Exercice oral des mines : pour voir si vous avez compris l analogie de l exercice précédent.

Transcription

1 Lycée Pierre de Fermat 203/204 MPSI Devoir maison Devoir maison n 20 Exercice : utilisation du produit matriciel par blocs. Dans l exercice K est un corps commutatif quelconque de caractéristique différente de 2. Soit n et A [ M n (K) une matrice semblable à une matrice B M n (K). A On pose  In M I n A 2n (K). [ L objectif de l exercice est de montrer que  est semblable à la matrice B B +In 0. 0 B I n Introduisons P GL n (K) telle [ que D P AP. Posons, poura K fixé, B a M a 2 (K) et notons b l endomorphismecanoniquement associé à B. On notera B (e,e 2 ) la base canonique de K 2. Posons f e +e 2 et f 2 e e 2.. Montrer que F (f,f 2 ) est une base de K 2, expliciter la matrice de passage Q P(B F) puis calculer b (f ), b (f 2 ) et en déduire B mat(b,f). 2. Écrire sur une ligne l expression de B en fonction de B, Q et Q puis écrire sur la ligne en-dessous la même relation en explicitant tous les coefficients des quatre matrices mises en jeu. [ [ 3. Posons P P 0 et 0 P Q In I n. I n I n Montrer que P et Q sont des matrices inversibles et préciser leurs inverses. (pour la matrice P, on pourra conjecturer l inverse pour parachuter une bonne matrice dont on montrera qu il s agit de son inverse, pour Q, on procèdera de même sauf que la conjecture de l inverse, moins évidente, peut être obtenue en remarquant une analogie formelle entre Q et Q) 4. En utilisant[ l analogie formelle avec la relation obtenue dans la question 2, montrer que  est A+In 0 semblable à. 0 A I n 5. Conclure que  est semblable à B. Exercice oral des mines : pour voir si vous avez compris l analogie de l exercice précédent. Soit n et A M n (K). 0 A A On pose  A 0 A M 3n (K). A A 0 Calculer le déterminant de  en fonction de celui de A. Indications :. on admettra que le chapitre de réduction des endomorphismes de deuxième année permet de prouver rapidement qu il existe P M 3 (K) : 2a a a a K, 0 a 0 P a 0 a P 0 0 a a a 0

2 où P on admettra(si on ne l a pas encore vu en cours) aussi que le déterminant d une matrice triangulaire supérieure ou inférieure par blocs est le produit des déterminants des blocs diagonaux. Considérons l ensemble E Partie I. Étude d un ensemble de matrices (a,b,c) R3.. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M 3 (R), en donner une base et calculer sa dimension. 2. E est-il une sous-algèbre de M 3 (R)? dans l affirmative, cette sous-algèbre est-elle commutative? 3. Soit M(a,b,c) E fixée. (a) Montrer que rg M(a,b,c) 3 ab 0. (b) En déduire une CNS d inversibilité de M(a,b,c) et calculer M(a,b,c) quand elle existe. 4. On note H {M(a,b,) (a,b) R 2 }. (a) Justifier que H est un sous-espace affine de M 3 (R) dont on précisera des éléments le caractérisant. (b) Calculer M(a,b,) n. Onpourraconjecturer uneformuleau brouillon pourensuite ladémontrer. Partie II. 5 3 Considérons la matrice A 0 0 et notons a l endomorphisme de R 3 canoniquement associé à A. Notons B (e,e 2,e 3 ) la base canonique de R 3. Posons u e +e 2 +e 3, v 2e +e 2 et w 9e 3e 2 +e 3.. (a) Montrer que (u,v,w) est une base de R 3 que l on notera B. (b) Déterminer la matrice P de passage de B à B et calculer P. (c) Déterminer A la matrice de a relativement à la base B. (d) En déduire A n pour tout n N en fonction de P, de P et de n. 2. Soit p N fixé. On cherche à déterminer les endomorphismes b de R 3 tels que a b p (E p ) (a) Démontrer que ker(a Id) Vect{u} et que ker(a Id) 2 Vect{u,v}. On pourra pour cela considérer les systèmes linéaires correspondants dant B. On montrerait de même que ker(a+3id) Vect{w}. (b) Montrer que, si b L(R 3 ) vérifie (E p ), alors b commute avec a. En déduire que b(vect{u,v}) Vect{u,v}, b(vect{u}) Vect{u} et b(vect{w}) Vect{w}. Quelle est donc la forme de la matrice B de b relativement à la base B? (c) En déduire la résolution complète de (E p ) en fonction de p. On dénombrera et on explicitera les solutions en donnant, en fonction de P, leur matrice relativement à la base canonique de R 3. 2

