TRIGONOMETRIE - EXERCICES CORRIGES

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1 Cours et eercices de mathématiques TRIGONOMETRIE - EXERCICES CORRIGES Trigonométrie rectangle Eercice n. Compléter les égalités en respectant bien les notations de l énoncé cos ABC = sin ABC = tan ABC = cos ACB = sin ACB = tan ACB = cosα = sinα = tanα = cos β = sin β = tan β = cos a = sin a = tan a = cosb = sin b = tan b = Eercice n. Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB= et ABC =. Calculer BC et AB Eercice n. Les dimensions du triangle OBM sont données sur la figure : Entourer parmi les données suivantes, celles qui sont correctes OB = sin BMO = OB = sin BOM = cos BOM = ( sin BOM + ( cos BOM = Eercice n 4. Le trapèze rectangle ABCD ci-contre est tel que AB = 5 cm, AD = 4 cm et DCB = 6 Déterminer les valeurs eactes du périmètre et de l aire de ce trapèze. A B Eercice n 5. Une tour est protégée par un large fossé. En se situant en A, l angle MAN vaut 4. En reculant de mètres ( AB = et en se positionnant en B, l angle MBN vaut 7. Les triangles AMN et BMN sont rectangles en M. En eprimant MN en fonction de AM de deu façons différentes (utiliser le fait que BM=BA+AM, calculer la longueur AM En déduire la hauteur de la tour (on donnera une valeur eacte, puis valeur approchée à un centimètre près. D C Le radian Eercice n Convertir en degrés : rad rad rad 4 rad 5 rad Convertir en radians : Eercice n 7. Eprimer, en fonction de R, le périmètre de la figure : Page /

2 Cours et eercices de mathématiques Eercice n 8. Soit C et C deu cercles de centre O, de rayons respectifs R et R (R <R et A et B deu points distincts de C. Pour aller de A à B, deu trajets sont possibles : Trajet : de A à B sur le cercle C Trajet : de A à A, puis de A à B sur le cercle C, et enfin de B à B. (la figure est indicative, et ne correspond pas au mesures suivantes On suppose que R=5, R =5 et α = rad. Lequel de ces deu trajets est le plus court? On suppose que R=, R =5 et α = rad. Lequel de ces deu trajets est le plus court? Trouver une condition sur α pour que : a les deu trajets aient même longueur. b Le trajet soit plus grand que le trajet. Arcs et angles orientés Eercice n 9. Donner une mesure en radians de l'angle formé par la petite aiguille et la grande aiguille d'une montre (plusieurs réponses sont possibles à h à h à 4 h 4 à 6 h 5 à 8 h Eercice n. Placer, sur le cercle trigonométriques ci-dessous les points M tels que 7 ( OI, OM = + k, k 6 8 Placer, sur le cercle trigonométriques ci-dessous les points N tels que ( OI, ON = + k, k Placer, sur le cercle trigonométriques ci-dessous les points P ( OI, OP = avec = + k Eercice n. Soir (C un cercle de centre A et B un point de (C Construire les points C,D,E et F du cercle (C tels que : 7 ( AB, AC = ( AB, AD = ( AB, AE = ( AB, AF = Déterminer une mesure puis la mesure principale de chacun des angles orientés suivants : AC, AE AD, AF AF, AC AF, AE ( ( ( Page / ( Eercice n. 5 Tracez le triangle équilatéral direct AEF et le triangle ABC isocèle rectangle direct en A. Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés suivants : AF, EF, AF, AF, ACE est un triangle isocèle direct de sommet principal A et tel que AC=5 et ( AC, AE = ( ( Angles associés Eercice n. Sachant que sin = ( Tout le monde sait bien que cos 8 ( (, et sans utiliser de calculatrice, donner une valeur eacte de cos et de tan = + (on ne cherchera pas à démontrer ce résultat!. Calculer sin 8

