Sommaire de la séquence 3

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1 Sommaire de la séquence 3 Séance Je découvre la symétrie centrale par l expérience Séance Je construis le symétrique d un point par une symétrie centrale Séance J étudie le symétrique d un segment par une symétrie centrale Séance J étudie le symétrique d une figure simple par une symétrie centrale Séance J étudie le symétrique d un cercle par une symétrie centrale Séance Je construis le symétrique d un angle Séance Je reconnais et je construis des axes et des centres de symétrie Séance J étudie la conservation du périmètre et de l aire par une symétrie centrale Séance J effectue des exercices de synthèse bjectifs être capable de déterminer si une figure possède un centre de symétrie. Savoir construire le symétrique d un point, d un segment, d une droite, d une demi-droite, d un angle, d un cercle. Connaître et utiliser les propriétés de conservation de la symétrie centrale. Ce cours est la propriété du Cned. Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit respectifs. Tous ces éléments font l objet d une protection par les dispositions du code français de la propriété intellectuelle ainsi que par les conventions internationales en vigueur. Ces contenus ne peuvent être utilisés qu à des fins strictement personnelles. Toute reproduction, utilisation collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à disposition de tiers d un cours ou d une œuvre intégrée à ceux-ci sont strictement interdits. Cned-2009

2 Séance 1 séance 1 Séquence 3 Je découvre la symétrie centrale par l expérience vant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence n 3. Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret. Une fois que tu auras terminé le test, reporte-toi à son corrigé et lis attentivement les réponses, sans négliger les commentaires du professeur, qui t apporteront des renseignements utiles. je révise les acquis de la 6 e 1- Coche le ou les cases où les figures bleue et verte sont symétriques par rapport à la droite (d). (d) (d) ZZ Z Z 2- Les deux figures ci-dessous devraient être symétriques, mais le dessinateur a commis quelques erreurs. Combien au juste? (d) Z (d) Z Z Z (d) Un segment possède : 4- Un rectangle possède : D E F C 2 axes de symétrie. aucun axe de symétrie. 4 axes de symétrie. 3 axes de symétrie. aucun axe de symétrie. 2 axes de symétrie. 3 axes de symétrie. 4 axes de symétrie. Le test t a permis de revoir certaines propriétés et définitions essentielles sur la symétrie axiale. Maintenant, nous allons découvrir ensemble une nouvelle symétrie : la symétrie centrale. Cned, Mathématiques 5e 57

3 Séquence 3 séance 1 Prends une nouvelle page de tes cahiers de cours et d exercices puis note sur chacun d eux «SÉQUENCE 3 : SYMÉTRIE CENTRLE». L activité de découverte de cette séquence s intitule «Qui a raison?». Ses différentes étapes te permettront de découvrir progressivement la symétrie centrale. Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Exercice 1 Qui a raison? En observant les figures suivantes, Delphine, Vincent et Jihanne affirment : F 1 X F 2 Delphine : Vincent : Jihanne : «La figure F 2 et la figure F 1 sont symétriques par rapport à une droite.» «La figure F 2 et la figure F 1 ne sont pas syméttriques par rapport à une droite.» Qui a raison? Rédige soigneusement tes réponses. «La figure F 2 et la figure F 1 sont symétriques mais pour m en rendre compte, j ai dû plier deux fois mon papier calque. Consigne : utilise du papier calque pour vérifier l affirmation de Jihanne. Dans l exercice suivant, que tu effectueras sur ton livret, nous allons faire une approche expérimentale de la symétrie centrale. Exercice 2 1- Regarde la figure ci-contre et effectue les trois étapes proposées ci-dessous. Les flèches oranges et vertes ne servent qu à faciliter l expérience que tu vas réaliser : elles ne sont pas un élément de la figure. 58 Cned, Mathématiques 5e

4 séance 1 Séquence 3 Étape 1 Étape 2 Étape 3 Pose une feuille de papier calque et reproduis par transparence la figure, avec un crayon de coulleur bleu et le point. Trace en orange et en vert les flèches. 2- Complète : L objectif est de faire tourner le calque autour de d un demitour exactement. Maintiens bien le calque dans sa position initiale, plante la pointe de ton compas sur à travers le calque et la feuille du livret. Fais tourner le calque. Tu auras fait un demi-tour exactement lorsque la flèche orange de ton calque se superposera exactement sur la flèche verte du modèle. Fixe le calque dans cette position sur ton livret avec du papier adhésif. a) La figure initiale et la figure sur calque sont-elles symétriques par rapport à la droite qui prolonge les deux flèches? UI - NN b) D après toi, par rapport à quel point ces deux figures sont-elles symétriques?.... Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous. Tu reproduiras la figure sur un calque que tu colleras dans ton cahier. j e retiens Découverte de la symétrie centrale Figures symétriques par rapport à un point Deux figures sont symétriques par rapport à un point si, en faisant tourner un calque d un demi-tour autour de, les deux figures se superposent exactement. Ici, les deux poissons sont symétriques par rapport au point. n dit également : Le poisson 2 est le symétrique du poisson 1 par rapport au point. Le poisson 1 est le symétrique du poisson 2 par rapport au point. 180 Effectue les deux exercices suivants directement sur ton livret. Cned, Mathématiques 5e 59

