Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/51

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1 Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes Polytech Paris-UPMC - p. /5

2 Rappels mathématiques s Propriétés - p. 2/5

3 Rappels mathématiques Soit à résoudre le système linéaire Ax = b. Rappels mathématiques s Propriétés A M n (IR) : matrice carrée de dimension n n x, b IR n : vecteurs de dimension n. - p. 3/5

4 Rappels mathématiques Soit à résoudre le système linéaire Ax = b. Rappels mathématiques s Propriétés A M n (IR) : matrice carrée de dimension n n x, b IR n : vecteurs de dimension n. CNS d existence de la solution : Le système Ax = b a une solution unique si et seulement si son déterminant est non nul. - p. 3/5

5 Rappels mathématiques Soit à résoudre le système linéaire Ax = b. Rappels mathématiques s Propriétés A M n (IR) : matrice carrée de dimension n n x, b IR n : vecteurs de dimension n. CNS d existence de la solution : Le système Ax = b a une solution unique si et seulement si son déterminant est non nul. Si le déterminant est nul : Si b Im(A) le système a une infinité de solutions Si b IR n Im(A) le système n a pas de solution - p. 3/5

6 s : 2x + 3x 2 = 5 4x 3x 2 = Rappels mathématiques s Propriétés - p. 4/5

7 s : 2x + 3x 2 = 5 4x 3x 2 = Le déterminant vaut D = 8, le système a une solution unique x =, x 2 = Rappels mathématiques s Propriétés - p. 4/5

8 s : 2x + 3x 2 = 5 4x 3x 2 = Le déterminant vaut D = 8, le système a une solution unique x =, x 2 = 2 : 2x + 3x 2 = 5 4x + 6x 2 = 0 Rappels mathématiques s Propriétés - p. 4/5

9 s : 2x + 3x 2 = 5 4x 3x 2 = Le déterminant vaut D = 8, le système a une solution unique x =, x 2 = 2 : 2x + 3x 2 = 5 4x + 6x 2 = 0 Rappels mathématiques s Propriétés Le déterminant vaut D = 0, le système a une infinité de solutions : (, ) + λ (3, 2), (λ IR). - p. 4/5

10 s : 2x + 3x 2 = 5 4x 3x 2 = Le déterminant vaut D = 8, le système a une solution unique x =, x 2 = 2 : 2x + 3x 2 = 5 4x + 6x 2 = 0 Rappels mathématiques s Propriétés Le déterminant vaut D = 0, le système a une infinité de solutions : (, ) + λ (3, 2), (λ IR). 3 : 2x + 3x 2 = 5 4x + 6x 2 = 9 - p. 4/5

11 s : 2x + 3x 2 = 5 4x 3x 2 = Le déterminant vaut D = 8, le système a une solution unique x =, x 2 = 2 : 2x + 3x 2 = 5 4x + 6x 2 = 0 Rappels mathématiques s Propriétés Le déterminant vaut D = 0, le système a une infinité de solutions : (, ) + λ (3, 2), (λ IR). 3 : 2x + 3x 2 = 5 4x + 6x 2 = 9 Le déterminant vaut D = 0, le système n a pas de solution. - p. 4/5

12 Propriétés On ne change pas la solution d un système linéaire lorsque : Rappels mathématiques s Propriétés - p. 5/5

13 Propriétés On ne change pas la solution d un système linéaire lorsque : on permute deux lignes, Rappels mathématiques s Propriétés - p. 5/5

14 Propriétés On ne change pas la solution d un système linéaire lorsque : on permute deux lignes, on permute deux colonnes, Rappels mathématiques s Propriétés - p. 5/5

15 Propriétés On ne change pas la solution d un système linéaire lorsque : on permute deux lignes, on permute deux colonnes, on multiplie une ligne par un réel non nul, Rappels mathématiques s Propriétés - p. 5/5

16 Propriétés On ne change pas la solution d un système linéaire lorsque : on permute deux lignes, on permute deux colonnes, on multiplie une ligne par un réel non nul, on ajoute une ligne à une autre. Rappels mathématiques s Propriétés - p. 5/5

17 Propriétés On ne change pas la solution d un système linéaire lorsque : on permute deux lignes, on permute deux colonnes, on multiplie une ligne par un réel non nul, on ajoute une ligne à une autre. Rappels mathématiques s Propriétés Nous allons donc utiliser ces transformations pour se ramener à un cas simple. - p. 5/5

18 Propriétés On ne change pas la solution d un système linéaire lorsque : on permute deux lignes, on permute deux colonnes, on multiplie une ligne par un réel non nul, on ajoute une ligne à une autre. Rappels mathématiques s Propriétés Nous allons donc utiliser ces transformations pour se ramener à un cas simple.! Ces propriétés sont vraies dans IR pas dans IF - p. 5/5

19 Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire - p. 6/5

20 Les matrices triangulaires Pour certaines matrices, il est simple de calculer une solution. Définition Une matrice A = (a ij ) i,j n est triangulaire supérieure (respectivement inférieure) si i, j t.q. j > i (resp. j > i) a ij = 0 Si A est une matrice triangulaire supérieure, et si aucun élément diagonal n est nul, la solution du système Ax = b est : x n = b n a nn x i = b i n j=i+ a ijx j a ii Si A est une matrice triangulaire inférieure, et si aucun élément diagonal n est nul, la solution du système Ax = b est : x = b a x i = b i i j= a ijx j a ii Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire - p. 7/5

21 Algorithme de remontée Dans le cas des matrices triangulaires supérieures, l algorithme est donc le suivant. Données : A = (A[i, j]) i,j n, b = (b[i]) i n début x[n] b[n] A[n,n] pour i = n... faire sum 0 pour k = i +...n faire sum sum + A[i, k] x[k] x[i] b[i] sum A[i,i] Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire fin - p. 8/5

22 Algorithme de remontée Dans le cas des matrices triangulaires supérieures, l algorithme est donc le suivant. Données : A = (A[i, j]) i,j n, b = (b[i]) i n début x[n] b[n] A[n,n] pour i = n... faire sum 0 pour k = i +...n faire sum sum + A[i, k] x[k] x[i] b[i] sum A[i,i] Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire fin À partir d un système d équations linéaires quelconques, - p. 8/5

