MATHS VUIBERT. Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés
|
|
- Brigitte Gascon
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 VUIBERT MÉTHODES EXERCICES PROBLÈMES MATHS ECE 2 e année Tout le programme Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés B. Bourgeois F. Delaplace F. Fortain
2
3 Table des matières Retrouvez sur le site à la page du livre, des annexes (Lois usuelles et Scilab), des contenus numériques ainsi que des exercices complémentaires. Chapitre 1. Rappel de calculs algébriques Calcul matriciel 1 2. Sommes et produits 2 3. Séries 3 4. Limites 4 5. Calcul intégral 5 6. Représentations graphique de fonctions 6 Exercices 8 1. Calcul matriciel 8 2. Sommes et produits et séries 9 3. Séries Limites Calcul intégral Représentations graphiques de fonctions 12 Corrigés 15 Chapitre 2. Espaces vectoriels Espace vectoriel Sous-espace vectoriel de E Matrice d une famille de vecteurs 44 Exercices 46 Corrigés 50 Chapitre 3. Applications linéaires Applications linéaires Matrice d une application linéaire Rang d une application linéaire Isomorphisme entre (E, F ) et n,m ( ) 69 Exercices 70 Corrigés 74 Chapitre 4. Réduction des endomorphismes Éléments propres et réduction d un endomorphisme Éléments propres et réduction des matrices 90 Exercices 92 Corrigés 96 Chapitre 5. Suites et séries Compléments Négligeabilité Équivalents Théorème du point fixe Séries à termes positifs 118 Exercices 119 Corrigés 122 Chapitre 6. Comparaisons et développements Négligeabilité Équivalents Développements limités 138 Exercices 140 Corrigés 143 Chapitre 7. Intégrales impropres Valeur d une intégrale impropre convergente Intégrales de référence Intégrales absolument convergentes Changement de variable 157 Exercices 158 Corrigés 162 Chapitre 8. Couples et vecteurs aléatoires Couples aléatoires Vecteurs aléatoires 183 Exercices 184 Corrigés 187 Chapitre 9. Fonctions de deux variables (1) Généralités Continuité et discontinuité en un point Dérivées partielles d ordre 1 en un point 200 Exercices 201 Corrigés 204 Chapitre 10. Fonctions de deux variables (2) Dérivées partielles d ordre Développement limité d ordre Exercices 218 Corrigés 221 III
4 Table des matières Chapitre 11. Variables à densité Variables aléatoires à densité 237 Exercices 239 Corrigés 244 Chapitre 12. Convergences et approximations Convergence en probabilité Convergence en loi 262 Exercices 263 Corrigés 267 Chapitre 13. Estimateurs, estimations Estimateurs et estimations Suites d estimateurs 280 Exercices 282 Corrigés 287 IV
5 MÉTHODE 1. Négligeabilité 5Chapitre Suites et séries Compléments Définition 5.1. Une suite (u n ) est négligeable devant une suite (v n ) s il existe un entier n 0 et une suite (ε n ) n n 0 convergente de limite 0 telle que (u n ) n n 0 = (v n ɛ n ) n n 0. On note u n = + o(v n ) ou, plus simplement, u n = o(v n ). Si (u n ) est négligeable devant (v n ) et si (v n ) est une suite où tous les termes sont non nuls à u n partir d un certain rang ( N, n N, v n 0) alors : lim = 0. n + v n Propriétés 5.1. Si la suite (v n ) est convergente, et si (u n ) = o(v n ), alors lim(u n ) = 0. Si (u n ) = o(v n ) et (v n ) = o(w n ) alors (u n ) = o(w n ). Si (u n ) = o(w n ) et (v n ) = o(w n ) alors (u n + v n ) = o(w n ). Si (u n ) = o(v n ) alors (λ u n ) = o(v n ) et, si λ 0, (u n ) = o(λv n ). Si (u n ) = o(w n ) et (v n ) = o(t n ) alors (u n w n ) = o(w n t n ). Si (u n ) = o(v n ) et lim(v n ) = b alors (u n + v n ) converge et lim(u n + v n ) = b. o(v n +o(v n )) = o(v n ). Croissances comparées On utilisera ici la notation (u n ) (v n ) pour dire que (u n ) = o(v n ). On a les comparaisons suivantes, au voisinage de + : 2. Équivalents (α,β,γ) [0,+ [ [0,+ ( ]1,+ [, (ln n) α n β γ n n! Définition 5.2. Une suite (u n ) est équivalente à une suite (v n ) s il existe un entier n 0 et une suite (ɛ n ) n n 0 convergente de limite 1 telle que (u n ) n n 0 = (v n ɛ n ) n n
6 Mathématiques ECE 2 e année On note (u n ) + (v n ) et parfois, par abus d écriture, u n + v n ou simplement u n v n. Si (u n ) est équivalente à (v n ), suite où tous les termes sont non nuls à partir d un certain u n rang ( N, n N, v n 0), alors : lim = 1. n + v n Propriétés 5.2. Si u n est convergente de limite l alors on a l implication : (u n ) (v n ) (v n ) converge et lim n + (v n) = l. On a l équivalence si l 0. Si (u n ) (w n ) et (v n ) (t n ) alors (u n v n ) (w n t n ). Si (u n ) (w n ), (v n ) (t n ) et (v n ) ne s annule pas au voisinage de +, alors u n w n. v n t n Si (u n ) (w n ) alors, pour toute valeur de α où u α n et w α n existent au voisinage de +, on a u α n w α n. Si (u n ) (w n ) et (v n ) = o(w n ) alors (u n + v n ) (w n ). Équivalents de référence Soit (u n ) une suite convergente de limite 0. α > 0, (1 + u n ) α 1 αu n ; e u n 1 u n ; ln(1 + u n ) u n. 3. Théorème du point fixe Soit (u n ) une suite de la forme u n+1 = f (u n ). Si f est une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans I, si (u n ) est une suite convergente de limite l, et si f est continue en l alors l est une racine de l équation f (x) = x. 4. Séries à termes positifs On dit qu une série u n est à termes positifs (à partir d un certain rang), s il existe un rang N à partir duquel tous les termes de la suite (u n ) sont positifs. Critères Comparaisons : si u n et v n sont deux séries à termes positifs telles que, à partir d un certain rang N, 0 u n v n alors : 1. si u n diverge, alors v n diverge. 2. si v n converge, alors u n converge. Équivalence : si u n et v n sont deux séries à termes positifs telles que u n v n, + alors les deux séries sont de même nature. Négligeabilité : si u n et v n sont deux séries à termes positifs telles que u n et v n converge, alors la série u n converge. o(v n ) n + 118