5 Séquence 3 séance 1 Exercice 3 Qui a raison? suite Voici trois figures : Figure 1 (c est la figure de l exercice 1) F 1 X F 2 Figure 2 Figure 3 Voici les affirmations de camarades : Delphine : Vincent : Jihanne : «Les deux formes de la figure 1 sont symétriques par rapport au point.» «Les deux feuilles ne sont pas symétriques par rapport au point.» «Les deux gouttes d eau sont symétriques par rapport au point.» Qui a raison? Tu justifieras tes réponses après avoir utilisé un calque comme dans l exercice Cned, Mathématiques 5e

6 séance 1 Séquence 3 Exercice 4 Construis le symétrique de chacune de ces deux figures par rapport au point. Tu n utiliseras cette fois pas de calque car le quadrillage te permet de faire les constructions. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. je comprends la méthode Construire le symétrique de la figure par rapport au point à l aide du quadrillage 2 carreaux vers le bas 1 carreau vers la gauche 1 carreau vers la droite 2 carreaux vers le haut 1- Je suis les lignes horizontales et verticales qui mènnent du point au point dont on veut construire le symétrique. 2- J effectue un déplaccement «dans le sens contraire» par rapport à pour obtenir le symétrique du point. 3- Je fais de même pour les trois autres points. 4- Je n ai plus qu à relier les quatre points obtenus. Effectue l exercice suivant directement sur ton livret. Cned, Mathématiques 5e 61

7 Séquence 3 séance 1 Exercice 5 Construis le symétrique de chacune de ces figures par rapport au point Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous. Tu reproduiras facilement la figure sur un calque que tu colleras dans ton cahier. j e retiens Centre de symétrie Une figure admet un centre de symétrie par rapport à un point si le symétrique de la figure par la symétrie de centre est la figure elle-même. Ici, la figure est symétrique par rapport au point : son symétrique par rapport à est elle-même. 62 Cned, Mathématiques 5e

8 séance 2 Séquence 3 Séance 2 Je construis le symétrique d un point par une symétrie centrale Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Exercice 6 La figure ci-dessous est symétrique par rapport au point. 1- a) Par rapport à, quel est le symétrique de? D de? de C? de D? b) Trace le segment [DD ]. Les points D, et D semblent-ils alignés? C (oui / non)... C' Mesure les longueurs D et D. Quel point semble être le milieu de [DD ]?... Trace le segment [CC ]. D' ' Quel point semble être son milieu? À l aide des constatations faites ci-dessus, que peux-tu dire d un point M, de son symétrique M par rapport à un point, et du point? Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le, ainsi que la figure, sur ton cahier de cours. j e retiens Symétrique d un point par rapport à une symétrie centrale Définition Dire que le point est le symétrique du point par rapport au point signifie que : les points, et sont alignés et que = Cela revient à dire que le point est le milieu du segment [ ]. ' ' Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Cned, Mathématiques 5e 63

9 Séquence 3 séance 2 Exercice 7 Marque un point sur ta feuille puis un point M. 1- Construis le symétrique M du point M par rapport au point, sans utiliser ta règle graduée. 2- Rédige un programme de ta construction. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous et retiens-le. je comprends la méthode Construire le symétrique d un point par rapport à un point ' ' Je trace la droite (). Je peux aussi me contenter de tracer la demi-droite [). Je pique la pointe de mon compas sur le point puis je prends l écartement qui corresppond à la longueur. Je reporte cette longueur sur la droite (), ou sur la demidroite [), à partir de mais «de l autre côté», de telle sorte que le point soit sur la droite () mais pas sur la demi-droite [). Pour cela, je garde la pointe du compas piquée en et je fais pivoter mon compas. Je trace un petit arc de cercle. Je nomme le point commun à ce petit arc de cercle et à la droite (). est le milieu de [ ] puisqque les points, et sont alignés et que =. et sont symétriques par rapport au point puisque est le milieu de [ ]. Effectue les trois exercices suivants directement sur ton livret. 64 Cned, Mathématiques 5e