23 Algorithme de remontée Dans le cas des matrices triangulaires supérieures, l algorithme est donc le suivant. Données : A = (A[i, j]) i,j n, b = (b[i]) i n début x[n] b[n] A[n,n] pour i = n... faire sum 0 pour k = i +...n faire sum sum + A[i, k] x[k] x[i] b[i] sum A[i,i] Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire fin À partir d un système d équations linéaires quelconques, on triangularise le système, - p. 8/5

24 Algorithme de remontée Dans le cas des matrices triangulaires supérieures, l algorithme est donc le suivant. Données : A = (A[i, j]) i,j n, b = (b[i]) i n début x[n] b[n] A[n,n] pour i = n... faire sum 0 pour k = i +...n faire sum sum + A[i, k] x[k] x[i] b[i] sum A[i,i] Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire fin À partir d un système d équations linéaires quelconques, on triangularise le système, on résout le système triangulaire, - p. 8/5

25 Algorithme de remontée Dans le cas des matrices triangulaires supérieures, l algorithme est donc le suivant. Données : A = (A[i, j]) i,j n, b = (b[i]) i n début x[n] b[n] A[n,n] pour i = n... faire sum 0 pour k = i +...n faire sum sum + A[i, k] x[k] x[i] b[i] sum A[i,i] Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire fin À partir d un système d équations linéaires quelconques, on triangularise le système, on résout le système triangulaire, pour cela on utilise des permutations de lignes et de colonnes et des combinaisons linéaires de lignes. - p. 8/5

26 Méthodes Pour résoudre le système Ax = b, il faut appliquer les modifications à la fois à la matrice A et au vecteur b. Il y a deux cas possibles : Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire - p. 9/5

27 Méthodes Pour résoudre le système Ax = b, il faut appliquer les modifications à la fois à la matrice A et au vecteur b. Il y a deux cas possibles : On souhaite résoudre une seule équation Ax = b. Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire - p. 9/5

28 Méthodes Pour résoudre le système Ax = b, il faut appliquer les modifications à la fois à la matrice A et au vecteur b. Il y a deux cas possibles : On souhaite résoudre une seule équation Ax = b. On travaille sur la matrice [A b] qui a n lignes et n + colonnes C est l élimination de GAUSS Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire - p. 9/5

29 Méthodes Pour résoudre le système Ax = b, il faut appliquer les modifications à la fois à la matrice A et au vecteur b. Il y a deux cas possibles : On souhaite résoudre une seule équation Ax = b. On travaille sur la matrice [A b] qui a n lignes et n + colonnes C est l élimination de GAUSS Pour résoudre le système, il faut Une, Une remontée (solution d un système triangulaire). Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire - p. 9/5

30 Méthodes (suite) On doit résoudre plusieurs systèmes avec la même matrice Ax = b... Ax = b k. Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire - p. 0/5

31 Méthodes (suite) On doit résoudre plusieurs systèmes avec la même matrice Ax = b... Ax = b k. On décompose A en produit de deux matrices triangulaires (U est supérieure et L inférieure) : A = L U Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire - p. 0/5

32 Méthodes (suite) On doit résoudre plusieurs systèmes avec la même matrice Ax = b... Ax = b k. On décompose A en produit de deux matrices triangulaires (U est supérieure et L inférieure) : A = L U Une résolution se fait grâce à deux systèmes triangulaires { Ly k = b k Ax k = b k Ux k = y k Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire C est la décomposition LU - p. 0/5

33 Méthodes (suite) On doit résoudre plusieurs systèmes avec la même matrice Ax = b... Ax = b k. On décompose A en produit de deux matrices triangulaires (U est supérieure et L inférieure) : A = L U Une résolution se fait grâce à deux systèmes triangulaires { Ly k = b k Ax k = b k Ux k = y k Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire C est la décomposition LU Il faut une pour «préparer» la matrice et deux remontées par vecteur b k. - p. 0/5

34 Ce qu il reste à faire Comment triangulariser? Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire - p. /5

35 Ce qu il reste à faire Comment triangulariser? Quelles conditions? Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire - p. /5

36 Ce qu il reste à faire Comment triangulariser? Quelles conditions? Que faire pour les matrices singulières? Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire - p. /5

37 Ce qu il reste à faire Comment triangulariser? Quelles conditions? Que faire pour les matrices singulières? Que faire pour les matrices rectangulaires? Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire - p. /5

38 Ce qu il reste à faire Comment triangulariser? Quelles conditions? Que faire pour les matrices singulières? Que faire pour les matrices rectangulaires? du problème? Les matrices triangulaires Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu il reste à faire - p. /5

39 simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 2/5

40 simple Contrairement à ce qu on dit parfois, cette méthode a été rapportée pour la première fois par CHANG TS ANG au 2 e siècle avant JC. On l appelle aussi méthode fang-cheng. La méthode utilise : la multiplication par un scalaire la somme de deux lignes. Le but de la méthode est d annuler progressivement les coefficients qui se trouvent sous la diagonale. simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 3/5

41 On commence avec A une matrice n lignes et m colonnes simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 4/5

42 On commence avec A une matrice n lignes et m colonnes Il y a n étapes : simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 4/5

43 On commence avec A une matrice n lignes et m colonnes Il y a n étapes : À l étape k, on annule sous la diagonale les coefficients de la colonne k : simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 4/5

44 On commence avec A une matrice n lignes et m colonnes Il y a n étapes : À l étape k, on annule sous la diagonale les coefficients de la colonne k : On appelle k e pivot (p (k) ) le coefficient de la diagonale p (k) = a k,k À chaque ligne i > k on soustrait la ligne k multipliée par a i,k p (k) : j, k j m q = a i,k on fait a i,j = a i,j a k,j. q p (k) simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 4/5

45 On commence avec A une matrice n lignes et m colonnes Il y a n étapes : À l étape k, on annule sous la diagonale les coefficients de la colonne k : On appelle k e pivot (p (k) ) le coefficient de la diagonale p (k) = a k,k À chaque ligne i > k on soustrait la ligne k multipliée par a i,k p (k) : j, k j m q = a i,k on fait a i,j = a i,j a k,j. q p (k) Par définition i > k lorsque j = k on fait l opération : a i,k = a i,k a i,k = 0 en pratique il ne faut pas calculer ces coefficients pour éviter les erreurs de calcul. simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 4/5