7 Exercices Suites et séries Compléments Exercices guidés Exercice A (20 min.) 1) Montrer que l équation x e x = n admet une unique solution réelle, pour tout entier naturel n non nul, notée u n. 2) Montrer que u n ln n. 3) Déterminer un équivalent simple au voisinage de + de u n ln n. Exercice B (20 min.) On considère la suite (u n ) définie sur par : u 0 > 0; n, u n+1 = 1 + u n 2. 1) Vérifier que la suite (u n ) est bien définie. 2) Étudier la convergence de la suite (u n ). 3) Montrer que u n n au voisinage de +. Exercice C (20 min.) n! Soit a un réel positif. On considère la série de terme général u n = Π n k =1 (k + a ), n. 1) On suppose que 0 a 1. Montrer que la série de terme général u n est divergente. n 2) On suppose dans toute la suite du problème que a > 1. On pose S n = Etablir que pour n 2, S n 1 = 1 a 1 n + a a 1 u n. 3) Montre alors que la série de terme général u n est convergente. 4) Calculer la somme de cette série. Exercices k =1 u k Exercice 1 (10 min.) Déterminer un équivalent simple de la suite (u n ). 1) n, u n = (n + 3 ln n)e n 1 2) n, u n = ln(n 2 + 1) n + 1 Exercice 2 (10 min.) Étudier la convergence des séries de terme général u n dans chacun des cas suivants : 1) u n = 2 n ) u 1 n n = n + n. 3) u n = 1 ln n. 119 EXERCICES
8 Mathématiques ECE 2 e année Exercice 3 2) u n = ln n n 2. (10 min.) Étudier la convergence des séries de terme général u n dans chacun des cas suivants : 3 1) u n = 4 + n. 3) u n = e 1 n n. Exercice 4 (15 min.) 4) u n = ln n e n. On considère la suite définie par son premier terme u 0 strictement positif et la relation de u n récurrence : n, u n+1 = u n 2 + u n + 1 1) Vérifier que la suite (u n ) est bien définie. 2) Étudier le sens de variations de la suite (u n ). 3) Montrer que la suite (u n ) est convergente. 4) Déterminer la valeur de la limite de la suite (u n ). Exercice 5 (15 min.) On considère la suite (u n ) définie par son premier terme u 0, tel que u 0 > 0 et u 0 1 et la 3 relation de récurrence : n, u n+1 = 1 + 2u n 2 1) Montrer que la suite (u n ) est bien définie et que, n, 0 u n 3, u n 1. 2) Montrer que les suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) sont monotones ; en déduire qu elles sont convergentes. 3) Montrer que si la suite (u n ) convergeait, sa limite ne pourrait être que ) En considérant la dérivée de la fonction définie sur par f (x ) = en 1, déterminer 1 + 2x 2 la limite quand n tend vers + de u n+1 1 u n 1. 5) En déduire que la suite (u n ) diverge et conclure. Exercice 6 (10 min.) On considère la série de terme général u n telle que, pour tout entier naturel n, 0 u n < 1. Montrer que les séries de terme général u n et v n = ln(1 + u n ) sont de même nature. Exercice 7 (10 min.) Étudier la nature de la série de terme général u n = ln sa somme. Exercice 8 (10 min.) 1 1n 2 et, si elle converge, calculer Déterminer selon la valeur du réel x la nature de la série de terme général u n = (2 n 1)x n. Exercice 9 (15 min.) On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et n, u n+1 = u n e u n. 1) Déterminer la nature de la suite (u n ). 120
9 Chapitre 5 Suites et séries Compléments 2) Déterminer la nature de la série de terme général u n Exercice 10 (20 min.) Soit (v n ) une suite réelle décroissante et de limite nulle. On pose, pour tout entier naturel n, u n = ( 1) n v n et S n = n u k. 1) Montrer que les suites (S 2n ) et (S 2n+1 ) sont adjacentes. 2) En déduire que la série de terme général u n est convergente. 3) On note S la somme de cette série. Montrez que n,s 2n+1 S S 2n. 4) Montrer enfin que n, S S n v n+1. 5) Étudier la nature des séries de termes général : u n = ( 1)n ln n n Exercices SCILAB Exercice S1 (10 min.) k =0 et v n = ( 1) n ( n + 1 n). Soit (u n ) la suite arithmético-géométrique définie pour tout entier naturel n par : u 0 = 2, u n+1 = 1 3 u n ) En utilisant les instructions plot2d et plot2d2, écrire un programme pour obtenir la représentation graphique suivante : On codera la grille en vert (code couleur 3), la première bissectrice en fuchsia (code couleur 6), la courbe en bleu-ciel (sky blue) et l épaisseur du trait sera 2. 2) Que représente la ligne brisée d origine ( 2, 0)? Que peut-on conjecturer sur les variations de la suite, sur sa nature? 3) Justifier votre conjecture. Exercice S2 (5 min.) Soit (u n ) la suite arithmético-géométrique définie pour tout entier naturel n par : u 0 = 2, u n+1 = 1 3 u n En utilisant les instructions plot2d et plot2d2, écrire un programme pour obtenir la représentation graphique suivante : 121 EXERCICES
