Plan du module. Licence 2 Informatique 2005/ ère partie - Systèmes relationnels. 2ème partie - Algèbre. 3ème partie - Séries

Transcription

1 Informatique 20h cours/30h théorique TD 2 Informatique Systèmes -Informatiquethéorique 2 relationnels 2005/2006 Informatique -Informatiquethéorique Relations 22005/2006 n-aires 2 Informatique 2005/2006 Frédéric Fürst - bureau frederic.furst@u-picardie.fr Les systèmes relationnels sous-tendent de nombreux systèmes informatiques : Base de données et langages relationnels Structures ordonnées : arborescence des systèmes de fichiers, piles, files, arbres, hiérarchies objet, Bibliographie : Mathématiques discrètes et informatique, N.H. Xuong, Masson Mathématiques pour l informatique, A. Arnold & I. Guessarian, Masson Mathématiques discrètes, S. Lipschutz, Serie Schaum Relation : soit E1,.., En n ensembles. On appelle relation entre les Ei tout sous-ensemble de E1.. En. Exemples : - une relation unaire sur un ensemble E est une partie de E (par ex. l ensemble des entiers pairs peut être vu comme une relation unaire sur N). - 3 ensembles d identifiants client, d identifiants produit et de numéros de facture sont liés par une relation ternaire «achat» Tartempion Dupont Dupond Chaise Table fourchette Facture 22 Facture 23 Facture 32 Plan du module 1ère partie - Systèmes relationnels Relations sur un ensemble Relation sur Théorie des treillis ensembles Informatique -Informatiquethéorique Opérations relations 22005/2006sur (1/3) les 2ème partie - Algèbre Théorie des groupes Anneaux, corps 3ème partie - Séries Séries, polynomes formels Fonctions génératrices Ensemble : un ensemble (notion première) est défini quand il est possible pour tout élément (notion première) de dire s il appartient ou pas à cet ensemble Relation (binaire) : soit E et F deux ensembles. On appelle relation binaire entre E et F tout sous-ensemble de E F (E F est le produit cartésien de E et F). Notes : - une relation peut lier un ensemble à lui-même - une relation n est pas forcément binaire Exemples : - relation de notation entre l ensemble des étudiants en L2 et l ensemble des notes en IT2 [0..20] - la relation de divisibilité dans N Les relations sont des sous-ensembles d un produit cartésien d ensembles => on peut leur appliquer des opérations ensemblistes, c est l algèbre relationnelle des SGBD (BD2) Inclusion de relation : l inclusion des relations binaires R et S, notée R S, est définie par (x,y) R => (x,y) S. On peut généraliser à des relations n-aires. Exemple : {(Tartempion,chaise,facture22)} est incluse dans {(Tartempion,chaise,facture22),(Dupont,table,facture23),(Dupont,fourchette, facture32)} 1

2 Opérations relations sur (2/3) les Opérations relations sur (3/3) les Union et intersection de relations : soit R et S deux relations Inverse d une relation binaire : soit R relation entre E et F. R -1 Composition Informatique ABCD des relations -Informatiquethéorique /2006 rodolphe robert roger relations Propriétés binaires des (1/2) relations Propriétés binaires des (2/2) Informatique Fermetures -Informatiquethéorique 2 des 2005/2006relations binaires entre E et F. R S union de R et S est définie par x (R S) y ssi xry ou xsy. R S intersection de R et S est définie par x (R S) y ssi xry et xsy. On généralise à des relations n-aires Exemples : - l'union de {(Tartempion,chaise,facture22)} et {(Tartempion,chaise,facture22), (Dupont,table,facture23), (Dupont,fourchette, facture32)} est {(Tartempion,chaise,facture22), (Dupont,table,facture23), (Dupont,fourchette, facture32)} - l'intersection de {(Tartempion,chaise,facture22)} et {(Tartempion,chaise,facture22), (Dupont,table,facture23), (Dupont,fourchette, facture32)} est {(Tartempion,chaise,facture22)} Composition des relations binaires : soit R une relation entre E et F et S une relation entre F et G. La relation T binaire composée de R et S, et notée RoS, est définie par (x,z) E G, xtz y F tel que xry et ysz Réflexivité : une relation R est réflexive si pour tout x, alors