PROGRAMME PCSI ( VERSION DU 04/04/16 - PROGRAMME DU CONCOURS BLANC)

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1 Lycée Brizeux 2015/2016 Programme PCSI 1/5 Mathématiques PCSI B PROGRAMME PCSI ( VERSION DU 04/04/16 - PROGRAMME DU CON BLANC) ANALYSE RÉELLE ÉTUDES DE FONCTIONS (CHAPITRES 1, 3 ET 5) Inégalités dans R Partie majorée/minorée de R ; Borne supérieure/inférieure d une partie. Toute partie majorée de R admet une borne supérieure dans R. Inégalité triangulaire Intervalles de R ; Valeur absolue Partie entière (chapitre 11) Fonctions usuelles (à connaître par coeur : ensemble de définition/dérivabilité, dérivée, variations, limites, graphe) Logarithme népérien, Logarithme décimal Exponentielle Puissances entières et réelles ; croissances comparées Racine carrée ; Racine cubique ; Racine n-ième Fonctions circulaires et fonctions circulaires réciproques Fonctions sinus et cosinus hyperboliques Fonctions de R dans C : Dérivée d une fonction définie par une exponentielle Étude de fonctions Symétries, parité, périodicité Monotonie. Dérivées usuelles. Équation de la tangente en un point. Droites asymptotes. Bijectivité : définition, dérivée d une réciproque, théorème de la bijection. Savoir utiliser les propriétés de la valeur absolue Manipuler des inégalités dans R Résoudre des équations et inéquations Calculer des ensembles de définition de fonctions composées avec les fonctions de base Utiliser les limites usuelles pour calculer des limites plus complexes Savoir calculer des dérivées, en particulier des dérivées de produits, inverses, composées. Savoir étudier une fonction, établir un tableau de variations en étudiant le signe de la dérivée et démontrer une inégalité par cette technique Déterminer une asymptote oblique Déterminer les extremums d une fonction Utiliser le théorème de la bijection Calculer des images Trouver l ensemble des antécédents d un nombre LIMITES, CONTINUITÉ ET DÉRIVATION (CHAPITRES 1, 13 ET 15) Limites Définition formelles : Limite en un point, limite en l infini Unicité de la limite Théorèmes d encadrement Théorème de la limite monotone Continuité Définition, prolongement par continuité Théorème des valeurs intérmédiaires Toutes fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes Théorème de la bijection continue Dérivabilité Définition, taux d accroissement La dérivabilité implique la continuité Opérations sur les fonctions dérivables, dérivée d une réciproque. Fonctions de classe C k, C, Formule de Leibniz Théorème de la limite de la dérivée Extremum local Théorème de Rolle Théorème et inégalité des accroissements finis, fonctions lipschitziennes Variations d une fonction Calculer une limite par opérations Utilisation des croissances comparées Utiliser les théorèmes d encadrement pour calculer une limite Démontrer l existence d une limite réelle en majorant f (x) l. Démontrer qu une fonction est continue/dérivable par opérations sur des fonctions usuelles Démontrer qu une fonction est continue par un calcul de limites. Dresser le tableau de variation d une fonction Utiliser un taux d accroissement pour calculer une limite Calculer des dérivées n-ième par récurrence ou avec Leibniz Appliquer le théorème de limite de la dérivée pour montrer qu une fonction est dérivable en a. Savoir appliquer les théorèmes de Rolle et accroissements finis Démontrer que deux fonctions sont égales : montrer que x, f (x) = g (x) OU (sur un intervalle) montrer que, x I, f (x) g (x) = 0, donc f g est constante, puis montrer que cette constante est nulle.

