DROITES ET PLANS DE L ESPACE

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1 DROITES ET LANS DE L ESACE Table es matières Barycentre e eux points 2. Définitions ropriétés Exemple e construction u barycentre e eux points Barycentre e trois points 2. Définitions ropriétés Exemple e construction u barycentre e trois points Associativité u barycentre ropriété Deux applications Représentation paramétrique une roite 4 4 ositions relatives e eux plans 5 4. ropriétés : plans et vecteurs normaux Système équations cartésiennes une roite ositions relatives une roite et un plan 6 5. ropriété Caractéristique algébrique e l intersection une roite et un plan Intersection e trois plans 7 6. Deux es trois plans sont parallèlles Les plans sont sécants eux à eux

2 Barycentre e eux points. Définitions On appelle point ponéré tout couple (A, a) où A est un point et a un réel. Soit (A, a) et (B, b) eux points ponérés tels que a + b 0. On appelle barycentre es points ponérés (A, a), (B, b) l unique point G tel que a GA + b GB = 0. Remarque : a GA + b GB = 0 a GA + b( GA + AB) = 0 (a + b) GA + b AB = 0. D où AG = Exemple : La moyenne ponérée b AB. a + b.2 ropriétés L isobarycentre e eux points A et B (points ponérés par un même coefficient non nul) est le milieux e [AB]. Le barycentre e eux points ponérés ne change pas lorsqu on multiplie les eux coefficients par un même réel non nul. Si G est le barycentre es points ponérés (A, a), (B, b) alors pour tout point M on a : (a + b) MG = a MA + b MB. Si A et B ont pour cooronnées respectives (x A ; y A ; z A ) et (x B ; y B ; z B ) ans un repère e l espace (O; i, j, ( k axa + bx B alors les cooronnées e G, barycentre es points ponérés (A, a), (B, b) sont : ; ay A + by B ; az ) A + bz B a + b a + b a + b Tout point e la roite (AB) est barycentre es points A et B et réciproquement. En effet : Soit M un point e la roite (AB), les vecteurs AM et AB sont colinéaires et onc il existe un réel k tel que AM = k AB, où AM kab = 0, soit AM k( AM + MB) = 0 ( k) MA + kmb = 0. Donc M est barycentre es points A( k) et B(k). Si M est le barycentre es points A et B, il existe eux réels a et b tels que (a + b 0) et AM = Donc M est sur le roite (AB) b AB. a + b. Exemple e construction u barycentre e eux points Soient A et B eux points e l espace. Nous allons construire G le barycentre es points {(A, 2), (B, )}. On sait que pour tout point M : (2+) MG = 2 MA+ MB. Soit 5 MG = 2 MA+ MB. En particulier pour M = A : 5 AG = AB où AG = AB. 5 A G B Droites et plans e l espace age 2 Francis Rignanese

3 2 Barycentre e trois points 2. Définitions Soit (A, a), (B, b) et (C, c) trois points ponérés tels que a + b + c 0. On appelle barycentre es points ponérés (A, a), (B, b), (C, c) l unique point G tel que a GA + b GB + c GC = 0. Remarque : a GA+b GB+c GC = 0 a GA+b( GA+ AB)+c( GA+ AC) = 0 (a+b+c) GA+bAB+cAC = b c 0. D où AG = AB + AC. a + b + c a + b + c 2.2 ropriétés L isobarycentre e trois points non alignés A, B et C (points ponérés par un même coefficient non nul) est le centre e gravité u triangle ABC. Le barycentre e trois points ponérés ne change pas lorsqu on multiplie les eux coefficients par un même réel non nul. Si G est le barycentre es points ponérés (A, a), (B, b), (C, c) alors pour tout point M on a : (a + b + c) MG = a MA + b MB + c MC Si A, B et C ont pour cooronnées respectives (x A ; y A ; z A ), (x B ; y B ; z B ) et C(x C ; y C ; z C ) ans un repère e l espace (O; i, j, ( k ) alors les cooronnées e G, barycentre es points ponérés (A, a), (B, b), (C, c) axa + bx B + cx C sont : ; ay A + by B + cy C ; az ) A + bz B + cz C a + b + c a + b + c a + b + c Soient A, B et C trois points non alignés. Tout point u plan (ABC) est barycentre e ces trois points et réciproquement. En effet : Soit M un point u plan (ABC), les vecteurs BM, AM et AC sont coplanaires et onc il existe eux réels k et k tels que AM = k AB + k AC, où AM k AB k AC = 0, soit AM k( AM + MB) k ( AM + MC) = 0 ( k k ) MA + k MB + k MC = 0. Donc M est barycentre es points A( k k ), B(k), C(k ). Si M est le barycentre es points A, B et C, il existe trois réels a, b et c tels que (a + b + c 0) et b c AM = AB + AC. Donc M est sur le plan (ABC) a + b + c a + b + c 2. Exemple e construction u barycentre e trois points Soient A, B et C trois points e l espace. Nous allons construire G le barycentre es points {(A, 2), (B, ), (C, )}. C On sait que pour tout point M : (2 + ) MG = 2 MA + MB MC. Soit 4 MG = 2 MA + MB MC. En particulier pour M = A : 4 AG = AB AC où AG = AB AC. 4 4 A G B Droites et plans e l espace age Francis Rignanese

