Cours de Mathématiques

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1 Cours de Mathématiques Lycee Gustave Eiffel PTSI 02/03 Chapitre 3 Fonctions usuelles 3.1 Théorème de la bijection Une fonction dérivable sur un intervalle I, strictement monotone déþnit une bijection. Attention, toutes les hypothèses de ce théorème sont essentielles. Si on a une fonction f, dérivable, strictement monotone sur un intervalle I, elle déþnit donc une bijection de I vers J = f (I), il existe donc une unique fonction réciproque g de J vers I telle que x I, y J, y = f (x) x = g (y) Ceci se traduit immédiatement par le fait que les courbes sont symétriques par rapport à la première bissectrice, i.e. la droite d équation y = x. La fonction g est strictement monotone de même monotonie que f. Attention, la fonction g est dérivable en y 0 si et seulement si f est dérivable en x 0 avec y 0 = f (x 0 ) et f 0 (x 0 ) 6= Rappels Fonctions affines Une fonction affine est de la forme f (x) =ax + b où a et b sont des réels Þxés. Elle est déþnie et dérivable sur R, elle est strictement croissante si et seulement si a est strictement positif, elle est strictement décroissante si et seulement si a est strictement négatif, elle est constante si et seulement si a est nul. Moralité : f déþnit un bijection si et seulement si a est non nul. La représentation graphique est une droite. Il faut savoir tracer une droite très rapidement. 25

2 26 CHAPITRE 3. FONCTIONS USUELLES Puissance entière positive Soit n un entier naturel tel que n 2. La fonction puissance n : p n : R R x 7 x n est déþnie sur R, dérivablesurr avec p 0 n (x) =nxn 1.Ona lim x + x n =+. Pourn pair : on a p n ( x) =p n (x) pour tout x dans R, on dit que la fonction est paire (par analogie!) Si on note C pn la courbe représentative de la fonction p n, elle admet alors l axe des ordonnées comme axedesymétrie. On peut alors réduire l étude de la fonction à R + : x 0 + p 0 n (x) p n (x) % 0 Le tableau de variation complet sur R est donc x 0 + p 0 n (x) p n (x) & % 0 La fonction p n déþnit une bijection sur R + et une bijection sur R. Attention, ce n est pas une bijection sur R. Onalim x p n (x) =+, ceci découle de la symétrie. Pourn impair : on a p n ( x) = p n (x) pour tout x dans R, on dit que la fonction p n est une fonction impaire (toujours par analogie!). Si on note C pn la courbe représentative de la fonction p n, elle admet alors l origine comme centre de symétrie. On peut alors réduire l étude de la fonction à R + : x 0 + p 0 n (x) 0 ( ) + + p n (x) % 0 ( ) pour n 3. p Le tableau de variation complet sur R est donc x 0 + (x) 0 n + p n (x) % 0 % La fonction p n déþnit une bijection sur R tout entier. On a lim x p n (x) =, ceci découle de la symétrie.

3 3.2. RAPPELS Fonction racine On constate que dans tous les cas, la fonction p n déþnit une bijection de R + vers R +, la réciproque s appelle la fonction racine n ième, elle est notée n x, on a donc : x R +, y R +, y = x n x = n y La réciproque a le même sens de variation, elle est donc croissante, on a alors le tableau de variation suivant : x n x % 0 Comme p 0 n (0) = 0 pour n 2, lafonction n x n est pas dérivable en 0, toutefois,onsaitquelacourbereprésentativedecettedernièreadmetune tangente verticale au point d abscisse 0. Ceci découle de la symétrie entre les deux courbes représentatives (conséquence de l équivalence encadrée ci dessus). On obtient donc la courbe représentative de n x à partir de celle de p n (x) par une symétrie par rapport à la première bissectrice, i.e. la droite d équation y = x. On note n x = x 1 n, les règles de calcul avec les puissances sont toujours valables. De plus, on montrera ultérieurement que ( n x) 0 = 1 x 1 n 1 = 1 n x n n x On remarque que l on peut déþnir n x sur tout R lorsque n est impair, attention, il règne une certaine ambiguïté dans les sujets, généralement ces fonctions sont déþnies sur R + seulement Polynômes Une fonction polynôme est de la forme P (x) = P n k=0 a kx k = a n x n +...a 1 x+a 0 où les a k sont des réels et a n est non nul. On dit alors que P est de degré n et que a n est son coefficient dominant. La fonction P est dérivable. On a lim x + P (x) = lim x + a n x n, ceci découle immédiatement du fait que P (x) =a n x P n n k=0 1 et que lim x + =0pour k<n. On a le même résultat en. x n k a k a n 1 x n k Etude d un exemple : Soit P (x) =x 3 3x 2 9x+11. La fonction est parfaitement déþnie, elle est ni paire, ni impaire, on l étudiera donc sur R. Elle y est dérivable, avec P 0 (x) =3x 2 6x 9 =3(x 2 2x 3). Onax 2 2x 3 =(x 1) 2 4= (x 3) (x +1). On a donc P 0 (x) < 0 pour x dans ] 1, 3[, on peut alors dresser le tableau de variation après avoir remarquer que lim x + P (x) = lim x + x 3 =+ et que lim x P (x) = lim x P (x) = : x P 0 (x) P (x) % & 0 & % 16 On constate agréablement que 1 est racine de P (x), on peut alors écrire P (x) =(x 1) (ax 2 + bx + c), faisons du Horner déguisé : P (x) =x 2 (x 1) 2x 2 9x +11 = x 2 (x 1) 2x (x 1) 11x +11 = (x 1) (x 2 2x 11). On a de plus x 2 2x 11 = (x 1) 2 12 = x x 1+2 3,onen déduit immédiatement que P s annule en 1, et On dit que ce sont les racines de P.Onest alors frappé par la symétrie en 1, on écrit alors P (x) =(x 1) (x 1) 2 12.Nousallonsmontrerquele point A (1, 0) estuncentredesymétriedelacourbe.