10 séance 2 Séquence 3 Exercice 8 Les points M et M sont symétriques par rapport au point K. En utilisant la méthode précédente, construis celui qui manque, pour chacune des figures ci-dessous : Figure 1 Figure 2 M' K K M M Figure 3 MRT est un triangle équilatéral. S K Z R U T Exercice 9 Construis : le symétrique du point par rapport au point. C le symétrique du point par rapport à la droite (d). D le symétrique du point C par rapport à la droite (d ). E le symétrique du point D par rapport au point. (d) (d') ' Cned, Mathématiques 5e 65

11 Séquence 3 séance 3 Exercice 10 Complète : Le symétrique du point par rapport au point est le point.. Le symétrique du point D par rapport au point F est le point.. Le symétrique du point K par rapport au point D est le point.. Le symétrique du point K par rapport à la droite (d ) est le point.. K C D E L F M (d) Le symétrique du point M par rapport au point L est le point. G Le symétrique du point M par rapport à la droite (d) est le point.. H (d') Le symétrique du point H par rapport au point E est le point. Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Exercice 11 Trace un cercle Ω de centre K et de rayon 3,2 cm. 1- Marque un point sur le cercle Ω puis construis son symétrique par rapport au point K. 2- Démontre que K = K. 3- Démontre que est sur le cercle Ω. 4- Marque un point C sur le cercle Ω puis construis le point D qui a pour symétrique par rapport à K ce point C. Que peux-tu dire du point D? 5- Quel est le centre de symétrie du cercle Ω? Ne Justifie pas ta réponse. Séance 3 J étudie le symétrique d un segment par une symétrie centrale Maintenant que tu as appris à construire le symétrique d un point par une symétrie centrale, tu vas découvrir une propriété importante de la symétrie centrale. Effectue l exercice suivant directement sur ton livret. 66 Cned, Mathématiques 5e

12 séance 3 Séquence 3 Exercice 12 Qui a raison? suite Construis, sur la figure ci-dessous, les symétriques respectifs, et C des points, et C, par rapport au point. C Voici les conjectures de tes trois camarades (Rappel : une conjecture est une affirmation que l on pressent sans l avoir prouvée) : Delphine : Vincent : Jihanne : «n dirait que la distance de à est la même que celle de à.» «n dirait que la distance de à C est la même que celle de à C.» «n dirait que la distance entre deux points est la même que celle entre leurs symétriques par rapport à un même point.» Qui a raison? Pourquoi? Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le sur ton cahier de cours. j e retiens Conservation de la distance par une symétrie centrale Propriété : La distance entre deux points est la même que la distance entre leurs symétriques par rapport à un point. Ici, on a : =. ' Remarque : n dit que la symétrie centrale conserve les distances. n dit aussi que les distances sont invariantes par une symétrie centrale. n rappelle que la symétrie axiale conserve également les distances. ' Effectue l exercice suivant directement sur ton livret. Cned, Mathématiques 5e 67

13 Séquence 3 séance 3 Exercice 13 Qui a raison? suite 1- Construis les symétriques respectifs et des points et par rapport au point. 2- Place un point M sur le segment [] puis construis son symétrique M par rapport au point. Trace en bleu le segment [ ]. Que constates-tu pour les points, et M?... Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Exercice a) Trace un segment [KL] puis marque un point tel que (KL). b) Construis les symétriques respectifs K et L des points K et L par rapport au point. Trace enfin le segment [K L ]. c) Que peux-tu en déduire pour la distance K L? Démontre ce que tu affirmes. 2- a) Marque un point M sur le segment [KL]. b) D après l inégalité triangulaire, que peux-tu dire des distances KL, KM et ML? c) Construis le symétrique M de M par rapport à. d) Démontre que M [K L ]. Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous. j e retiens Symétriques de figures par une symétrie centrale Symétrique d un segment par une symétrie centrale Propriété : Le symétrique d un segment par rapport à un point est un segment. Ici, le symétrique, par rapport au point M, du segment [] est le segment [ ]. Propriété : Si deux segments sont symétriques par rapport à un point alors ils ont la même longueur. Ici = Lis attentivement le paragraphe suivant. ' ' 68 Cned, Mathématiques 5e

14 séance 3 Séquence 3 je comprends la méthode Construire le symétrique d un segment par rapport à un point 1-2- ' ' ' ' Je construis les symétriques respectifs et des extrémités et du segment [] par rapport au point M. Je trace le segment d extrémités et. Le symétrique du segment [] par rapport au point M est le segment [ ]. Effectue les trois exercices suivants sur ton cahier d exercices. Tu utiliseras un papier calque. Exercice Construis les symétriques de ces trois segments par rapport au point. Cas 1 E D Cas 2 F Cas 3 C Cned, Mathématiques 5e 69