46 On commence avec A une matrice n lignes et m colonnes Il y a n étapes : À l étape k, on annule sous la diagonale les coefficients de la colonne k : On appelle k e pivot (p (k) ) le coefficient de la diagonale p (k) = a k,k À chaque ligne i > k on soustrait la ligne k multipliée par a i,k p (k) : j, k j m q = a i,k on fait a i,j = a i,j a k,j. q p (k) Par définition i > k lorsque j = k on fait l opération : a i,k = a i,k a i,k = 0 en pratique il ne faut pas calculer ces coefficients pour éviter les erreurs de calcul. L algorithme ne fonctionne pas si l un des pivots est nul. simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 4/5

47 Algorithme de Données : A = (A[i, j]), n le nb de lignes, m le nb de colonnes début pour k =...n faire p A[k, k] pour i = k +...n faire q A[i, k] A[i, k] 0 pour j = k +...m faire A[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q p fin retourner A la matrice triangulaire - p. 5/5

48 Algorithme de Données : A = (A[i, j]), n le nb de lignes, m le nb de colonnes début pour k =...n faire p A[k, k] pour i = k +...n faire q A[i, k] A[i, k] 0 A pour j = k +...m faire A[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q p fin retourner A la matrice triangulaire - p. 5/5

49 Algorithme de Données : A = (A[i, j]), n le nb de lignes, m le nb de colonnes début pour k =...n faire p A[k, k] pour i = k +...n faire q A[i, k] A[i, k] 0 0 A (k ) pour j = k +...m faire A[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q p fin retourner A la matrice triangulaire - p. 5/5

50 Algorithme de Données : A = (A[i, j]), n le nb de lignes, m le nb de colonnes début pour k =...n faire p A[k, k] pour i = k +...n faire q A[i, k] A[i, k] 0 p () pour j = k +...m faire A[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q p 0 a 2... a k... a m p (k ) a kk a kk+ a km a k+k a k+k+ a k+m a nk a nk+ a nm fin retourner A la matrice triangulaire - p. 5/5

51 Algorithme de Données : A = (A[i, j]), n le nb de lignes, m le nb de colonnes début pour k =...n faire p A[k, k] pour i = k +...n faire q A[i, k] A[i, k] 0 p () pour j = k +...m faire A[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q p 0 a 2... a k... a m p (k ) a kk a kk+ a km a k+k a k+k+ a k+m a nk a nk+ a nm fin retourner A la matrice triangulaire - p. 5/5

52 Algorithme de Données : A = (A[i, j]), n le nb de lignes, m le nb de colonnes début pour k =...n faire p A[k, k] pour i = k +...n faire q A[i, k] A[i, k] 0 p () pour j = k +...m faire A[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q p 0 a 2... a k... a m p (k ) p a kk+ a km a k+k a k+k+ a k+m a nk a nk+ a nm fin retourner A la matrice triangulaire - p. 5/5

53 Algorithme de Données : A = (A[i, j]), n le nb de lignes, m le nb de colonnes début pour k =...n faire p A[k, k] pour i = k +...n faire q A[i, k] A[i, k] 0 p () pour j = k +...m faire A[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q p 0 a 2... a k... a m p (k ) p a kk+ a km a k+k a k+k+ a k+m a nk a nk+ a nm fin retourner A la matrice triangulaire - p. 5/5

54 Algorithme de Données : A = (A[i, j]), n le nb de lignes, m le nb de colonnes début pour k =...n faire p A[k, k] pour i = k +...n faire q A[i, k] A[i, k] 0 p () pour j = k +...m faire A[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q p 0 a 2... a k... a m p (k ) p q. a kk+ a km a k+k+. a k+m a nk a nk+ a nm fin retourner A la matrice triangulaire - p. 5/5

55 Algorithme de Données : A = (A[i, j]), n le nb de lignes, m le nb de colonnes début pour k =...n faire p A[k, k] pour i = k +...n faire q A[i, k] A[i, k] 0 p () pour j = k +...m faire A[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q p 0 a 2... a k... a m p (k ) p 0. a kk+ a km a k+k+. a k+m a nk a nk+ a nm fin retourner A la matrice triangulaire - p. 5/5

56 Algorithme de Données : A = (A[i, j]), n le nb de lignes, m le nb de colonnes début pour k =...n faire p A[k, k] pour i = k +...n faire q A[i, k] A[i, k] 0 p () pour j = k +...m faire A[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q p 0 a 2... a k... a m p (k ) p a kk+ a km 0 a k+k+ a k+m a nk a nk+ a nm fin retourner A la matrice triangulaire - p. 5/5

57 Algorithme de Données : A = (A[i, j]), n le nb de lignes, m le nb de colonnes début pour k =...n faire p A[k, k] pour i = k +...n faire q A[i, k] A[i, k] 0 p () pour j = k +...m faire A[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q p 0 a 2... a k... a m p (k ) p a kk+ a km 0 a k+k+ a k+m a nk a nk+ a nm fin retourner A la matrice triangulaire - p. 5/5

58 Algorithme de Données : A = (A[i, j]), n le nb de lignes, m le nb de colonnes début pour k =...n faire p A[k, k] pour i = k +...n faire q A[i, k] A[i, k] 0 p () pour j = k +...m faire A[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q p 0 a 2... a k... a m p (k ) p a kk+ a km 0 a k+k+ a k+m a nk+ a nm fin retourner A la matrice triangulaire - p. 5/5

59 Élimination de GAUSS Pour résoudre l équation Ax = b (n équations, n inconnues). simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 6/5

60 Élimination de GAUSS Pour résoudre l équation Ax = b (n équations, n inconnues). Construire la matrice [Ab] (n colonnes n + lignes). simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 6/5

61 Élimination de GAUSS Pour résoudre l équation Ax = b (n équations, n inconnues). Construire la matrice [Ab] (n colonnes n + lignes). Triangulariser la matrice. simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 6/5

62 Élimination de GAUSS Pour résoudre l équation Ax = b (n équations, n inconnues). Construire la matrice [Ab] (n colonnes n + lignes). Triangulariser la matrice. Appliquer l algorithme de remontée simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 6/5

