Annexe B : Les vecteurs. Scalaires et vecteurs

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1 Annee B : Les vecteurs Certains étudiants éprouvent de la difficulté en première session à l'école lorsqu'ils suivent le cours ING-10 "Statique et dnamique". Les vecteurs sont utilisés abondamment dans ce cours comme outil de modélisation et de calcul pour résoudre une multitude de problèmes phsiques. Nous rappellerons dans cette annee les notions de base sur les vecteurs. Nous insisterons davantage sur la compréhension et l'utilisation de cet outil que sur l'aspect théorique du sujet. Nous utiliserons une notation proche de celle qu'on retrouve en phsique quoique nous soulignerons lorsque nécessaire différentes notations équivalentes que l'on retrouve dans la littérature. Cet outil sera revu plus en profondeur lorsque vous ferez votre e cours de mathématiques, à savoir MAT-135 "Algèbre linéaire et analse vectorielle". Scalaires et vecteurs En phsique, plusieurs quantités sont complètement déterminées par un nombre réel (auquel on associe une unité) : le temps, la masse, le volume. On parle ainsi d'un déplacement d'une durée de 30 s, d'un objet aant une masse de 80 kg; on appelle ces quantités des scalaires. Dans d'autres cas, un nombre réel positif décrivant la grandeur d'une quantité n'est pas suffisant. On doit spécifier également une orientation (ou direction) pour complètement déterminer ces quantités. Lorsque c'est le cas, on dit que l'on a une quantité vectorielle et l'on peut la modéliser par un vecteur. On représente visuellement un vecteur par un segment de droite orienté (une flèche) dont la longueur est proportionnelle à la quantité vectorielle considérée. Eemple B.1 u P PQ v Q F 30 W - on remarque que les vecteurs u et v ont la même longueur et la même orientation, donc ils sont équivalents. - PQ est le vecteur qui va du point P au point Q, il peut représenter la position de Q par rapport à P. - le vecteur F représente une force constante appliquée sur un objet (avec un angle de 30 par rapport à l'horizontale)

2 page B. Annee B : ecteurs Remarque sur les notations : On rencontre essentiellement tpes de notations pour désigner un vecteur : - dans la littérature, on désigne en général un vecteur par une lettre en caractère gras - on peut également mettre une flèche au-dessus de la (ou des) lettre(s). C'est ce qu'on fait lorsqu'on écrit à la main (essaez d'écrire en caractère gras!). Eemple B. -, u, F - pour désigner un vecteur qui va du point A au point B, on utilise soit AB ou rab. Lorsqu'on veut parler de la longueur d'un vecteur, on utilise la notation ou AB. On désigne alors la norme (ou module) de ou la norme de AB (En anglais on parle de "magnitude of ") Certains auteurs utilisent également la notation. IMPORTANT : n vecteur est entièrement caractérisé par sa longueur (sa norme) et sa direction. Il est donc indépendant de son point de départ. Les vecteurs W et PQ de l'eemple 1 sont donc équivalents. Les vecteurs peuvent être utilisés pour représenter géométriquement des déplacements dans l'espace. Dans l'eemple qui suit, et représentent déplacements. On rappelle que désigne un déplacement d'une longueur dans la direction indiquée par la flèche. Le vecteur peut donc être déplacé en autant qu'on préserve sa norme et son orientation. Eemple B.3 W W représente le résultat de déplacements, on parle alors de la somme des deu vecteurs : + = W On remarque également que l'addition de vecteurs est commutative : + = + = W On peut également additionner 3 vecteurs ou plus :