xrx Exemple : la relation "est située au même endroit" définie sur Ob Ob est réflexive Antiréflexivité : une relation R est anti-réflexive si pour tout x, alors xrx est faux Exemple : la relation "est posée sur" est antiréflexive inverse de R est définie par x R -1 y ssi yrx. Complémentaire d une relation : la relation R complémentaire d une relation R entre E et F est définie par (e,f) R ssi (e,f) R. On généralise à des relations n-aires. Relation identité : la relation identité entre E et F, notée Id E F, est définie par (e,f) Id E F ssi e = f Relation pleine : la relation pleine entre E et F, notée E F, est définie par (e,f) E F, (e,f) E F Symétrie : une relation R est symétrique si pour tout x et y tels que xry, alors yrx. Si R est symétrique, R=R -1 Exemple : la relation "à coté de" définie sur Ob Ob où Ob est l'ensemble des objets matériels est symétrique Antisymétrie : une relation R est anti-symétrique si pour tout x et y tels que xry et yrx, alors x = y Exemple : la relation "posée sur" définie sur Ob Ob est antisymétrique Transitivité : une relation R est transitive si pour tout x, y et z tels que xry et yrz, alors xrz Exemple : la relation "à coté de" est transitive Fermeture d une relation binaire : Soit R une relation binaire définie sur un ensemble E. On appelle fermeture réflexive, de R la plus petite (au sens de l inclusion) relation réflexive définie sur E contenant R. On note r(r) la fermeture réflexive de R, t(r) sa fermeture transitive, s(r) sa fermeture symétrique. Théorème 1 : Soit R une relation binaire sur un ensemble E. r(r) = R Id (Id = relation d identité) t(r) = R i i=1.. (R i = RoRo.. or i fois) s(r) = R R -1 2

3 Fonctions, applications (1/2) Informatique Relations -Informatiquethéorique 2 d équivalence 2005/2006 Application : une application d'un ensemble E vers un ensemble F est une relation de E vers F pour laquelle tout élément de E est en relation avec exactement un élément de F. C'est une fonction de E vers F dont domaine de définition est E. Informatique -Informatiquethéorique Relations 22005/2006 d ordre Fonction : une fonction d'un ensemble E vers un ensemble F est une relation de E vers F pour laquelle tout élément x de E est en relation avec au plus un élément y de F on note y = f(x) et on dit que y est l image de x par f et que x est l antécédent de y par f. l'ensemble des éléments x de E pour lesquels il existe un élément de F en relation avec x est appelé ensemble de définition de la fonction f. Relation d équivalence : une relation d équivalence (notée ) est une relation réflexive, transitive et symétrique. Exemples : - la relation de proximité spatiale "à coté de" - dans Z, la relation définie par arb ssi a-b est pair Classe d équivalence : la classe d équivalence d un élément x d un ensemble E relative à une relation d équivalence est l ensemble des éléments y de E tels que x y (ou y x) Théorème 2 : l ensemble des classes d équivalence qu une relation d équivalence induit sur un ensemble E est une partition de E. Inversement, toute partition de E induit une relation d équivalence. Relation d ordre : une relation d ordre partiel (notée ) est une relation réflexive, transitive et antisymétrique. Une relation antiréflexive, transitive et antisymétrique est une relation d ordre strict (une relation réflexive et transitive est appelée préordre). Exemples : - la relation «plus grand que» - dans N, la relation définie par arb ssi a divise b Elément dominant : dans E muni de, un élément x domine un élément y si y x et qu il n existe pas d élément z tel que y z x. On dit aussi que x est le successeur de y. Exemples : - dans N muni de la relation de division, 4 domine 2 - dans N muni de la relation «plus grand que», 3 domine 2 Fonctions, applications (2/2) Injection : une application de E vers F est dite injective lorsque deux éléments distincts de E ont toujours des images distinctes Ensembles dans F. quotient Informatique Ensembles -Informatiquethéorique 22005/2006 ordonnés Surjection : une application de E vers F est dite surjective lorsque tout élément de F admet au moins un antécédent dans E. Bijection : une application de E vers F est dite bijective lorsqu'elle est à la fois injective et surjective. Ensemble quotient : le quotient d un ensemble E par une relation d équivalence est l ensemble dont les éléments sont les classes d équivalences des éléments de E relativement à. Exemples : - le quotient de l ensemble {Pierre, Paul, Jacques, Marie, Jeanne} par la relation «a même sexe»est {{Pierre,Paul,Jacques}, {Marie,Jeanne}} - le quotient de N par la relation R définie par xry ssi x-y est multiple de 2 est l ensemble réduit àdeux éléments, l ensemble des entiers pairs et l ensemble des entiers impairs Ensemble ordonné (ou partiellement ordonné) : un ensemble E ordonné est un ensemble muni d une relation d ordre. On note cet ensemble (E, ). Ensemble totalement ordonné (ou chaine) : un ensemble E est totalement ordonné si pour tout couple (x,y) d éléments de E, x y ou y x Notes : - un ensemble peut être doté de plusieurs relations d ordre - toute relation d ordre admet une relation duale - tout ensemble ordonné (E, ) admet un dual (E, ) Exemples : - l arborescence d un système de fichiers est partiellement ordonnée - l ordre lexicographique est un ordre total permettant de trier des chaînes de caractères 3

4 ensembles Représentation ordonnés des (1/2) {1,2} {1}{2}{2,3} {1,3} {3} {1,2,3} ensembles Représentation des Informatique -Informatiquethéorique y ordonnés (2/2) 2 u2005/2006 zvt Profondeur et hauteur Extension linéaire Linéarisation Informatique -Informatiquethéorique Informatique 1-on 2-on 3-on d un ordre partiel 4-on on initialise associe choisit recommence -Informatiquethéorique l'ajoute le diminue marque un àchaque une sommet de àla liste en 13 liste le sommet 2 vide jusqu'àépuisement degréentrant son 2005/2006 degréentrant 0 tous des ses sommets successeurs non marqués [,{1},{2}] [,{1}] [,{1},{2},{3}] [] [,{1},{2},{3},{1,2}] [,{1},{2},{3},{1,2},{1,3}] Exemple de tri topologique [,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}] [,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}] [ ] {1,3} Informatique Mais [,{1},{3},{1,3},{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}] -Informatiquethéorique 22005/2006{1,2} {1}{2}{2,3} est aussi {3} {1,2,3} extension linéaire de cet ordre partiel une Diagramme de Hasse : sur un ensemble E ordonné par, pour tout couple d éléments (x,y) tels que x y et z dans E tel que x z y (y domine x), on crée un arc fléchéde x ày Exemple : l ensemble des parties de {1,2,3} ordonné par la relation d inclusion. Soit E un ensemble ordonné. Considérons les sous-ensembles totalement ordonnés de E. Hauteur : la hauteur d un élément x de E est le maximum, s il existe, de la longueur des chaînes admettant x comme élément maximum Profondeur : la profondeur d un élément x de E est le maximum, s il existe, des longueurs des chaînes admettant x comme élément minimum Exemples : - dans N muni de la relation arb ssi a divise b, les nombres premiers ont pour hauteur 1 - dans l ensemble des parties de {1,2,3} muni de l inclusion, la profondeur de {3} est 2 Tout ordre partiel peut être étendu à un ordre total. Il n'y a pas en général unicité de l'extension et l'une de ces extensions peut être obtenue à l'aide du tri topologique. Algorithme du tri topologique : on l'applique au graphe sans boucle d'un ordre partiel. La liste obtenue est la linéarisation de l'ordre initial. On en déduit un ordre total compatible avec l'ordre partiel de départ. Un tri topologique d un ensemble E est une numérotation des éléments de E, c est-à-dire une injection de E dans N respectant l ordre naturel sur N.»x Dans le cas d un ensemble totalement ordonné, par transitivité de la relation d ordre, le diagramme devient une «chaine Extension : si un ensemble E est ordonné par <, tout ordre «sur E tel que x < y ==> x «y est appelé une extension de <. Extension linéaire : en particulier si «est un ordre total il est appelé une extension linéaire de <. Exemple : - la relation d ordre arb ssi a divise b ordonne N. La relation d ordre usuelle sur N est une extension linéaire de la précédente. Note : - dans le cas des ensembles finis ou dénombrables, une extension linéaire «d'un ordre < permet d'énumérer les éléments selon l'ordre croissant (pour «), cette énumération étant compatible avec l'ordre d'origine <. 4