3 Cours et eercices de mathématiques Eercice n 4. Pour tout réel, simplifier l epression ( A ( cos cos = sin Eercice n 5. Déterminer la mesure de l angle vérifiant : sin = Sachant que cos = (on ne cherchera pas à démontrer ce résultat!, déterminer cos Déterminer une valeur eacte de sachant que sin = et cos = 4 Déterminer une valeur approchée à - près en radians de a sachant que cos,5 a ; a = et [ ] Calcul algébriques à l aide d epressions trigonométriques Eercice n 6. cost + cost Simplifier au maimum, pour tout réel t, l epression ( ( 4 4 Démontrez que pour tout nombre réel, : cos sin = cos sin puis que 4 4 cos sin = cos Eercice n 7. Démontrer que pour tout réel, cos( = cos ( Puisque vous connaissez cos 4 et cos, déterminez une valeur eacte de cos puis de cos 4 Equations et inéquations trigonométriques Eercice n 8. Résoudre dans les équations et inéquations suivantes : cos( = sin ( cos + = cos + 4 = sin > ( = ( cos( ( cos sin Eercice n 9. Eprimer cosacosb en fonction de cos( a+ b et cos( a b En effectuant un changement de variable que l'on précisera, démontrez que pour tous nombres réels p et q, on a : p+ q p q cos p+ cosq = cos cos En déduire les solutions de l'équation cos + cos + cos = Eercice n. Soit f la fonction définie sur par f ( = 4 + Faire une étude complète de la fonction f (limites, sens de variation, etc, dressez son tableau de variations, et tracez sa courbe représentative C dans un repère orthonormal (unité de longueur 4 cm Trouvez les solutions dans [ ; ] de l'équation, d'inconnue a sin a =. Représentez sur un cercle trigonométrique les points associés à ces solutions Montrez que pour tout nombre réel a, sin a = sin a 4sin a 4 Déduisez de la question les solutions de l'équation f ( =. Donnez-en des valeurs approchées à, près Page /

4 Cours et eercices de mathématiques Fonctions trigonométriques Eercice n. Soit f la fonction définie sur par f ( = sin On note (C la représentation graphique de f dans un repère orthonormal ( Oi ; ; j Calculer f ( ; f ( ; f ( ; f ( ; f ( ; f ( 6 8 Montrer que f est impaire. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative (C? Soit un nombre réel. Comparer f ( + et f (. Que peut-on en déduire pour f? 4 Démontrez que la fonction f est strictement croissante sur ; 4 4 puis strictement décroissante sur 5 Représenter graphiquement la fonction f sur l'intervalle 5 7 ; 4 4 Trigonométrie et limites Eercice n. On considère la fonction numérique f définie par f ( = sin Montrer que pour tout réel f( + En déduire les limites de f lorsque tend vers + et lorsque tend vers ; 4 4 Eercice n. Déterminer, à l'aide des théorèmes de comparaison, les limites en + et en de chacune des fonctions f suivantes (si + cos sin elles eistent: f( = f( = ; + Eercice n 4. Soit un réel de ;. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct (O; i, j, on considère les points : A(;, M(cos ;sin, P(cos ;. On considère de plus le point T intersection de (OM et de la perpendiculaire à (OA en A Montrer que AT = tan Soit A l'aire du triangle OAM, A l'aire du secteur de disque OAM et A l'aire du triangle OAT. En comparant ces aires, prouver que : sin tan. En déduire que cos sin. sin 4 Déterminer lim. > Eercice n 5. En utilisant le résultat lim sin = (cf eercice précédent, étudiez les limites en des fonctions : sin5 sin 5 4 tan sin sin 4 Calculs de dérivées Eercice n 6. Dans chacun des cas suivants, calculer la fonction dérivée de la fonction f en précisant le domaine de définition et le domaine de dérivabilité. f ( = cos sin sin sin 4 f ( = cos( sin( f( = f( = cos Page 4/

5 Cours et eercices de mathématiques Eercice n 7. sin cos En utilisant la définition du nombre dérivé, déterminer lim lim Eercice n 8. Dérivée n ième Calculer les dérivées d ordre à n, n, de f sur l intervalle I, avec f ( = cos et I = Trigonométrie et intégration Eercice n 9. Déterminer une primitive de f sur un intervalle contenu dans son ensemble de définition cos f ( = sin cos f ( = sincos f( = 4 f( = sin cos cos cos 5 f( = 6 f( = sur I= ; + sin sin 7 f ( = tan sur ; Eercice n. Vrai ou Fau? sin cos d = e (ln d =. 4 4 sin d = sin d. Eercice n. Etablir que Eercice n. sin d sin d Calculez l'intégrale I = sin d en utilisant la formule d'intégration par parties: Calculez l'intégrale I en utilisant deu fois le théorème de l'intégration par parties: I sin d = I = e sin d 4 I = e cos d sin Page 5/