3 Annee B : ecteurs page B.3 W + W R On n'a qu'à déplacer les vecteurs pour les mettre bout à bout. On remarque que l'addition de vecteurs est associative ( + ) + W = + ( + W) = R On peut multiplier un vecteur par un scalaire (un nombre réel) a : a représente un nouveau vecteur de longueur (norme) a et de même direction que si a est positif ou de direction opposée si a est négatif. À ce moment, représente le même vecteur que mais de direction opposée. - 1/ La différence de vecteurs est définie comme suit : = + ( ) Graphiquement cela donne : représente la longueur du vecteur. Donc représente un vecteur de même direction que mais de longueur 1. On dit alors qu'on a un vecteur unitaire. On utilise en général la notation u, en minuscule, pour désigner un vecteur unitaire (en ING-10, vous verrez plutôt la notation e). e = En utilisant les résultats précédents et des concepts de base en géométrie, on peut résoudre certains problèmes de base en phsique. Dans l'eemple qui suit, on veut trouver les caractéristiques de la résultante de deu forces s'appliquant sur un objet. Eemple B.4 Deu forces s'appliquent sur un corps tel que décrit dans le schéma suivant :

4 page B.4 Annee B : ecteurs B A F AB F AC 30 C F AC = 60kN F AB = 100kN F AB + F AC représente la résultante des deu forces. On peut tracer cette résultante: F AB + F AC F AB 30 F AC Pour trouver F AB + F AC on travaille sur le triangle suivant : en se rappelant que dans un triangle quelconque de côtés a, b et c avec angle α a α b a = b + c bc cos α (loi des cosinus) c Donc ici F AB + F AC = [ cos(150 )] = ( 0,8660) = 3 99,30485 F AB + F AC = 154,89 kn La résultante des deu forces est une force de 154,89 kn. En se servant de la loi des sinus, on peut trouver l'angle que fait cette force résultante avec l'horizontale. rappel: β a c α b sinα a = sinβ b ( loi des sinus)

5 Annee B : ecteurs page B.5 Dans notre eemple, cela donne sin(150 ) 154,89 = sin β 100 sin β = 0,38 β = arcsin (0,38) = 18.8 Dans le plan, un vecteur peut toujours se décomposer de façon unique en une somme de deu vecteurs, si on spécifie l'orientation de ces deu vecteurs.. La figure suivante montre un vecteur ainsi que droites spécifiant l'orientation voulue pour la décomposition. En traçant en pointillé lignes parallèles à chaque droite, passant par les etrémités du vecteur, on constate que se retrouve dans la diagonale d'un parallélogramme. En se rappelant la définition d'une somme de vecteurs, on obtient aisément les vecteurs et W tels que = + W. W Les vecteurs et W sont appelés les composantes vectorielles de. Nous verrons plus loin les avantages de ce tpe de décomposition, surtout lorsque ces composantes vectorielles sont orthogonales (à angle droit) entre elles. Pour le moment, nous eaminons un problème pratique où l'on doit décomposer un vecteur-force F.

6 page B.6 Annee B : ecteurs Eemple B.5 Le dessin suivant représente une force F de 400 livres (lb) dans un plan et on désire la décomposer en forces suivant les droites indiquées. Trouvez les composantes vectorielles voulues. F 60 F 80 F 1 En traçant en pointillé des lignes parallèles au droites indiquées, nous obtenons un parallélogramme avec côtés F 1 et F qui sont les deu forces cherchées. Géométriquement, on n'a qu'à étudier les deu triangles : α F α Comme la somme des angles internes d'un triangle = 180 on aura α = 40 F 1 Par la loi des sinus : sin On aura également sin = sin60 F 1, donc F 1 = 400 sin60 sin 40 = 538,9lb = sin80 F, donc F = 400 sin80 sin40 = 61,8lb Donc forces aant des normes de 538,9 lb et 61,8 lb et formant entre elles un angle de 140 auront pour résultante une force de 400 lb comme indiquée sur le diagramme. Nous avons vu la multiplication d'un vecteur par un scalaire (un nombre réel). Par eemple 3 4 nous donne un nouveau vecteur d'une longueur égale à 3 4 de celle de et de même direction que. Est-ce qu'on peut multiplier deu vecteurs et quelle interprétation peut-on donner à cette opération? Il eiste façons de faire un produit de vecteurs et nous en verrons une dans cette section. On définit le produit scalaire (en anglais dot product) entre vecteurs comme suit : = cos θ où θ est l'angle entre les deu vecteurs, 0 θ 180 ou 0 θ πradians.