63 Élimination de GAUSS Pour résoudre l équation Ax = b (n équations, n inconnues). Construire la matrice [Ab] (n colonnes n + lignes). Triangulariser la matrice. Appliquer l algorithme de remontée 2 n3 3 opérations pour la, n2 pour la remontée. simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 6/5

64 Élimination de GAUSS Pour résoudre l équation Ax = b (n équations, n inconnues). Construire la matrice [Ab] (n colonnes n + lignes). Triangulariser la matrice. Appliquer l algorithme de remontée 2 n3 3 opérations pour la, n2 pour la remontée. Par exemple : x = simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 6/5

65 2 3 2 simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 7/5

66 simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 7/5

67 simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 7/5

68 simple Algorithme de Élimination de GAUSS p. 7/5

69 remontée simple Algorithme de Élimination de GAUSS p. 7/5

70 remontée x 3 = = simple Algorithme de Élimination de GAUSS p. 7/5

71 remontée x 3 = = x 2 = ( ( )) = 0 simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 7/5

72 remontée x 3 = = x 2 = ( ( )) = 0 x = 4 (3 ( ) + 2 0) = 7 simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 7/5

73 remontée Donc x 3 = = x 2 = ( ( )) = 0 x = 4 (3 ( ) + 2 0) = 7 x = 7 0 simple Algorithme de Élimination de GAUSS - p. 7/5

74 Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 8/5

75 Décomposition LU Pour «préparer la matrice» on souhaite la factoriser en deux matrices triangulaires : p U p A = p L 3 Pour construire L et U on utilise l élimination de GAUSS en «se souvenant» des opérations faites. Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 9/5

76 Décomposition LU Pour «préparer la matrice» on souhaite la factoriser en deux matrices triangulaires : p U p A = p L 3 Pour construire L et U on utilise l élimination de GAUSS en «se souvenant» des opérations faites. En effet à la fin de la, on obtient U : 0 A C A Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 9/5

77 Décomposition LU Pour «préparer la matrice» on souhaite la factoriser en deux matrices triangulaires : p U p A = p L 3 Pour construire L et U on utilise l élimination de GAUSS en «se souvenant» des opérations faites. En effet à la fin de la, on obtient U : 0 p A C A Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 9/5

78 Décomposition LU Pour «préparer la matrice» on souhaite la factoriser en deux matrices triangulaires : p U p A = p L 3 Pour construire L et U on utilise l élimination de GAUSS en «se souvenant» des opérations faites. En effet à la fin de la, on obtient U : 0 p p 2 A C A Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 9/5

79 Décomposition LU Pour «préparer la matrice» on souhaite la factoriser en deux matrices triangulaires : p U p A = p L 3 Pour construire L et U on utilise l élimination de GAUSS en «se souvenant» des opérations faites. En effet à la fin de la, on obtient U : 0 p p 2 U... p n C A Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 9/5

80 Décomposition LU Pour «préparer la matrice» on souhaite la factoriser en deux matrices triangulaires : p U p A = p L 3 Pour construire L et U on utilise l élimination de GAUSS en «se souvenant» des opérations faites. En effet à la fin de la, on obtient U : 0 p p 2 U... p n C A Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme Une étape de l élimination revient à multiplier A par une matrice M (k) quelle est la forme de cette matrice? - p. 9/5

81 Soient m k i = a ik a kk et M (k) = k e colonne... m k k+. m k n... Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 20/5

82 Soient m k i = a ik a kk et M (k) = Alors : k e colonne... m k k+. m k n 0 A = A C A Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 20/5

83 Soient m k i = a ik a kk et M (k) = Alors : k e colonne... m k k+. m k n 0. B M () A =. A 0 p A () C A Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 20/5

84 Soient m k i = a ik a kk et M (k) = Alors : 0 M (2). C A k e colonne... m k k+. m k n 0. B M () A =. A 0 p p 2 A (2) C A Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 20/5

85 Soient m k i = a ik a kk et M (k) = Alors : 0 M (n ) 0 C B M (2). C A k e colonne... m k k+. m k n 0. B M () A =. A 0 p p 2 U... p n C A Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 20/5

86 Soient m k i = a ik a kk et M (k) = Alors : 0 M (n ) 0 C B M (2). C A k e colonne... m k k+. m k n 0. B M () A =. A 0 p p 2 U... p n C A Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme Nous avons donc M A = U - p. 20/5

87 Calcul de la matrice L A-t-on obtenu les matrices U et L de la décomposition? Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 2/5

88 Calcul de la matrice L A-t-on obtenu les matrices U et L de la décomposition? le produit de deux matrices triangulaires inférieures est triangulaire inférieure, L inverse d une matrice triangulaire inférieure est une matrice triangulaire inférieure. Lorsqu elle existe la décomposition est unique. Cela nous prouve que la matrice U obtenue est celle de la décomposition LU et que la matrice M est l inverse de la matrice L recherchée. Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 2/5

89 Calcul de la matrice L A-t-on obtenu les matrices U et L de la décomposition? le produit de deux matrices triangulaires inférieures est triangulaire inférieure, L inverse d une matrice triangulaire inférieure est une matrice triangulaire inférieure. Lorsqu elle existe la décomposition est unique. Cela nous prouve que la matrice U obtenue est celle de la décomposition LU et que la matrice M est l inverse de la matrice L recherchée. Pour calculer la matrice L il faut : Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 2/5

90 Calcul de la matrice L A-t-on obtenu les matrices U et L de la décomposition? le produit de deux matrices triangulaires inférieures est triangulaire inférieure, L inverse d une matrice triangulaire inférieure est une matrice triangulaire inférieure. Lorsqu elle existe la décomposition est unique. Cela nous prouve que la matrice U obtenue est celle de la décomposition LU et que la matrice M est l inverse de la matrice L recherchée. Pour calculer la matrice L il faut : Inverser les M (i), Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme Calculer le produit : L = M () M (2) M (3) M (n ) - p. 2/5

91 Inverse de la matrice M (i) On peut montrer que : i e colonne i e colonne X j e colonne Y =... X + Y X... Y si i = j si i < j i e colonne j e colonne - p. 22/5

92 Calcul de L Donc M (k) est inversible d inverse L (k) avec :... M (k) = m k k+... m k n Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 23/5

93 Calcul de L Donc M (k) est inversible d inverse L (k) avec : M (k) =... m k k+... m k n L (k) =... m k k+... Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme m k n - p. 23/5

