propriété est donc vraie p+ (p + )! (p+) (p + )! au rang (p + ) Le théorème de récurrence permet donc de conclure que, pour tout entier naturel p, I p = (p)! π p p! Partie I Partie I t R, (t x) (t y) = t (x + y)t 3 + (x + xy + y )t xy(x + y)t + x y donc (t x) (t y) e t = t e t (x+y)t 3 e t +(x +xy+y )t e t xy(x+y)te t +x y e t et en intégrant les deux membres par rapport à la variable t, sachant que toutes les intégrales convergent d après la question ) des préliminaires, on obtient : (t x) (t y) e t dt = I (x + y)i 3 + (x + xy + y )I xy(x + y)i + x y I On peut alors utiliser le résultat de la question 3 )c) des préliminaires, cela donne : + [ 3 (t x) (t y) e t dt = (x + y) + (x + xy + y ) ] π xy(x + y) + x y c est à dire : [ 3 (t x) (t y) e t dt = + (x + xy + y ) ] π + x y D après ce qui précède, F est une fonction polynôme ; elle est donc de classe C sur R et elle a donc des fonctions dérivées partielles d ordre qui sont : F x : (x, y) x + y + xy et F y : (x, y) x + y + x y 3 On sait que, F étant de classe C sur l ouvert R, tout extremum de F ne pourra être obtenu qu en un point critique de F On est donc amené à résoudre le système : { x + y + xy = x + y + x y = On constate que dans ce système, (x = ) (y = ) et que (x, y) = (, ) est une solution particulière de ce système On cherche les autres solutions de ce système, c est à dire qu on suppose maintenant que x et y ; En multipliant la première ligne par x et la seconde par y on

5 Numéro Octobre 6 obtient le système équivalent : c est à dire : { x + xy + x y = (L ) xy + y + x y = (L ) { x + xy + x y = (L ) x = y (L L ) On note alors qu on ne peut avoir x = y car sinon (L ) devient x (3 + x ) = qui n est pas possible pour x Un système équivalent est donc : { x + xy + x y = (L ) x = y (L L ) c est à dire : et puisque x : { x + x = (L ) x = y (L L ) { x = (L ) x = y (L L ) les points critiques de F sont donc, en rajoutant la solution (, ) : (, ); (, ); (, ) F étant de classe C sur l ouvert R, on sait que l on peut tester si ces points sont des abscisses d extrema en calculant le célèbre «rt s»où, en tout point (x, y) on a : r = F x (x, y) = + y, s = F x y = + xy; t = F y (x, y) = + x On peut résumer les résultats dans un tableau : r s t rt s (,) - (, ) (, ) Compte tenu du signe de rt s et du signe de r, on déduit que (, ) est un point selle de F et que : F présente un minimum local en (, ) et en (, Partie II Partie II ) dont la valeur commune est Pour tout réel x, les fonctions t sin(xt)e t et t t cos(xt)e t sont continues sur [, + [ et t R +, sin(xt)e t e t et t cos(xt)e t te t Mais d après le ) des préliminaires, on sait que e t dt et te t dt convergent, donc e t dt et te t dt convergent Le critère de comparaison des intégrales de fonctions positives et continues permet alors de conclure que les intégrales convergentes sin(xt)e t dt et t cos(xt)e t dt convergent absolument et sont donc Soit a R ; Considérons la fonction définie sur R par h : t sin(a + t) Cette fonction est de classe C sur R et t R, h (t) = sin(a+t) ; on peut donc appliquer, pour tout réel λ la formule de Taylor-Lagrange à l ordre pour h entre et λ : g(λ) g() g λ ()λ), c est à dire : sin(a + λ) sin(a) cos(a)λ) λ 3 a x R et h R, appliquons ce résultat en remplaçant a par xt et λ par xh ; on obtient : sin ((x + h)t) sin(xt) ht cos(xt) x h et puisque toutes les intégrales convergent : S(x + h) S(x) hc(x) = = sin ((x + h)t)e t dt sin(xt)e t dt [sin ((x + h)t) sin(xt) ht