2 Lycée Brizeux 2015/2016 Programme PCSI 2/5 Mathématiques PCSI B PRIMITIVES ET INTÉGRALES (CHAPITRES 6 ET 17) Primitives Définition d une primitive, ensemble des primitives sur un intervalle. Primitives usuelles Définition de l intégrale d une fonction continue sur un segment Interprétation en terme d aire Linéarité, positivité et croissance de l intégrale. Relation de Chasles L intégrale sur un segment d une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si la fonction est nulle Sommes de Riemann Formule de Taylor avec reste intégral Calcul intégral Théorème fondamental, reliant primitives et intégrales Intégration par parties Changement de variable. Utilisation de la linéarisation Reconnaître la dérivée d une composée Primitives de x 1 ax 2 +bx+c, de x eax cos(bx), de x e ax sin(bx) Majorer/minorer une intégrale en utilisant les propriétés de l intégrale Calculer une somme en utilisant une intégrale Calculer une intégrale à l aide d une primitive Utiliser une IPP ou un changement de variable pour calculer une primitive ou une intégrale. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES (CHAPITRE 7) Premier ordre et second ordre à coefficients constants Théorème de résolution de l équation homogène Forme générale des solutions Principe de superposition Problème de Cauchy Résoudre une équation d ordre 1 ou 2 Démontrer qu une fonction donnée est solution particulière. Utilisation de la méthode de variation de la constante pour l ordre 1 Recherche d une solution particulière pour les seconds membres de la forme x A e λx avec (A,λ) C 2, x B cos(ωx) et x B sin(ωx) avec (B,ω) R 2 Trouver la solution à un problème de Cauchy DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS (CHAPITRES 9, 15 ET 17) Relations de comparaison Relations de domination, de négligeabilité, d équivalence. Notations Opérations sur les équivalents : produit, quotient, puissances (mais pas de somme ni composée) Propriétés conservées par équivalence : signe, limite f g si et seulement si f g = o(g ). Calculs de développements limités Définition, unicité Formule de Taylor-Young Développements limités usuels en 0 Comparer deux fonctions. Utiliser un équivalent pour calculer une limite Calculer un DL par combinaison linéaire, produit, quotient, primitivation, composition Calculer un DL par la formule de Taylor-Young Calculer un DL en a 0 en posant h = x a Calculer un DL en ± en posant h = 1 x Prévoir l ordre d un DL Applications des DL Calcul d équivalents et de limites. Étude locale d une fonction : prolongement par continuité, dérivabilité d un prolongement par continuité, tangente, position relative de la courbe et de la tangente. Détermination d asymptotes et position relative.

3 Lycée Brizeux 2015/2016 Programme PCSI 3/5 Mathématiques PCSI B SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES SUITES NUMÉRIQUES (CHAPITRE 11) Suites réelles Modes de définition d une suite, Monotonie, Suite minorée, majorée, bornée Unicité de la limite, Suite convergente/divergente Toute suite réelle convergente est bornée, Opérations sur les limites, Stabilité des inégalités larges par passage à la limite Théorèmes d encadrement, minoration ou majoration Théorème de la limite monotone, Théorème des suites adjacentes Suites extraites Suites usuelles Suites arithmétiques et géométriques Suites arithmético-géométriques Suites récurrentes linéaires d ordre deux Monotonie d une suite récurrente de la forme u n+1 = f (u n ) Comparaison des suites Relations de domination, de négligeabilité, d équivalence. Notations Étudier la monotonie d une suite Montrer qu une suite est convergente/divergente en utilisant le théorème de la limite monotone Démontrer que deux suites sont adjacentes Calculer la limite d une suite Démontrer qu une suite est géométrique Trouver le terme général d une suite arithmético-géométrique Déterminer le terme général d une suite récurrente d ordre 2 Étudier une suite récurrente (limite éventuelle, monotonie) SÉRIES NUMÉRIQUES (CHAPITRE 19) Séries numériques de R ou C Sommes partielles, convergence, divergence, somme et reste Le terme général d une série convergente tend vers 0 (réciproque fausse) Séries à termes positifs Compaisons de séries à termes positifs Séries absolument convegentes La convergence absolue implique la convergence. Inégalité triangulaire sur les séries Comparaisons de séries Séries géométriques (expression de la somme et du reste si convergence) Séries de Riemann Étudier la nature d une série Démontrer qu une série diverge grossièrement Encadrer le terme général d une somme partielle (directement ou avec des intégrales) Comparer une série à une série de référence pour en déduire sa nature Calcul de la somme d une série se ramenant à une série géométrique