6 Cours et eercices de mathématiques TRIGONOMETRIE - CORRECTION Trigonométrie rectangle Eercice n Dans un triangle rectangle, coté opposé sin =, hypothénuse coté adjacent cos = et hypothénuse coté opposé tan =. Ainsi coté adjacent cos AB ABC = BC sin AC ABC = BC tan AC ABC = AB cos AC ACB = BC sin AB ACB = BC tan AB ACB = AC b cosα = c a sinα = c a tanα = b a cos β = c b sin β = c b tan β = a n cos a = p m sin a = p m tan a = n m cosb = p n sin b = p n tan b = m Eercice n Dans le triangle ABC, rectangle en A, on peut écrire cos AB ABC =, d où : BC AB 6 BC = = = = =. De plus AC sin ABC = d où AC = BC sin = = cos ABC cos BC Eercice n Les affirmations vraies sont : OB =. En effet, on calcule la longueur OB dans le triangle rectangle grâce au théorème de Pythagore : OB = = donc OB = = = sin BM BOM = = OM sin BOM + cos BOM = (ceci est toujours vrai quel que sot l angle ( ( Les autres affirmations sont fausses. En effet OB = est fau puisque cos BOM = est fau car OB cos BOM = = = OM sin BMO = est fau car OB sin BMO = = = OM Page 6/ OB = (voir ci-dessus

7 Cours et eercices de mathématiques Eercice n 4 Notons E le projeté orthogonal de B sur [CD] Dans le triangle BEC, rectangle en E, on a : BE tan ( BCE tan ( 6 EC = = = tan 6 EC = = donc ( De plus, BE sin ( BCE sin ( 6 BC = = donc ( BC = = = = sin 6 / On en déduit que le périmètre du trapèze est égal à EC+BC, soit = tan 6 sin 6 L aire du trapèze vaut Page 7/ ( ( Grande base Petite base tan ( = + = + = + = hauteur tan 6 ( Eercice n 5 MN Dans le triangle AMN, rectangle en M, on écrit tan ( 4 MN AM tan ( 4 AM = = MN Dans le triangle MMN, rectangle en M, on écrit tan ( 7 MN BM tan ( 7 BM = = En utilisant le fait que BM=BA+AM, on écrit : MN = BM tan ( 7 = ( + AM tan ( 7 = tan ( 7 + AM tan ( 7 AM tan 4 = tan 7 + AM tan 7, c est-à-dire Si par ailleurs MN = AM tan ( 4, on aura donc ( ( ( tan ( 7 AM ( tan ( 4 tan ( 7 = tan ( 7 donc AM = tan ( 4 tan ( 7 On conclut donc que MN AM tan ( 4 = = La calculatrice fournit MN,74m ( ( ( ( tan 7 tan 4 tan 4 tan 7 Le radian Eercice n 6 mesure en radian 8 On applique la formule mesure en degré = 6 rad 9 rad rad rad rad mesure en degrés On applique la formule mesure en radians = rad 7 rad 8 6 rad rad rad Eercice n 7 Un angle au centre de α rad intercepte, sur un cercle de rayon R, un arc de mesure égale à L = R α L arc de cercle intercepté mesure donc R unités de longueur. Le périmètre de la figure vaut donc R + R+ R= 4R unités de longueur Eercice n 8 Un angle au centre de α rad intercepte, sur un cercle de rayon R, un arc de mesure égale à L = R α Dans le premier cas (R=5, R =5 et α = rad, le trajet a pour longueur T = 5 = 5 unités de longeur, tandis que le trajet a pour longueur T = AA BB = 5 unités de longeur donc T < T