4 28 CHAPITRE 3. FONCTIONS USUELLES Pour montrer que Ω (a, b) estcentredesymétriedelacourbec f, la représentation graphique de la fonction f, ilyaplusieursméthodes: ½ ½ X = x a x = X + a Le changement de repère, on pose ou encore, on remplace dans l équation Y = y b y = Y + b y = f (x) et on trouve une nouvelle équation Y = g (X), ilsuffit alors de constater que la fonction g est impaire. C est la méthode que je préconise. La seconde consiste à vériþer la proposition : h R, a + h D f = f (a h)+f (a + h) =2b. On peut retenir plus aisément cette formule si on la comprend, c est la traduction mathématique de Ω est le milieu de [M (h),m( h)] où M (h) est le point de la courbe d abscisse a + h, i.e. ses coordonnées sont (a + h, f (a + h)), ceci s entend bien avec la Þgure ci contre. La troisième est la petite soeur de la précédente : x D f, f (x)+f (2a x) =2b En effet, elle découle de la précédente, il suffit deposerx = a + h. Pour montrer que : x = a est axe de symétrie de la courbe C f, on a des méthodes analogues : ½ X = x a Le changement de repère, on pose, Y = y on remplace dans l équation y = f (x) et on trouve une nouvelle équation Y = g (X), il suffit alors de constater que la fonction g est paire. C est la méthode que je préconise. La seconde consiste à vériþer la proposition : h R, a + h D f = f (a h) =f (a + h). Ceci s entend bien avec la Þgure ci contre. La troisième est la petite soeur de la précédente : x D f, f (x) f (2a x) =0 En effet, elle découle de la précédente, il suffit deposerx = a + h. Revenons à notre ½ fonction polynôme et utilisons la première méthode, essayez les deux autres! X = x 1 On pose donc,icionprendb = P (1), car la fonction est déþnie en 1, donc nécessairement Y = y on a b = P (1) (pour s en convaincre prendre les expressions des deuxième et troisième méthodes). On considère donc l équation y = P (x) =(x 1) (x 1) 2 12,d oùy = X (X 2 12) = g (X), lafonction g (X) =X (X 2 12) est clairement une fonction impaire, donc le point A (1, 0) estbienuncentredesymétrie de la courbe représentative de P.

