( ) est un triangle.

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1 Mathématiques Année Terminale S Feuille d exercices n 8 bis : Géométrie dans l espace II Exercice 1 : On considère un cube ABCDEFGH d arête a Calculons AE DG en utilisant les différentes formules Exercice 2 : On considère ABCD un tétraèdre régulier d arête a Démontrer que deux arêtes opposées sont orthogonales Exercice 3 : BAC 2016 On considère un cube ABCDEFGH de coté 1 1! Le point L est défini par EL = 3 EF Dire si les deux propositions suivantes sont vraies ou fausses : Proposition 1 : La section du cube par le plan BDL Proposition 2 : Le triangle DBL est rectangle en B est un triangle 1

2 Exercice 4 : BAC 2015 Soit ABCDEFGH un cube d arête 1 Dans le repère A; AB!!! "!!! " ; AD; AE, on considère les points M, N et P de coordonnées respectives M 1;1;3/ 4, N 0;1/ 2, P 1;0; 5 / 4 1 Placer M, N et P sur la figure! 2 Déterminer les coordonnées des vecteurs MN et MP En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés 3 On considère l algorithme Algorithme 1 algorithme ci-dessous Saisir x M, y M, z M, x N, y N, z N, x P, y P, z P d prend la valeur x N x M e prend la valeur y N y M f prend la valeur z N z M g prend la valeur x P x M h prend la valeur y P y M i prend la valeur z P z M k prend la valeur d g + e h + f i Afficher k a Exécuter «à la main» cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P b A quoi correspond le résultat affiché par l algorithme? Qu en déduire pour le triangle MNP? 4 On considère maintenant l algorithme ci-dessous Le compléter pour qu il affiche si le triangle MNP est rectangle et isocèle en M Algorithme 2 à compléter Saisir x M, y M, z M, x N, y N, z N, x P, y P, z P d prend la valeur x N x M e prend la valeur y N y M f prend la valeur z N z M g prend la valeur x P x M h prend la valeur y P y M i prend la valeur z P z M k prend la valeur d g + e h + f i Exercice 5 : On considère le plan P ayant pour représentation paramétrique : 1 Déterminer trois réels a, b et c tels que! n a,b,c 2 Déterminer alors une équation cartésienne de P x = k +1 y = 1, k,l! z = l +1 soit un vecteur normal au plan P 2

3 Exercice 6 : On considère le plan P défini par l équation cartésienne : x + y + z = 3 Déterminer une représentation paramétrique de P Exercice 7 : On considère trois plans d équations respectives P: x+ y+ z+ 1= 0, Q:2x y+ 1= 0 et R : 2x+ 2y+ 2z= 0 Etudier les positions relatives de ces trois plans Exercice 8 : On considère deux plans d équations respectives P : x 4y+ 7 = 0 et Q: x+ 2y z+ 1= 0 1 Montrer que ces plans sont sécants x = 4t 7 2 Montrer que leur intersection est la droite Δ de représentation paramétrique : y = t, t! z = 6t 6 Exercice 9 : BAC 2016 On considère un cube ABCDEFGH de côté 1!!! " On se place dans le repère O, BA!!! "!!! ", BC, BF 1 Déterminer une représentation paramétrique de la droite BH 2 Démontrer que la droite BH est perpendiculaire au plan DEG 3 Déterminer une équation cartésienne du plan DEG 4 On note P le point d intersection du plan DEG et de la droite BH Déduire des questions précédentes les coordonnées de P 5 Que représente le point P pour le triangle DEG? Justifier le réponse 3

4 Exercice 10 : BAC 2016 Partie A : Un calcul de volume sans repère On considère une pyramide équilatérale SABCD Pyramide à base carrée dont toutes les faces latérales sont des triangles équilatéraux Les diagonales du carré ABCD mesurent 24 cm On note O le centre du carré ABCD On admet que OS = OA 1 Sans utiliser de repère, démontrer que la droite SO est orthogonale au plan ABC 2 En déduire le volume, en cm3, de la pyramide ABCD Partie B : Dans un repère On considère le repère orthonormé O;OA;OB;OS 1 On note P et Q les milieux respectifs des segments AS et BS! a Justifier que n 1 ; 1 ; 3 est un vecteur normal au plan PQC Soit H le point du plan PQC tel que la droite SH est orthogonale au plan PQC a Donner une représentation paramétrique de la droite SH b En déduire une équation cartésienne du plan PQC 2 b Calculer les coordonnées du point H c Montrer que la longueur SH, en unité de longueur, est On admettra que l aire du quadrilatère PQCD, en unité d aire, est égale à Calculer le volume de la pyramide SPQCD, en unité de volume Partie C : Partage équitable Pour l anniversaire de ses deux jumelles Anne et Fanny, Madame Nova a confectionné un joli gâteau en forme de pyramide équilatère dont les diagonales du carré de base mesurent 24 cm Elle s apprête à le partager en deux, équitablement, en plaçant son couteau sur le sommet C est alors qu Anne arrête son geste et lui propose une dé-coupe plus originale : «Place la lame sur le milieu d une arête, parallèlement à un côté de la base, puis coupe en te dirigeant vers le côté opposé» Fanny a des doutes, les parts ne lui semblent pas équitables Est-ce le cas? Justifier la réponse 4