8 Cours et eercices de mathématiques Dans le deuième cas (R=, R =5 et α = rad, le trajet a pour longueur T = = 9 unités de longeur, tandis que le trajet a pour longueur T = AA BB = 85 unités de longeur donc T < T Les deu trajets seront de la même longueur si et seulement si : αr = AA + αr + BB αr = ( R R + αr + ( R R (On remarque que cela ne dépend ni de R ni de R α( R R = ( R R α = Le trajet sera plus grand que le trajet si et seulement si αr < AA + αr + BB αr < R R + αr + R R ( R R ( R R α < α < Arcs et angles orientés Eercice n 9 ( ( à h, une mesure de l angle est à h, une mesure de l angle est 6 à 4 h, une mesure de l angle est à 6 h, une mesure de l angle est à 8 h, une mesure de l angle est Eercice n (figure en fin d eercice 7 ( Puisque = = + = 4 + = +, on peut écrire que un tour dans le sens trigo ( OI, OM = + + k, k = + l, l 8 ( 6 + Puisque = = = 6 ( un tour dans le sens trigo inverse = + l, l Attention à la division par : k Si = + k alors = + 6 Pour k =, on obtient = (point P 6 Pour k = on obtient = + = = (point P Pour k = on obtient = + = (point P 6 6 Pour k = on obtient = + = On retombe sur le point P 5 De même, pour k = - on obtient = =. 6 6 On retombe sur le point P OI, ON = 6 + k, k, on peut écrire ( ( Page 8/

9 Cours et eercices de mathématiques Eercice n (Au départ, le point B peut être choisi n importe où sur le cercle Par application de la relation de Chasles sur les angles orientés de vecteurs : ( AC, AE = ( AC, AB + ( AB, AE( ( AD, AF = ( AD, AB + ( AB, AF ( = AB, AC + AB, AE = AB, AD + AB, AF ( ( ( 7 = + 6 ( 5 = ( 6 ( AF, AC = ( AF, AB + ( AB, AC( = AB, AF + AB, AC ( ( ( = + 4 ( = = ( ( ( ( ( = ( = ( = ( ( AF, AE = ( AF, AB + ( AB, AE( = AB, AF + AB, AE ( ( ( 7 = = = Eercice n Si le triangle AEF est triangle équilatéral direct, alors AE=AF et ( AE, AF = Si le triangle ABC est isocèle rectangle direct en A, alors AB=AC et ( AB, AC = Par application de la relation de Chasles sur les angles orientés de uv, = u, v = uv,, on vecteurs, et de la propriété ( ( ( ( détermine : ( ( ( Page 9/

10 Cours et eercices de mathématiques AF, AB = AF, AE + AE, AC + AC, AB ( ( ( ( ( = = = ( ( ( ( AF, CB = ( AF, AE + ( AE, AC + ( AC, CB( = = + 5 ( CA, CB( ( CA, CB ( 89 = + = = ( ( ( EF, BC = EF, EA + EA, EC + EC, BC ( ( ( ( ( = + + ( CE, CB( 9 9 = + = ( CE, CB( ( = + = = ( AF, EC = ( AF, AE + ( AE, EC( = AF, AE + EA, EC ( ( ( ( ( ( ( EA, EC ( = + 9 = + = = ( ( ( Angles associés Eercice n En appliquant la formule ( sin + ( cos =, on peut écrire ( 8 8 cos = = ou cos = =. Mais puisque, cos donc 9 9 Par suite, sin / tan = = = = = cos / 4 En appliquant la formule ( ( cos + = sin + = sin ( = sin Page / car cos( u = sin u 8 cos = = =, donc 9 9 cos = + sin + cos =, on peut écrire sin = + = = On devrait donc écrire sin = ou sin = MAIS puisque, sin, de sorte que sin = Eercice n 4 Pour tout réel, cos( = cos( + = cos( = cos, formule connue Enfin, sin = cos = cos( + = cos car sin( u = cos u Ainsi A ( = cos( + cos + + sin = cos sin + cos = sin

11 Cours et eercices de mathématiques Eercice n 5 a= b+ k Puisqu on a l équivalence sin a= sin b ou et puisque sin =, on peut donc écrire que : 6 a = b + k, k = + k 6 5 sin = sin = sin. Mais l énoncé impose, on en déduit donc = = + l, l 6 Puisque = +, on peut écrire cos = cos + = cos = Puisque sin et cos, une mesure de l angle se trouve dans le «quart Nord-Ouest», c est-à-dire a= b+ k Puisqu on a l équivalence sin a= sin b ou a = b + k, k et puisque sin =, on peut donc écrire que : = + k, k sin = sin = sin = + l, l Mais puisque l énoncé impose, on en déduit donc 4 La calculatrice a ici nous aider : = MAIS ATTENTION! a ;, il faut retenir celui des deu angles que la calculatrice ne nous donne pas, à savoir Puisque l énoncé impose [ ] a,8 rad à - près Calcul algébriques à l aide d epressions trigonométriques Eercice n 6 On développe : Pour tout réel t, ( cost( + cost = ( cost = ( sin t Page / 4 4 Pour tout nombre réel, : cos sin = ( cos ( sin = ( cos sin cos + sin = cos sin 4 4 Puisque cos sin = cos sin, on poursuit : cos sin = cos cos = cos + cos = cos Eercice n 7 Pour tout réel, ( cos( = cos( + = cos( cos( sin( sin( = cos ( sin ( Dans l eercice précédent, on a établit que ( cos sin = cos cos = cos + cos = cos D où l égalité demandée En remarquant que =, et en appliquant la formule cos( a b = cos( acos( b + sin( asin( b, il vient : 4 6 cos cos cos cos sin sin = = + = + =