15 Séquence 3 séance 3 2- Construis, pour chacun des trois cas, le milieu du segment et son symétrique par rapport à. Que remarques-tu? Exercice Construis le symétrique de la figure 1 par rapport au point. 2- Construis le symétrique de la figure par rapport au point K. K Exercice Construis un triangle EDF tel que ED = 4 cm, DEF = 35 et EDF = a) Construis le symétrique de ce triangle par rapport au point E. b) Construis le symétrique de ce triangle par rapport au point D. c) Construis le symétrique de ce triangle par rapport au point F. 70 Cned, Mathématiques 5e, 2008

16 Séance 4 séance 4 J étudie le symétrique d une figure simple par une symétrie centrale Séquence 3 Maintenant que tu as étudié le symétrique d un segment par rapport à un point, tu vas étudier le symétrique d une droite par rapport à un point puis d une demi-droite par rapport à un point. Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Exercice 18 Qui a raison? suite 1- Trace une droite ( ) et marque un point qui n appartient pas à ( ). 2- Marque trois points, et C sur la droite ( ) puis construis leurs symétriques respectifs, et C par rapport au point.» Voici les réactions de trois camarades : Delphine : Vincent : Jihanne : «Les points, et C «Non, ils ne le sont pas!» semblent alignés.» Qui a raison? Conseil : n ne demande pas de justifier, ici. «Seuls les points et sont alignés.» 3- Trace la droite ( ), nomme-la ( ). puis marque un point M sur cette droite. Construis le point N dont M est le symétrique par rapport à. Que constates-tu? n ne demande pas de justifier, ici. 4- Recopie et complète les conjectures suivantes : a) n dirait que le symétrique par rapport à de n importe quel point de la droite est sur la droite. b) n dirait que n importe quel point de la droite est le symétrique, par rapport à, d un point de la droite. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le, ainsi que la figure, sur ton cahier de cours. j e retiens Symétrique d une droite par une symétrie centrale Propriété : Le symétrique d une droite par rapport à un point ( ) est une droite. Si une droite ( ) est le symétrique d une droite ( ) par rapport à, Tout point de ( ) a pour symétrique, par rapport à, un point de ( ). Tout point de ( ) est le symétrique, par rapport à, d un point de ( ). Remarque : Le symétrique d une demi-droite est une demi-droite. Ici, le symétrique de [) est la demi-droite [ ). La propriété précédente signifie aussi que : «Des points alignés ont pour symétriques par rapport à un point des points qui sont, eux aussi, alignés». n dit que la symétrie centrale conserve les alignements de points. La symétrie orthogonale conserve,également, les alignements de points. ( ') ' ' ' Cned, Mathématiques 5e 71 '

17 Séquence 3 séance 4 Lis attentivement le paragraphe suivant. je comprends la méthode Construire le symétrique de la droite (xy) par rapport au point K x y K 1- x 2- x K y K y ' ' ' ' Il me suffit de choisir deux points de la droite (xy), par exemple et. Je les choisis éloignés l un de l autre pour que ma construction soit précise. Je construis leurs symétriques respectifs et par rapport au point K. Je trace la droite ( ). Cette droite ( ) est le symétrique de la droite (xy) par rapport au point K. Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Tu construiras les figures sur une feuille de papier calque que tu colleras sur ton cahier d exercices une fois que tu auras vérifié tes constructions sur le corrigé. Exercice Reproduis par transparence les trois figures ci-dessous puis construis le symétrique (d ) de la droite (d) par rapport au point K, dans chaque cas. K (d) 72 Cned, Mathématiques 5e

18 séance 4 Séquence 3 (d) K (d) K 2- Que constates-tu pour la dernière figure? n ne demande pas de justifier, ici. Effectue l exercice ci-dessous sur ton cahier d exercices. Exercice 20 Trace une droite (d) et place un point M tel que : M (d). 1- Construis le symétrique de la droite (d) par rapport au point M. Quelle conjecture fais-tu? 2- Construis le symétrique du point M par rapport à la droite (d). Nous allons maintenant essayer de démontrer quelle est la position relative d une droite et de son symétrique. Pour cela, effectue les deux exercices suivant sur ton cahier d exercices. Exercice 21 Trace une droite (d) et place un point tel que : (d). 1- a) Construis la droite (d ), symétrique de (d) par rapport au point. Nous allons démontrer que les droites (d) et (d ) sont parallèles. b) Place un point sur (d). Construis un point sur (d) tel que le triangle soit isocèle en. Construis et les symétriques respectifs de et par rapport au point. Trace ensuite le quadrilatère. 2- a) Démontre que les diagonales du quadrilatère ont le même milieu. b) Démontre que les diagonales du quadrilatère ont la même longueur. c) Démontre que (d) et (d ) sont parallèles. Lis attentivement le paragraphe suivant puis apprends-le. j e retiens Propriété : Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors ces deux droites sont parallèles. ( ) ' ( ') Ici () // ( ) ou encore ( ) // ( ) ' Cned, Mathématiques 5e 73