94 Calcul de L (suite) La matrice L de la décomposition est : L = L () L (2) L (n ) Décomposition LU = Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 24/5

95 Calcul de L (suite) La matrice L de la décomposition est : L = = L () L (2) L (n ) m 2... m k k+.... m n... m k n... m n n Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme Rappel : les m k i sont les coefficients de l élimination de GAUSS m k i = a ik a kk - p. 24/5

96 Algorithme Données : A = (A[i, j]), n le nombre de lignes et colonnes début pour k =...n faire p A[k, k] pour i = k +...n faire q A[i, k] A[i, k] 0 Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme pour j = k +...n faire A[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q p fin retourner - p. 25/5

97 Algorithme Données : A = (A[i, j]), n le nombre de lignes et colonnes début U A pour k =...n faire p U[k, k] pour i = k +...n faire q U[i, k] U[i, k] 0 Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme pour j = k +...n faire U[i, j] = U[i, j] U[k, j]. q p fin retourner U la matrice triangulaire supérieure, - p. 25/5

98 Algorithme Données : A = (A[i, j]), n le nombre de lignes et colonnes début U A L I pour k =...n faire p U[k, k] pour i = k +...n faire q U[i, k] U[i, k] 0 L[i, k] q p pour j = k +...n faire U[i, j] = U[i, j] U[k, j]. q p Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme fin retourner U la matrice triangulaire supérieure, L la matrice triangulaire inférieure - p. 25/5

99 Décomposition de la matrice Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 26/5

100 Décomposition de la matrice U (0) = L (0) = Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 26/5

101 Décomposition de la matrice U (0) = U () = L (0) = L () = Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 26/5

102 Décomposition de la matrice U (0) = U () = U (2) = L (0) = L () = L (2) = Décomposition LU Calcul de la matrice L Inverse de la matrice M (i) Calcul de L Calcul de L (suite) Algorithme - p. 26/5

103 Pivots nuls (suite) - p. 27/5

104 Cet algorithme est applicable sur A ssi tous les pivots p (k) sont non nuls. Comment être sur que ces pivots ne seront pas nuls? - p. 28/5

105 Cet algorithme est applicable sur A ssi tous les pivots p (k) sont non nuls. Comment être sur que ces pivots ne seront pas nuls? Théorème L élimination de GAUSS fonctionne sur une matrice A = (a ij ) i,j n si et seulement si toutes ses matrices principales («en coin») A k = (a ij ) i,j k sont inversibles a a 2 a 3... a n a 2 a 22 a a 2n a 3 a 32 a a 3n a n a n2 a n3... a nn - p. 28/5

106 Cet algorithme est applicable sur A ssi tous les pivots p (k) sont non nuls. Comment être sur que ces pivots ne seront pas nuls? Théorème L élimination de GAUSS fonctionne sur une matrice A = (a ij ) i,j n si et seulement si toutes ses matrices principales («en coin») A k = (a ij ) i,j k sont inversibles Aa a 2 a 3... a n a 2 a 22 a a 2n a 3 a 32 a a 3n a n a n2 a n3... a nn - p. 28/5

107 Cet algorithme est applicable sur A ssi tous les pivots p (k) sont non nuls. Comment être sur que ces pivots ne seront pas nuls? Théorème L élimination de GAUSS fonctionne sur une matrice A = (a ij ) i,j n si et seulement si toutes ses matrices principales («en coin») A k = (a ij ) i,j k sont inversibles a a 2 a 3... a n A a 2 2 a 22 a a 2n a 3 a 32 a a 3n a n a n2 a n3... a nn - p. 28/5

108 Cet algorithme est applicable sur A ssi tous les pivots p (k) sont non nuls. Comment être sur que ces pivots ne seront pas nuls? Théorème L élimination de GAUSS fonctionne sur une matrice A = (a ij ) i,j n si et seulement si toutes ses matrices principales («en coin») A k = (a ij ) i,j k sont inversibles a a 2 a 3... a n a 2 Aa 22 a a 2n a 3 a 32 a a 3n a n a n2 a n3... a nn - p. 28/5

109 Cet algorithme est applicable sur A ssi tous les pivots p (k) sont non nuls. Comment être sur que ces pivots ne seront pas nuls? Théorème L élimination de GAUSS fonctionne sur une matrice A = (a ij ) i,j n si et seulement si toutes ses matrices principales («en coin») A k = (a ij ) i,j k sont inversibles a a 2 a 3... a n a 2 a 22 a a 2n A a 3 a 4 32 a a 3n a n a n2 a n3... a nn - p. 28/5

110 Cet algorithme est applicable sur A ssi tous les pivots p (k) sont non nuls. Comment être sur que ces pivots ne seront pas nuls? Théorème L élimination de GAUSS fonctionne sur une matrice A = (a ij ) i,j n si et seulement si toutes ses matrices principales («en coin») A k = (a ij ) i,j k sont inversibles a a 2 a 3... a n a 2 a 22 a a 2n a 3 aa 32 a n = A a 3n a n a n2 a n3... a nn - p. 28/5

111 Cet algorithme est applicable sur A ssi tous les pivots p (k) sont non nuls. Comment être sur que ces pivots ne seront pas nuls? Théorème L élimination de GAUSS fonctionne sur une matrice A = (a ij ) i,j n si et seulement si toutes ses matrices principales («en coin») A k = (a ij ) i,j k sont inversibles a a 2 a 3... a n a 2 a 22 a a 2n a 3 a 32 a a 3n a n a n2 a n3... a nn Cela ne donne pas de moyen à priori pour savoir si la méthode fonctionne. - p. 28/5

112 Pivots nuls Le fait qu une matrice principale A k ne soit pas inversible ne signifie pas que la matrice A n est pas inversible. Pivots nuls (suite) - p. 29/5

113 Pivots nuls Le fait qu une matrice principale A k ne soit pas inversible ne signifie pas que la matrice A n est pas inversible. Par exemple : ( 0 ) 0 0 Pivots nuls (suite) ces matrices sont inversibles et peuvent être triangularisées par une méthode un peu plus complexe. - p. 29/5

114 Pivots nuls Le fait qu une matrice principale A k ne soit pas inversible ne signifie pas que la matrice A n est pas inversible. Par exemple : ( 0 ) 0 0 Pivots nuls (suite) ces matrices sont inversibles et peuvent être triangularisées par une méthode un peu plus complexe. L avis du mathématicien : «si un pivot est nul, alors on permute deux lignes» - p. 29/5