10 Corrigés Suites et séries Compléments Corrigés des exercices guidés Exercice A Ce sujet est consacré à la recherche d équivalents dans l étude d une suite définie implicitement comme solution d une équation. 1) Méthode 1 Bien que l étude de ce type de suite ne soit pas exigible, elle apparaît fréquemment dans les sujets de concours et il convient de bien mémoriser la démarche. Tout repose sur le théorème de bijection. Mais attention, ici, il est essentiel dans un premier temps d observer l équation proposée pour voir qu un raisonnement par disjonction des cas permettra de simplifier de manière considérable la démonstration. On peut tout d abord remarquer que si x < 0, alors x e x < 0. Donc, comme n 1, l équation x e x = n n admet aucune solution sur. On considère maintenant la fonction f définie sur + par f (x) = x e x. Cette fonction est clairement strictement croissante sur + avec f (0) = 0 et lim f (x ) = +. x + Donc f réalise une bijection de + dans lui même et comme n +, l équation f (x) = n admet une unique solution dans +. On peut aussi noter que comme f (0) = 0, 0 n est pas solution de l équation proposée. En conclusion, l équation x e x = n admet une unique solution réelle, pour tout entier naturel n non nul, notée u n, avec u n > 0. 2) Méthode 2 Pour montrer que deux suites (u n ) et (v n ) sont équivalentes au voisinage de +, plusieurs démarches sont possibles. On peut montrer que le quotient u n v n a pour limite 1 en + ou travailler avec les équivalents usuels et les opérations autorisées sur les équivalents. On peut aussi utiliser le lien entre équivalents et négligeabilité. On remarque ici que l expression demandée comporte un ln n, ce qui sous-entend de commencer par modifier l équation donnée. D après la première question, on peut dire que u n e u n = n. 122
11 Chapitre 5 Suites et séries Compléments Toutes ce quantités étant strictement positives, on peut donc en déduire que ln u n + u n = ln n On cherche maintenant à déterminer la limite de la suite (u n ) en + : On a, avec les notations introduites à la première question, f (u n ) = n et f définit une bijection de + dans lui même telle que lim f (x) = +. Par suite, f admet une application x + réciproque notée f 1 telle que lim f 1 (x) = +. x + On a donc, comme u n = f 1 (n), lim u n = +. n + En utilisant les négligeabilités usuelles, on peut écrire qu au voisinage de +, ln u n = o(u n ). Ce qui permet ensuite d en déduire que ln u n + u n u n. On peut alors conclure que u n ln n. 3) Méthode 3 Cette dernière question est plus difficile que la précédente car elle est ouverte : le sujet ne propose par de réponse. Il convient donc de construire nous même un équivalent pour u n ln n. On pourrait formuler une conjecture puis démontrer que cette conjecture est correcte en utilisant une des démarches proposées en question 2. On rappelle qu on ne peut pas additionner les équivalents ni les composer. On a démontré à la question précédente qu au voisinage de +, u n ln n. On sait aussi d après cette même question que ln u n + u n = ln n ce qui peut aussi s écrire ln n u n = ln u n. ln u n Commençons par nous intéresser au quotient ln(ln n). ln u n u n 2, ln(ln n) = ln n ln n ln n Or, comme u n ln n, on a Comme de plus lim n + On a donc ln u n ln(ln n). u n ln u ln n n 2, ln(ln n) = 1 + ln n ln(ln n) lim n + u n ln n = 1 d où lim ln u n n + ln n = 0. ln n = +, il en résulte que lim n + Or ln u n = ln n u n. Il en résulte que ln n u n ln(ln n). ln u n ln(ln n) = 1. Exercice B On considère la suite (u n ) définie sur par : u 0 > 0; n, u n+1 = 1 + u 2 n. L objet de cet exercice est l étude d une suite définie par son premier terme et une relation de récurrence de la forme u n+1 = f (u n ). On y trouve les deux questions très classiques : montrer que la suite est bien définie et l étude de la convergence. 123 CORRIGÉS
12 Mathématiques ECE 2 e année 1) Méthode 1 La question de la bonne définition de la suite se traite à l aide d un raisonnement par récurrence puisque, en raison du mode de définition, chaque terme de la suite est généré à partir du terme précédent. A l intérieur de cette récurrence, on se propose aussi soit d encadrer les termes de la suite, soit de minorer soit de majorer. On pose P n : u n existe et u n > 0. Par hypothèse, u 0 existe et u 0 > 0, ce qui établit P 0. Soit n un entier naturel tel que P n. On sait alors que u n existe et u n > 0. Il en résulte de manière immédiate que u 2 n + 1 est bien défini et strictement positif donc u n+1 existe et u n+1 > 0, ce qui établit P n+1. On peut donc en conclure par un raisonnement par récurrence que la suite (u n ) est bien définie et que tous ses termes sont strictement positifs. 2) Méthode 2 Tout cette question repose sur le théorème du point fixe : si la suite (u n ) est définie par une relation de récurrence du type u n+1 = f (u n ), et si la suite (u n ) converge vers une limite L, alors L est un point fixe de f. On notera qu il est nécessaire de montrer que la suite (u n ) converge pour pouvoir ensuite conclure ; ceci pourra se faire par le théorème de convergence monotone. On pourra aussi remarquer que si la fonction f ne possède pas de point fixe, la suite (u n ) ne pourra pas être convergente... On commence par s intéresser aux éventuels points fixes de la fonction f définie pour tout x strictement positif par f (x) = x Comme on travaille sur +, f (x) = x x = x 2. Cette équation n admet pas de solution donc la fonction f n a pas de point fixe. On peut donc en déduire que la suite (u n ) ne peut pas converger. On s intéresse au sens de variation de (u n ). n, u 2 n+1 u 2 n = 1 On peut donc en déduire que n, u 2 n+1 > u 2 n et puisque la suite (u n) a tous ses termes strictement positifs d après la première question, u n+1 > u n. Il en résulte que la suite (u n ) est strictement croissante. Or, d après le cours, une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée. Si la suite est croissante non majorée, alors elle diverge vers +. Étant donné que la suite (u n ) n est pas convergente, on en déduit qu elle n est pas majorée. lim u n = + n + 124