5 Exercice 11 : BAC 2017, B 6; 5; 1, C 1 ; 2 ; 2 et S 13 ;37;54 L espace est muni d un repère orthonormé O; I; J; K On considère les points A 1; 1; 0 1 a Justifier que les points A, B et C définissent bien un plan b Prouver que le vecteur! n 5; 16; 29 est un vecteur normal au plan ABC c En déduire une équation cartésienne du plan ABC 2 a Déterminer la nature du triangle ABC b Démontrer que la valeur exacte de l aire du triangle ABC est, en unité d aire, 3 a Prouver que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires c La droite Δ perpendiculaire au plan ABC passant par le point S coupe la plan ABC en un point noté H Déterminer les coordonnées de H 4 Déterminer le volume du tétraèdre SABC Exercice 12 : BAC 2016 On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 ci-contre On note I, J, K les milieux respectif des segments BF, BC et CD Partie A : Dans cette partie, on ne demande aucune justification On admet que les droites IJ et CG sont sécantes en un point L Construire, en laissant apparents les traits de construction : ü Le point L ü L intersection D des plans IJK et CDH ü La section du cube par le plan IJK Partie B : L espace est rapporté au repère O, AB!!! "!!! ", AD, AE 1 Donner les coordonnées des! points A G, I, J et K dans ce repère 2 a Montrer que le vecteur AG est normal au plan IJK b En déduire une équation cartésienne du plan IJK 3 On désigne par M un point du segment AG et t le réel de l intervalle 0;1! tel que AM = t! AG a Démontrer que MI 2 = 3t 2 3t b Démontrer que la distance MI est minimale pour le point M 0 2 ; 1 ; est perpendiculaire aux droites AG et BF 4 a Démontrer que M 0 appartient au plan IJK b La droite IM 0 5

6 Exercice 13 : BAC 2016 Un catadioptre est un dispositif optique formé de trois miroirs en forme de «coin de cube», les faces réfléchissantes tournées vers l intérieur On en trouve dans les réflecteurs de certains véhicules ainsi que dans les appareils de topographie Les points O, A, B et C sont des sommets d un cube, de telle sorte que le repère O;OA!!! "!!! "!!! ",OB,OC soit un repère orthonormé Les trois miroirs du catadioptre sont représentés par les plans OAB, OBC et OAC Les rayons lumineux sont modélisés par des droites Règles de réflexion d un rayon lumineux admises : est réfléchi par le plan OAB, un vecteur ü Lorsqu un rayon lumineux de vecteur directeur u! a;b;c directeur du rayon réfléchi est v! a;b; c ü Lorsqu un rayon lumineux de vecteur directeur u! a;b;c est réfléchi par le plan OBC, un vecteur directeur du rayon réfléchi est v! a;b;c ü Lorsqu un rayon lumineux de vecteur directeur u! a;b;c est réfléchi par le plan OAC, un vecteur directeur du rayon réfléchi est v! a; b;c 1 En utilisant les règles précédentes, démontrer que si un rayon lumineux de vecteur directeur! u a;b;c est réfléchi successivement par les plans OAB, OBC et OAC, le rayon final est parallèle au rayon initial 2 On considère un rayon lumineux modélisé par une droite d 1 de vecteur directeur u! 1 2; 1; 1 qui vient frapper le plan OAB au point I 1 2;3;0 Le rayon réfléchi est modélisé par la droite d 2 de vecteur directeur u! 2 2; 1;1 et passant par le point I 1 a Donner une représentation paramétrique de la droite d 2 et une équation cartésienne de ce plan Vérifier que le plan OBC et la droite d 2 sont sécants en I 2 C est la 2; 1;1 passant par le point I 2 0;2;1 b Donner un vecteur normal au plan OBC c Soit I 2 0;2;1 3 On note d 3 la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan OBC droite de vecteur directeur v! 3 Calculer les coordonnées du point d intersection I 3 de la droite d 3 avec le plan OAC 4 On note d 4 la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan OAC Elle est donc parallèle à la droite d 1 On donne le vecteur! u 1; 2;0 et on note P le plan défini par les droites d 1 et d 2 a Démontrer que! u est normal au plan P b Les droites d 1, d 2 et d 3 sont-elles situées dans le même plan? c Les droites d 1, d 2, d 3 et d 4 sont-elles situées dans le même plan? 6