12 Cours et eercices de mathématiques Eercice n 8 Les équations trigonométriques, qui possèdent en général une infinité de solutions (sauf si on restreint l intervalle de définition, se résolvent presque eclusivement en utilisant les équivalences suivantes : a= b+ k a= b+ k cosa= cosb ou et sin a= sin b ou, a = b + k, k a = b + k, k ainsi qu à partir de certaines formules de trigonométrie cos( = Puisque cos =, on a donc 4 = + k, k 4 cos( = cos( = cos 4 ou = + k 4 sin ( = Puisque sin =, on a donc sin( = sin( = sin 6 6 k k, k = +, 6 = + k 8 5 k ou = k, k + ou = Ne surtout pas oublier de diviser également k par! cos + = cos + 4 ( = ( cos sin cos ( cos + = cos + 4 k, k + = + + k, k 4 = + 4 ou + = + + k, k ou 4= + k 4 4 = + k = + k k ou 4= + k ou = + 48 En utilisant la propriété cos X = sin X, l équation devient équivalente à k, k 5 k, k = + cos = + ( = cos = + + k = + k, k k k = +, k, k 5 = + 5 = k, k = + k, k (avec k = k = + k, k 4 cos = cos = cos ayant pour solutions, 4 ou = + k 4 cos a pour solutions : k ; k + + k 4 4 L équation ( ( On en déduit que l inéquation ( Page /

13 Cours et eercices de mathématiques sin ( > = + k 6 L équation sin ( = = sin ayant pour solutions : 6 ou = + k, k 6 k = +, k 8,(Ne surtout pas oublier de diviser également k par!, 5 k ou =, k 8 + k 5 k on en déduit que l inéquation sin ( > a pour solutions : ; + + k 8 8 Eercice n 9 Puisque cos( a+ b = cos( acos( b sin( asin( b et cos( a b = cos( acos( b + sin( asin( b, en additionnant les deu cos( a+ b + cos( a b lignes, on obtient cos( a+ b + cos( a b = cos( acos( b, c est-à-dire cos( acos( b = p + q p q Si on pose p = a+ b et q= a b, on aura, par demi-somme et demi-différence, a = et b =, de sorte cos( a+ b + cos( a b qu en remplaçant dans l écriture cos( acos( b =, on obtiendra cos cos cos p + q cos p q p + q p + q p q =, c est-à-dire l égalité souhaitée cos p+ cos q= cos cos p + q p q En appliquant la formule cos p+ cos q= cos cos au deu termes etrêmes du membre de gauche de + l équation, on obtient cos + cos = cos cos = cos( cos( = cos( cos( L équation cos + cos + cos = devient alors équivalente à cos( + cos( cos( = cos( + cos( = cos = ou + cos = ( ( La première équation cos( La deuième équation cos( = est équivalente à = + k = + k 4 = est équivalente à = ± + k Trigonométrie et fonctions Eercice n f est définie et dérivable sur en tant que fonction polynôme et pour tout, ( ( ( f ( = + = 4 = + On en déduit le signe de f ( et le tableau de variation de f : (pour les limites : lim f( lim 4 + = = et + lim f( lim 4 = =+ Page /