7 Annee B : ecteurs page B.7 On remarque tout de suite que le produit scalaire de deu vecteurs donne un scalaire (un nombre réel) et non un vecteur. Attention : Ne pas mêler "produit scalaire" et "produit par un scalaire". On remarque de cette définition que si θ = 90, si les vecteurs sont orthogonau, alors cos θ = 0 et donc = 0 d'où le théorème suivant : = 0 si et seulement si et sont orthogonau De plus, si 90 < θ 180, on aura cos θ < 0 donc < 0. Et > 0 si 0 θ < 90. Géométriquement, on peut voir le produit scalaire de cette façon : = cos θ θ θ cos θ cos θ En valeur absolue, cos θ correspond à la longueur du vecteur projeté sur la direction de. Nous pouvons constater également que si le vecteur est unitaire (de longueur 1) disons e alors e, c'est-àdire la valeur absolue du produit scalaire de e avec donnera la longueur de la projection de dans la direction de e. Eaminons maintenant une application phsique du produit scalaire. Soit F un vecteur force constant s'appliquant sur un objet. On définit le travail W comme étant le produit de la force (ou de sa composante dans la direction du mouvement) fois la longueur du déplacement. S'il a un angle θ entre la force et la direction du mouvement, alors le travail W = F D où D est le vecteur déplacement. F θ D En effet, W = F D = F D cos θ = D F cos θ F cos θ = composante de la force dans la direction du mouvement D = longueur du déplacement

8 page B.8 Annee B : ecteurs Eemple B.6 ne force constante de 90 N s'applique à un angle de 30 lorsqu'on déplace un objet d'un point A à un point B distant de 50 m. Quel est le travail effectué pendant ce déplacement? F = 90 F A B = A B D Le travail W = F D = cos 30 = 3897 J. Donc cela nécessite un travail de 3897 joules. Dans ce qui précède, nous n'avons mis l'accent que sur l'aspect géométrique des vecteurs. Nous verrons maintenant que les vecteurs ont également une nature algébrique. Cela nous permettra de généraliser certains des concepts vus précédemment et nous permettra de simplifier plusieurs calculs, surtout dans des situations plus complees que les cas simples présentés à date. Eercices: (les réponses sont à la fin de cette annee) 1- Deu vecteurs et forment entre eu un angle de 40. La norme de est de 0 et celle de est de 1. Le dessin suivant illustre cette situation: 40 a) reproduisez ce dessin à l'échelle et à l'aide de la règle du parallélogramme, tracez la résultante +. b) estimez la longueur de + et l'angle de la résultante par rapport à (on sort sa règle et son compas!!! ). c) vérifiez vos réponses en b) en calculant les vraies valeurs demandées. - Dans un plan, on veut décomposer une force F de 00N en forces F 1 et F. F 1 doit faire un angle de 70 par rapport à F et F un angle de 50 par rapport à F. Donc F 1 et F forment un angle de 10 entre elles. Quelle doit être la grandeur de ces deu forces pour satisfaire les eigences précédentes?