cos(xt)]e t dt sin ((x + h)t) sin(xt) ht cos(xt) e t dt x h e t dt (cette intégrale converge bien! ) ht cos(xt)e t dt x h π Ainsi, pour h : S(x + h) S(x) C(x) h x h π, ce qui prouve, par le théorème d encadrement des limites, que : S(x + h) S(x) lim C(x) = h h S(x + h) S(x) b Bien sûr, il s en suit que lim = C(x) ; la fonction S est donc dérivable en tout h h réel x avec : S (x) = C(x) a Intégrons par parties l intégrale C(x) à l aide des fonctions de classe C u : t e t et v : t cos(xt), cela donne : A R +, A A t cos(xt)e t dt = u (t)v(t)dt = [ e t cos(xt)] A x sin(xt)e t dt La fonction t e t a pour limite en + et la fonction t cos(xt) est bornée sur R Ainsi lim A + e t cos(xt) = Les intégrales dans les deux membres ont des limites lorsque A d après II, on obtient donc : t cos(xt)e t dt = [ e cos()] x sin(xt)e t dt c est à dire : C(x) = x S(x) A

6 Numéro Octobre 6 b La fonction x e x S(x) est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et sa dérivée est x e x ( x ( (x)) S(x) + S = e x x ) S(x) + C(x) = e x = e x Ce que l on peut résumer sous la forme ( e t S(t) ) = e t ( x S(x) + x ) S(x) ( ) = e x Les fonctions dans étant continues sur R, on peut les intégrer sur [, x] pour x fixé dans R + Cela donne : x e x S(x) e S() = e t dt }{{} = Soit enfin e x S(x) = x e t dt c En multipliant les deux membres de l égalité précédente par x e, on obtient : S(x) = et en reportant dans l égalité du a : C(x) = x x e Partie III x R, t R, Partie III e t donc + x t t e t sont continues sur R et l intégrale x + x t e t e t dt x x e, les fonctions t e t + x t et e t dt converge d après le préliminaire ; ainsi, le critère de comparaison des intégrales de fonctions positives et continues permet de conclure que l e t l intégrale dt converge + x t a u R +, ( u + u ) + u = u3 + u ; or + u donc : ( u + u ) + u u3 b x R, t R, x t ; en en déduit immédiatement en posant u = x t et en multipliant les 3 membres de l inégalité par e t que : ( x t +x t + )e t x 6 t 6 e t Mais les intégrales ( x t +x t )e t dt + x t e t et x 6 t 6 e t dt convergent d après le préliminaire et l intégrale dt converge + x t d après la question précédente On peut donc intégrer l encadrement sans changer le sens des inégalités, ce qui donne : e t e t dt ( x t + x t )e t dt tenu du 3c du préliminaire : e t dt + x x6 t 6 e t dt t } {{ } ( x t + x t )e t dt g(x) 5 8 I6 c est à dire, compte πx 6 3 Et puisque toutes les intégrales en présence sont convergentes, on obtient en utilisant la linéarité de l intégration : + e t dt x t e t dt + x t e t dt g(x) 5 πx 6, c est à dire : 8 I x I + x I g(x) 5 πx 6 ou encore : ) π ( x 8 + 3x g(x) 5 πx 6 8 On divise alors, pour x les trois membres de cet encadrement par x 5 et on obtient ) π ( x + 3x g(x) x 5 5 π x 8 ) π ( x + 3x g(x) il s en suit que lim = que l on peut écrire : x x 5 ou enfin π ( x + 3x ) g(x) = o(x 5 ) g(x) = ) π ( x + 3x + x5 + o(x 5 ) qui est, par définition, le développement limité à l ordre 5 de g en Partie IV t R, p N, (p)! t + (p)! donc t p t + (p)! e t sur R et Partie IV t + (p)! (p)! et puisque tp : (p)! tp e t Les fonctions t tp t + (p)! e t et t t p e t sont continues t p e t dt converge d après les préliminaires Donc, d après le critère de comparaison des intégrales de fonctions positives et continues, l intégrale t p e t dt converge t p t R, p N, t + (p)! e t (p)! tp e t Les fonctions t tp t + (p)! e t et t t p e t étant continues sur R et leurs intégrales sur R étant convergentes, on en déduit que : t p t + (p)! e t dt t p e t dt d où enfin : u p I p En utilisant le (p)! (p)! résultat des préliminaires, on en déduit que u p ( p π que l on écrit : up ) π ( p p! p! p On utilise alors le fait que la série de terme général ) est convergente (de somme e ) et le p! critère de comparaison des séries à termes positifs pour conclure que p u p est convergente

