Suites : Calcul et comportement asymptotique.

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2 Chapitre 3 Suites : Calcul et comportement asymptotique. 3. Méthodes de définition. Comment définir une suite (u n ) n N de réels? Par l expression de son terme général, Par une formule de récurrence et le terme initial u n = sinn n 2 + u 0 = u n+ = u 2 n + 2 pour tout n 0 Eventuellement par plusieurs termes initiaux et une formule de récurrence sur plusieurs rangs u 0 =, u = 2, u 2 = 5 u n+ = 5u n u n + 2u n 2 pour tout n Les suites arithmétiques et géométriques. Définition : On appelle suite arithmétique de raison r et de terme initial u 0 la suite (u n ) n N donnée par n 0, u n+ = u n + r. On appelle suite géométrique de raison q et de terme initial u 0 la suite (u n ) n N donnée par On peut calculer pour ces deux suites leur terme général : Proposition : Pour la suite arithmétique : u n = u 0 + nr. Pour la suite géométrique : u n = q n u 0. n 0, u n+ = qu n. Proposition : La somme des n premiers termes d une suite géométrique de raison q est : Exemple : Taux d intérêt. n u 0 q k q n = u 0 q k=0 3.3 Bornes et monotonie. Définition : On dit qu une suite (u n ) n N est majorée si M R, n 0, u n M minorée si m R, n 0, u n m bornée si C R, n 0, u n C Ce qui équivaut à M R, m R, n 0, m u n M 5

3 6 CHAPITRE 3. SUITES : CALCUL ET COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE. Définition : On dit qu une suite (u n ) n N est croissante si n 0, u n+ u n décroissante si n 0, u n+ u n monotone si u n+ u n est de signe constant. Remarque : Une suite croissante est minorée (par son premier terme) et une suite décroissante est majorée (par son premier terme). Définition : On dit que (u n ) n 0 est strictement croissante si n 0, u n+ > u n strictement décroissante si n 0, u n+ < u n 3.4 Notion de limite. Définition : On dit qu une suite réelle (u n ) n N converge vers l R si On note lim u n = l ou u n l. n + n + Exemple : lim n n + = 0. Remarque : u n l u n l 0. n + n + Définition : On dit que (u n ) n N tend vers + si On dit que (u n ) n N tend vers si Exemple : lim n + = +. n Opérations et limites. ε > 0, n 0 N, n n 0, u n l ε. A R, n 0 N, n n 0, u n A. A R, n 0 N, n n 0, u n A. Proposition : Le tableau ci-dessous donne lim n + (u n + v n ). Proposition : Le tableau ci-dessous donne lim n + u nv n. 3.6 Limites et ordre. limv n \ limu n l + l l + l ?? lim v n \ limu n l > 0 l < 0 l = 0 + l > 0 ll ll 0 + l < 0 ll ll 0 + l = ?? + +? + +? + Proposition : Si u n v n pour tout n N et si (u n ) et (v n ) convergent, alors lim u n lim v n. n + n + Remarque : Si u n < v n pour tout n, on peut juste en déduire, en cas de convergence, que limu n lim v n.