13 Chapitre 5 Suites et séries Compléments 3) Méthode 3 Le terme général de la suite u n n étant pas connu, il semble difficile de lui trouver directement un équivalent. On commence par observer les résultats précédents et, en particulier, l égalité vérifiée par deux termes consécutifs de la suite (u 2 n ) ; on obtient ainsi une propriété très intéressante de cette suite qui va permettre de débloquer la situation. Se souvenir que lorsqu on n a pas de piste, il convient de passer en revue toutes les hypothèses et les résultats antérieurs! On a montré à la question précédente que n, u 2 n+1 u 2 n = 1. Ceci nous permet d affirmer que la suite de terme général u 2 n est une suite arithmétique de raison r = 1. On peut donc donner l expression de son terme général en fonction de n : On montre alors que u 2 n n. En effet, n, u 2 n n = 1 + u 2 0 n. On en déduit que lim n + u 2 n n = 1. n, u 2 n = u n. Comme on a prouvé que tous les termes de la suite (u n ) étaient positifs, on peut en déduire, en utilisant les opérations sur les équivalents que u n n au voisinage de +. Exercice C Cet exercice, très complet, permet de travailler tous les savoir-faire exigibles sur les séries : critère de comparaison des séries à termes positifs, calcul de la somme de la série. n! Soit a un réel positif. On considère la série de terme général u n = n k =1 (k + a ), n. 1) Méthode 1 Pour montrer que la série de terme général u n est divergente, étant donné que c est une série à termes positifs, on minore son terme général par le terme général d une série divergente. On pourra ensuite appliquer le critère de comparaison des séries à termes positifs. Bien que cela puisse sembler évident, on pensera à mentionner sur sa copie que la série est à termes positifs. On suppose que 0 a 1. On travaille par encadrements successifs : On sait par hypothèse que 0 a 1. On peut donc en déduire que : k, k k + a k + 1 On multiplie membre à membre ces inégalités entre nombres positifs : 125 CORRIGÉS
14 Mathématiques ECE 2 e année n n n k, k (k + a ) (k + 1) k =1 Ce qui peut aussi s écrire : k, n! On en déduit que k =1 k =1 n (k + a ) (n + 1)!. k =1 n! (n + 1)! n! n k =1 (k + a ). Soit finalement n 1, n + 1 u n. Or, n 1, u n > 0, > 0, on peut donc appliquer le critère de comparaison des séries à n termes positifs. Etant donné que la série de terme général est divergente (on rappelle n que n et que la série harmonique est divergente ), on peut en conclure que la série n de terme général u n est divergente. n On suppose dans toute la suite du problème que a > 1. On pose S n = u k. 2) Méthode 2 Ce résultat s établit par récurrence ; pas de difficultés sur le fond mais des calculs à mener astucieusement, y compris pour la phase d initialisation, qui, pour une fois, n est pas évidente. On pose P n : S n 1 = 1 a 1 n + a a 1 u n On initialise la récurrence pour n = 2 : Pour n = 2, on a d une part, S 1 = u 1 = a et d autre part 1 a a a 1 u 2 = a 1 a + 1 En simplifiant on trouve bien a soit S 1 ce qui établit P 2. Hérédité : Soit n, n 2 tel que P n. On a donc S n 1 = 1 a 1 n + a a 1 u n. Or, par définition, S n = S n 1 + u n. On en déduit que S n = 1 a 1 n + a a 1 u n + u n S n = 1 a 1 u n k =1 n + a a 1 1 Or, d après la définition du terme général de (u n ), on a la relation u n = u n+1 n a n + 1. On peut alors remplacer dans la formule précédente et il vient : S n = 1 a 1 n a a 1 u n+1 ce qui établit P n+1 et achève le raisonnement par récurrence. 3). 126
15 Chapitre 5 Suites et séries Compléments Méthode 3 Il existe différentes méthodes pour montrer qu une série converge mais, compte tenu de la question précédente, où on a demandé le calcul de la somme partielle d ordre n, il semble clair qu il faut s appuyer sur la définition d une série convergente : la série de terme général u n converge si et seulement si la suite (S n ) converge. Se pose alors la question de savoir quelle méthode utiliser pour montrer que la suite (S n ) converge. Dans le cas d une série à termes positifs, la série converge si et seulement si la suite (S n ) est majorée en effet, dans ce cas, il est clair que la suite (S n ) est croissante. On pourra alors appliquer le théorème de convergence monotone. On considère la suite (S n ) des sommes partielles de la série de terme général u n. Comme la série est à termes positifs, la suite (S n ) est croissante. Montrons qu elle est majorée. D après la question précédente, S n = 1 a 1 n a a 1 u n+1. Or, n a a 1 u 1 n+1 0. On peut donc en déduire que la suite (S n ) est majorée par a 1. La suite (S n ) est croissante et majorée ; donc, d après le théorème de convergence monotone, elle converge. La série de terme général u n est convergente. 4) Méthode 4 D après le cours, la somme de la série de terme général u n est la limite de la suite (S n ). Comment déterminer cette limite? Une recherche directe ne semble pas possible. On peut d après la question précédente donner une majoration de la limite de (S n ). Un raisonnement par l abssurde nous permettra ensuite de conclure. On a prouvé à la question précédent que la suite (S n ) converge vers une limite L. Comme 1 cette suite est majorée par, le théorème de compatiblité de l ordre et de la limite nous a 1 donne L 1 a 1. Montrons que si L < 1, on obtient une contradiction. a 1 La formule obtenue à la question 2 peut aussi s écrire : n + a a 1 u n = 1 a 1 S n 1. Comme la suite (S n ) converge vers L, on a aussi lim n + n + a a 1 u n = 1 a 1 L. On pose M = 1 L ; étant donné notre hypothèse de départ, M > 0. a 1 On en déduit que n + a a 1 u n M. D où u n M a 1 n + a u n M a 1 n. 127 CORRIGÉS
