3 2 Séries numériques

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1 BCPST Séries numériques I Généralités A) Dénition Soit (a n ) n N une suite à valeurs dans R. On appelle série de terme général a n, et on note a n la suite dénie par : S n = On dit que S n est la somme partielle d'indice n. Comment transformer une suite en série? Soit une suite (b n ) n N. On veut exprimer la suite (b n ) comme une série, c'est-à-dire trouver une suite (a n ) telle que n N, b n =. On pose : a n = b n b n pour n et a 0 = b 0. B) Convergence d'une série Soit a n une série. On note S n = la somme partielle d'indice n. On dit que la série est convergente si et seulement si la suite (S n ) est convergente. Dans ce cas, on appelle somme de la série et on note Dans le cas contraire, la série est dite divergente. Bien faire la diérence dans la notation entre :, la limite de la suite (S n ). ou k 0 : qui représente la série, c'est à dire que l'on se pose la question de la convergence des sommes partielles. qui est la somme de la série, en cas de convergence. En particulier, il faut avoir montré que la série est convergente avant d'écrire et de manipuler le réel : C. Courant page

2 Exemple : Série géométrique On considère la série q n. A quelle condition sur q cette série est-elle convergente? Exemple : Série télescopique Soit u n = (n + ) α n α. Etudier suivant la valeur de α la nature de la série u n. En cas de convergence, préciser la valeur de la somme. Certaines séries ne sont dénies qu'à partir d'un certain rang n 0 : dans ce cas là, on écrit k n 0 pour écrire la série. En cas de covergence, la somme est notée et sont de même nature. k n 0 k n En cas de convergence, on a (avec n 0 < n ) : k=n 0 = k=n 0 k=n 0 + k=n C) Reste d'une série convergente Soit une série convergente. On appelle reste de rang n et on note (souvent) R n = k=n+ Soit une série convergente. n N, S n + R n = R n n + 0

3 II Premières propriétés des séries A) Divergence grossière Soit a n une série convergente alors a n n 0. En particulier si lim a n 0 alors la série diverge. n On dit que la série diverge grossièrement. La réciproque est fausse. Etudier n. B) Sommes de séries Soient a n et b n deux séries. Si a n et b n sont convergentes alors (a n + b n ) est convergente et (a n + b n ) = a n + b n Si a n est convergente et b n divergente alors (a n + b n ) est divergente. Si a n et b n sont divergentes alors on ne peut rien dire sur (a n + b n ). Soit c n une série convergente. On suppose que c n s'écrit sous la forme c n = a n + b n. Avant de séparer sous la forme b n, il faut impérativement montrer la convergence des séries. a n + Soit a n une série et λ R, λ 0. Les séries a n et λa n sont de même nature. En cas de convergence, on a λa n = λ a n 3

4 III Séries à termes positifs A) Dénition Soit a n une série. On dit que la série a n est à termes positifs si et seulement si n 0, a n 0. B) Théorème de Majoration Soit a n une série à termes positifs. On note S n = la somme partielle d'indice n. Si (S n ) est majorée alors la série a n est convergente. Sinon S n n +. C) Théorème de comparaison Soient u n et v n deux séries à termes positifs. On suppose : n 0 N, n n 0, u n v n. Si v n est convergente alors u n est convergente. Si u n est divergente alors v n est divergente. Comment utiliser le théorème de comparaison? Soit a n une série sur [a, b[. On veut montrer la convergence de a n. Vérier que la série est à termes positifs. Trouver une série b n à termes positifs telle que : n 0, a n b n. Méthode Vérier que b n est convergente. Conclure : D'après le théorème de compariason des séries à termes positifs, a n converge. converge. Il est inutile et très maladroit d'écrire une inégalité du style : conclu. a n b n avant d'avoir D) Etude de la convergence par la recherche d'un équivalent Soient u n et v n deux séries à termes positifs. On suppose : u n Alors, les deux séries sont de même nature. Méthode à rédiger à chaque fois : 4 n v n.