3 Exercice : utilisation du produit matriciel par blocs. [ A On pose  In M I n A 2n (K). [ L objectif de l exercice est de montrer que  est semblable à la matrice B B +In 0. 0 B I n Introduisons P GL n (K) telle [ que D P AP. Posons, poura K fixé, B a M a 2 (K) et notons b l endomorphismecanoniquement associé à B. On notera B (e,e 2 ) la base canonique de K 2. Posons f e +e 2 et f 2 e e 2.. Montrer que F (f,f 2 ) est une base de K 2, expliciter la matrice de passage Q P(B F) puis calculer b (f ), b (f 2 ) et en déduire B mat(b,f). Soient (λ,µ) K 2 fixés quelconques tels que Alors λ.f +µ.f 2 0 λ.(e +e 2 )+µ.(e e 2 ) 0 donc (λ+µ).e +(λ µ).e 2 0 { { λ + µ 0 λ + µ 0 or (e,e 2 ) est libre donc λ µ 0 2µ 0 λ µ 0. (c est au niveau de la dernière implication que l on utilise que la carctéristique du corps K est différente de 2 car c est une condition nécessaire et suffisante pour l inversibilité de 2 dans K) Par conséquent F est une famille libre de K 2, or elle est de cardinal maximal car 2 dimk 2 donc c est une base de K 2. Ainsi, F (f,f 2 ) est une base de K 2. [ Par définition d une matrice de passage, Q P(B F). Calculons [ mat(b (f ),B) mat(b,b) mat(f,b) B donc b (f ) (+a).f. De même, [ mat(b (f 2 ),B) mat(b,b) mat(f 2,B) B donc b (f 2 ) (a ).f 2. [ Ainsi, mat(b a+ 0,F) 0 a. [ a+ +a [ a a [ (+a) [ (a ) (a+)mat(f,b) (a )mat(f 2,B) 3

4 2. Écrire sur une ligne l expression de B en fonction de B, Q et Q puis écrire sur la ligne en-dessous la même relation en explicitant tous les coefficients des quatre matrices mises en jeu. La formule de changement de base donne B Q B Q () Pour calculer Q, comme il s agit d une matrice de taille 2, utilisons la formule avec la comatrice : Q detq.t comq t [ [ 2 2 si bien que la formule () devient, explicitement, [ a+ 0 [ 0 a 2 [ a a [ (2) 3. Posons P [ P 0 0 P [ et Q In I n I n I n. Montrer que P et Q sont des matrices inversibles et préciser leurs inverses. (pour la matrice P, on pourra conjecturer l inverse pour parachuter une bonne matrice dont on montrera qu il s agit de son inverse, pour Q, on procèdera de même sauf que la conjecture de l inverse, moins évidente, peut être obtenue en remarquant une analogie formelle entre Q et Q) [ P 0 Posons M 0 P Calculons [ [ P 0 P P M 0 P. 0 0 P [ P P +0 0 P 0+0 P 0 P +P P P [ In 0 0 I n I 2n donc P est inversible à droite, or une matrice carrée inversible à droite est inversible et son inverse [ est son inverse à droite si bien que P GL 2n (K) et P P 0 0 P. Inspirés par l analogie entre Q et Q (on passe de Q à Q en remplaçant qui est l unité de K par I n qui est l unité de M n (K)), posons H [ In I n. 2 I n I n Calculons [ In I Q H n [ In I n I n I n 2 I n I n [ I n I n +I n I n I n I n +I n ( I n ) 2 I n I n +( I n ) I n I n I n +( I n ) ( I n ) [ 2In 0 2 I 2n 0 2I n donc Q est inversible à droite, or une matrice carrée inversible à droite est inversible et son inverse est son inverse à droite si bien que Q GL 2n (K) et Q [ In I n. 2 I n I n 4