115 Pivots nuls Le fait qu une matrice principale A k ne soit pas inversible ne signifie pas que la matrice A n est pas inversible. Par exemple : ( 0 ) 0 0 Pivots nuls (suite) ces matrices sont inversibles et peuvent être triangularisées par une méthode un peu plus complexe. L avis du mathématicien : «si un pivot est nul, alors on permute deux lignes» car : Théorème Si tous les pivots possibles sont nuls alors la matrice est singulière - p. 29/5

116 Pivots nuls Le fait qu une matrice principale A k ne soit pas inversible ne signifie pas que la matrice A n est pas inversible. Par exemple : ( 0 ) 0 0 Pivots nuls (suite) ces matrices sont inversibles et peuvent être triangularisées par une méthode un peu plus complexe. L avis du mathématicien : «si un pivot est nul, alors on permute deux lignes» car : Théorème Si tous les pivots possibles sont nuls alors la matrice est singulière Pourquoi cela n est-il pas satisfaisant? - p. 29/5

117 En modifiant légèrement la matrice précédente : 0 0 x = 0 2 La solution est (,, ). Appliquons la méthode de avec 4 chiffres décimaux de précision en arrondi au plus près. Pivots nuls (suite) - p. 30/5

118 En modifiant légèrement la matrice précédente : x = 0 2 La solution est (,, ). Appliquons la méthode de avec 4 chiffres décimaux de précision en arrondi au plus près. Pivots nuls (suite) - p. 30/5

119 En modifiant légèrement la matrice précédente : x = 0 2 La solution est (,, ). Appliquons la méthode de avec 4 chiffres décimaux de précision en arrondi au plus près. La matrice A devient : A = Pivots nuls (suite) - p. 30/5

120 En modifiant légèrement la matrice précédente : x = 0 2 La solution est (,, ). Appliquons la méthode de avec 4 chiffres décimaux de précision en arrondi au plus près. La matrice A devient : A = Pivots nuls (suite) - p. 30/5

121 (suite) x = p. 3/5

122 (suite) x = p. 3/5

123 (suite) E 4 0 x = p. 3/5

124 (suite) E E 4 0 x = x = p. 3/5

125 (suite) E E x = x = p. 3/5

126 (suite) E E E4 x = x = E4 - p. 3/5

127 (suite) Donc E E E4 x 3 x 2 x = = E4 x = E4 = = E 4 = 0 x = = E4 - p. 3/5

128 (suite) Donc E E E4 x 3 x 2 x = = E4 x = E4 = = E 4 = 0 x = = Suite aux erreurs d arrondis, la solution fournie est E4 au lieu de - p. 3/5

129 (suite) Donc E E E4 x 3 x 2 x = = E4 x = E4 = = E 4 = 0 x = = Suite aux erreurs d arrondis, la solution fournie est E4 au lieu de Pour résoudre ce problème on recherche les pivots maximaux. - p. 3/5

130 Pivot partiel Élimination avec pivot partiel Pivot total Résumé Effet sur la décomposition LU Matrice de permutation Propriétés des matrices de permutation Décomposition PLU Algorithme (suite) - p. 32/5

131 Nous n avons pas utilisé les deux propriétés suivantes : On ne change pas la solution du système lorsque on permute deux lignes, On ne change pas la solution du système lorsque on permute deux colonnes. - p. 33/5

132 Nous n avons pas utilisé les deux propriétés suivantes : On ne change pas la solution du système lorsque on permute deux lignes, On ne change pas la solution du système lorsque on permute deux colonnes. Or la permutation est une opération qui ne cause aucune erreur de calcul. - p. 33/5

133 Nous n avons pas utilisé les deux propriétés suivantes : On ne change pas la solution du système lorsque on permute deux lignes, On ne change pas la solution du système lorsque on permute deux colonnes. Or la permutation est une opération qui ne cause aucune erreur de calcul. On peut utiliser cette propriété pour choisir le pivot le plus grand (en valeur absolue). En ne permutant que les lignes, c est l algorithme de GAUSS avec pivot partiel. simple - p. 33/5

134 Nous n avons pas utilisé les deux propriétés suivantes : On ne change pas la solution du système lorsque on permute deux lignes, On ne change pas la solution du système lorsque on permute deux colonnes. Or la permutation est une opération qui ne cause aucune erreur de calcul. On peut utiliser cette propriété pour choisir le pivot le plus grand (en valeur absolue). En ne permutant que les lignes, c est l algorithme de GAUSS avec pivot partiel. simple En permutant les lignes et les colonnes, c est l algorithme de GAUSS avec pivot total. stable - p. 33/5

135 Pivot partiel rechercher le pivot maximal parmi les éléments de la colonne k situés sous la diagonale. p k = a s,k avec a s,k = max i=k...n a i,k permuter les lignes s et k de la matrice A (k ), ce qui revient uniquement à changer l ordre des équations. Si tous les pivots de cette colonne sont nuls, la matrice est singulière. «Si tous les pivots de cette colonne sont proches de 0, la matrice est soit singulière mais mal calculée, soit proche d une matrice singulière donc instable». 0 p 0 a 2... a k a m pk a kk. a nk a kk+. a nk a km.. a nm C A Pivot partiel Élimination avec pivot partiel Pivot total Résumé Effet sur la décomposition LU Matrice de permutation Propriétés des matrices de permutation Décomposition PLU Algorithme (suite) - p. 34/5

136 Élimination avec pivot partiel début pour k =...n faire p A[k, k] ; pour i = k +...n faire q A[i, k] ; A[i, k] 0 pour j = k +...m faire A[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q p Pivot partiel Élimination avec pivot partiel Pivot total Résumé Effet sur la décomposition LU Matrice de permutation Propriétés des matrices de permutation Décomposition PLU Algorithme (suite) fin retourner A la matrice triangulaire - p. 35/5

137 Élimination avec pivot partiel début pour k =...n faire p A[k, k] ; l k pour i = k...n faire si A[i, k] > p alors p A[i, k] ; l i pour i = k +...n faire q A[i, k] ; A[i, k] 0 pour j = k +...m faire A[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q p Pivot partiel Élimination avec pivot partiel Pivot total Résumé Effet sur la décomposition LU Matrice de permutation Propriétés des matrices de permutation Décomposition PLU Algorithme (suite) fin retourner A la matrice triangulaire - p. 35/5