5 Eléments un ensemble particuliers ordonné dans (1/3) Eléments un ensemble particuliers ordonné dans (2/3) Informatique Eléments un -Informatiquethéorique ensemble 2 particuliers 2005/2006 ordonné dans (2/2) E Exemples remarquables d'éléments BC BDHGF EAC Ensemble ordonné fini Ordre bien fondé Dans un ensemble E muni d une relation d ordre : x est un minorant (resp. majorant) de y si x y (resp. y x) x est la borne supérieure de E (notée sup(e)) s il est le plus petit des majorants de E x est la borne inférieure de E (notée inf(e)) s il est le plus grand des minorants de E Exemple : b est la borne sup de [a,b] sur (R, ) et aussi celle de [a,b[ Note : un majorant ou minorant, et donc une borne supérieure ou inférieure n existe par toujours ([0,+ [ n a pas de majorant) AD Notes : - un maximum ou un minimum n existe pas toujours (N muni de la relation de divisibilité n a pas de maximum) - un maximal ou un minimal n existe pas toujours (l intervalle réel [a,b[ n a pas de maximal, mais il a un majorant) - dans le cas où un maximum (resp. minimum) existe, il est le seul élément maximal (resp. minimal) de E - dans le cas d un ordre total, les notions de minimum (resp. maximum) et de minimal (resp. maximal) sont confondues Différence entre maximum et maximal : E, C et D sont maximaux mais pas maximums Théorème 3 : Soit A une partie finie non vide d un ensemble ordonné(e, ). Pour tout x de A, il existe dans A un minimal m et un maximal s tels que m x s. Preuve : par induction sur A. Vrai pour A =1. Supposons la propriété vraie pour A =n-1. Soit x de A tel que A =n et B=A\{y} où y x. B contient donc un maximal s et un minimal m tels que m x s. 3 cas se présentent : s y : posons s = y et m = m y m : posons s = s et m = y m y s : posons m = m et s = s Dans les 3 cas, s et m sont les maximal et minimal cherchés. Corollaire : Tout ensemble ordonnéfini admet un maximal et un minimal. En particulier, toute chaîne finie admet un maximum et un minimum. x E est maximal (resp. minimal) s il n a pas d autre majorant dans E (resp. minorant) que lui-même x E est le maximum (ou universel) de E si y E, y x x E est le minimum (ou élément nul) de E si y E, x y Exemples : - dans l ensemble des sous-ensembles d un ensemble E, E est le maximum et le minimum - dans N muni de la relation de divisibilité, 1 est minimum, il n y a pas de maximum Dans l'ensemble ordonné de la figure : Le sous-ensemble {D,E,F} possède 4 majorants A, B, C, D et une borne inf D. D est maximal et maximum. E et F sont minimaux (mais pas minimums). Le sous-ensemble {D,E,F,G} ne possède ni majorant ni minorant Le sous-ensemble {A,B,C,D} ne possède aucun majorant, 3 minorants E, D et F et une borne inf D. B et C sont maximaux mais non maximums et D est minimal et minimum. Ordre bien fondé : un ordre sur un ensemble E est dit bien fondé (ou noethérien) si toute partie non vide de E admet un élément minimal. Exemple : - une arborescence de fichiers muni de l ordre «est sous-arbre de» est bien fondée Théorème 4 : dans un ordre bien fondé, tout élément non maximal admet un dominant. Preuve : soit x un élément non maximal de (E, ) bien fondéet F={y E, x y}. F n est pas vide puisque x n est pas maximal, donc F admet un minimal qui est clairement un dominant de x. 5