14 Cours et eercices de mathématiques k a= + k, k, 6 a= + k 8 L équation sin a = = sin est équivalente à ou ou l a= + l, l a= +, l 6 8 Les solutions appartenant à l intervalle [ ; ] sont obtenues pour k =,, et l =,,. Leurs valeurs rangées dans l ordre croissant sont ; ; ; ; ; ; Pour tout nombre réel a, sin a = sin ( a+ a = sin ( a cos( a + sin ( a cos( a Puisque par ailleurs cos( a = cos a = sin a et puisque sin ( a = sin acos a, on obtient : sin a= sin a sin a + sin a cos a cos a = ( ( ( ( ( ( a a ( a( a ( a a ( a( a = sin sin + sin cos = sin sin + sin sin ( a a ( a a a ( a = sin sin + sin sin = 4sin + sin 4 L équation f ( = s écrivant 4 + =, on pose = sin( a, et l équation devient 4( sin sin a + a=, c est-à-dire, compte tenu de la question, sin a = Or la question nous fournit les valeurs de a solutions : a ; ; ; ; ; ; Puisque = sin( a, il reste à «etraire» les trois valeurs différentes de sinus. En effet, les réels et ont même 8 8 sinus, puisque 7 =, et puisque pour tout α, sin ( α = sin ( α. De même, les réels 5 et ont même sinus, ainsi que les réels 5 9 et. Les solutions de l équation 8 8 f ( = sont donc 5 5 sin ;sin ;sin La calculatrice fournit,7,,77 et,94 à, près Fonctions trigonométriques Eercice n On calcule f ( = sin( = sin( =, f ( = sin( = sin( =, f ( = sin( = sin( = f ( = sin( = sin( =, f ( = sin( = sin( =, f ( = sin( = sin( = est symétrique par rapport à, et pour tout, f ( = sin ( ( = sin ( = sin ( = f(, ce car la fonction sinus est impaire qui prouve que f est impaire. Sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l origine O du repère ( Oi ; ; j Pour tout réel, on calcule f ( + = sin( ( + = sin( + = sin( = f( car la fonction sinus est périodique de période période. Il suffit de l étudier sur un intervalle d amplitude, par eemple ; Pour tout nombres réels a et b de l intervalle ; 4 4 avec a< b, on a a< b, et puisque 4 4 Page 4/. f est donc périodique de

15 Cours et eercices de mathématiques la fonction sinus est strictement croissante sur ;, on aboutira à sin sin ( a < sin ( b sin, c est-à-dire à f ( a < f ( b. La fonction f est donc strictement croissante sur ; 4 4 Pour tout nombres réels a et b de l intervalle ; 4 4 avec a< b, on a a< b, et puisque la 4 4 fonction sinus est strictement décroissante sur ;, on aboutira à ( ( sin sin a > sin b sin, c està-dire à f ( a > f ( b. La fonction f est donc strictement décroissante sur ; Représentation graphique de la fonction f sur l'intervalle ; 4 4 : Eercice n Pour tout réel sin + sin + f( + Puisque lim =+, on conclut, en utilisant le théorème de minoration, + que lim f( =+. Puisque lim + =, on conclut, en utilisant + le théorème de minoration, que lim f( =. Eercice n Puisque pour tout réel, on a cos, alors pour tout >, on a + cos + + cos, et par + cos + cos division par qui est >, on déduit que. Puisque lim =, en application du théorème d encadrement «des gendarmes», on a lim f( = + + Commençons par la limite lorsque +. On peut donc supposer que >. sin Puisque pour tout réel, on a sin, alors pour tout >, on a Puisque lim = lim = lim =, et puisque lim = lim = lim =, en application du théorème d encadrement dit «des gendarmes», on conclut que lim f( = + La limite lorsque se traite à l identique : on peut donc supposer que <. sin Puisque pour tout réel, on a sin, alors pour tout <, on a (l inégalité est en sens inverse de la prcédente Puisque lim = lim = lim =, et puisque lim = lim = lim =, en application du théorème d encadrement dit «des gendarmes», on conclut que lim f( = + Page 5/