138 Élimination avec pivot partiel début pour k =...n faire p A[k, k] ; l k pour i = k...n faire si A[i, k] > p alors p A[i, k] ; l i si l k alors pour j = k...m faire temp A[k, j] ; A[k, j] A[l, j] ; A[l, j] temp pour i = k +...n faire q A[i, k] ; A[i, k] 0 pour j = k +...m faire A[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q p Pivot partiel Élimination avec pivot partiel Pivot total Résumé Effet sur la décomposition LU Matrice de permutation Propriétés des matrices de permutation Décomposition PLU Algorithme (suite) fin retourner A la matrice triangulaire - p. 35/5

139 Pivot total rechercher le pivot maximal parmi les éléments de la sous-matrice [a i,j ] (i k, j k). p k = a s,t avec a s,t = max i=k...n, j=k...n a i,j permuter les lignes s et k permuter les colonnes t et k, ce qui modifie l ordre des inconnues 0 p 0 a 2... a k a m pk a kk. a nk a kk+. a nk a km.. a nm C A Pivot partiel Élimination avec pivot partiel Pivot total Résumé Effet sur la décomposition LU Matrice de permutation Propriétés des matrices de permutation Décomposition PLU Algorithme (suite) - p. 36/5

140 Résumé Pivot partiel Élimination avec pivot partiel Pivot total Résumé Effet sur la décomposition LU Matrice de permutation Propriétés des matrices de permutation Décomposition PLU Algorithme (suite) - p. 37/5

141 Effet sur la décomposition LU Est ce que l inversion de lignes ou de colonnes est possible lorsqu on veut la décomposition LU? Pivot partiel Élimination avec pivot partiel Pivot total Résumé Effet sur la décomposition LU Matrice de permutation Propriétés des matrices de permutation Décomposition PLU Algorithme (suite) - p. 38/5

142 Effet sur la décomposition LU Est ce que l inversion de lignes ou de colonnes est possible lorsqu on veut la décomposition LU? Matriciellement, à quoi correspond ces permutations? Pivot partiel Élimination avec pivot partiel Pivot total Résumé Effet sur la décomposition LU Matrice de permutation Propriétés des matrices de permutation Décomposition PLU Algorithme (suite) - p. 38/5

143 Effet sur la décomposition LU Est ce que l inversion de lignes ou de colonnes est possible lorsqu on veut la décomposition LU? Matriciellement, à quoi correspond ces permutations? Peut-on appliquer les deux formes de recherche de pivot maximaux à l algorithme de décomposition LU? Pivot partiel Élimination avec pivot partiel Pivot total Résumé Effet sur la décomposition LU Matrice de permutation Propriétés des matrices de permutation Décomposition PLU Algorithme (suite) - p. 38/5

144 Matrice de permutation Permuter deux lignes d une matrice correspond la multiplier à gauche par une matrice de la forme : i e colonne... 0 P ij =... j e colonne p. 39/5

145 Matrice de permutation Permuter deux lignes d une matrice correspond la multiplier à gauche par une matrice de la forme : i e colonne... 0 P ij =... j e colonne 0... Alors, l élimination de GAUSS avec permutation revient à obtenir : A = A - p. 39/5

146 Matrice de permutation Permuter deux lignes d une matrice correspond la multiplier à gauche par une matrice de la forme : i e colonne... 0 P ij =... j e colonne 0... Alors, l élimination de GAUSS avec permutation revient à obtenir : M () P,l A = A - p. 39/5

147 Matrice de permutation Permuter deux lignes d une matrice correspond la multiplier à gauche par une matrice de la forme : i e colonne... 0 P ij =... j e colonne 0... Alors, l élimination de GAUSS avec permutation revient à obtenir : M (2) P 2,l2 M () P,l A = A 2 - p. 39/5

148 Matrice de permutation Permuter deux lignes d une matrice correspond la multiplier à gauche par une matrice de la forme : i e colonne... 0 P ij =... j e colonne 0... Alors, l élimination de GAUSS avec permutation revient à obtenir : M (n 2) P n 2,ln 2 M (2) P 2,l2 M () P,l A = A n 2 - p. 39/5

149 Matrice de permutation Permuter deux lignes d une matrice correspond la multiplier à gauche par une matrice de la forme : i e colonne... 0 P ij =... j e colonne 0... Alors, l élimination de GAUSS avec permutation revient à obtenir : M (n ) P n,ln M (n 2) P n 2,ln 2 M (2) P 2,l2 M () P,l A = U - p. 39/5

150 Matrice de permutation Permuter deux lignes d une matrice correspond la multiplier à gauche par une matrice de la forme : i e colonne... 0 P ij =... j e colonne 0... Alors, l élimination de GAUSS avec permutation revient à obtenir : M (n ) P n,ln M (n 2) P n 2,ln 2 M (2) P 2,l2 M () P,l A = U La matrice M obtenue n est plus triangulaire inférieure - p. 39/5

151 Matrice de permutation Permuter deux lignes d une matrice correspond la multiplier à gauche par une matrice de la forme : i e colonne... 0 P ij =... j e colonne 0... Alors, l élimination de GAUSS avec permutation revient à obtenir : M (n ) P n,ln M (n 2) P n 2,ln 2 M (2) P 2,l2 M () P,l A = U La matrice M obtenue n est plus triangulaire inférieure - p. 39/5

152 Propriétés des matrices de permutation Par contre, il est possible de commuter les matrices de permutation et les matrices M (k). Si k < i < j : P ij M (k) = M (k) P ij où M (k) est la matrice M (k) dont les coefficients i et j ont été échangés. Pivot partiel Élimination avec pivot partiel Pivot total Résumé Effet sur la décomposition LU Matrice de permutation Propriétés des matrices de permutation Décomposition PLU Algorithme (suite) - p. 40/5

153 Propriétés des matrices de permutation Par contre, il est possible de commuter les matrices de permutation et les matrices M (k). Si k < i < j : P ij M (k) = M (k) P ij où M (k) est la matrice M (k) dont les coefficients i et j ont été échangés. M (k) est de la même forme que M (k) donc elle est triangulaire inférieure et elle est inversée de la même façon Pivot partiel Élimination avec pivot partiel Pivot total Résumé Effet sur la décomposition LU Matrice de permutation Propriétés des matrices de permutation Décomposition PLU Algorithme (suite) - p. 40/5