7 Numéro Octobre 6 a Par lecture de la matrice on a : i [[, n ]] f(e i ) = e i+ b Raisonnons par récurrence : Posons j [[, n ]]P(j) =«f j (e ) = e j+» P() est vraie d après le a Supposons que pour un entier j [[, n ]] la proposition P(j) soit vraie Alors f j+ (e ) = f ( f j (e ) ) = f(e j+ ) = e j+ Ce qui prouve que P(j + ) est vraie Le théorème de récurrence (finie) prouve alors que la proposition est vraie pour tout entier j de [[, n ]] On en déduit : f n (e ) = f ( f n (e ) ) = f(e n ) = (a e + + a n e n ) (par lecture directe de la matrice) a On a donc : g(e ) = f n (e ) + a n f n (e ) + + a f(e ) + a e = (a e + + a n e n ) + a n e n + + a e + a e = b Pour tout i de [[, n]], g et f i sont des polynômes de l endomorphisme f et on sait que deux polynômes d un même endomorphisme commutent; On peut donc affirmer que : g f i = f i g c Ainsi, pout tout i [[, n]], i [[, n ]] donc g(e i ) = g ( f i (e ) ) = g f i (e ) = f i g(e ) = f i () = d L endomorphisme P(f), c est à dire g, s annule pour tous les éléments de la base canonique de C n, c est donc l endomorphisme nul et cela prouve que P est un polynôme annulateur def Considérons alors le cas particulier où n = 5 et où P(X) = X 5 X 3 X La matrice compagnon de P est, par définition : A = D après ce qui précède, P est un polynôme annulateur de A donc P(A) = et donc A 5 = A 3 + A + I 5 e Un théorème nous permet d affirmer que les valeurs propres d une matrice sont des racines de tout polynôme annulateur de cette matrice On peut donc dire que les valeurs propres de A sont des racines du polynôme P 3 a Q(f)(e ) = α e + α f(e ) + + α n f n (e ) = α e + α e + + α n e n b Raisonnons par l absurde : S il existait un polynôme Q de degré inférieur ou égal à n qui soit un polynôme annulateur de A, il pourrait s écrire sous la forme du polynôme Q de la question précédente et on aurait donc en particulier : Q(f)(e ) = α e + α e + + α n e n = mais la famille e, e,,e n est une famille libre (base) donc on aurait : α = α = = α n = et donc Q serait le polynôme nul, ce qui n est pas possible par hypothèse Problème II Conclusion : il n existe pas de polynôme annulateur de A de degré inférieur ou égal à n c P(f) = donc, en posant K(X) = X λ : (KR)(f) = c est à dire K(f) R(f) = c est à dire enfin : (f λid) R(f) = d Raisonnons par l absurde : Supposons qu une racine de P, λ, ne soit pas une valeur propre de f Alors f λid serait un endomorphisme injectif, donc bijectif, de C n (qui est bien de dimension finie) Ainsi l égalité (f λid) R(f) = conduirait, par composition des deux membres par (f λid), à R(f) = et cela prouverait que le polynôme R, qui est de degré n car P est de degré n, est un polynôme annulateur de f, ce qui est faux d après la question 3b Conclusion : Toutes les racines de P sont des valeurs propres de f Remarque : Compte tenu de e on a donc prouvé que les racines de P sont les valeurs propres de f x a x a a Soit x C, C xi n = x an a n x Les n premières colonnes de cette matrice sont clairement indépendantes et cela prouve que : rg(c xi n ) n Le théorème