16 Cours et eercices de mathématiques Eercice n 4 OA PM sin On a clairement A < A < A. On calcule : A = =, puis par proportionnalité de l aire et de la mesure du secteur angulaire, A = (car un angle de rad correspond à une aire de r = cm, donc un angle de rad OA AT tan tan correspond à une aire de =. Enfin A = = = sin tan Puisque A < A < A alors < <. En multipliant les trois membres de l inégalité par, on obtient le résultat attendu. sin En utilisant les deu premiers termes de l inégalité, on a sin < < (car > sin sin En utilisant les deu derniers termes de l inégalité, on a < tan < cos cos < (car > Puisque pour tout >, cos < sin <, et puisque lim cos =, on en conclut en application du théorème sin d encadrement dit «des gendarmes», que lim = > 4 si <, la configuration des triangles et des secteurs angulaires reste la même, mais les mesures de l aire (qui doivent sin tan être positives! sont alors égales à A =, A = et A = sin tan On a donc, pour <, < < sin < < tan. sin sin En utilisant les deu premiers termes de l inégalité, on a sin < < < (car -> En utilisant les deu derniers termes de l inégalité : sin sin sin on a < tan < cos < cos < (car ->. La conclusion de l eercice reste la même cos Eercice n 5 sin 5 sin sin5 sin u On écrit, pour tout >, = ==. En posant u = 5, on a limu =, et puisque lim =, 5 5 u u sin 5 sin5 5 on en déduit donc que lim =, donc par produit lim = 5 On écrit, pour tout >, =. Puisque lim sin =, on a aussi lim =, donc en particulier sin sin sin lim = (quitte à poser u =, d où, par produit, lim = sin sin sin5 sin sin 5 4 sin 5 On écrit, pour tout >, = =. Encore une fois, puisque lim = et sin 4 5 sin sin sin5 5 lim =, on conclut, par produit, que lim = sin 4 sin 4 4 tan sin sin 4 On écrit, pour tout >, = =. Puisque lim sin = et puisque lim cos = donc cos cos tan lim =, on conclut que lim = = cos Page 6/

17 Cours et eercices de mathématiques Eercice n 6 f ( = cos sin. f est définie et dérivable sur en tant que somme et produits de fonctions qui le sont. Pour tout f ( = cos + ( sin cos = cos sin cos donc f ( = cos sin sin dérivée d'un produit f( =. f est définie et dérivable sur ] ;[ ] ; [ dénominateur ne s annule pas sur ] ;[ ] ; + [. Pour tout ] ;[ ] ; [ + en tant que quotient de fonctions qui le sont, et dont le (cos (sin cos sin cos sin + f ( = = donc f ( = dérivée d'un quotient sin f( =. f est définie et dérivable sur \ + k, k = + k; + k cos k en tant que quotient de fonctions qui le sont, et dont le dénominateur ne s annule pas sur \ + k, k = + k; + k k Pour tout \ + k, k = + k; + k k, (cos (cos (sin ( sin (cos + (sin ( cos f ( = = = ( cos ( cos (sin + (tan = + dérivée d'un quotient ( cos 4 f ( = cos( sin(. f est définie et dérivable sur en tant que somme et produits de fonctions qui le sont. f ( = sin( cos( = sin( cos( donc f ( = sin( cos( Pour tout ( ( Eercice n 7 ( ( Sur I =, on calcule f ( = sin, puis f ( = cos, puis f ( = sin et enfin qui nous permet de conclure, de manière «cyclique» que : ( n Si n= 4m, n ( n f ( = cos Si n= 4m+, n f ( = sin ( n Si n= 4m+, n ( n f ( = cos Si n= 4m+, n f ( = sin ( 4 4 f ( = cos, ce Eercice n 8 Si on pose f ( = sin, définie sur, puisque ( est dérivable sur et pour tout, f ( cos sin lim = Si on pose f ( cos ( ( sin f f f = sin=, la limite lim se réécrit lim sin f ( f ( = donc lim = lim =, définie sur, puisque f = cos =, la limite f ( f lim f ( f cos lim = lim = f sin = =. Ainsi. Or f = f ( = cos=. Ainsi cos lim se réécrit. Or f est dérivable sur et pour tout, f ( = sin donc cos lim =. Page 7/