5 4. En utilisant[ l analogie formelle avec la relation obtenue dans la question 2, montrer que  est A+In 0 semblable à. 0 A I n Inspirés par l analogie entre Q et Q, remarquons de même que  se déduit de B en remplaçant formellement a par A et par I n, d où l envie de calculer l analogue du membre de droite de la relation (2) Q  Q [ [ In I n A In 2 I n I n I n A... calcul par blocs... [ A+In 0 0 A I n [ In I n I n I n [ A+In 0 donc  est semblable à 0 A I n. 5. Conclure que  est semblable à B. Puisque A P BP, on peut écrire [ A+In 0 0 A I n [ P BP +I n 0 0 P BP I n [ P (B +I n )P 0 0 P (B I n )P Par ailleurs, calculons, par curiosité [ P B P 0 P 0 P [ P 0 0 P [ B +In 0 0 B I n [ (B +In )P 0 0 (B I n )P [ P (B +I n )P 0 0 P (B I n )P [ donc P B A+In 0 P 0 A I Q  Q si bien que n [ P 0 0 P B P Q  Q P ( Q P ) Â( Q P ). Ainsi,  est semblable à B. Exercice oral des mines : pour voir si vous avez compris l analogie de l exercice précédent. Soit n et A M n (K). 5

6 On pose  0 A A A 0 A A A 0 M 3n (K). Calculer le déterminant de  en fonction de celui de A. Déterminons explicitement l inverse de P en résolvant le système linéaire P X Y : y soit Y y 2 M 3, (K) fixé quelconque. y 3 P x x 2 x 3 y y 2 y 3 donc P GL 3 (K) et P 3 x + x 2 y x x 2 + x 3 y 2 x x 3 y 3 x + x 2 y 2x 2 + x 3 y + y 2 x 2 x 3 y + y 3 x + x 2 y 2x 2 + x 3 y + y x 3 2 y 2 y 2 + y 3 x 3 y + 3 y y En reprenant l idée de l analogie de l exercice précédent, posons I n I n 0 P I n I n I n I n 0 I n x y 3 y 2 3 y 3 x 3 3 y + 3 y y 3 Notre intuition liée à l analogie entre P et P nous dit que P devrait être inversible et que P I n I n I n 2I n I n I n. 3 I n I n 2I n Pour le prouver, calculons P I n I n I n 2I n I n I n I n I n 0 I n I n I n I n I n I n 2I n I n I n 3 3 I n I n 2I n I n 0 I n I n I n 2I n... calculer par blocs... 3I n I n I n I 3n ce qui prouve le résultat attendu. On montre alors par un calcul par blocs que 6

7 donc  est semblable à diagonale par blocs, detâ det 2A A A 2A A A 2A A A Ainsi, detâ 2n (deta) 3. P 0 A A A 0 A A A 0 P si bien qu en utilisant la formule du déterminant d une matrice det(2a) det( A) det( A) 2 n (deta) 3 } {{ } } {{ } } {{ } 2 n deta ( ) n deta ( ) n deta Considérons l ensemble E Partie I. Étude d un ensemble de matrices (a,b,c) R3.. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M 3 (R), en donner une base et calculer sa dimension. (a,b,c) R3 a Vect b, c, (a,b,c) R3 Par conséquent, E est un R-espace vectoriel qui possède une famille génératrice de cardinal 3 donc dime 3. Soient (a,b,c) R 3 fixés quelconques tels que Alors a 0 0 +b 0 0 +c 0 3,3 donca b c 0sibienquelafamille 0 3,3 0 0, qui engendre E est libre et de cardinal maximal puisque dime 3 donc elle constitue une base de E et dime , 2. E est-il une sous-algèbre de M 3 (R)? dans l affirmative, cette sous-algèbre est-elle commutative? 7