du rang nous permet d affirmer que dim ker(c xi n ) = n rg(c xi n ) n (n ) } {{ } Mais si x est une valeur propre de C alors ker(c xi n ) est le sous-espace propre de C associé à la valeur propre x et est donc de dimension Ainsi dim ker(c xi n ) et donc : Tous les sous-espaces propres de C sont de dimension b C est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à n Notons q le nombre de ses valeurs propres : cela se traduit par q = n Ainsi C est diagonalisable si et seulement si elle a n valeurs propres distinctes, c est à dire d après 3d : C est diagonalisable si et seulement si P a n racines deux à deux distinctes 5 a La matrice A est la matrice compagnon du polynôme P (X) = X qui a racines complexes deux à deux distinctes : les racines ème de l unité; D après la question précédente, on peut donc affirmer que A est diagonalisable b La matrice A est la matrice compagnon du polynôme P (X) = X X 3 3X + 8X = (X )(X + )(X ) qui a une racine double D après la question précédente, on peut donc affirmer que A n est pas diagonalisable 6 a On sait qu une matrice est inversible si et seulement si sa transposée l est (il est utile de connaître la preuve!) donc ici la matrice B ti n est inversible si et seulement si t (B ti n ) l est c est à dire si et seulement si t B t t I n = C ti n est inversible b Soit t un nombre réel t est valeur propre de B si et seulement si B ti n n est pas inversible c est à dire, d après ce qui précède, si et seulement si C ti n n est pas inversible, c est à dire enfin : t est valeur propre de B si et seulement si t est valeur propre de C Ainsi B et C ont les mêmes valeurs propres

8 Numéro Octobre 6 c Résolvons le système (B λi n )X = où X = x x x n Cela s écrit : λx + x = λx + x 3 = a x a x a n x n (a n λ)x n = Les n premières équations sont équivalentes à x = λx x 3 = λ x x n = λ n x et en remplaçant dans la dernière équation, cela donne : P(λ) x }{{} = Ainsi le sous espace = λ propre associé à une valeur propre λ de B est Vect λ λ n d Si P a n racines distinctes alors C a n valeurs propres distinctes d après b et donc, d après 6b, B a n valeurs propres distinctes et par conséquent, B est diagonalisable C n est donc somme directe des sous-espaces propres deb et en concaténant les bases de chacun des sousespaces propres, on obtient une base de vecteurs propres et la matrice de passage de la base canonique de C n à cette base est, d après le c, V Ceci prouve que V, en tant que matrice de passage d une base à une autre, est inversible 7 a a = ε + + ε n donc les coordonnées de a dans la base ε,, ε n sont : u(a) = u(ε ) + + u(ε n ) = µ ε + + µ n ε n donc les coordonnées de u(a) dans la base µ µ (ε,, ε n ) sont : µ n De même, pour j [[, n ]], uj (a) = µ j ε + + µ j nε n donc les µ j coordonnées de u j µ j (a) dans la base (ε,, ε n ) sont : Ainsi la matrice de la famille B a dans la base (ε,, ε n ) est la même matrice que la matrice V en remplaçant λ,, λ n par µ,, µ n qui est inversible d après la question 6d Et le fait que la matrice de la famille B a dans la base (ε,, ε n ) est inversible prouve que B a est une base de E µ j n b Notons (α,, α n ) les coordonnées de u n (a) dans la base B a u(a) = a + u(a) + u (a) + u n (a), u[u(a)] = a + u(a) + u (a) + u n (a),, u[u n (a)] = α a + + α n u n (a) donc la matrice de u dans la base B a est : α α A = qui est la matrice compagnon du polynôme : α n α n P(X) = X n α n X n α X α