19 Séquence 3 séance 4 Effectue l exercice suivant directement sur ton livret. Exercice 22 Les droites (xy) et (x y ) sont parallèles. Quel est le symétrique de la demi-droite [Rx) par rapport à? x' R' y' x R Effectue les deux exercices suivants directement sur ton livret. y Exercice 23 Construis le symétrique (d ) de la droite (d) par rapport au point sans utiliser le compas ni la règle graduée. (d) ' Exercice 24 Le triangle C a été effacé. Es-tu capable de construire son symétrique C par rapport au point sans prolonger le tracé du triangle C? C 74 Cned, Mathématiques 5e

20 séance 5 Séquence 3 Séance 5 J étudie le symétrique d un cercle par une symétrie centrale. Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Exercice Trace un cercle Ω de centre et de rayon 3 cm. Marque cinq points,, C, D et E sur ce cercle puis marque un point S à 5 cm de. 2- Construis les symétriques respectifs,,, C, D et E des points,,, C, D et E par rapport au point S. Que remarques-tu? 3- a) Détermine les distances,, C, D et E. Justifie. b) Que peux-tu en déduire sur la position des points,, C, D et E? Justifie. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le sur ton cahier de cours. j e retiens Symétrique d un cercle par rapport à un point Propriété : Le symétrique d un cercle par rapport à un point est un cercle dont : le rayon est le même que celui du cercle initial le centre est le symétrique par la symétrie centrale, du centre du cercle initial. Ici, le cercle Ω, de centre et de rayon 3 cm, a pour symétrique par rapport au point M, le cercle Ω de centre et de rayon 3 cm. le point est le symétrique du point par rapport au point M. 3 cm Ω M Ω' 3 cm ' Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Tu construiras chacune des trois figures sur une feuille de papier calque que tu colleras sur ton cahier d exercices une fois que tu auras vérifié tes constructions sur le corrigé. Cned, Mathématiques 5e 75

21 Séquence 3 séance 5 Exercice 26 Trace le symétrique C du cercle C 1 par rapport à, le symétrique du cercle C 2 par rapport à et le symétrique du cercle C 3 par rapport à C. C 1 R C 2 C 3 S C Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Tu construiras à nouveau chacune des trois figures sur une feuille de papier calque que tu colleras sur ton cahier d exercices une fois que tu auras vérifié tes constructions sur le corrigé. 76 Cned, Mathématiques 5e

22 séance 5 Séquence 3 Exercice 27 Construis le symétrique de chacune des trois figures, respectivement par rapport à P, à, et à R. P C 1 1 C 2 R Effectue les deux exercices suivants directement sur ton livret. Cned, Mathématiques 5e 77

23 Séquence 3 séance 5 Exercice 28 n a représenté un cercle C et son symétrique C par rapport au point R. Construis à l aide d une règle non graduée uniquement le symétrique M du point M puis le symétrique N du point N, par rapport à R. C ' N M C R Exercice 29 Construis en bleu le symétrique de la figure noire par rapport au point. Consigne : tu n as le droit d utiliser que ta règle non graduée. Les cercles Ω 1, Ω 2, Ω 3 et Ω 4 sont concentriques. Cela signifie qu ils ont le même centre : le point. Ω 1 Ω 2 Ω 3 Ω 4 78 Cned, Mathématiques 5e

24 séance 6 Séquence 3 Séance 6 Je construis le symétrique d un angle Effectue l exercice suivant directement sur ton livret. Pour chaque question, tu reproduiras la figure sur du papier calque puis tu la complèteras au fur et à mesure sur ce calque. Tu colleras ensuite les deux calques complétés sur ton livret une fois que tu auras vérifié tes constructions sur le corrigé, après avoir terminé l exercice. Exercice 30 Dans toute la suite, on considère la symétrie centrale de centre. a) Consigne : Complète : Mesure : Construis les Le symétrique de C =... symétriques l angle C est respectifs [ ) et l angle... ' ' C' =... [ C ) des demidroites [) et [C). b) Consigne : Construis les symétriques respectifs [G x ) et [G y ) des demidroites [Gx) et [Gy). Complète : Le symétrique de l angle xgy est l angle... Mesure : Mesure : xgy =... x'g'y' =... Conjecture : Conjecture : x C G y Effectue l exercice suivant directement sur ton livret. Tu reproduiras la figure sur du papier calque puis tu la complèteras au fur et à mesure sur ce calque. Tu colleras ensuite le calque complété sur ton livret une fois que tu auras vérifié tes constructions sur le corrigé, après avoir terminé l exercice. Cned, Mathématiques 5e 79