18 Cours et eercices de mathématiques Eercice n 9 La fonction f définie par f ( = sin cos est continue sur en tant que somme de fonctions qui le sont, donc il eiste une primitive définie sur par F( = cos sin f ( = sincos. f est définie et continue sur en tant que produit de fonctions qui le sont, et pour tout, f ( = cossin, donc de la forme f ( = u ( u(, où u ( = sin u ( = cos. Ainsi une primitive sur de f est définie par cos f( sin ( u ( ( sin F( = = = f est définie et continue sur \ { k, k } en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne s annulant pas, et pour appartenant à l un des intervalles k ;( k+ u ( f( =, où u( = sin u ( = cos, elle admet une primitive sur chaque intervalle k ;( k+ u( définie par ( F( = = u sin (, f étant de la forme sin 4 f( = f est définie et continue sur \ k, k en tant que quotient de fonctions qui le sont, le cos dénominateur ne s annulant pas, et pour appartenant à l un des intervalles k ;( k+, f étant de la forme u ( f( =, où u( = cos u ( = sin, elle admet une primitive sur chaque intervalle k ;( k+ u définie par 5 f( = ( ( F( = = u cos cos + sin ( f est définie et continue sur en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne s annulant pas, et pour, f étant de la forme primitive sur définie par ( f( F( = u = + sin u ( =, où ( ( u( u = + sin u = cos, elle admet une cos 6 f( =. f est définie et continue sur ; sin en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne s annulant pas, donc admet des primitives sur ;, et pour tout ; (, puisque cos u f( = =, ou sin u ( ( ( u( = sin u ( = cos, F( = ln u( = ln sin = ln sin, puisque ; sin >. 7 f ( = tan. f définie est continue sur ; en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne s annulant pas, donc admet des primitives sur ;, et pour tout ; (, puisque sin u f( = =, ou cos u ( = cos ( = sin, ( u u F( = ln ( u = ln ( cos = ln ( cos, puisque ; cos<. ( ( Page 8/

19 Cours et eercices de mathématiques Eercice n sin cos d = cos sin d == u u d On calcule ( ( ( où u( sin (( ( ( =. Ainsi u sin cos d= = sin sin = =. L affirmation est donc VRAIE e(ln e e (ln d = d u u d = où u( = ln. L affirmation est donc VRAIE On calcule ( ( e ( ( ( 4 4 sin d = sin e ( ln ( ln ( ( ln ( e (ln u e Ainsi d = = = = =. On peut déjà écrire que d sin 4. Comme la fonction est PAIRE sur [ ; ] 4 4 ( sin = ( sin ( = ( sin (, on a donc sin d = sin d. L égalité est donc FAUSSE (puisque ( Eercice n,, sin et Pour tout [ ], donc On «passe au intégrales» dans l inégalité. Ainsi Eercice n = sin = ( ( I d u v d sin sin sin d sin d où u( u ( = = et ( sin ( continûment dérivables. D après la formule d intégration par parties (IPP en abrégé ( ( ( ( [ ] ( [ ] I = u v u v d= cos cos d= + + sin = où ( ( = sin = ( ( I d u v d continûment dérivables. D après la formule d IPP, u u ( ( ( ( (, v = v = cos sont v = v = cos sont = = et ( sin ( I = u v u v d = cos cos d = + cos d On calcule l intégrale = en effectuant une ème IPP : = cos = ( ( J cosd ( = ( = et ( cos ( u u où J d u v d v = v = sin sont continûment dérivables. D après la formule d IPP, ( ( ( ( [ ] [ ] sin cos sin. Finalement, I = J = u v u v d= d= = = sin = ( ( I e d u v d où ( ( u e u e v = v = cos sont continûment = = et ( sin ( dérivables. D après la formule d IPP, = ( ( ( ( = cos ( cos I u v u v d e e d Page 9/

20 Cours et eercices de mathématiques e e cosd = + +. On calcule = en effectuant une ème IPP : = cos = ( ( J e cos d ( = ( = et ( cos ( u e u e [ ( ( ] ( ( J e d u v d où v = v = sin sont continûment dérivables. D après la formule d IPP, J = u v u v d = e sin e sin d = I e On aboutit donc à l équation I = e + I c est-à-dire I = e + et on conclut ainsi que I = 4 = cos = ( ( I e d u v d où ( ( u e u e + = = et ( cos ( v = v = sin sont I = u v u v d = e sin e sin d continûment dérivables. D après la formule d IPP, ( ( ( ( sin e d =. On calcule J e sind où ( u = e u ( = 4e et ( sin ( D après la formule d IPP, = en effectuant une ème IPP : = sin = ( ( v = v = cos sont continûment dérivables. ( ( ( ( ( J e d u v d cos 4 cos 4 cos 4 J = u v u v d= e e d= e + + e d= e + + I On aboutit donc à l équation I e 4I = c est-à-dire 5I e = et on conclut ainsi que I = ( e + 5 Page /