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11 Numéro Octobre 6 Lyon 6 Exercice On considère les matrices A =, D =, U = a) La matrice A est triangulaire supérieure ; ses valeurs propres sont les éléments de sa diagonale Ainsi A a deux valeurs propres et b) A est une matrice carrée d'ordre et possède deux valeurs propres réelles Donc A est diagonalisable, et il existe une matrice inversible P telle que A = PDP $ Déterminons les espaces propres F et F respectivement associés aux valeurs propres et de A Notons Id la matrice identité d'ordre L'espace propre F est l'ensemble des vecteurs colonnes X = et donc y = ; ainsi, F = x y tels que AX = ; après calcul, on obtient : x y y / x = De même, l'espace propre F est l'ensemble des vecteurs colonnes X = A$ Id X = ; après calcul, on obtient : $xc y et donc x = y ; ainsi, F = y y / y= = = Une base de vecteurs propres de M, = est donnée par : La matrice P s'écrit donc : P =, Exercice x y tels que () () (3) a) La matrice nulle, carrée d'ordre, qu'on notera ici N, est un élément de E car AN = N D = N Il s'ensuit que E n'est pas l'ensemble vide Soit M, M deux éléments de E et α un réel ; A $M α C M = $AM α C AM = $M α DC M D = α $M C M D Ainsi, E est un sous-espace vectoriel de M = b) Soit M = x y z t$ y On a : AM$ MD = La matrice M est élément de E si, et z t z seulement si, AM$ MD = N, donc si, et seulement si, z = et y = t c) Remarquons d'abord que : d'une part, AU = et UD = et que d'autre part, A = AD = Donc les matrices U et A sont éléments de E Dans la question précédente, on a monté que x y E = / x, y = = x$uc y$a / x, y = Il en résulte que la famille U, A y est une famille génératrice de E Par ailleurs, x$uc y$a = N 5 x y = y donc x = y = Ainsi, la famille U, A est aussi une famille libre de E et par suite, constitue une base de E d) On calcule : UA = On a A UA = AU A = A = et UA D = U AD = UA s Il s'ensuit que la matrice UA n'est pas élément de E 3 a) Quel que soit M, M matrices carrées réelles d'ordre et quel que soit le réel α, f $M α C M = A $M α C M $ $M α C M D f $M α C M = $ α AM $ M D C AM $ M D et donc f $M α C M = $f α M C f M Ainsi, f est linéaire On vérifie de plus, que si M est carrée réelle d'ordre, alors f M est aussi carrée réelle d'ordre comme différence de produits de matrices carrées réelles d'ordre Donc f est un endomorphisme de M = b) Le noyau de f est l'ensemble de toutes les matrices carrées réelles d'ordre vérifiant et et

12 Numéro Octobre 6 AM$ MD = N D'après la question, il s'agit de E et sa dimension est c) D'après le théorème du rang, dim I f = dim M = $ dim E = $ = d) Soit M = x y z t On a f M = M si,et seulement si, AM$ MD$ M = N ; c'est à dire, z$ x t$ y après réduction,si, et seulement si, = $t Il s'ensuit que x, y, z et t sont solutions du système : z$ x = t$ y = $t = Sans prendre le risque d'être trop rapide dans les calculs, on peut conclure que z = x et t = y = ; l'ensemble des solutions de ce système n'étant pas réduit à l'unique solution x = y = z = t =, est valeur propre de f et l'espace propre E de f associé à la valeur propre est donc E = x x / x = De même, on a f M =$M si,et seulement si, AM$ MDC M = N ; c'est à dire, après zc x t réduction,si, et seulement si, = z t Il s'ensuit que x, y, z et t sont solutions du système : zc x = z = t = Là encore, on peut conclure rapidement : x = z = t = et y est quelconque Il s'ensuit que $ est aussi valeur propre de f et que son espace propre associé est y E $ = / y = E et E $ sont chacun