16 Mathématiques ECE 2 e année Les séries de terme général u n et M a 1 sont à termes positifs ; d après le critère des n équivalents des séries à termes positifs, ces deux séries sont de même nature. Or la série de terme général 1 n est divergente (série harmonique) ; donc la série de terme général u n diverge ce qui est faux. On peut donc en conclure que + n=1 u n = 1 a 1. Corrigés des exercices Exercice 1 1) n, u n = (n + 3 ln n)e n 1. On peur remarquer qu au voisinage de +, ln n = o(n) donc n + 3 ln n n. On en déduit que, au voisinage de +, u n n e. n+1 2) n, u n = ln(n 2 + 1). n + 1 On a, au voisinage de +, (n + 1) n n 2 On transforme le numérateur en 2 ln n + ln Au voisinage de +, u n 2 ln n n.. Exercice 2 1) u n = 2 n n. u n est la somme d une série divergente (on rappelle que la série harmonique diverge) et d une série géométrique convergente ( car 1 < 1 < 1) donc cette série est divergente ) u n = n + n. On remarque que n + n n donc u n 1 n. De plus, la série de terme général u n et la série harmonique sont deux séries à termes positifs ; elles sont donc de même nature d après le critère des équivalents des séries à termes positifs ; comme la série harmonique est divergente, alors u n est aussi divergente. Exercice 3 3 1) u n = 4 + n. Au voisinage de +, u n 3 n. 1/2 1 Or la série de Riemann de terme général est divergente donc, d après le critère des n 1/2 128
17 Chapitre 5 Suites et séries Compléments équivalents sur les séries à termes positifs, on peut en déduire que u n est aussi divergente. 2) u n = ln n n. 2 1 Au voisinage de +, u n = o. n 3/2 1 La série de Riemann de terme général est convergente, donc d après le critère de n 3/2 négligeabilité pour les séries à termes positifs, u n est aussi convergente. 3) u n = e 1 n n. e 1 n 1 donc u n 1 n D après le critère des équivalents sur les séries àtermes positifs, les deux séries sont de même nature ; or la série harmonique diverge donc u n est aussi divergente. 4) u n = ln n e. n 1 On montre que u n = o n 2 1 La série de Riemann de terme général est convergente, donc d après le critère de négligeabilité pour les séries à termes positifs, u n est aussi n 2 convergente. Exercice 4 On considère la suite définie par son premier terme u 0 strictement positif et la relation de u n récurrence : n, u n+1 = u n 2 + u n ) Soit n, on pose P n : u n existe et u n > 0». Pour n = 0 : On sait par hypothèse que u 0 existe et est strictement positif ce qui établit P 0. Hérédité : Soit n un entier naturel tel que P n. Sachant P n, u n existe et u n > 0, donc u 2 n + u u n n et le quotient u n 2 + u existe donc n + 1 u n+1 existe et, de plus, est strictement positif, ce qui établit P n+1. On a donc démontré par un raisonnement par récurrence que la suite (u n ) est bien définie et que tous ses termes sont strictement positifs. 2) Puisque tous les termes de la suite (u n ) sont strictement positifs, considérons le quotient u n+1 : n, u n+1 1 = u n u n u n 2 + u n + 1. D après la première question, on a donc n, u n+1 < 1. u n On en déduit que la suite (u n ) est décroissante. 3) La suite (u n ) est décroissante et minorée par 0 donc, d après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite L. De plus, d après le théorème de compatibilité de l ordre et de la limite, on a L 0. 4) La suite (u n ) est définie par son premier terme et une relation de la forme u n+1 = f (u n ) x avec f (x) = pour x 0. x 2 + x CORRIGÉS
18 Mathématiques ECE 2 e année Elle converge vers une limite L et f est continue en L (fonction rationnelle continue sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition). D après le théorème du point fixe, on peut en déduire que L est un point fixe de f, c est à dire L est solution de l équation f (x) = x. f (x) = x x x 2 + x + 1 = x f (x) = x L(L + 1) = 0 f (x) = x L = 0 ou L = 1 Comme on a vu que L 0 on peut donc conclure que la suite (u n ) converge vers 0. Exercice 5 On considère la suite (u n ) définie par son premier terme u 0, tel que u 0 > 0 et u 0 1 et la 3 relation de récurrence : n, u n+1 = 1 + 2u n 2 1) On peut commencer par étudier la fonction f définie sur + 3 par f (x) = 1 + 2x. Cette 2 fonction rationnelle est définie et dérivable sur + et x +, f x) = 12x 1 + 2x 2 2. On en déduit que la fonction f est strictement décroissante sur +. 