Des mathématiques à l'usage des Sciences Économiques et Sociales

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1 Des mathématiques à l'usage des Sciences Économiques et Sociales A quoi servent les suites, les fonctions, les intégrales, les probabilités, en Sciences Economiques et Sociales. Nous allons tenter ci-dessous de répondre à ces interrogations I. Les indices (I), coefficient multiplicateurs (cm) et taux de croissance* (t) * en SES on utilise abusivement la notion de taux de variation. J'ai donc repris cette formulation cidessous. 1.1 taux de variation A priori rien de nouveau, lorsque tu connais les relations entre I, m et t -> exercice préliminaire La population française comptabilisait environ 40 millions d'habitants au premier janvier 1901 et 65 millions au premier janvier 2011 Questions 1. Calcule le taux de variation de la population française entre ces 2 dates: 62.5 % 2. Calculez le coefficient multiplicateur de l'évolution de la population française entre 1901 et 2011 Réponse:1.625 ou environ Considérant que 1901 correspond à la date de l'indice base 100, donnez l'indice en 2011 correspondant à la population française: > tableau des correspondances entre le taux de v (t), les indices (I) et le coefficient multiplicateur (cm) Le petit exercice ci-dessus t' as permis de te remémorer les formules simples et de retrouver les liens entre les 3 outils statistiques. Complète ci-dessous, sachant que l'on nommera la valeur d'arrivée va et la valeur de départ vd Formule du taux de variation t = (va-vd) / vd x 100 Formule du coefficient multiplicateur cm = va / vd Formule des indices simples I = va / vd x 100 Finalement, retrouve les liens entre ces 3 outils en complétant le tableau ci-dessous. Tu peux prendre modèle sur la première ligne du tableau t cm I t t = (cm - 1) x 100 t = I cm cm = (t / 100) + 1 I I = t I = cm x Les indices Concernant les indices tu dois te rappeler que l'insee qui calcule l'inflation avec l' indice des prix à la consommation (IPC) prend en compte l'indice de Laspeyre-prix En effet, le plus souvent, on est confronté non pas à l'évolution d'une seule grandeur mais de Document méthode les liens mathématiques et philippe herry 1

2 plusieurs grandeurs. Ainsi pour calculer l'augmentation générale des prix dans un pays autrement dit l'inflation, nous sommes obligés de prendre en considération l'évolution des prix des différents produits mais aussi la quantité consommée de ces différents produits taux de croissance annuel moyen (tcam) et taux de croissance global (T) II. Les élasticités L'élasticité désigne et mesure la variation d'une «grandeur-effet» provoquée par la variation d'une «grandeur-cause». 2.1 l' élasticités-prix la fameuse formule eq/p = Δ q / Δ p permet ainsi de calculer la variation de la quantité d'un bien qui est demandé par exemple lorsque le prix augmente. avec les fameux biens Veblen ou à l'inverse les biens Giffen nous retrouvons e > 0 alors que d'ordinaire lorssque les prix baissent la quantité demandée augmente et inversement. Concernant les les biens normaux l'élasticité-prix de la demande est négative. On rappelle que lorsque les biens sont faiblement élastique on a - 1 < e < 1 Les biens sont nécessaires donc quel que soit le prix la demande ne varie peu e = - 1 correspond à l'élasticité unitaire 2.2 l'élasticité-prix croisé C'est outil est particulièrement utile pour détecter si deux biens sont dépendants ou indépendants.. Par exemple, si l'élasticité-prix croisé est 0 cela signifie l'indépendance des 2 produits 2.3 l' élasticités-revenu Document méthode les liens mathématiques et philippe herry 2