6 Bon ordre Définition des Treillis ensembliste Bon ordre : un bon ordre sur un ensemble E est un ordre tel que toute partie non vide de E admet un minimum. Treillis Exemples : - (N, ) est un ensemble bien ordonné mais pas (Z, ) bdeux et diagramme de Hasse Informatique aexemples -Informatiquethéorique cdde ceatreillis 22005/2006 bdfun bdcontre-exemple treillis facede Partie finie d un treillis Informatique Treillis diagramme b-informatiquethéorique E défini ade de Hasse par c2 son{a,b,c,d}, {a,b,c,e}, ordre, 2005/2006 est muni sous-treillisde du même mais pas E Treillis complets (1/2) sous-treillisde E un Théorème 5 : un ordre est bon si et seulement s il est bien fondé et total. Preuve : la condition suffisante est évidente. Un bon ordre est clairement bien fondé. De plus, toute partie à 2 éléments admet un minimum, donc deux éléments quelconques sont comparables. Corollaire : dans un ensemble bien ordonné, tout élément non maximum admet un dominant unique. Sous-treillis Sous-treillis : une partie (P, ) d un treillis (T, ) est un soustreillis de T si pour tout x et y de P, x y et x y sont dans P. Treillis : Un treillis est un ensemble ordonné dans lequel toute paire d'éléments admet une borne supérieure et une borne inférieure, c est-à-dire qu étant donnés deux éléments x et y, l ensemble des majorants communs à x et y n est pas vide et admet un minimum noté x y et l ensemble de leurs minorants communs n est pas vide et admet un maximum noté x y. Note : - on parle aussi de demi-treillis. Un inf-demi-treillis (resp. sup-demitreillis) est un ensemble ordonné où toute paire d éléments admet une borne inférieure (resp. supérieure). - un treillis T admet un dual T tel que et Exemples : - N muni de la relation divise ( = pgcd et = ppcm) - tout ensemble totalement ordonné - l ensemble des parties d un ensemble ordonné par l inclusion (x y = x y et x y = x y) Théorème 6 : toute partie finie d un treillis admet une borne inférieure et une borne supérieure. Preuve : toute partie de cardinal 1 ou 2 vérifie la propriété. Supposons la propriété vraie pour toute partie de cardinal n-1 et soit P={x 1,..,x n } une partie à n éléments. P\{x n } admet un inf a et un sup b. La partie {a,x n }, ayant deux éléments, admet un inf qui est celui de P et la partie {b,x n }, ayant deux éléments, admet un sup qui est celui de P. Corollaire : tout treillis fini admet une borne inférieure et une borne supérieure Treillis complet : un treillis est dit complet lorsque toute partie non vide admet une borne supérieure et une borne inférieure. Note : - si dans un treillis complet, il n existe pas de minimum ou maximum, il est toujours possible de rajouter les inf et sup, qui sont notés (bottom) et T (top) Exemples : - tout treillis fini est complet - l ensemble des parties d un ensemble muni de l inclusion est un treillis complet avec sup({e i })=U i E i et inf({e i })= i E i - (N, ) est un inf-demi-treillis complet mais pas un treillis complet 6

7 Treillis complets (2/2) Théorème 7 : tout treillis sans chaîne infinie est complet. Preuve : soit A une partie non vide d un treillis T sans chaine infinie. Soit x 0 un élément de A. Si x 0 est un minorant de A, c est le minimum x 0 =inf(a). Sinon, il existe un élément x 1 de A tel que (x 0 x 1 ) donc (x 1 x 0 ) x 0. Si x 1 x 0 est un minorant de A, alors x 1 x 0 = inf(a) car pour tout minorant m de A, m x 0 et m x 1 donc m x 1 x 0. Sinon il existe un élément x 2 de A tel que (x 2 Morphismes x 1 x 0 ) (x 1 x 0 ) x 0 d ordre (2/2). Puisque le treillis ne contient pas de chaine infinie, le processus s arrête au bout d un temps fini et conduit à inf(a). De même pour sup(a). Informatique -Informatiquethéorique Isomorphismes 22005/2006 l'application taille définie entre les ensembles {Albert, Bertrand, Caroline, Hervé}, ordonné par l'ordre lexicographique dans {160,167,182,190}, ordonné par l'ordre naturel des entiers et définie par taille(albert) = 160, taille(bertrand) = 167, taille(caroline) = 182 et taille(hervé) = 190 est un morphisme d'ordre Isomorphisme : un isomorphisme est un morphisme bijectif. Dans ce cas, on a x,y de E 1, x 1 y <=> f(x) 2 f(y) Endomorphisme : un endomorphisme est un morphisme d un ensemble dans lui-même Automorphisme : un automorphisme est un endomorphisme bijectif Théorème 9 : soient deux ensembles