de dimension, car engendré repectivement par un seul vecteur non nul Par ailleurs, d'après la question 3b), E est le noyau de f donc f admet comme valeur propre et E comme espace propre associé On a dim E C dim E $ C dim E = dim M =, c''est à dire que la somme des dimensions des espaces propres de f est égale à la dimension de l'espace vectoriel M =, donc f est diagonalisable e) Posons V = et V = Les familles V et V sont respectivement des bases de E et E $ Dans la base U, A, V, V, la matrice de f s'écrit : M f = $ Un calcul rapide nous montre que : M f 3 = $ 3 = $ Les deux endomorphismes f 3 et f ont les mêmes matrices dans les mêmes bases, donc ils sont égaux Exercice Soit F la fonction définie sur = par : x, y / F x, y = x$ y$ xc y$ 6 On reconnaît là une fonction polynôme, donc une fonction de classe C sur = Pour qu'aux points, et, 3, la fonction F admette un extremum, il faut que ces points soient des points critiques ; d'où l'objet de la première question a) Calcul des dérivées partielles : p d v F x, y = y$ xc y$ 6 C x$ y$ v x q d v F x, y = x$ xc y$ 6 C x$ y$ v y On calcule p et q pour x =, y = puis pour x =, y = 3 Dans les deux cas on obtient Ce qui implique que les deux points, et, 3 sont des points critiques b) Déterminons les dérivées partielles d'ordre ; pour chaque valeur du couple x, y, on a : = M f Exercice :

13 Numéro Octobre 6 rd v v x F x, y = y$ sd v vx vy td v F x, y = x$ v y F x, y = xc y$ 9 On calcule r$t$ s pour x =, y = ; on obtient : r$t$ s = $9 ; il s'ensuit que F, n'est pas un extremum On calcule r$t$ s pour x =, y = 3 ; on obtient : r$t$ s = 3 ; il s'ensuit que F, est un extremum ; par ailleurs, pour x =, y = 3, r =, donc F, = est un minimum local a) Il faut vraiment être très maladroit en calcul pour ne pas obtenir les inégalités demandées : xr x$ R et $x$ 5 R 3 x$ R et $x$ 5 R 3 x$ $ $x$ 5 R 6 R Par transitivité de l'implication, xr x$ $ $x$ 5 R b) Le réel x étant supérieur ou égal à, il est supérieur ou égal à, et donc, xr x$ x$ $ $x$ 5 R $xr 3 a) On remplace x par Cu n et y par u n dans F x, y Immédiatement u nc = F Cu n, u n donne : u nc = u n Tout le monde a reconnu u nc = u n u n $ $5C u n b) Par récurrence : u = R ; si, pour un nr, u n R nc alors u nc = u n R $u n R $ nc et donc u nc R nc Il en résulte que pour tout entier naturel n, u n R nc Ce qui vient d'être démontré prouve d'une part que pour tout n, u n existe et est strictement positif, et d'autre part que %, terme général d'une série géométrique u nc n convergente car de raison $, D'après le critère de comparaison des séries à termes positifs, > est convergente u n c) On peut être tenté d'utiliser la question précédente en disant qu'il suffit que nc R pour que u n R, ce qui est vrai, mais ça ne répond pas à la question On nous demande le plus petit entier n tel que u n R La question 3 b) nous permet toutefois de garantir l'existence d'un tel entier () program lyon_6; var n : integer; u : real; Begin u:=; n:=; while u < do begin u:=u*(u-)*(*u-5); n:=n+; end; writeln(n); End 3 a) La fonction g définie sur, est continue comme fonction rationnelle définie sur cet intervalle D'autre part, quel que soit le réel x de [,+ [, (x), et donc aussi g x, est positive Enfin, g x convergente, donc w x/ $x 3 = 5 x 3 Or g x dx converge 5 x 3 dx est une intégrale de Riemann b) Réduisons au même dénominateur a x C b x$ C c ; après développement on $x$ 5 obtient : a x C b x$ C c $x$ 5 = a x $ 9 a xc ac b x $ 5 b xc c x $ c x x x$ x$ 5 Ce qui se réduit en : a x C b x$ C c $x$ 5 = Et, g x = a x C b x$ C c $x$ 5 $ac$bcc = 9$aC5$bC$c = bc acc x C $5 b$9 a$ c xc a x x$ x$ 5 si, et seulement si, $a = La dernière équation nous donne a = et en remplaçant a par cette valeur dans les deux autres équations on obtient un sytème de deux équations à deux inconnues ; $bcc =$ L 5$bC$c =$9 L