3 Elle permet de déterminer les biens inférieurs (e q/r < 0), biens normaux (0< e q/r < 1) et supérieurs (e q/r > 1) dont la quantité consommée augmente lorsque le revenu augmente. Tout cela est bien sûr à mettre en relation avec la loi d'engel, ce cher statisticien allemand qui a mis en relation, à travers la monographie de l'évolution des dépenses d'ouvriers belges au XIX ème, le revenu et les dépenses. III. Les probabilités Les probabilités permettent de modéliser différents phénomènes. Par exemple, quelle est la pratique du vote des ouvriers? cadres? agriculteurs?... ensuite les résultats des élections permettent de vérifier statistiquement la validité du modèle. Plus couramment, on vous fait travailler différemment en sociologie et économie. En sociologie c'est le règne des sondages par excellence. Quelle est la prévision d'un vote? Avec quel pourcentage d'erreur? En économie, les probabilités permettent de mesurer la marge d'erreur autrement dit la fiabilité d'un résultat. Il est probable que... Les probabilités jouent donc un rôle clé pour prendre en compte l'incertitude ou la confiance qui est par nature incertaine. Depuis J.M. Keynes nous savons que la confiance joue un rôle déterminant en économie. Dès qu'un modèle économique prend en compte la confiance des acteurs économiques ou encore l'incertitude d'un résultat, il est nécessaire de prendre en compte les lois de la probabilité. IV. Les statistiques Comme nous l'avons dit ci-dessus, les statistiques permettent de vérifier la validité des modèles. On vous donne à traiter plus souvent certains thèmes que d'autres. En économie le domaine de prédilection des statistiques concernent la répartition des revenus et donc les thèmes égalité, inégalité, justice sociale... En sociologie on retrouve les statistiques dès que l'on utilisé des méthodes quantitatives. Réaliser des sondages nécessitent souvent de calculer moyenne, écart type, Les séries statistiques simples On peut calculer des moyennes, variance, écart type, ou encore lorsqu'on traite par exemple des inégalités les médianes, quartiles ou autres déciles L'écart type mesure la dispersion des données. Un écart type nous donne finalement "la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne" Si il est faible, les données sont très resserrées autrement dit il y a une masse importante de personne autour de la moyenne. Inversement, si l'écart type est élevé alors les données sont très dispersées Remarque: pour une série statistique de notes sur 20, on peut considérer qu'un petit écart type est de l'ordre de 2 alors qu'un ordre de 4 nous donne un grand écart type. 4.2 série statistique double le test du X² En économie le test du X² peut avoir plusieurs usages -> Il permet de tester l'indépendance entre 2 variables aléatoires Par exemple si la variable 1 est le salaire et la variable 2 le sexe, alors on pourra se demander s'il y a Document méthode les liens mathématiques et philippe herry 3

4 corrélation entre le niveau de salaire et le fait d'être un homme ou une femme voir le problème Wikipédia test du X² très bien fait -> le test du X² permet de juger l'hypothèse qu'une série de donnée statistique suit une certaine loi de probabilité Exemple sur un sondage. Si on interroge 1000 personnes qui vote, peut-on alors faire l'hypothèse que le vote de la population suit une loi déterminée? V. les suites, En SES, les suites sont utilisées pour 2 approches. On peut les utiliser pour modéliser un phénomène. Par exemple une ville grandit de tant d'habitants par an, modéliser la fonction de croissance démographique pour repérer le nombre d'habitants dans 5 ans, 10 ans,... On peut aussi les utiliser pour les calculs financiers. C'est alors l'outil des taux d'intérêt simple ou composé... Avant de se pencher sur les taux d'intérêt, on rappellera qu'il existe de nombreux exercices micro ou macro où le taux de croissance à taux constant est assimilé à une suite Par exemple: un appartement vaut euros et augmente chaque année d'un taux réel de 3%. Augmentation en 5 ans? Combien d'années pour le doublement de sa valeur? Autre exemple: Il vaut euros en 2005 et euros en Quel est le taux de croissance annuel supposé constant sur la période? Autre exemple: Cet appartement de euros augmente de 3% puis 5% puis 2% enfin 4%. Quel est son tcam? Passons au taux d'intérêt Les suites sont l'outil déterminant pour les calculs de capitaux simples et composés. 1) les capitaux à taux d'intérêt simple Les placements d'une durée inférieure à un an ont généralement des intérêts simples. Le taux annuel est désigné comme le taux nominal ou le taux facial. si il y a besoin de calculer le taux d'intérêt mensuel correspondant par exemple on sait qu'il faut calculer le taux périodique Le taux périodique est un taux proportionnel si ce taux appliqué à un calcul d'intérêts simples sur toutes les périodes de l'année donne le même résultat que le taux annuel. Formule générale : Taux périodique proportionnel = Taux nominal Durée de la période / Durée de l'année. Exemple : - Taux proportionnel mensuel pour un taux annuel de 6% : 0,06 x 1 mois / 12 mois = 0,5 %. - Taux proportionnel pour la période du 1/1/2005 au 15/2/2005 pour un taux annuel de 10 % : 0,10 46 jours / 365 jours = 1,26 %. Document méthode les liens mathématiques et philippe herry 4