ordonnés (E 1, ) et (E 2, 2 ) isomorphes (d ordre). Si l un est un treillis, l autre aussi, et ils sont isomorphes (de treillis). Preuve : soit f la bijection d ordre de E 1 dans E 2. Supposons que E 1 soit un treillis, donc x y existe. f(x y) est un minorant de {f(x),f(y)} car x y 1 x => f(x y) 2 f(x) et x y 1 y => f(x y) 2 f(y). Montrons que c est le plus grand minorant. Soit m un minorant de {f(x),f(y)}. Puisque f est un isomorphisme (d ordre), il existe z dans E 1 tel que m = f(z) avec z 1 x et z 1 y. Donc z 1 (x y) et donc m = f(z) 2 f(x y). Par dualité, on montre aussi que f est un -morphisme. Et par bijection, on montre la propriété si E 2 est un treillis. Morphismes d ordre (1/2) Informatique Morphismes -Informatiquethéorique 22005/2006 de treillis Informatique -Informatiquethéorique Point 2 fixe 2005/2006(1/2) Morphisme d ordre : soient (E 1, 1 ) et (E 2, 2 ) deux treillis. Une fonction f : E 1 E 2 est un morphisme d ordre si pour tout x et y de E 1, x 1 y => f(x) 2 f(y). Un morphisme est donc une fonction qui respecte l'ordre. Un morphisme d ordre est aussi appelé fonction croissante. Note : - une fonction décroissante est définie par x 1 y => f(y) 2 f(x) - on utilise parfois le terme d homomorphisme à la place de morphisme Exemples : l'application note de {Albert, Bertrand, Caroline, Hervé}, ordonné par l'ordre lexicographique dans {11,12,13}, ordonné par l'ordre naturel des entiers et définie par note(albert) = 11, note(bertrand) = 13, note(caroline) = 12 et note(hervé) = 13 n'est pas un morphisme d'ordre Morphisme de treillis : soient (E 1, 1 ) et (E 2, 2 ) deux treillis. Une fonction f : E 1 E 2 est un morphisme de treillis si pour tout x et y de E 1, f(x) f(y)=f(x y) et f(x) f(y)=f(x y). Un morphisme qui respecte est un -morphisme, et un morphisme qui respecte est un -morphisme. Un morphisme est à la fois - morphisme et -morphisme. Théorème 8 : tout morphisme de treillis est un morphisme d ordre Preuve : si x 1 y, x y = x et f(x) = f(x) f(y) donc f(x) 2 f(y) Note : - un morphisme d ordre n est pas forcément un morphisme de treillis Exemple : - Id : (N,div) (N, ). 4 6 = 12 dans (N,div) et 4 6 = 6 dans (N, ) donc Id(4 6) = 12 Id(4) Id(6) = 6. Point fixe : une fonction f : E E admet un point fixe x si f(x) = x. Rôle des points fixes en programmation : Soit le programme suivant : Posons f la fonction qui à un programme P associe le programme suivant travaillant sur un entier n donné en entrée public int fact(int n){ if(n == 0) return 1; else return n*fact(n-1); } if(n == 0) return 1; else return n*p(n-1); La fonction fact définie précédemment est le point fixe de la fonction f. 7

8 Point fixe (2/2) La notion de point fixe apparait également dans les boucles qui peuvent être décrites comme des récursions. Point fixe et informatique public void boucle(){ } Exemple : la boucle while(cond) inst; peut être écrite sous forme de la fonction récursive suivante if(cond){ inst; boucle(); } La notion de point fixe et le théorème de point fixe sont utilisés largement en informatique base de données : mise à jour des données analyse de programme et compilation : transformation des boucles et récursions en points fixes, contrôle de terminaison contrôle de systèmes : stabilité, vérification de système... Théorème de point fixe Théorème (Knaster-Tarski, 1942) : toute fonction croissante d un treillis complet dans lui-même admet un plus petit et un plus grand point fixe (c est-à-dire que l ensemble des points fixes admet un inf et un sup) Preuve : soit f une fonction croissante d un treillis complet (T, ) dans lui-même. Posons F={x T, f(x) x}. F est non vide car sup(t) existe et sup(t) F (au besoin on le rajoute). Donc F admet une borne inférieure a = inf(f). f étant croissante, x F, a x => f(a) f(x) x. Donc f(a) est un minorant de F et f(a) a. Donc a F et est le minimum de F. Ainsi, si a est un point fixe de f, ce sera le plus petit, car tout point fixe de f est dans F. Or f(a) a => f(f(a)) f(a), donc f(a) F, d où a f(a). 8