8 E est inclus dans M 3 (R) qui est une R-algèbre. E est un sous-espace vectoriel de M 3 (R) (question précédente). Montrons que E est stable multiplicativement. Soient (A,A ) E 2 fixées quelconques. Alors (a,a,b,b,c,c ) R 6 tels que A et A aa ac +a c 0 A A 0 aa 0 b a c 0 0 a 0 Par conséquent, d une part AA E et d autre part, si on échange les rôles de a,b,c et de a,b,,c dans la matrice du résultat, elle est inchangée donc AA A A. Ainsi, E est une sous-algèbre commutative de M 3 (R). 3. Soit M(a,b,c) E fixée. (a) Montrer que rg M(a,b,c) 3 ab 0.. Supposons que ab 0. Alors l algorithme de calcul du rang donne rg +rg donc rg (M,a,b,c) 3. Supposons que ab 0. si a 0, rg 0 c 0 ([ a 0 0 b ) car a 0 ++rg ([ b ) car a 0 ++ car b 0 rg a b 2 (inférieur au nombre de colonnes) si b 0, rg rg ([ ) 2 (inférieur au nombre de lignes) Ainsi, rg M(a,b,c) 3 ab 0. (b) En déduire une CNS d inversibilité de M(a,b,c) et calculer M(a,b,c) quand elle existe. 8

9 M(a,b,c) GL 3 (R) rg (M(a,b,c)) 3 donc, en utilisant la question précénte, ab 0 est une CNS d inversibilité de M(a,b,c). Supposons que ab 0. y Soit Y y 2 M 3, (R) fixé quelconque. y 3 Résolvons l équation M(a,b,c)X Y d inconnue X M(a,b,c)X Y x x 2 x 3 M 3, (R) : ax + cx 2 y ax 2 y 2 bx 3 y 3 a y c x x 2 x 3 M(a,b,c) GL 3 (R) ab 0 et dans ce cas, M(a,b,c) M a 2y 2 a y 2 b y 3 ( a, b, c ) a On note H {M(a,b,) (a,b) R 2 }. (a) Justifier que H est un sous-espace affine de M 3 (R) dont on précisera des éléments le caractérisant. H a 0 (a,b) R a +Vect 0 0 +b, Ainsi, H est le sous-espace affine de E passant par la matrice vectoriel engendré par 0 0, 0 0. (a,b) R2 et dirigé par le plan (b) Calculer M(a,b,) n. Onpourraconjecturer uneformuleau brouillon pourensuite ladémontrer. Soient (a,b) R 2 fixés quelconques. 9

10 Considérons la propriété P(n) définie pour n N par P(n) : M(a,b,) n M(a n,b n,na n ) M(a,b,) M(a,b, a ) (par convention, on pose pour tout x R x 0 ) donc P() est vraie. Soit n N fixé quelconque tel que P(n) est vraie. donc P(n+) est vraie. M(a,b,) n+ M(a,b,) n M(a,b,) M(a n,b n,na n ) M(a,b,)en utilisant P(n) a n na n 0 a 0 0 a n 0 n a n+ (n+)a n 0 0 a n+ 0 n+ M(a n+,b n+,(n+)a n ) Ainsi, pour tout (a,b) R 2, pour tout n N, M(a,b,) n M(a n,b n,na n ). Remarque : par convention, a 0 b 0, M(a,b,) 0 I 3 si bien que la formule M(a,b,) 0 M(a 0,b 0,0 a 0 ) est vraie par convention à condition que a soit non nul pour que a ait un sens, ce qui permet détendre le résultat ci-dessus à n N lorsque a 0. Partie II. 5 3 Considérons la matrice A 0 0 et notons a l endomorphisme de R 3 canoniquement associé à A. Notons B (e,e 2,e 3 ) la base canonique de R 3. Posons u e +e 2 +e 3, v 2e +e 2 et w 9e 3e 2 +e 3.. (a) Montrer que (u,v,w) est une base de R 3 que l on notera B. Soient (λ,µ,ν) R 3 fixé quelconques tels que λ.u+µ.v +ν.w 0 R 3. On a donc λ.(e +e 2 +e 3 )+µ.(2e +e 2 )+ν.(9e 3e 2 +e 3 ) 0 R 3 0 λ + 2µ + 9ν 0 λ + µ 3ν 0 λ + ν 0 λ + 2µ + 9ν 0 µ 2ν 0 2µ 8ν 0 λ + 2µ + 9ν 0 µ + 2ν 0 6ν 0