5 3.2. RAPPELS 29 Pour Þnir l étude, nous allons déterminer l équation de la tangente à la courbe au point d abscisse 1, cette dernière est de la forme T 1 : y = P 0 (1) (x 1) + P (1) On trouve facilement P (1) = 0 et P 0 (1) = 12, on a donc T 1 : y = 12 (x 1). Etudions, pour le plaisir, la position de la courbe par rapport à sa tangente. On regarde alors lesignedelafonction (x) =P (x) T 1 (x) : (x) =(x 1) (x 1) (x 1) = (x 1) 3 On en déduit donc que (x) > 0 pour x>1, i.e. la courbe est au dessus de sa tangente Fraction rationnelle où P (x) et Q (x) sont deux fonctions polyno- Une fraction rationnelle est une fonction de la forme P (x) Q(x) miales. Elle est déþnie que R\{racines de Q}, elle y est dérivable. Entre autres, il y a les fonctions de la forme P n (x) = 1 x n,pourn dans N.OnécritaussiP n (x) =x n. On a P 0 n (x) = nx n 1 = n x n+1 On a lim x + x n =0et lim x 0 + x n =+ Si n est pair, on a une fonction paire, on a le tableau de variation suivant : x 0 + P 0 n (x) P n (x) % & 0 0 Si n est impair, on a une fonction impaire, on a le tableau de variation suivant : x 0 + P 0 n (x) & P n (x) 0 0 & Revenons au cas général : f (x) = P (x) P = nk=0 a k x P k Q(x) mk=0 b k. x k On a f 0 (x) = P 0 (x)q(x) P (x)q 0 (x) a,onpeutmontrerquelim Q 2 (x) x ± f (x) = lim nx n x ± b mx, il ne faut pas oublier m de calculer les limites à droite et à gauche des racines de Q (cela s avère parfois délicat).

6 30 CHAPITRE 3. FONCTIONS USUELLES Etudions maintenant un exemple : soit f (x) = x2 +1. x 1 La fonction est déþnie sur D f = R\{1}, elle n est ni paire, ni impaire. Elle est dérivable sur D f,avec f 0 (x) = 2x(x 1) (x 2 +1) = x2 2x 1 = (x 1)2 2 = ( x 1+ 2 )(x 1 2) = (x x 1)(x x 2 ) (x 1) 2 (x 1) 2 (x 1) 2 (x 1) 2 (x 1) 2 où x 1 =1 2 et x 2 =1+ 2. On a alors f 0 (x) > 0 sur ],x 1 [ ]x 2, + [. Oncalculef (x 1 )=2 2 2 et f (x 2 )=2+2 x 2. Finissons avec les limites : lim x + f (x) = lim 2 (1+ 1 ) x 2 x + =+, demêmeon x(1+ x) 1 trouve lim x f (x) =. Au voisinage de 1, lim x 1 + f (x) =+ puisque lim 1 x 1 + =+, demême x 1 on montre que lim x 1 f (x) =. On peut alors dresser le tableau de variation : x x 1 1 x 2 + f 0 (x) & % f (x) % & La droite d équation x =1est asymptote verticale à C f,lacourbereprésentativedelafonctionf. Etudions maintenant les branches inþnies en l inþni, on peut prendre la méthode générale, dans le cas particulier d une fraction rationnelle, une autre méthode s avère beaucoup plus efficace, on écrit la division euclidienne du numérateur P (x) par le dénominateur Q (x) : x x 1 x 2 x x +1 x + 1 x 1 2 On peut alors écrire x 2 +1 = (x +1)(x 1) + 2, on trouve alors f (x) = (x+1)(x 1)+2 = x De x 1 x 1 2 lim x + =0, on en déduit immédiatement que la droite d équation y = x +1est asymptote oblique à x 1 la courbe C f, on peut même en déduire que sa courbe est au dessus de son asymptote pour x ]1, + [, ceci découle du signe de 2. x 1 Lorsque l on regarde le tableau de variation, il semble que le point Ω (1, 2) soit centre de symétrie. Cette intuition est confortée par le fait que Ω est le centre de symétrie de l ensemble des asymptotes, ici deux droites (le centre de symétrie est l intersection de ces deux droites). C est une condition ½ nécessaire! x =1+X On utilisera la méthode du changement de repère : on pose y =2+Y,de y = f (x) =x +1+ 2,onobtientY = g (X) =X + 2,lafonctiong étant x 1 X impaire, on en conclut donc que Ω (1, 2) estbienuncentredesymétriedela courbe C f.