3 Elle réalise une bijection de [0; 3] sur 19 ; 3 ce qui montre que l équation f (x) = 1 admet une unique solution dans [0; 3]. De plus, comme f (1) = 1, cette unique solution est 1. Soit n, on pose P n : «u n existe et 0 u n 3». Pour n = 1 : On sait par hypothèse que u 0 existe et f est définie sur + donc u 1 existe et, comme f est décroissante sur + avec lim f (x ) = 0, 0 < u 1 3 ce qui établit P 0. x + Hérédité : Soit n un entier naturel non nul tel que P n. Sachant P n, u n existe et 0 u n 3. L étude préliminaire de la fonction f permet d affirmer que 3 19 f (u n) 3 donc u n+1 existe et 0 u n+1 3 ce qui établit P n+1. On a donc démontré par un raisonnement par récurrence que la suite (u n ) est bien définie et que tous ses termes de rang supérieur ou égal à 1 sont compris entre 0 et 3. Il convient maintenant de démontrer que si u 0 1, alors tous les termes de la suite sont différents de 1. On commence par montrer par récurrrence ( à rédiger seul ) que si u 0 = 1 alors n, u n = 1. Cherchons pour quelle valeur de u 0 la suite (u n ) est constante : 3 Si (u n ) est constante, on a en particulier u 0 = u 1 donc u 0 = 1 + 2u 0 2. u 0 = u 1 2u u 0 3 = 0 u 0 = u 1 (u 0 1)(2u u 0 + 3) = 0 Le trinôme 2x 2 + 2x + 3 n a pas de racines réelles ; on peut donc conclure : si (u n ) est constante, alors u 0 = 1. Il en résulte que la suite (u n ) est constante, de valeur 1, si et seulement si u 0 = 1. Par suite, u 0 1 n, u n
19 Chapitre 5 Suites et séries Compléments 2) La fonction f est décroissante sur + ; la fonction f f est bien définie et elle est croissante. Or n, u 2n+2 = (f f )(u 2n ) et u 2n+3 = (f f )(u 2n+1 ). Il en résulte d après le cours que ces deux suites sont monotones. D après la question précédente, ces deux suites sont minorées par 0 et majorées par 3 ; on peut donc appliquer le théorème de convergence monotone et en déduire que ces suites sont convergentes. 3) Si la suite (u n ) convergeait vers un réel L, ce réel serait compris entre 0 et 3 d après le théorème de compatibilité de l ordre et de la limite et, comme f est continue sur + donc continue en L, L serait un point fixe de f. L équation f (x ) = x a été étudiée dans la question 1 ; elle admet pour unique solution x = 1. On peut en conclure que si la suite (u n ) convergeait, sa limite ne pourrait être que 1. 4) La fonction f est dérivable en 1 et f (1) = 4 3 donc f (1) 4 = 3. Supposons que lim u u n+1 1 n = 1, alors lim n + u n 1 u n 1 Soit = lim u n 1 u n+1 1 lim u n 1 u n 1 = f (1) = 4 3 f (u n ) f (1) u n 1 par la définition du nombre dérivé en un point. 5) On peut donc en déduire qu il existe un entier p tel que n p, u n+1 1 > u n 1 et en particulier u n+1 1 > u p 1. Ceci est en contradiction avec le fait que lim (u n 1) = 0. n + Par suite, la suite (u n ) ne peut pas converger vers 1. Or on a prouvé que si la suite (u n ) converge, sa limite ne peut être que 1. Il en résulte que la suite (u n ) diverge. Or les deux sous-suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergeaient. On peut donc affirmer que ces deux suites extraites n avaient pas la même limite. Exercice 6 On considère la série de terme général u n telle que, pour tout entier naturel n, 0 u n < 1. Supposons que u n converge, alors son terme général u n tend vers 0 donc ln(1+u n ) u n. On sait par hypothèse que u n > 0 et on a donc aussi ln(1 + u n ) > 0. On peut appliquer le critères des équivalents pour les séries à termes positifs et on en déduit que les deux séries sont de même nature ; donc ln(1 + u n ) est aussi convergente. Réciproquement, supposons que ln(1+u n ) est convergente alors son terme général tend vers 0. D après les équivalents usuels e ln(1+u n ) 1 ln(1 + u n ). Or ceci peut aussi s écrire u n ln(1 + u n ). On peut de nouveau appliquer le critère des équivalents pour les séries à termes positifs et déduire que u n est de même nature que ln(1 + u n ). On peut finalement conclure que les séries de terme général u n et v n = ln(1 + u n ) sont de même nature. 131 CORRIGÉS
20 Mathématiques ECE 2 e année Exercice 7 Notons tout d abord que la série de terme général u n = ln k =2 1 1n 2 n est pas une série à termes positifs. On ne peut donc pas lui appliquer les crirères de convergence des séries à termes positifs. n On pose, pour n 2, S n = ln 1 1. k 2 k =2 n n n On transforme cette égalité en S n = ln(k + 1) + ln(k 1) 2 ln k. On simplifie ces sommes ; il reste : n 2,S n = ln 2 + ln(n + 1) ln n. On transforme de nouveau en n 2,S n = ln La suite (S n ) converge et lim S n = ln 2. n + On peut donc conclure que Exercice 8 u n converge et k = n + k =2 ln 2. u n = ln 2. Déterminons selon la valeur du réel x la nature de la série de terme général u n = (2 n 1)x n. On commence par remarquer que u n (2x ) n On peut donc s appuyer sur les résultats concernant les séries géométriques. Si x > 1, alors 2x > 1 donc la lim 2 n + 2x n = +. Par suite, lim u n 0. Comme le terme n + général de la suite ne tend pas vers 0, la série de terme général u n diverge. Si x < 1 2, alors 2x < 1 donc 2x n est convergente. Les séries de terme général u n et 2x n sontdeux séries à termes positifs telles que u n 2x n donc elle sont de même nature ; par suite, u n est convergente et d après le théorème sur la convergence absolue, u n est aussi convergente. Si x = 1 2, alors x = 1 2 ou x = 1 1 n 2, on a donc, après simplification, u n = 1 ou 2 1 n u n = ( 1) n. 2 On remarque que dans les deux cas, le terme général de la série ne tend pas vers 0 donc la série diverge grossièrement. Exercice 9 On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et n, u n+1 = u n e u n. 1) Soit n, on pose P n : «u n existe et u n > 0». Pour n = 0 : On sait par hypothèse que u 0 =1 donc est strictement positif ce qui établit P 0. Hérédité : Soit n un entier naturel tel que P n. Sachant P n, u n existe et u n > 0, donc u n e u n existe et est strictement positif ; ainsi u n+1 existe et est strictement positif, ce qui établit P n+1. k =2 132
