Chapitre n.. Droites remarquables d un triangle

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1 (HPITRE 1 : en 008/009 Définitions et tracés des médianes, hauteurs et médiatrices dans un triangle. ercle circonscrit. ire d un disque. ire d'un triangle quelconque. onstater que chaque médiane partage le triangle en deux triangles de même aire.

2 1 Médiatrices d un triangle : Une médiatrice d un triangle est une droite qui passe par le milieu d un côté et qui est perpendiculaire à ce côté. b Propriété : Les trois médiatrices d un triangle sont concourantes (se coupent en un même point. Le point de concours des trois médiatrices est le centre du cercle «circonscrit» au triangle (ce cercle passe par les trois sommets du triangle. Démonstration de la propriété : Dans le triangle ci-contre, on trace la médiatrice (d du côté [], on trace la médiatrice (d du côté []. Les droites (d et (d se coupent en un point O. Il faut prouver que O est également sur la médiatrice du côté []. omme O est sur (d, O est équidistant de et, (propriété des points de la médiatrice vue en 6 ème, donc O = O. omme O est sur (d,o est équidistant de et, donc O = O. On a donc O = O = O et finalement O = O. ette dernière égalité prouve que O est sur la médiatrice du côté []. Remarques : Il suffit de tracer les médiatrices de deux côtés pour déterminer le centre du cercle circonscrit. Le rayon du cercle est obtenu en mesurant la distance du centre à un sommet du triangle. c ire d un disque : Pour calculer l aire d un disque, on multiplie le nombre π par le carré du rayon du disque : ire = π r = π r r L aire est donnée en unité d aire. L unité principale est le mètre carré (m². ire ( O r Rappel : Le périmètre du cercle ( de rayon r est donné par la formule Le périmètre est donné en unité de longueur. L unité principale est le mètre (m. π r.

3 Hauteurs d un triangle : Une hauteur d un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. b Propriété : (Démonstration dans le cahier d exercices Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes (se coupent en un même point. Le point de concours des trois hauteurs est appelé «l orthocentre» du triangle. Exemples : (K est la hauteur issue de, on dit aussi que (K est la hauteur «relative» au côté []. K est le pied de la hauteur issue de. H est l orthocentre du triangle. Remarque : Il suffit de tracer les hauteurs de deux côtés pour déterminer l orthocentre du triangle. c ire d un triangle : Pour calculer l aire d un triangle, on multiplie la longueur d un côté par la hauteur relative à ce côté puis on divise le résultat par : base hauteur b h ire = = Exemples : ire = K D ire DEF = EF DL K L E F

4 Médianes d un triangle : Une médiane d un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et par le milieu du côté opposé à ce sommet. b Propriété : (admise Les trois médianes d un triangle sont concourantes (se coupent en un même point. Le point de concours des trois médianes est appelé «le centre de gravité» du triangle. (I est la médiane «issue» du sommet. On dit aussi que (I est la médiane «relative» au côté []. (J est la médiane issue du sommet. (K est la médiane issue du sommet. es trois médianes sont concourantes en G. Remarques : Il suffit de tracer les médianes de deux côtés pour déterminer le centre de gravité. On dit aussi que les segments [I], [J] et [K] sont les trois médianes du triangle. Le point de concours des médianes est situé aux deux tiers de chaque médiane (propriété admise. G = I ; G = J et G = K Le centre de gravité se note souvent G, il est très utile en physique, il est sous certaines conditions, le point où les forces s équilibrent. La médiane d un côté d un triangle coupe ce triangle en deux triangles de même aire. La médiane (O «partage» le triangle, en deux triangles O et O de même aire. Soit [K] la hauteur issue du sommet.. K O ire O = K O ire O = O omme O =, on a O ireo ire =. O

5 Démonstration de la propriété du b du cours : «Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes» ( d est un triangle quelconque. On trace ( d 1 la parallèle à ( passant par. On trace ( d la parallèle à ( passant par. On trace ( d la parallèle à ( passant par. ( d 1 coupe ( d en M et ( d en N. d et d se coupent en L. ( ( ( d Pour le quadrilatère M on a (M // ( et ( // (M donc M est un parallélogramme. omme M est un parallélogramme, ses côtés opposés [] et [M] ont même longueur, donc M =. ( d 1 Pour le quadrilatère N on a (N //( et (N // ( donc N est un parallélogramme. omme N est un parallélogramme, ses côtés opposés [N] et [] ont même longueur, donc N = N. omme M = et N = on a M = N et comme appartient au segment [MN], on peut dire que est le milieu de [MN]. On trace (J la hauteur issue de avec J le pied de cette hauteur. On a (J ( et comme (MN // (, on peut dire que (J (MN. La droite (J est perpendiculaire à (MN et passe par le milieu de [MN], donc (J est la médiatrice de [MN]. La hauteur (J du triangle est donc la médiatrice du côté [MN] du triangle MNL. On trace (I la hauteur issue de, avec I le pied de cette hauteur. On trace (K la hauteur issue de, avec K le pied de cette hauteur. On peut démontrer de même que (I est la médiatrice du côté [ML] de MNL et que (K est la médiatrice du côté [NL] de MNL. omme les trois médiatrices d un triangle sont concourantes, (propriété 1a du cours, on peut en déduire que les droites (J, (I et (K sont concourantes. On a prouvé que les hauteurs (J, (I et (K du triangle sont concourantes en un point que l on nomme H (l orthocentre du triangle.