7 3.2. RAPPELS Partie entière Pour tout réel x, il existe un unique entier (relatif) E (x) tel que E (x) x<e(x)+1 E (x) s appelle la partie entière de x. Si un entier relatif p vériþe p x<p+1alors p = E (x). On a par ³ exemple E (π) =3ou encore E ( π) = 4. On a E x + 1 = E (x)+1,eneffet E (x)+1est un entier qui vériþe E (x)+1 x +1< (E (x)+1)+1. Graphiquement cela se traduit par le fait que C E, la courbe représentative de la fonction E (x), est stable par translation de vecteur ³ u 1, 1, il suffit doncdetracerlacourbesur[0, 1[, or pour tout x de [0, 1[, onae (x) =0,d oùlacourbe: On peut montrer par récurrence que E (x + n) =E (x)+n pour tout n dans N puis pour n dans Z. On constate que les limites à droite et à gauche sont distinctes : on a lim E (x) =n 1 et lim E (x) = x n x n + n, on dit alors que la fonction n est pas continue en n, les points d abscisses entières sont des points de discontinuité. De plus, il semble que la représentation graphique soit comprise entre deux droites d équations y = x et y = x 1, vériþons ceci par le calcul : on a d ores et déjà E (x) x, d autre part de x<e(x)+1,onen conclut que x 1 <E(x), onadonc x R, x 1 <E(x) x On en déduit immédiatement par minoration et majoration que lim E (x) =+ et lim x + E (x) = x Soit f (x) =x E (x), cette fonction est déþnie sur tout R, elle n est ni paire, ni impaire, vériþons qu elle est bien ³ périodique de période 1. Onaeneffet : f (x +1)=E (x +1) (x +1)=E (x)+1 x 1=f (x). De f x + 1 = f (x)+0,onendéduitquec f, la courbe représentative de f, est stable par la translation de vecteur ³ u 1, 0,ilsuffit donc d étudier la fonction sur [0, 1]. Sur [0, 1[, onaf (x) =x 0=x et f (1) = 0, on constate alors immédiatement que lim x 1 f (x) =1, on dit que la fonction n est pas continue en 1. On a la représentation graphique suivante : Avec cette fonction, on peut alors formaliser les diverses approximations : on travaille avec π = E (10 3 π) 10 3 =3.141 est une approximation de π à 10 3 près par défaut. (E (10 3 π)+1) 10 3 =3.142 est une approximation de π à 10 3 près par excès. E (10 3 ( π)) 10 3 = est une approximation de π à 10 3 près par défaut. (E (10 3 ( π)) + 1) 10 3 = est une approximation de π à 10 3 près par excès. En général, pour un entier naturel n non nul et un réel x : E (10 n x) 10 n est une approximation de x à 10 n près par défaut. (E (10 n x)+1) 10 n est une approximation de x à 10 n près par excès.

8 32 CHAPITRE 3. FONCTIONS USUELLES Valeur absolue La valeur absolue de x, notée x, est le plus grand des réels x et x. On écrit x =max{ x, x}. On a : x R, x 0 et x = x. La fonction : R R peut s écrire x 7 x : R R ½ x si x 0 x 7 x si x<0 on peut alors tracer facilement la courbe représentative. Comme x = x sur R +, on en déduit que cette fonction est dérivable sur R +, comme x = x sur R, on en déduit que cette fonction est dérivable sur R. Il reste donc à étudier le recollement en 0 :ona lim x 0 x =lim x 0 x =0= 0 et lim x 0 + x = lim x 0 + x =0= 0. On en conclut la fonction x est continue en 0 et par conséquent sur tout R. Eneffet, on dit qu une fonction est continue en x 0 si et seulement si lim x x0 f (x) =f (x 0 ), cela veut dire que pour tracer la courbe, on ne doit par lever le crayon, on verra que si une fonction est dérivable, alors elle est continue (la contraposée semble claire). La réciproque est fausse, c est à dire qu il existe des fonctions continues et non dérivables. C est le cas ici. On va montrer que x 7 x n est pas dérivable en 0. On regarde les taux d accroissement à droite et à gauche de 0 : lim x 0 x 0 = lim x x 0 x 0 = 1 et lim x x 0 x 0 + = lim x x 0 x 0 + =1. Les deux limites sont distinctes, x la fonction n est pas dérivable, il existe néanmoins deux demi tangentes, on parle de point anguleux. On a : x R, x 2 = x et x R +, ( x) 2 = x. Interprétation géométrique de la valeur absolue : Soient x et a dans R, x a représente la distance entre les points X (x) et A (a) sur l axe réel (ou droite numérique). ½ x a équivaut à a x a x a équivaut à ou x a x a S =[ a, a] S =], a] [a, + [ Exemples : déterminer les solutions de 2 x 2 < 3. On décompose en deux inéquations : x 2 < 3 donne 3 ½ <x 2 < 3, cecidonne 1 <x<5, onposes 1 =] 1, 5[. 2 x 2 donne ou x 2 2 ½ x 2 2 ou encore ou x 4 x 0,onposeS 2 =], 0] [4, + [. L ensemble des solutions est donc S = S 1 S 2 =] 1, 5[ (], 0] [4, + [) S =] 1, 0] [4, 5[