9 Annee B : ecteurs page B.9 3- ne force de 50N est utilisée pour déplacer un objet sur une distance de 30m. La force s'applique avec un angle de 0 par rapport au déplacement. Quel est le travail effectué durant ce déplacement? *4- Deu vecteurs et sont tels que leur produit scalaire vaut -15. De plus la norme de est 0 et celle de est 4. a) comment interpréter le fait que le produit scalaire soit négatif? b) quel est l'angle entre ces deu vecteurs? Les vecteurs dans le plan Nous nous limiterons dans cette section à considérer les vecteurs dans le plan. Nous plongerons les vecteurs dans un sstème de coordonnées cartésiennes, le plan - classique que vous connaissez tous. Le dessin suivant représente ce sstème de coordonnées, ainsi qu'un vecteur allant du point P au point Q. ous voez également 3 autres vecteurs équivalents au vecteur PQ. Tous ces vecteurs sont équivalents puisqu'ils sont tous de la même longueur et ont la même orientation. Q P u R u 1 vecteur position Dans l'approche qui suit, nous choisirons toujours comme représentant d'un vecteur celui dont le point de départ est à l'origine. On appelle ce vecteur, le vecteur position. ous remarquerez que le vecteur de notre dessin a comme point terminal R de coordonnées (u 1, u ) c'est-à-dire = u 1 et = u. On constate que tout point R du plan détermine un unique vecteur position et que tout vecteur position est complètement déterminé par les coordonnées (, ) de son etrémité. Danger : Ne jamais confondre point dans le plan et vecteur. Les coordonnées (, 3) représentent un point dans le plan. Si l'on veut décrire un vecteur position dont l'etrémité est au point R (, 3), nous utiliserons la notation suivante = <, 3 >.

10 page B.10 Annee B : ecteurs Dans la section précédente, nous avons mentionné, en parlant des composantes vectorielles d'un vecteur, que l'on peut décomposer tout vecteur du plan en une somme de vecteurs orthogonau. Le dessin suivant illustre ce qui se passe avec un vecteur position. On remarque que = 1 + et que = < u 1, u >; donc le point ( u 1, u ) est l'etrémité du vecteur. u j i 1 u 1 Si on définit un vecteur unitaire i (ou i ) pointant dans la direction positive de, et un vecteur unitaire j (ou j ) pointant dans la direction positive de, on remarque que 1 = u 1 i et = u j. De sorte que = 1 + = u 1 i + u j. Notation: u 1 et u sont les composantes scalaires de, alors que u 1 i et u j sont les composantes vectorielles de. Tout vecteur du plan peut donc s'eprimer avec la forme = u 1 i + u j. Nous verrons plusieurs avantages à eprimer les vecteurs sous cette forme: Soit = u 1 i + u j, alors = u1 + u, par le théorème de Pthagore. Si est connue, alors u 1 = cosθ et u = sin θ, où θ est l'angle entre le côté positif de l'ae des et le vecteur ; on peut également obtenir θ avec la relation u u 1 = tg θ. Si = u 1 i + u j et = v1 i + v j, alors + = (u1 +v 1 ) i + (u +v ) j

11 Annee B : ecteurs page B.11 Eemples B.7 a) Donnez les composantes vectorielles d'un vecteur de norme 60, formant un angle θ = 10 avec l'horizontale. u 10 u 1 u 1 = 60cos10 = ( 60) ( 1 ) = 30 u = 60sin10 = 60 ( ) = 30 3 = 51,96 ( ) 3 Donc = 30 i + 51,96 j b) Soit le vecteur = i + 4 j et le vecteur = 4 i j. Tracer ces deu vecteurs dans le plan cartésien, ainsi que le vecteur +. On sait que + = (4 ) i + ( 1+4) j = i + 3 j la norme de + est + = + 3 = 13 = 3,61