21 Chapitre 5 Suites et séries Compléments On a donc démontré par un raisonnement par récurrence que la suite (u n ) est bien définie et que tous ses termes sont strictement positifs. Puisque tous les termes de la suite (u n ) sont strictement positifs, considérons le quotient u n+1 : n, u n+1 = e u n. u n u n D après la première question, on a donc n, u n+1 u n < 1. On en déduit que la suite (u n ) est décroissante. 2) La suite (u n ) est définie par son premier terme et une relation de la forme u n+1 = f (u n ) avec f (x) = x e x pour x 0. Elle converge vers une limite L et f est continue en L car f est continue sur son ensemble de définition. D après le théorème du point fixe, on peut en déduire que L est un point fixe de f, c est à dire L est solution de l équation f (x) = x. f (x) = x x e x = x f (x) = x x(1 e x ) = 0 f (x) = x L = 0 On peut donc conclure que la suite (u n ) converge vers 0. n 1 3) On pose S n = u k et on étudie la convergence de la suite (S n ). k =0 Comme n, u n+1 = u n e u n, avec u n > 0, on en déduit que u n = ln u n ln u n+1. n 1 n,s n = (ln u k ln u k +1 ) Après réduction de cette somme, il vient : n,s n = ln u n. Or la suite (u n ) converge vers 0 donc lim S n = +. n + La suite (S n ) est divergente donc la série de terme général u n est divergente. k =0 Exercice 10 Soit (v n ) une suite réelle décroissante et de limite nulle. On pose, pour tout entier naturel n, u n = ( 1) n v n et S n = 1) On montre que la suite S 2n est décroissante : 2n+2 n,s 2n+2 S 2n = u k k =0 2n u k k =0 n u k. k =0 n,s 2n+2 S 2n = u 2n+2 + u 2n+1 = v 2n+2 v 2n+1 Or, par hypothèse, la suite (v n ) est décroissante ; on peut donc en déduire que la suite (S 2n ) est aussi décroissante. On montre de même que la suite (S 2n+1 ) est croissante. Enfin, n,s 2n+1 S 2n = u 2n+1 = v 2n CORRIGÉS
22 Mathématiques ECE 2 e année Par hypothèse, la suite (v n ) est de limite nulle donc lim (S 2n+1 S 2n ) = 0. n + Les suites (S 2n ) et (S 2n+1 ) sont adjacentes. 2) D après le cours, les suites adjacentes (S 2n ) et (S 2n+1 ) convergent et ont la même limite S. La sous-suite des termes de rangs pairs et la sous-suite des termes de rangs impairs de la suite (S n ) convergent et ont la même limite ; il en résulte que la suite (S n ) est aussi convergente. On en déduit que la série de terme général u n est convergente. 3) On note S la somme de cette série. La suite (S 2n ) est décroissante convergente donc elle est minorée par sa limite S ; la suite (S 2n+1 ) est croissante et convergente donc elle est majorée par sa limite S. Ainsi : n,s 2n+1 S S 2n 4) On déduit du résultat de la question précédente que n, 0 S S 2n+1 S 2n+2 S 2n+1 ce qui peut aussi s écrire n, 0 S S 2n+1 v 2n+2. On a aussi n,, v 2n+1 S S 2n 0. Donc, quelle que soit la parité de n, S S n v n+1. 5) On peut conclure des questions antérieures que si u n = ( 1) n v n où (v n ) est une suite décroissante de limite nulle, alors la série de terme général u n est convergente. n, u n = ( 1)n ln n n On pose v n = ln n n. La suite (v n) est bien positive et de limite nulle ; elle est décroissante à partir du rang 3 ( Ceci peut s établir facilement en étudiant la fonction définie par f (x ) = lnx x.) Elle vérifie donc les conditions énoncées précédemment donc la série de terme général u n est convergente. n, v n = ( 1) n ( n + 1 n) On pose de même v n = n + 1 n = 1 n n La suite (v n ) est aussi positive, décroissante et de limite nulle donc la série de terme général u n est convergente. Corrigés des exercices Scilab Exercice S1 1) On peut écrire, par exemple : clf () // Effa ç age des figures funcprot (0) // Initialisation des fonctions deff ("y=f(x)","y =1/3* x+1") // Dé finition de la fonction u=-2 // Initialisation de la suite n=7 // Nombre d ité rations // Matrices suite, x et y 134
23 Chapitre 5 Suites et séries Compléments suite =[0; u]; for k =1: n u=f( u) // calcul du terme suivant de la suite suite =[ suite ; u] // Construction de la suite des termes end x= suite ([1:n -1]); y= suite ([2: n ]); y (1)=0 // RG de la courbe de la fonction et des termes de la suite v =[ -3:2] // matrice des valeurs de x pour la RG de la courbe de f plot2d (v,[v,f(v )],[6,1], rect =[ -3, -1,2,2]) // RG de la courbe // et de la premi ère bissectrice dans un rectangle de visualisation // rect =[ xmin, ymin, xmax, ymax ] a= gca () // Param è tres de la repr é sentation a. grid =[3 3] // Repr é sentation d une grille de couleur 3, c est -à-dire verte a. x_location =" origin " a. y_location =" origin " C2=a. children (1). children (1) // Courbe de f C2. foreground = color (" sky blue ") // Changement de la couleur de // la courbe C2. thickness =2 // Epaisseur du trait plot2d2 (x, y) // RG des termes de la suite 2) Le premier segment vertical a pour extrémité le point u 0, f (u 0 ), le deuxième segment vertical a pour extrémité u 1, f (u 1 ) et ainsi de suite ; il en résulte que les abscisses des extrémités des segments verticaux (ou horizontaux) sont les termes successifs de la suite.d ailleurs, c est bien ce que dit le programme.les premiers termes de la suite sont dans l ordre croissant et la suite semble être majorée α tel que α = f (α). Il en résulte qu elle semble être convergente. 