5 2) les capitaux à taux d'intérêt composés Les intérêts des placements de plus d'un an sont des intérêts composés. Le taux annuel est appelé taux actuariel ou taux équivalent. Le taux périodique est un taux équivalent (ou actuariel) si ce taux appliqué à un calcul d'intérêts composés sur toutes les périodes de l'année donne le même résultat que le taux annuel. Formule générale : Taux périodique équivalent = (1 + Taux annuel) Durée de la période / Durée de l'année - 1 Exemple : - Taux équivalent mensuel pour un taux annuel de 6% : 1,06 1 mois / 12 mois - 1 = 0,49 %. - Taux équivalent pour la période du 1/1/2005 au 15/2/2005 pour un taux annuel de 10 % : 1,10 46 jours / 365 jours - 1 = 1,21 %. Plus précisément on peut répondre aux questions 1.1 Combien rapporte un capital placé pendant X années? -> calcul des sommes sur x années on a les formules suivantes -> t.i simple: -> t.i composé Quel est le t.i nécessaire pour que la capital double en 5 ans? (exemple) ou...) 1.2 Combien coûte un emprunt? Quel sera le taux d'intérêt (simple ou composé nou TEG 1.3 Est-ce rentable d'investir? Il faut alors calculer la Valeur Actualité Nette (VAN) VI. Les matrices: l'outil des graphes et plus précisément des graphes probabilistes il peut être intéressant de repérer les évolutions des comportements des individus Il faut déterminer le graphe puis la matrice correspondante. On peut alors: 6.1 traduire l'évolution d'un état probabiliste par un graphe 6.2 déterminer l'état stable Document méthode les liens mathématiques et philippe herry 5

6 la programmation linéaire (voir ci-dessous) peut amener à résoudre un système de fonction que l'on peut assimiler à une matrice. D'où la recherche du pivot de Gauss??? VII. Les intégrales L'intégrale est l'outil par excellence qui permet le calcul des aires. En économie cela peut se rapporter à plusieurs thèmes. Concernant le thème des inégalités et de la répartition des revenus. On peut être amené à calculer un coefficient de Gini. Les intégrales peuvent être utilisées pour la notion de surplus. Cela peut concerner les surplus du consommateur ou encore les calculs de surplus lorsqu'on veut repérer un optimum de pollution. VIII. Les fonctions Pour déterminer les causalités entre 2 variables, et notamment le prix et la quantité, rien ne vaut la fonction. En économie les fonctions permettent donc de représenter l'évolution des coûts (moyens, marginaux) et recettes (moyens, marginaux) et ainsi de repérer les profits (le maximum). Le signe de la dérivée permet de savoir si la fonction est croissante ou décroissante, par exemple si le coût est croissant, décroissant,... on retrouve bien sûr en toile de fond les hypothèses de nos chères néoclassiques. Ainsi on retrouve très souvent la loi des rendements décroissants. Plus je produis, plus la productivité baisse, dit autrement le coût de production augmente. On peut optimiser sous contrainte, c'est ce qu'on appelle la programmation linéaire pour un consommateur ou pour une entreprise Mais alors pourquoi introduire des fonctions plus complexes avec des logarithmes, des exponentielles, des inverses, des puissances... Parce que cela a du sens!!. les inverses expriment l'idée que plus x augmente plus la valeur corresondante diminue ainsi lorsque le temps augmente, beaucoup de prix d'objets diminuent donc f(p) = p x 1/ t exemple simple à compliquer. les logarithmes peuvent exprimer l'idée que plus le pouvoir d'achat augmente, plus la satisfaction retirée d'une consommation se réduit. Document méthode les liens mathématiques et philippe herry 6