12 page B.1 Annee B : ecteurs - l'angle θ que fait + avec l'horizontale est tel que cos θ = 13 θ = arccos 13 = 56,3 ou, comme θ est tel que 3 tg θ = 3 θ - l'angle θ que fait avec l'horizontale: θ = arctg( 3 ) = 56,3 comme = 4 i j tg θ = 1 4 θ = arctg ( 1 4) = 14 - Il faut être prudent lorsqu'on utilise cette dernière procédure. En effet, en l'appliquant au vecteur, on aurait et: tg θ = 4 = car = i + 4 j θ = arctg( ) = 63,4, ce qui est fau (voir le graphe). Il ne faut pas oublier que la fonction arctg() retourne un angle entre 90 et 90. En réalité, l'angle cherché ici est θ = 63, = 116,6. Remarque sur la notation: les vecteurs i et j reviennent tellement souvent que ça devient vite fastidieu de toujours faire les flèches au-dessus. C'est pourquoi on les écrira quelquefois i et j. L'écriture manuscrite fait de même: i et j, tout simplement. n des gros avantages de l'approche algébrique est que le temps de traitement n'est pas vraiment plus long, même si on manipule 3 vecteurs ou plus. Par eemple, soit = i + 5 j = i + 5j, = 5i j et W = 4i j. + + W = ( 5+4)i + (5 1 )j = i + j + + W = 1 + = 5 L'angle θ par rapport à l'horizontale sera θ = arctg( 1) = 63,4 On voit très bien que i + j est dans le premier quadrant. Si on devait résoudre ce problème par des méthodes géométriques, le temps de traitement serait beaucoup plus long. (Essaez-le!)

13 Annee B : ecteurs page B.13 On peut résumer ici les différentes propriétés des vecteurs dans le plan: Soit = u 1 i + u j, = v1 i + v j ; soit a = + = (u 1 + v 1 ) i + (u + v ) j - a = (au 1 ) i + (au ) j 3- = u 1 + u 4- le vecteur unitaire e dans la même direction que sera 5- le produit scalaire = cos(θ) = (u 1 v 1 ) + (u v ) = u r 1 i + u 1 + u u r j u 1 + u On remarque, dans le cas de cette dernière équation, que le produit scalaire de vecteurs et peut s'évaluer à l'aide des composantes scalaires des vecteurs, sans faire intervenir l'angle θ dans le calcul. Eemple B.8 Quel est l'angle entre les vecteurs = 5i + j et = 3i + j? = (5)( 3) + ()(1) = 13 Puisque cos θ = = = = 0,7634 donc θ = arccos( 0,7634) = 139,8 4 θ Remarque: le fait que soit négatif nous indique que l'angle entre et est plus grand que 90.

14 page B.14 Annee B : ecteurs Les propriétés du produit scalaire sont: 1- = - ( + W) = ( ) + ( W) 3- c( ) = (c) = (c), c. 4-0 = 0 5- = Dans la propriété 4, 0 désigne le vecteur nul: 0i + 0 j, vecteur de longueur nulle et de direction indéterminée. Le produit scalaire peut être utilisé pour déterminer les composantes vectorielles d'un vecteur qui sont, l'une parallèle, l'autre normale à une direction donnée. Soit = u 1 i + u j et le vecteur direction D = d1 i + d j n u θ p u 1 D p est la composante vectorielle de (ou sa projection) dans la direction de D et n est la projection normale (perpendiculaire) de par rapport à D. On a vu dans la section précédente que p = e = D D, si θ < 90. Donc p = ( e) e = la longueur de la projection multipliée par le vecteur unitaire. De plus, comme = p + n, alors n = p. Eemple B.9 Soit = i + 4j et = 5i + j. Quelle est la composante vectorielle de dans la direction de? Transformons en un vecteur unitaire: e = = 1 6 5i + j ( ) = 5 6 i j

15 Annee B : ecteurs page B.15 La longueur de la projection de sur est e = et on multiplie le vecteur unitaire e par la longueur de la projection: 6 = 14 6 p = i j = 70 6 i j,73i + 0,54j Le graphe suivant représente, et p. 4 p Soit points A et B de coordonnées respectives ( 1, 1 ) et (, ). On veut eprimer en termes de i et j le vecteur qui va du point A au point B et que l'on note AB ou rab. B A 1 1 On constate sur ce dessin que l'on a un triangle rectangle d'hpoténuse r AB. Les deu autres côtés ont comme longueur ( 1 ) et ( 1 ). Le vecteur position sera ( 1 )i + ( 1 )j. Si A = ( 3, 4) et B = (5, 7), alors r AB = (5 ( 3))i + (7 4)j = 8i + 3j. Fréquemment, en phsique, on doit introduire un sstème de coordonnées - pour modéliser les problèmes et pour pouvoir appliquer les méthodes de calcul vues dans cette section. Les eemples suivants illustrent cette situation.