25 Séquence 3 séance 6 Exercice 31 Construis le symétrique de l angle C par rapport au point D et le symétrique de l angle xfy par rapport au point H. x F H C D Tu complèteras la figure de l exercice suivant directement sur ton livret, mais tu rédigeras tes réponses sur ton cahier d exercices. y Exercice 32 Voici un triangle EU tel que : E = 3 cm, U = 3,7 cm, UE = 4,5 cm et un point S. S U E 1- Construis les symétriques respectifs E, et U des points E, et U par rapport au point S. 2- Que peux-tu affirmer sur les longueurs des côtés symétriques des deux triangles EU et E U? Justifie. 3- Les triangles EU et E U sont-ils superposables? Que peux-tu déduire sur les angles de ces triangles? Lis attentivement le paragraphe suivant puis apprends-le. j e retiens Symétrique d un angle par une symétrie centrale Propriété Le symétrique d un angle par rapport à un point est un angle de même mesure. Ici, comme les angles xy et x y sont symétriques par rapport au point, on peut en déduire que leurs mesures sont égales : xy = x y. y x ' y' x' 80 Cned, Mathématiques 5e

26 séance 6 Séquence 3 Effectue l exercice suivant sur ton livret. Exercice 33 Les points et sont les symétriques des points et par rapport au point. Construis à l aide d un rapporteur l angle x''' symétrique de x par rapport à. x Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. ' ' Exercice 34 a) Que peut-on dire d un angle qui est le symétrique d un angle droit par une symétrie centrale? b) Par une symétrie centrale, une droite (d) a pour symétrique ( ) une droite (d ) a pour symétrique ( ). Les droites (d) et (d ) sont perpendiculaires. Que peut-on dire des droites ( ) et ( )? Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Tu reproduiras la figure sur un papier calque. Exercice Quelle est la nature précise du triangle KLM? 2- Construis le symétrique K L M du triangle KLM par rapport au point N. 3- Quelle est la nature précise du triangle K L M? K N Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. L M Exercice 36 Par une symétrie centrale, une droite (d) a pour symétrique ( ) et une droite (d ) a pour symétrique ( ). De plus, les droites (d) et (d ) sont parallèles. a) Fais une figure. b) Démontre que ( ) et (d ) sont parallèles. c) Démontre que les droites ( ) et ( ) sont parallèles. Cned, Mathématiques 5e 81

27 Séquence 3 séance 7 Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous. j e retiens Symétriques de droites parallèles Symétriques de droites perpendiculaires Propriété Par une symétrie centrale, les symétriques de deux droites parallèles sont deux droites parallèles et les symétriques de deux droites perpendiculaires sont perpendiculaires. Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Tu reproduiras la figure sur un papier calque. Exercice 37 Construis le symétrique de la figure par rapport à sachant que : est le milieu de [C]. G [F]. G F E D Consigne : utilise autant que tu le peux les propriétés de la symétrie centrale, au lieu de la méthode traditionnelle de construction du symétrique d un point. C Conseil : utilise les indications ajoutées en bleu. Séance 7 Je reconnais et je construis des axes et des centres de symétrie n commence par rappeler qu une figure admet un centre de symétrie par rapport à un point si le symétrique de la figure par la symétrie de centre est la figure elle-même. Dans cette séance, tu vas apprendre à retrouver le centre de symétrie ou le(s) axe(s) de symétrie d une figure. Effectue les trois exercices suivants sur ton livret. 82 Cned, Mathématiques 5e

28 séance 7 Séquence 3 Exercice 38 Pour chacune des deux figures, le point est-il le centre de symétrie? Figure 1 Figure 2 E H F G ( : point d intersection des diagonales du carré EFGH) C Exercice 39 Parmi les figures ci-dessous, lesquelles admettent un centre de symétrie? Place alors le centre de symétrie sur la figure. Figure 1 Figure 2 Figure 3 Exercice 40 Sur chacune des figures ci-dessous, trace, sur ton livret, en bleu le(s) axe(s) de symétrie et marque le centre de symétrie en noir. Figure 1 Figure 2 Figure 3 Effectue l exercice ci-dessous sur ton cahier d exercices. Tu feras par contre les constructions directement sur ton livret. Cned, Mathématiques 5e 83