11 Le système linéaire ci-dessus est triangulaire, sans condition de compatibilité, sans inconnues secondaires et ses coefficients diagonaux sont non nuls donc il admet une unique solution. Or λ 0 ce système est homogène donc 0 R 3 est une solution donc la solution est µ 0. ν 0 (b) Déterminer la matrice P de passage de B à B et calculer P. Par définition, P P(B (u,v,w)) [mat(u,b),mat(v,b),mat(w,b) Soit Y y y 2 y 3 M 3, (R) fixé quelconque. Résolvons l équation AX Y d inconnue X AX Y par conséquent P 6 x x 2 x 3 M 3, (R) : x + 2x 2 + 9x 3 y x + x 2 3x 3 y 2 x + x 3 y 3 x + 2x 2 + 9x 3 y x 2 2x 3 y y 2 2x 2 8x 3 y y 3 x + 2x 2 + 9x 3 y x 2 + 2x 3 y y 2 6x 3 y 2y 2 + y x 6 ( y + 2y 2 + 5y 3 ) x 2 6 (4y + 8y 2 2y 3 ) x 3 6 (y 2y 2 + y 3 ) (c) Déterminer A la matrice de a relativement à la base B. Méthode : anticipation liée à l habitude de ce type d exercice. Calculons les images des vecteurs de B par a : mat(a(u),b) A mat(u,b) A donc a(u) u. On calcule de même 3 2 mat(a(v), B) 2 + 0, mat(a(w), B)

12 d où l on tire a(v) u+v et a(w) 3w Ainsi, A [ mat(a(u),b ),mat(a(v),b ),mat(a(w),b ) Méthode 2 : formule de changement de base et calcul matriciel : La formule de changement de base s écrit soit, avec les notations du problème, mat(a,b ) P(B B ) mat(a,b ) P(B B ) A P AP ce qui donne, avec un calcul explicite, A (d) En déduire A n pour tout n N en fonction de P, de P et de n. On observe, en reprenant les notations de la partie I, que A est de la forme M(, 3,) ce qui permet d expliciter ses puissances (question I.4(b)) : n N, A n n ( 3) n Par ailleurs, la formule de changement de base donne A PA P et une récurrence facile permet de montrer que n N, A n PA n P Ainsi, pour tout n N, A n P n ( 3) n P. 2. Soit p N fixé. On cherche à déterminer les endomorphismes b de R 3 tels que a b p (E p ) (a) Démontrer que ker(a Id) Vect{u} et que ker(a Id) 2 Vect{u,v}. On pourra pour cela considérer les systèmes linéaires correspondants dant B. On montrerait de même que ker(a+3id) Vect{w}. On notera (x,x 2,x 3) R 3 les coordonnées d un vecteur x R 3 relativement à la base B. 2

13 ker(a Id) { x R 3 mat(a Id,B ) mat(x,b } ) 0 3, x x.u+x 2.v +x 3.w (x,x 2,x 3) R 3 : (A I 3 ) x x.u+x 2.v +x 3.w R 3 (x,x 2,x 3) R 3 : { x x.u+x 2.v +x 3.w R3 (x,x 2,x 3 ) R3 : { x s.u R 3 s R } Vect{u} donc ker(a Id) Vect{u}. ker(a Id) 2 { x R 3 mat(a Id,B ) 2 mat(x,b } ) 0 3, x x.u+x 2.v +x 3.w (x,x 2,x 3 ) R3 : (A I 3 ) 2 x x.u+x 2.v +x 3.w R3 (x,x 2,x 3 ) R3 : { x x.u+x 2.v +x 3.w R 3 (x,x 2,x 3) R 3 : { x s.u+t.v R 3 (s,t) R 2} Vect{u} donc ker(a Id) Vect{u,v}. x x 2 x 3 0 3, x x 3 0 { } x 2 0 x 3 0 x x 2 x 3 0 3, x 3 0 { x 3 0 } ker(a+3.id) { x R 3 mat(a+3.id,b ) mat(x,b } ) 0 3, x x.u+x 2.v +x 3.w (x,x 2,x 3 ) R3 : (A +3I 3 ) x x.u+x 2.v +x 3.w R 3 (x,x 2,x 3) R 3 : { x x.u+x 2.v +x 3.w R3 (x,x 2,x 3 ) R3 : { x t.w R 3 t R } Vect{w} donc ker(a+3id) Vect{w}. x x 2 x 3 0 3, 0 3, 0 3, x + x 2 0 x { x + x } 2 0 x (b) Montrer que, si b L(R 3 ) vérifie (E p ), alors b commute avec a. En déduire que b(vect{u,v}) Vect{u,v}, b(vect{u}) Vect{u} et b(vect{w}) Vect{w}. Quelle est donc la forme de la matrice B de b relativement à la base B? 3