14 Numéro Octobre 6 L ) L $ $L : $bcc =$ L b = $5 L 8 Et par suite c = 8 ; ainsi, g x = x$ 5 $ 5 x$ C x c) Une primitive de g est, par exemple : G : t/ ln t$ 5 $ 5 ln t$ C ln t ; après t$ 5 t réduction, G t = ln t$ 5 On a : G = ln 3 $ 3 ln et lim t / lim ln $t$ 5 $t t / t$ 5 = $ln Il s'ensuit que g x dx = Exercice 3 Partie A Partie A lim t / $t$ 5 $t t$ 5 = 6 ; donc, G t $ G = $ln $ $ln 3 $ 3$ln = 7$ln $ $ln 3 a) La variable U suit une loi normale de paramètres m = et σ = Une densité de U est donnée pour tout réel x par : g d x/ $e $ $ π Ce qui s'écrit après simplification : $ $ x Exercice 3 g x = e$x π b) Si U a une variance, par définition, Var U = E U$ E U ; or E U =, donc Var U = E U

15 Numéro Octobre 6 On a = $N x $g x dx = $ π $N x $e $x dx La fonction x/x $e $x étant paire, on a donc = x $e $x dx = π La fonction F définie pour tout réel x par : x% F x = $e $x otherwise vérifie les propriétés suivantes : $ π x $e $x dx Il s'ensuit que * lim x/$n F x = et lim x/ F x = * elle est de classe C sur chacun des intervalles $N, où elle est constante, et sur, où elle est la différence d'une constante et de l'exponentielle d'une fonction monôme * On a lim x/$ F x = et lim x/c F x = Donc la fonction est continue sur = * Sa dérivée F' x = $x$e $x est positive sur, Donc elle est croissante sur ],+ [ ; [ ; d'autre part, elle est constante sur $N, et est continue en ; donc elle est croissante sur = Donc la fonction F est la fonction de répartition d'une variable à densité Une densité d'une telle variable est donnée par : x% f x = x e $x! x 3 a) Etudions la nature de l'intégrale $N x$f x dx = $x $e $x dx D'après la première question, nous savons déjà qu'elle converge et que $x $e $x dx = $ x $e $x dx = $ π = π Il s'ensuit que X a une espérance et que cette espérance E X = b) On a : π prob X % y = y% prob $ y % X% y yo Par suite, pour yo, prob X % y = F y $ F $ y = F y = $e $y On peut donc écrire : F X y = $e $y yo y% c) On reconnaît la fonction de répartition d'une loi exponentielle de paramètre Son espérance E X = car l'espérance d'une variable qui suit une loi exponentielle de paramètre λ est Il s'ensuit que X a une variance λ Var X = E X π $ E X = $ Partie BB La variable Z suit une loi géométrique de paramètre p Ainsi, pour tout entier naturel non nul k, prob Z = k = p$ $p k$, E Z = p et Var Z = $p p a) Chacune des variables Z i a une espérance ; donc, M n = n> i = n n Z i a aussi une espérance et m = E M n = n $ i > E Z i = = p De même, chacune des variables Z i a une variance et Z, Z,, Z n est une famille de variables indépendantes Donc M n a une n variance et Var M n = n $ i > Var Z i = = n $ $p On en déduit que M n a un écart type n = p $ $p σ n b) La famille Z, Z,, Z n est une famille de variables indépendantes, de même loi, de même espérance m, et de même variance σ n D'après le théorème de la limite centrée, pour tout réel a et b, lim prob a% M n $ m % b = Φ b $ Φ a n / σ n où Φ désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite Pour a = et b =, on a : lim prob % M n / n $ m% σn p = Φ $ Φ = $ x e $ π dx