29 Séquence 3 séance 7 Exercice 41 Qui a raison? suite 1- Voici une figure qui admet un axe de symétrie. n veut construire cet axe. Voilà les réactions de trois camarades : Delphine : Vincent : Jihanne : «n prend deux points et on trace la perpendiculaire à la droite qui passe par ces deux points.» «Mais non! n prend deux points qui semblent syméttriques et on trace la perppendiculaire à la droite qui passe par ces deux points.» «Non, non! n plie la figure et on trace l axe sur la pliure.» Qui a raison? n ne demande pas de justifier. Et toi : que ferais-tu? Rédige, avec tes propres mots, une méthode pour construire l axe de symétrie puis construis-le. 2- Voici une figure qui admet un centre de symétrie. n veut construire ce centre. Voilà les réactions de tes trois camarades : Delphine : Vincent : Jihanne : «n trace le segment qui a pour extrémités un point et son symétrique puis on cherche le milieu de ce segmment.» Qui a raison? n ne demande pas de justifier. «Mais non! n prend deux points qui semblent syméttriques et on trace la perppendiculaire à la droite qui passe par ces deux points.» «Non, non! n trace un segment qui joint deux points qui semblent syméttriques et on refait la même chose avec deux autres points qui semblent symétriqques : ça suffit.» Et toi : que ferais-tu? Rédige, avec tes propres mots, une méthode pour construire le centre de symétrie puis construis-le. 84 Cned, Mathématiques 5e

30 séance 7 Séquence 3 Effectue les trois exercices ci-dessous directement sur ton livret. Exercice 42 La figure ci-dessous possède un centre de symétrie. Construis-le. Exercice 43 Complète la figure de telle façon qu elle admette le point comme centre de symétrie. G H F I E Exercice 44 Complète la figure de telle façon qu elle admette le point K comme centre de symétrie. Utilise autant que tu le peux les propriétés de la symétrie centrale, au lieu de la méthode traditionnelle de construction du symétrique d un point. L K N M Cned, Mathématiques 5e 85

31 Séquence 3 séance 8 Séance 8 J étudie la conservation du périmètre et de l aire par une symétrie centrale Effectue la construction de l exercice suivant sur une feuille de papier calque que tu colleras sur ton cahier d exercices une fois que tu l auras vérifiée sur le corrigé. Exercice Construis un triangle DEF rectangle en E tel que ED = 3 cm et EF = 5 cm. Construis ensuite le carré EFGH tel que : H [DE). Construis enfin le cercle C de diamètre [EF]. 2- a) Calcule l aire du triangle DEF. DEF b) Calcule le périmètre p EFGH et l aire EFGH du carré EFGH. c) Calcule la longueur l du cercle C. Donne la valeur exacte. 3- n considère la symétrie centrale de centre D. a) Construis DE F le symétrique du triangle DEF, le carré E F G H symétrique du carré EFGH et le cercle C, symétrique du cercle C. b) Calcule l aire du triangle DE F. DE F Calcule le périmètre p E F G H et l aire E F G H d) Calcule la longueur l du cercle C. 4- Que remarques-tu? Quelle conjecture peux-tu établir? du carré E F G H. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous, recopie-le et retiens-le bien. j e retiens Conservation des périmètres et des aires par une symétrie orthogonale ou centrale Propriété : Si deux figures sont symétriques, par rapport à un point, alors elles ont le même périmètre et la même aire. Ici, les deux figures sont symétriques par rapport au point, donc elles ont le même périmètre et la même aire. n dit que la symétrie centrale conserve les périmètres et les aires. n savait déjà depuis la sixième que la symétrie axiale conservait les périmètres et les aires. Nous savons maintenant qu il en est de même pour la symétrie centrale. Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton livret. 86 Cned, Mathématiques 5e

32 séance 8 Séquence 3 Exercice 46 La figure F 1 ci-dessous a une aire de 14 cm². 1- Construis : Le symétrique F 2 de la figure F 1 par rapport à. Le symétrique F 3 de la figure F 1 par rapport à P. Le symétrique F 4 de la figure F 2 par rapport à P. F 1 P 2- Calcule l aire de la figure composée par F 1, F 2, F 3 et F Exercice Calcule le périmètre p de la figure F ci-contre. Donne la valeur exacte. 1 cm Construis le symétrique F de cette figure par rapport au point S. 3- Quel est le périmètre de F? Prends ton cahier d exercice et effectue l exercice ci-dessous. F S Exercice Le triangle C est tel que C = 4 cm, C = 90 et C = C. a) Quelle est la nature exacte du triangle C? b) Construis le triangle C. c) Calcule l aire S du triangle C. 2- a) Construis le symétrique de par rapport à la droite (C) et le symétrique de par rapport à la droite (C). b) Quelle est la nature exacte des triangles C et C? c) Quel est le symétrique du triangle C par rapport au point C? d) Détermine ensuite la nature exacte de ce symétrique. 3- Trace en bleu le quadrilatère. a) Quelle est sa nature? b) Calcule son aire S. Cned, Mathématiques 5e 87