3) Déterminons d abord le réel α tel que α = f (α). Immédiatement : Montrons, quel que soit n, 2 u n α + 1 = α donc α = 3 2. On a : u n+1 u n = 1 3 u n + 1 u n = 2 3 u n + 1. On a l implication : u n+1 u n 2 ( 2) Donc, u n+1 u n 0 et la suite (u n ) est croissante.montrons maintenant par récurrence que la suite (u n ) est majorée par 3 2. Initialisation : u 0 = Hérédité : montrons l implication u n 3 2 u n On a 1 3 u n soit u n Donc, par le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, u n 3 2. La suite (u n ) est croissante et majorée, donc elle converge. Sur la représentation graphique, il semblerait que la limite de la suite soit α. Soit ɛ > 0 ; on a : α = α + 1 donc u n+1 α = 3 u n α CORRIGÉS
24 Mathématiques ECE 2 e année Et donc u n+1 α = 1 3 u n α. Il en résulte qu on a l implication : n, u n α 3ɛ u n+1 α ɛ. Exercice S2 Par exemple, clf () // Effa ç age des figures funcprot (0) // Initialisation des fonctions deff ("y=f(x)","y = -1/3* x +1/2 ") // Dé finition de la fonction u = -0.4 // Initialisation de la suite n =12 // Nombre d ité rations // Matrices suite, x et y suite =[0; u]; for k =1: n u=f( u) // calcul du terme suivant de la suite suite =[ suite ; u] // Construction de la suite des termes end x= suite ([1:n -1]); y= suite ([2: n ]); y (1)=0 // RG de la courbe de la fonction et des termes de la suite v =[ -0.6:0.1:1] // matrice des valeurs de x pour la RG de la // courbe de f plot2d (v,[v,f(v )],[6,1], rect =[ -0.6, -0.4,1,0.7]) // RG de la courbe // et de la premi ère bissectrice dans un rectangle de visualisation // rect = [xmin, ymin, xmax, ymax ] a= gca () // Param è tres de la repr é sentation a. grid =[3 3] // Repr é sentation d une grille de couleur 3, // c est -à-dire verte a. x_location =" origin " a. y_location =" origin " C2=a. children (1). children (1) // Courbe de f C2. foreground = color (" sky blue ") // Changement de la couleur de la // courbe C2. thickness =2 // Epaisseur du trait plot2d2 (x, y) // RG des termes de la suite 136
25
26 VUIBERT MATHS ECE 2 e année MÉTHODES EXERCICES PROBLÈMES Des ouvrages pour faire la différence : des synthèses de cours et de méthode pour acquérir les connaissances indispensables et réviser efficacement, de nombreux exercices intégralement corrigés pour s entraîner et se mettre en situation d épreuve : exercices guidés, exercices d application et problèmes de synthèse, en ligne ( à la page du livre) : des annexes pour maîtriser la simulation sur Scilab et des exercices complémentaires. SOMMAIRE 1. Rappels de calculs algébriques 2. Espaces vectoriels 3. Applications linéaires 4. Réduction des endomorphismes 5. Suites et séries-compléments 6. Comparaisons et développements 7. Intégrales impropres 8. Couples et vecteurs aléatoires 9. Fonctions de deux variables (1) 10. Fonctions de deux variables (2) 11. Variables à densité 12. Convergences et approximations 13. Estimateurs, estimations En ligne : Annexes : A. Lois usuelles B. Scilab Exercices complémentaires Les auteurs : Bénédicte Bourgeois est professeur agrégée de mathématiques en CPGE. François Delaplace est professeur en classes préparatoires économiques et commerciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles. Fabrice Fortain dit Fortin est professeur en classes préparatoires économiques et commerciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles. ISBN :
Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailLeçon 01 Exercices d'entraînement
Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailRappels sur les suites - Algorithme
DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailFonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailEXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG
Exploitations pédagogiques du tableur en STG Académie de Créteil 2006 1 EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG Commission inter-irem lycées techniques contact : dutarte@club-internet.fr La maquette
Plus en détailMATHÉMATIQUES EN PREMIER CYCLE PRÉSENTATION DU PROGRAMME
Notre cadre de réflexion MATHÉMATIQUES EN PREMIER CYCLE PRÉSENTATION DU PROGRAMME La proposition de programme qui suit est bien sûr issue d une demande du Premier Cycle : demande de rénovation des contenus
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailF1C1/ Analyse. El Hadji Malick DIA
F1C1/ Analyse Présenté par : El Hadji Malick DIA dia.elmalick1@gmail.com Description sommaire du cours Porte sur l analyse réelle propose des outils de travail sur des éléments de topologie élémentaire
Plus en détailLoi binomiale Lois normales
Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détailEXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE
EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailCONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)
CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailCOURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE
COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailFONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.
FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailChaînes de Markov au lycée
Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détail