4 2.4 Associativité u barycentre 2.4. ropriété Soit a, b, et c trois réels tels que a + b + c 0 et a + b 0. On note H le barycentre es points (A, a), (B, b). Alors le barycentre G es points ponérés {(A, a), (B, b)(c, c)} est le même que celui es points {(H, a + b), (C, c)} Deux applications. Construction Dans la construction précéente, on place le barycentre H es points {(A, 2) (B, )}, (5 AH = AB) puis G le barycentre es C points {(A, 2), (B, ), (C, )}, qui est le même que celui es points {(H, 5), (C, ), } (4 HG = HC). 2. Droites concourantes A G H B ABC est un triangle. On consière le barycentre A e {(B, 2), (C, )}, le barycentre B e {(A, 5), (C, )}, ainsi que le barycentre C e {(A, 5), (B, 2)}. Démontrer que les roites (AA ), (BB ) et (CC ) sont concourantes. On consière le barycentre G e {(A, 5), (B, 2), (C, )}. ar associativité u barycentre, G est barycentre e {(A, 5), (A, )}. Et onc G (AA ). De même G est barycentre e {(B, 2), (B, 2)}. Et onc G (BB ). Enfin G est barycentre e {(C, ), (C, 7)}. Et onc G (CC ). D où les les roites (AA ), (BB ) et (CC ) sont concourantes en G. Représentation paramétrique une roite Théorème Soit la roite passant par le point A(x A, y A, z A ) et e vecteur irecteur (O; i, j, k ). a u b c Tout point M(x, y, z) appartient à si et seulement si il existe un réel t tel que AM = t u. Sachant que x x A x x AM y y A, A = ta AM = t u y y A = tb z z A z z A = tc Soit x = x A + ta y = y A + tb, représentation paramétrique e la roite. Le paramètre est le réel t z = z A + tc. ans le repère e l espace Droites et plans e l espace age 4 Francis Rignanese

5 4 ositions relatives e eux plans ( ) et ( ) sont parallèles. ( ) et ( ) sont sécants suivant la roite. 4. ropriétés : plans et vecteurs normaux Soit et eux plans istincts e vecteurs normaux respectifs n et n 2. Si n et n 2 sont colinéaires (cooronnées proportionnelles) alors et sont parallèles. Si n et n 2 ne sont pas colinéaires alors et sont sécants suivant une roite. Exemple Déterminer l intersection es plans : : 2x + y z + 2 = 0 et 2 : x + 2y z + = 0. 2 Un vecteur normal e est n et e 2, n 2 2. Il est clair que n colinéaires et onc les plans et sont sécants suivants une roite. et n 2 ne sont pas Déterminons une représentation paramétrique e. 2x + y z + 2 = 0 () M(x, y, z) x + 2y z + = 0 (2) On remplace l équation (2) en combinant les eux équations () 2 (2) pour éliminer la variable x ans (2) : ( ) 2x + y z + 2 = 0 () 2x + y z + 2 = 0 2x + et onc puis on substitue z z + 2 = 0 2x 4y + 2z 2 = 0 (2) y + z = 0 y = z x = on obtient z y = z x = t On pose z = t et on obtient une représentation paramétrique e la roite y = z z = t Droites et plans e l espace age 5 Francis Rignanese

6 Cette roite passe par le point A(, 0, 0) et a pour vecteur irecteur u 4.2 Système équations cartésiennes une roite L ensemble es points e l espace ont les cooronnées (x; y; z) vérifient où a, b, c, et a, b, c non proportionnels est une roite. On it que l on a un système équations cartésiennes une roite. ax + by + cz + = 0 a x + b y + c z + = 0 5 ositions relatives une roite et un plan I La roite est contenue ans. La roite est parallèle à. La roite est sécante en I à. 5. ropriété Soit une roite passant par A et e vecteur irecteur u et un plan e vecteur normal Si u et n ne sont pas orthogonaux alors et sont sécants. Si u et n sont orthogonaux alors et sont parallèles : si A appartient à alors est contenue ans. si A n appartient pas à alors et n ont aucun point commun. n. 5.2 Caractéristique algébrique e l intersection une roite et un plan x = x A + tα Le plan équation ax + by + cz + = 0 et la roite e représentation paramétrique y = y A + tβ z = z A + tγ sont sécants si et seulement si aα + bβ + cγ 0. α a En effet, u β est un vecteur irecteur e et n b est un vecteur normal à γ c Et il suffit e ire que et sont sécants si et seulement si u et n ne sont pas orthogonaux, autrement it u. n 0 soit aα + bβ + cγ 0. Exemple Droites et plans e l espace age 6 Francis Rignanese

7 Déterminer l intersection u plan : 2x + y 5z + = 0 avec la roite (AB) où A(; 5; 0) et B(4; ; ) 2 n est un vecteur normal à et AB 6 est un vecteur irecteur e (AB) ou encore u 2. 5 u. n = ( 5) = 0 onc (AB) et sont sécants en un point I. x = + t Une représentation paramétrique e (AB) est y = 5 + 2t z = t Et onc les cooronnées e I oivent vérifier simultanément les équations e la représentation paramétrique e (AB) et l équation u plan. 2x + y 5z + = 0 x = + t Soit y = 5 + 2t z = t En substituant x, y et z ans la premeière équation on obtient : 2( + t) + ( 5 + 2t) 5t + = 0 soit t = 2. Les cooronnées e I sont calculées en substituant -2 au paramètre t e la représentation paramétrique e (AB). On obtient I( ; 9; 2). 6 Intersection e trois plans Soient, et trois plans istincts eux à eux. 6. Deux es trois plans sont parallèlles Il n y a aucun point intersection entre ces trois plans 6.2 Les plans sont sécants eux à eux Si et sécants en, l étue le l intersection e, et se ramène à l étue e l intersection e et. Droites et plans e l espace age 7 Francis Rignanese

8 I et sont sécants en I. L intersection es trois plans est onc un point. est contenue ans. L intersection es trois plans est onc la roite. est strictement parallèle à. L intersection es trois plans est vie. Droites et plans e l espace age 8 Francis Rignanese