14 Soit b L(R 3 ) vérifiant (E p ) fixé quelconque. Alors, par associativité de a loi de composition, donc a et b commutent. Soit x Vect{u} fixé quelconque. Calculons a b b p b b p+ b b p b a (a Id)(b(x)) ((a Id) b)(x) (b (a Id))(x) car a et b commutent b((a Id)(x)) donc b(x) ker(a Id) donc b(x) Vect{u}. Ainsi Vect{u} est stable par b. Soit x Vect{u,v} fixé quelconque. Calculons 0 R 3 car x Vect{u} ker(a Id) (a Id) 2 (b(x)) ((a Id) 2 b)(x) (b (a Id) 2 )(x) car a et b commutent b((a Id) 2 (x)) donc b(x) ker(a Id) 2 donc b(x) Vect{u,v}. Ainsi Vect{u,v} est stable par b. Soit x Vect{w} fixé quelconque. Calculons 0 R 3 car x Vect{u,v} ker(a Id) 2 (a+3id)(b(x)) ((a+3id) b)(x) (b (a+3id))(x) car a et b commutent b((a+3id)(x)) 0 R 3 car x Vect{w} ker(a+3id) donc b(x) ker(a+3id) donc b(x) Vect{w}. Ainsi Vect{w} est stable par b. Les résultats de stabilité ci-dessus imposent les contraintes suivantes : b(u) Vect{u} donc α R : b(u) α.u, b(v) Vect{u,v} donc (α,γ) R 2 : b(v) α.u+γ.v, b(w) Vect{w} donc β R : b(w) β.w. α γ 0 d où mat(b,b ) 0 α β Exploitons de plus la contrainte de commutation entre les endomorphismes a et b qui se traduit par la commutation des matrices A et mat(b,b ) A mat(b,b ) mat(b,b ) A Ainsi, mat(b,b ) E. α γ +α 0 0 α β γ +α γ +α α α 4 α γ +α 0 0 α β

15 (c) En déduire la résolution complète de (E p ) en fonction de p. On dénombrera et on explicitera les solutions en donnant, en fonction de P, leur matrice relativement à la base canonique de R 3. a b p mat(a,b ) mat(b p,b ) mat(a,b ) mat(b,b ) p { (α,β,γ) R 3 mat(b,b ) M(α,β,γ) : A M(α,β,γ) p d après la question précédente { (α,β,γ) R 3 mat(b,b ) M(α,β,γ) : M(, 3,) M(α p,β p,pγα p ) en généralisant la formule I.4(b) (voir remarque plus bas) mat(b,b ) M(α,β,γ) (α,β,γ) R 3 α p : pγα p car (x,y,z) M(x,y,z) est injective β p 3 Si p 0[2, l équation β p 3 ne possède aucune solution donc l équation (E p ) non plus! Si p [2, α p α α pγα p pγ β p 3 β p γ p 3 β p 3 si bien que a b p ( mat(b,b ) M, p 3, ) p 0 mat(b,b) P p 0 0 p P 3 Ainsi, Si p 0[2, l équation (E p ) ne possède aucune solution. Si p [2, l équation (E p ) admet une unique solution qui est P 0 p 0 0 p 3 P. Remarque : dans la preuve ci-dessus, nous avons eu besoin de calculer M(α,β,γ) p avec p N, dansuncasoùγ 0.Pourcelanouspouvonsnousrameneraucastraité danslaquestioni.4(c): ( ( α M(α,β,γ) p γ.m γ, β )) p γ, ( α γ p.m γ, β ) p γ, ( α γ p p βp p,pαp ).M γp, γ γ p en utilisant la question I.4(c) γ p.m(α p,β p,pα p γ) 5