16 page B.16 Annee B : ecteurs Eemple B.10 3 forces de 5N chacune sont appliquées sur un objet, comme indiqué dans le graphique suivant. F 1 F F Trouvez la grandeur de la force résultante. Plaçons ces 3 forces dans un plan F 3 F 1 45 F Eprimons chaque force à l'aide des vecteurs i et j : F 1 = 5i + 0j (puisque le vecteur est de longueur 5) Comme 5sin( 45 ) = 5 = 5 5cos( 45 ) = 5 = 5 on a F = 3,54i 3,54j = 3, 54 = 3,54 Comme 5 sin( 150 ) =,5 5 cos( 150 ) = 4,33 F 3 = 4,33i,5j F R = F 1 + F + F 3 = (5 + 3,54 4,33)i + (0 3,54,5)j F R = 4,1i 6,04j et F R = 4,1 + ( 6, 04) = 54,1 = 7,4N

17 Annee B : ecteurs page B.17 Eemple B.11 Deu forces de 100 lb chacune, F 1 et F, agissent sur un support. Ce dernier se brisera si la grandeur de la force totale s'eerçant sur lui ecède 150 lb. Quel est l'intervalle des valeurs acceptables pour l'angle α entre les deu forces? F α F 1 Positionnons les forces dans un sstème de coordonnées -. Pour simplifier les calculs, F 1 sera mis suivant l'ae des. Ce choi n'affecte pas le problème puisqu'il est arbitraire ( on a toujours vecteurs de même longueur avec un angle α entre les deu). F α F 1 F 1 = 100i + 0j F = (100 cos α)i + (100 sin α)j F 1 + F = ( cos α)i + (100 sin α)j = 100 (1 + cos α)i sin α j Donc F 1 + F = 100 (1 + cos α) sin α = 100 (1 + cos α) + sin α et on veut que F 1 + F (1 + cos α) + sin α 150 (1 + cosα) + sin α cos α + cos α + sin α 9 4 cos α 9 4 = 1 4 puisque cos α + sin α = 1 cos α 1 8 Entre 0 et 360, il a angles pour lesquels cos α = 1 8

18 page B.18 Annee B : ecteurs 1 α 1/8 1 α = arccos( 1 8) = 8,8 et α = 8,8 α = 8, = 77, Pour satisfaire la condition, on aura donc 8,8 α 77,. Eercices: (les réponses sont à la fin de cette annee) 5- Soit = 4i + j, = i + 6j et W = i 3j a) déterminez 3, W, ++W b) est-ce que et sont perpendiculaires? c) est-ce que et W sont parallèles? d) trouvez un vecteur R tel que ++W+R = 0, c'est à dire que R annule la somme ++W *e) trouvez un vecteur aant la même direction que W mais de longueur 8 6- n vecteur de norme 5 forme un angle de 70 par rapport à l'horizontale ( c'est-à-dire le côté positif de l'ae des ). Donnez les composantes vectorielles de en vous servant des vecteurs unitaires i et j. 7- Soit = 3i 5j et = i + j. a) déterminez + b) donnez un vecteur unitaire aant la même direction que + c) quel est l'angle de + par rapport à l'ae positif des? 8- Quel est l'angle entre les vecteurs: a) = i 3j et = i + 4j? b) = i + 4j et = i 5j? *9- Soit les 3 points suivants dans le plan : A = (, 5) B = (3, 1) C = (8, 4) a) quel est l'angle entre les vecteurs BA et BC? b) quelle est la longueur de la projection de BA sur BC?