4 Lycée Brizeux 2015/2016 Programme PCSI 4/5 Mathématiques PCSI B ALGÈBRE GÉNÉRALE ENSEMBLES DE NOMBRES ( CHAPITRES 1, 2 ET 10) Nombres entiers Multiples et diviseurs d un entier. Division euclidienne dans N. PGCD et PPCM : définition, algorithme d Euclide Nombres premiers : Existence et unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers, crible d Eratosthène. Nombres complexes Définition, opérations sur C, conjugué, plan complexe, module Nombres complexes de module 1 : cercle trigonométrique, écriture trigonométrique, écriture exponentielle, argument, exponentielle complexe Trigonométrie (formules) Formules de Moivre et d Euler Équations à coefficients complexes : racines carrées, équations du second degré, racines n-ièmes. Nombres complexes et géométrie : alignement, colinéarité, orthogonalité, transformations simples du plan complexe. Calculer un pgcd et ppcm Décomposer un entier en facteurs premiers Calculer un module, un argument Démontrer qu un nombre complexe est réel/imaginaire pur Déterminer l ensemble des nombres complexes vérifiant une propriété donnée Calculer les racines n-ième d un nombre complexes Résoudre des équations dans C Traduire une propriété géométrique sur C CALCULS ALGÉBRIQUES (CHAPITRE 4) Sommes et produits Définitions, notations, opérations élémentaires Exemples classiques : somme d une progression arithmétique/géométrique, factorisation de a n b n, factorielle, coefficients binomiaux, formule du binôme Sommes doubles : définition, sommes triangulaires, produit de deux sommes. Raisonnements par récurrence Réaliser un changement d indice ; Calculer une somme télescopique Linéariser une expression trigonométrique Utiliser la formule du binôme pour calculer une somme faisant intervenir des coefficients binomiaux ENSEMBLES ET APPLICATIONS (CHAPITRES 8 ET 14) Ensembles Appartenance, inclusion, sous-ensembles (ou parties) d un ensemble, ensemble vide Réunion, intersection, complémentaire, Produit cartésien de deux ensembles, d un nombre fini d ensembles Ensemble des parties d un ensemble. Applications Définition, graphe, Fonction indicatrice, Restriction Image directe, Image réciproque Injection, surjection, bijection Ensembles finis, cardinal Cardinal d un ensemble fini, Cardinal d une partie Une application entre deux ensembles finis de même cardinal est bijective si et seulement si elle est injective, si et seulement si elle est surjective. Opérations sur les cardinaux Cardinal de F (E,F ) = F E ; Cardinal de P (E). Cardinal du complémentaire Cardinal d une union de deux ensembles Dénombrements Nombre de p-listes (avec ou sans répétitions), arangements, Nombre d applications injectives, Nombre de permutations (bijection de E dans E) Nombre de parties à p éléments, combinaisons Démontrer qu un élément appartient à un ensemble Démontrer une inclusion/une égalité de deux ensembles Démontrer qu une application est injective/surjective/bijective

5 Lycée Brizeux 2015/2016 Programme PCSI 5/5 Mathématiques PCSI B ALGÈBRE LINÉAIRE MATRICES ET SYSTÈMES (CHAPITRE 12) Calcul matriciel Ensembles des matrices, sommes, produit, puissances (si possible) Matrices diagonales, triangulaires, matrices élémentaires Transposée d une matrice Formule du binôme Matrices carrées inversibles : définition, inverse d un produit, inverse d une transposée Systèmes d équations linéaires Système homogène, matrice associée Opérations élémentaires sur les lignes Échelonnement d une matrice/d un système Ensemble des solutions d un système linéaire, rang Calculer un produit matriciel Calculer les puissances d une matrice (récurrence ou formule du binôme) Algortihme du pivot de Gauss-Jordan Déterminer si une matrice est inversible Détermine le rang d une matrice/d un système Calculer l inverse d une matrice ESPACES VECTORIELS (CHAPITRE 16) Structure de K-espace vectoriel Exemples : K n, K[X ], K Ω (applications Ω K), K N (suites) et M n,p (K). Combinaisons linéaires Sous-espaces d un K-espace vectoriel, caractérisation. Sous-espace engendré (vect) Intersection, somme Somme directe, supplémentaires. Familles finies de vecteurs Famille libre, famille liée. Famille génératrice Base, unicité des coordonnées d un vecteur dans une base. Démontrer qu un ensemble est un s.e.v. Démontrer que deux s.e.v. sont supplémentaires Démontrer qu une famille est libre Trouver une famille génératrice Trouver les coordonnées d un vecteur dans une base POLYNÔMES (CHAPITRE 18) K-espace vectoriel K[X ]. Opérations : somme, produit, composée. Degré, coefficient dominant, terme de plus haut degré Divisibilité dans K[X ] ; diviseurs et multiples. Division euclidienne Dérivation Racines d un polynôme Caractérisation par la divisibilité. Le nombre de racines d un polynôme P non nul est majoré par le degré de P. Décomposition en facteurs irréductibles : Théorème de d Alembert-Gauss dans C[X ]. Description des polynômes irréductibles de R[X ]. Relations coefficients-racines Identification des coefficients (ie des coordonnées dans la base canonique de K n [X ]) Démontrer qu un polynôme est nul en comptant ses racines Factoriser un polynôme Calcul de deux nombres connaissant leur somme et leur produit. APPLICATIONS LINÉAIRES (CHAPITRE 20) Définition d une application linéaire Image et noyau Injectivité d une application linéaire Image d une base par une application linéaire Isomorphismes et automorphismes Exemples : homothéties et projecteurs Démontrer qu une application est linéaire Calculer le noyau d une application linéaire (résolution d un système) Déterminer une base de l image d une application linéaire Démontrer qu une application linéaire est injective Démontrer qu une application linéaire est bijective Déterminer l expression d une projection Démontrer qu une application est une projection et trouver ses éléments caractéristiques