33 Séquence 3 séance 9 Séance 9 J effectue des exercices de synthèse Effectue l exercice ci-dessous sur ton cahier d exercices. Tu complèteras cependant la figure directement sur ton livret. Exercice 49 Voici huit figures nommées 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8. 8 C 1; Voici un modèle : «Les figures 1 et 8 sont symétriques par rapport au point C 1 ; 8». Rédige sept phrases sur le modèle : «Les figures... et.. sont symétriques par rapport...». Tu indiqueras sur la figure les points ou les droites qui sont centres ou axes de symétrie. Pour t y retrouver plus facilement, tu peux par exemple nommer (d 7 ; 6 ) ou(d 6 ; 7 ) l axe de symétrie des figures 6 et 7, ou comme dans l exemple C 1 ; 8 le centre de symétrie des figures 1 et 8. Effectue l exercice ci-dessous sur ton cahier d exercices. Exercice Construis le triangle MT tel que M = 4 cm, T = 5 cm et TM = 6 cm. 2- Construis le cercle C circonscrit au triangle MT. Nomme son centre. 3- Construis les symétriques respectifs M, et T des points M, et T par rapport au point. Trace en bleu le triangle M T. 4- Quel est le cercle circonscrit au triangle M T? Justifie ta réponse. Effectue l exercice suivant directement sur ton livret. 88 Cned, Mathématiques 5e

34 séance 9 Séquence 3 Exercice 51 En observant la figure ci-dessous, mets une croix dans les cases du tableau lorsque tu es d accord avec la phrase proposée. (Δ) et (Δ ) () et (C) (Δ) et (xy) [) et [C) [C) et [E) sont symétriques par rapport à la droite (d) au point au point ( ) (d) C ( ') E x y Cned, Mathématiques 5e 89

35 Séquence 3 séance 9 Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement les questions et coche directement la ou les réponses justes sur ton livret. Une fois le test effectué, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses. je m évalue 1- Coche les phrases vraies : figure 1 (d) figure 3 figure 2 figure 4 (d) 2- Coche les phrases vraies : Si est le milieu de [C], alors et C sont symétriques par rapport au point. Si et sont symétriques par rapport à la droite (d), alors (d) est la médiatrice du segment []. Si les segments [] et [CD] sont symétriques par rapport à une droite, alors les droites () et (CD) sont parallèles. Un cercle possède une infinité de centres de symétrie. (d) est un axe de symétrie de la figure 1. (d) est un axe de symétrie de la figure 2. est un centre de symétrie de la figure 3. est un centre de symétrie de la figure Deux figures F et F sont symétriques par rapport à une droite (Δ). Quel est le symétrique du symétrique de F par rapport à (Δ)? F F n ne peut pas le savoir. 5- Par une symétrie centrale : Le symétrique d une droite est une droite parallèle. Le symétrique d un cercle est un cercle de même rayon. Le symétrique d un angle est un angle de même mesure. Le symétrique d un carré est un carré. 4- Deux figures F et F sont symétriques par rapport à un point. Quel est le symétrique du symétrique du symétrique de F par rapport à? F F n ne peut pas le savoir. 6- Quelle propriété ci-dessous n est pas vérifiée à la fois par la symétrie centrale et la symétrie axiale? La conservation des angles La conservation des longueurs La conservation du parallélisme Le symétrique d une droite est une droite parallèle. 90 Cned, Mathématiques 5e

36 séance 9 Séquence 3 je m évalue (suite) 7- Un rectangle possède-t-il un centre de symétrie? ui. Le centre de symétrie est un des sommets. Non. ui. Le point d intersection de ses diagonales est un centre de symétrie. ui. Le point d intersection des médiatrices de deux de ses côtés consécutifs est un centre de symétrie. 9- Un cercle C de rayon 5 cm a pour symétrique par rapport à un point un cercle C. Le cercle C a environ pour longueur : 3,14 cm 10 cm 5 cm 31,4 cm 8- Un triangle équilatéral possède-t-il un centre de symétrie? ui. Le centre du cercle circonscrit au triangle. Non. ui. Un de ses sommets est centre de symétrie. ui. Le point d intersection des médiatrices de deux de ses côtés consécutifs est un centre de symétrie. 10- C est un triangle équilatéral dont l aire est de 10 cm 2. D et E sont les symétriques respectifs de et par rapport à C. F et G sont les symétriques respectifs de D et C par rapport à E. Quelle est l aire de la figure obtenue? 90 cm 2 10 cm 2 30 cm 2 29,97 cm 2 Cned, Mathématiques 5e 91