5 Utilisation d'équivalent Comme u n v n, on a : u n n v n. n On en déduit : n 0 N, n n 0, u n v n Méthode = u n v n = v n u n 3 v n On utilise ensuite le théorème de comparaison et l'inégalité précédente pour conclure. Exemple : Etudier la nature de la série sin ( 3 n ). E) Comparaison avec une intégrale Soit f : R R décroissante, positive et continue. Soit la série f(n). La méthode suivante est classique et à connaître : Comparaison avec une intégrale En utilisant la décroissance de f, encadrer x f(x) n+ n f(t) dt. Méthode j f(n) f(n + ) O i n n + En déduire un encadrement de f(n). En déduire un encadrement des sommes partielles par des intégrales. Conclure avec le théorème de majoration. Exemple : Etudier la série suivant les valeurs de α. nα F) Absolue Convergence Soit a n une série. On dit que la série est absolument convergente si et seulement si la série a n est convergente. Soit a n une série. Une série absoluement convergente est convergente. La réciproque est fausse. Exemple : Etude de la série harmonique alternée. Montrer que la série ( ) n est convergente non absolument convergente. n 5

6 IV Calculs de séries classiques q R, q <, q R, q <, q R, q <, x R, x n n! = ex q n = q nq n = ( q) n(n )q n = ( q) 3 6

7 9 5 3 Exercices C'est un mathématicien qui organise une loterie dans laquelle le prix est une quantité innie d'argent. Tous les tickets sont vendus très vite. Quand l'heureux gagnant se présente pour réclamer son prix, le mathématicien explique le mode de paiement : euro maintenant, / euro demain, /3 d'euro le jour suivant, etc BCPST Exercice : /home/carine/bcpst/basexo/analyse/series/serie0.tex Soit f : [0; ] R une fonction continue. Montrer que la série n 0 calculer sa somme. ( ) n x n f(x)dx est convergente et 0 Exercice : /home/carine/bcpst/basexo/analyse/series/serie04.tex ) Pour tout n N, simplier, arctan(n + n + ) arctan(n n + ). ) En déduire que ( ) n arctan converge et calculer sa somme. n 4 + n + n 0 Exercice 3: /home/carine/bcpst/basexo/analyse/series/serie03.tex Soit α R. On pose : n, u n = (n ) α + (n + ) α n α. Etudier la convergence de u n et le cas échéant, calculer la somme de la série. Exercice 4: /home/carine/bcpst/basexo/analyse/series/serie5.tex Etudier la série de terme général u n = cos(π n). n! Exercice 5: /home/carine/bcpst/basexo/analyse/series/serie.tex Montrer la convergence et calculer la somme des séries de terme général : ) u n = n+ 3 n ) u n = 3n + 4 n n! 3 ) u n = n n + 5 n 4 ) u n = n n! 5 ) u n = n 3 n Exercice 6: /home/carine/bcpst/basexo//analyse/series/serie.tex Nature et somme des séries (n + )! et n (n + )! Exercice 7: /home/carine/bcpst/basexo/analyse/series/serie05.tex ) Montrer que, pour tout réel x [ ; [ et tout entier n non nul, on a ln( x) = k= x k x k t n 0 t dt ) En déduire que ln() = n n = ( ) n+ n n n Majorer chaque reste à l'ordre n et écrire un programme en python pour calculer ln() à 0 6 près C. Courant page 7

8 Exercice 8: /home/carine/bcpst/basexo/analyse/series/serie.tex n Considérons la suite (v n ) n N dénie par v n = k= k ln n ) On dénit la suite (w n ) n N par : w n = v n+ v n. Montrer que w n 0 pour n. ) Étudier la fonction f : x x ln( + x) x. En déduire une majoration de w n. 3 ) Déduire des questions précédentes que la série de terme général w n est convergente puis que la suite (v n ) n N est convergente. 4 ) Donner un équivalent de k k= Exercice 9: /home/carine/bcpst/basexo/analyse/series/serie3.tex ) Montrer que la série est convergente. n On admet que n = π 6. n ) Calculer, après avoir montré la convergence, la somme des séries suivantes : P = n (n), I = (n + ), A = ( ) n n n 0 n Exercice 0: /home/carine/bcpst/basexo/analyse/series/serie.tex ) n On pose u n = ( n n +. ) Déterminer la limite de v n = n u n et en déduire que v n au moins à partir d'un certain rang. ) En déduire la nature de la série. 3 ) Donner une majoration du reste d'ordre n de la série. Exercice : /home/carine/bcpst/basexo/analyse/series/serie09.tex ) On dénit f : x ln x. Étudier succintement cette fonction. x ) Démontrer la proposition suivante : n ln t n > 3, dt + ln 4 t + ln(3) 3 k= ln k k n 3 ln t t dt + ln + ln(3) 3 En déduire la nature de la série ln(n) n. On note S n = suite (S n ). k= ln k. Donner un équivalent simple de la k 3 ) On se propose de démontrer l'existence d'un nombre c tel que S n = ln (n) + c + ε(n) où ε(n) n 0 a) Démontrer que, pour tout n N, ln (n) ln (n ) = ln n n + ln n ( ) ln n n + o n n b) On pose u n = ln n n ( ln (n) ln (n ) ). Exprimer S n à l'aide de u k. c) Conclure. k= 8