154 Propriétés des matrices de permutation Par contre, il est possible de commuter les matrices de permutation et les matrices M (k). Si k < i < j : P ij M (k) = M (k) P ij où M (k) est la matrice M (k) dont les coefficients i et j ont été échangés. M (k) est de la même forme que M (k) donc elle est triangulaire inférieure et elle est inversée de la même façon Finalement, ˆM (n ) ˆM (2) ˆM() P n,ln P 2l2 P l A = U Pivot partiel Élimination avec pivot partiel Pivot total Résumé Effet sur la décomposition LU Matrice de permutation Propriétés des matrices de permutation Décomposition PLU Algorithme (suite) - p. 40/5

155 Propriétés des matrices de permutation Par contre, il est possible de commuter les matrices de permutation et les matrices M (k). Si k < i < j : P ij M (k) = M (k) P ij où M (k) est la matrice M (k) dont les coefficients i et j ont été échangés. M (k) est de la même forme que M (k) donc elle est triangulaire inférieure et elle est inversée de la même façon Finalement, ˆM (n ) ˆM (2) ˆM() P n,ln P 2l2 P l A = U Pivot partiel Élimination avec pivot partiel Pivot total Résumé Effet sur la décomposition LU Matrice de permutation Propriétés des matrices de permutation Décomposition PLU Algorithme (suite) M P A = U - p. 40/5

156 Propriétés des matrices de permutation Par contre, il est possible de commuter les matrices de permutation et les matrices M (k). Si k < i < j : P ij M (k) = M (k) P ij où M (k) est la matrice M (k) dont les coefficients i et j ont été échangés. M (k) est de la même forme que M (k) donc elle est triangulaire inférieure et elle est inversée de la même façon Finalement, ˆM (n ) ˆM (2) ˆM() P n,ln P 2l2 P l A = U Pivot partiel Élimination avec pivot partiel Pivot total Résumé Effet sur la décomposition LU Matrice de permutation Propriétés des matrices de permutation Décomposition PLU Algorithme (suite) M P A = U P A = L U - p. 40/5

157 Décomposition PLU on applique l algorithme avec recherche de pivot partiel, en calculant U et L A chaque fois qu on permute une ligne de U, on permute aussi les lignes de L en dessous de la diagonale. On conserve la permutation P (l ordre des lignes) car P A = L U Pour résoudre Ax = b, il suffit de résoudre LUx = Pb! on ne peut pas utiliser l algorithme avec recherche du pivot total Pivot partiel Élimination avec pivot partiel Pivot total Résumé Effet sur la décomposition LU Matrice de permutation Propriétés des matrices de permutation Décomposition PLU Algorithme (suite) - p. 4/5

158 Algorithme Données : A = (A[i, j]), n début U A ; ; pour k =...n faire // Recherche partiel du pivot p U[k, k] ; l k fin retourner pour i = k...n faire si U[i, k] > p alors p U[i, k] ; l i si l k alors //Permutation de lignes pour j =...n faire temp U[k, j] ; U[k, j] U[l, j] U[l, j] temp pour i = k +...n faire q U[i, k] ; U[i, k] 0 pour j = k +...n faire U[i, j] = U[i, j] U[k, j]. q p U - p. 42/5

159 Algorithme Données : A = (A[i, j]), n début U A ; L I ; pour k =...n faire // Recherche partiel du pivot p U[k, k] ; l k fin retourner pour i = k...n faire si U[i, k] > p alors p U[i, k] ; l i si l k alors //Permutation de lignes pour j =...n faire temp U[k, j] ; U[k, j] U[l, j] U[l, j] temp pour i = k +...n faire q U[i, k] ; U[i, k] 0 L[i, k] q p pour j = k +...n faire U[i, j] = U[i, j] U[k, j]. q p L et U - p. 42/5

160 Algorithme Données : A = (A[i, j]), n début U A ; L I ; pour k =...n faire // Recherche partiel du pivot p U[k, k] ; l k fin retourner pour i = k...n faire si U[i, k] > p alors p U[i, k] ; l i si l k alors //Permutation de lignes pour j =...n faire temp U[k, j] ; U[k, j] U[l, j] U[l, j] temp si j < k alors //Uniquement sous la diagonale temp L[k, j] ; L[k, j] L[l, j] L[l, j] temp pour i = k +...n faire q U[i, k] ; U[i, k] 0 L[i, k] q p pour j = k +...n faire U[i, j] = U[i, j] U[k, j]. q p L et U - p. 42/5

161 Algorithme Données : A = (A[i, j]), n début U A ; L I ; P I pour k =...n faire // Recherche partiel du pivot p U[k, k] ; l k pour i = k...n faire si U[i, k] > p alors p U[i, k] ; l i si l k alors //Permutation de lignes pour j =...n faire temp U[k, j] ; U[k, j] U[l, j] U[l, j] temp si j < k alors //Uniquement sous la diagonale temp L[k, j] ; L[k, j] L[l, j] L[l, j] temp temp P[k, j] ; P[k, j] P[l, j] P[l, j] temp pour i = k +...n faire q U[i, k] ; U[i, k] 0 L[i, k] q p pour j = k +...n faire U[i, j] = U[i, j] U[k, j]. q p fin retourner P, L et U - p. 42/5

162 2 Calcul de la décomposition PLU de k P L U Pivot partiel Élimination avec pivot partiel Pivot total Résumé Effet sur la décomposition LU Matrice de permutation Propriétés des matrices de permutation Décomposition PLU Algorithme (suite) - p. 43/5

163 Calcul de la décomposition PLU de k P L U Pivot partiel Élimination avec pivot partiel Pivot total Résumé Effet sur la décomposition LU Matrice de permutation Propriétés des matrices de permutation Décomposition PLU Algorithme (suite) - p. 43/5

164 Calcul de la décomposition PLU de k P L U Pivot partiel Élimination avec pivot partiel Pivot total Résumé Effet sur la décomposition LU Matrice de permutation Propriétés des matrices de permutation Décomposition PLU Algorithme (suite) - p. 43/5