4 3.7. PRÉCISION SUR LA LIMITE. 7 Théorème : Soit (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites telles que, pour tout n N, u n v n w n. On suppose que (u n ) et (w n ) convergent vers une même limite l finie. Alors (v n ) converge également vers cette limite. Théorème : Soit (u n ) et (v n ) deux suites telles que, pour tout n N, u n v n. Si limu n = +, alors limv n = +. Si limv n =, alors limu n =. Un dernier théorème utile pour le calcul de limites. Proposition : Soit (u n ) une suite bornée et (v n ) une suite qui tend vers 0. Alors la suite (u n v n ) tend vers Précision sur la limite. Définition : On écrit lim n + u n = 0 + si lim u n = 0 et u n > 0 pour tout n à partir d un certain rang. On écrit lim n + u n = 0 si lim u n = 0 et u n < 0 pour tout n à partir d un certain rang. Proposition : Si limu n = 0 +, alors lim u n = +. Si limu n = 0, alors lim u n =. Proposition : On peut donner la limite de u n en fonction de celle de u n par le tableau ci-dessous. On suppose que u n est non nul à partir d un certain rang. 3.8 Quelques limites classiques lim u n l lim u n l 0 0? + Nous faisons intervenir des fonctions classiques qui seront révisées dans les chapitres suivants. u n n α, α > 0 n α, α < 0 lnn e βn, β > 0 e βn, β < 0 limu n ln n n u n n, α > 0 α α e, β > 0 q n, q > q n, q < βn lim u n Remarque : COMMENT CALCULER UNE LIMITE? Selon la définition (parfois). A partir de limites classiques en utilisant les théorèmes sur les opérations. A partir de limites classiques en utilisant les théorèmes de comparaison. 3.9 Quelques remarques. Proposition : Toute suite qui tend vers une limite finie est bornée. Remarques : La réciproque est fausse. La suite de terme général ( ) n est bornée mais n est pas convergente. Par ailleurs, la convergence n entraîne pas la monotonie. Une suite positive peut tendre vers 0 sans être décroissante à partir d un certain rang. Par exemple u n = 2 + ( )n n Cette suite tend vers 0 mais u 2n+ u 2n = 2n + 3 2n = 4n 3 2n(2n + ) 0 u 2n u 2n = 3 2n 2n = 4n 3 2n(2n + ) 0. De même une suite peut tendre vers + sans être croissante à partir d un certain rang. Par exemple u n = n+( ) n.

5 8 CHAPITRE 3. SUITES : CALCUL ET COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE. 3.0 Un théorème important. Théorème : Une suite croissante et majorée converge vers une limite finie. Une suite décroissante et minorée converge vers une limite finie. Exemple : u n = 2n k=n k La suite (u n) est positive et est donc minorée (par 0). De plus, u n+ u n = 2n n + n 2n + 2n n = 0 La suite (u n ) est donc décroissante, minorée, elle est donc convergente. 3. Suites adjacentes. Définition : On dit que deux suites (a n ) et (b n ) sont adjacentes si. (a n ) est croissante. 2. (b n ) est décroissante. 3. b n a n n + 0. Proposition : Si les suites (a n ) et (b n ) sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite finie. Exemple : On considère les suites On a a n = la suite (a n ) est donc croissante. On a également b n+ b n = la suite (b n ) est donc décroissante. Enfin, n k=0 a n+ a n = k! et b n = a n + n! (n + )! > 0 (n + )! + (n + )! (n!) = n! b n a n = n! 0. n + ( ) 2 n + 0, Nous avons donc montré que les deux suites (a n ) et (b n ) sont adjacentes et convergent donc vers une même limite finie. On peut montrer que cette limite est e et, à l aide de ces deux suites, que e Q. 3.2 Notion de sous-suite. On obtient une sous-suite en sélectionnant dans une suite certains de ses termes. Par exemple, dans la suite on peut extraire la sous-suite, 2,, 2,, 2,..., ou encore la sous-suite 2, 2, 2,.... u 0 u u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 0 u Définition : Soit (u n ) une suite réelle. Une sous-suite de (u n ) n N est une suite qui s écrit (v n ) avec v n = u ϕ(n) où ϕ est une application strictement croissante de N dans N. Exemples : Dans l exemple précédent, la sous-suite 2, 2, 2,... s écrit u ϕ(n) avec ϕ(n) = 3n +. Pour l autre sous-suite, il s agit de u ϕ(n) avec ϕ(n) = n + E ( ) n 2. On considère la suite a n = ( )n, la suite a 2n est une suite extraite décroissante, la suite a 2n+ est une suite extraite croissante. n 2

6 3.3. PROPRIÉTÉS CONSERVÉES PAR EXTRACTION Propriétés conservées par extraction. Proposition : Si la suite (u n ) est croissante (resp. décroissante) alors il en est de même de toute sous-suite extraite. Si la suite (u n ) tend vers + (resp. ) alors il en est de même de toute sous-suite extraite. Si la suite (u n ) tend vers une limite finie l alors il en est de même de toute sous-suite extraite. Si la suite (u n ) est bornée alors il en est de même de toute sous-suite extraite. Si la suite (u n ) est majorée (resp. minorée) alors il en est de même de toute sous-suite extraite. 3.4 Le théorème de Bolzano-Weierstrass. Théorème : De toute suite bornée de réels, on peut extraire une sous-suite qui tend vers une limite finie.