ACTIVITÉS. Droites remarquables du triangle. 1 Carte d identité CHAPITRE

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1 HPTRE 10 Droites remarquables du triangle TVTÉS 1 arte d identité À partir d un même triangle, et à l aide d un logiciel de géométrie, Philippe a réalisé ces quatre constructions. Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig HPTRE 10 DRTES REMRQULES DU TRNGLE

2 TVTÉS 1. ndiquer à quelle figure correspond chacune des affirmations suivantes : a. «J ai tracé la droite qui partage l angle en deux angles de même mesure.» b. «J ai tracé la perpendiculaire à () passant par le milieu de [].» c. «J ai tracé la perpendiculaire à () passant par le point.» d. «J ai tracé le segment qui joint au milieu de [].» 2. a. ssocier chacun des mots médiatrice, hauteur, bissectrice à l une des figures. b. La figure qui n a pas été sélectionnée à la question a peut être associée au mot médiane. En déduire comment on peut définir une médiane dans un triangle. 3. a. Réaliser des constructions du même type que celles de Philippe à l aide d un logiciel de géométrie ou sur papier à l aide des instruments habituels de géométrie. b. llustrer chacune des constructions obtenues à la question a en utilisant l un des mots suivants : médiatrice, hauteur, bissectrice ou médiane. 2 Les trois médiatrices a Médiatrice et distance Voici une façon de procéder pour construire la médiatrice du segment []. La droite (J) est la médiatrice du segment []. J J 1. Que sait-on : a. du point d intersection de la droite (J) et du segment []? b. des droites (J) et ()? 2. Soit M un point quelconque de la droite (J). omparer les distances M et M. b Dans un triangle 1. Tracer un triangle et les médiatrices des côtés [] et []. Elles se coupent en. 2. Pourquoi a-t-on? Pourquoi a-t-on? 3. Déduire de la question 2 que : a. le cercle de centre qui passe par passe aussi par et par ; b. la médiatrice du segment [] passe aussi par. HPTRE 10 DRTES REMRQULES DU TRNGLE 179

3 TVTÉS 3 Les trois hauteurs 1. Soit un triangle. onstruire la droite perpendiculaire à () qui passe par, comme indiqué ci-dessous. Le résultat de cette question est démontré à l exercice 63, p n dit que la droite () est la hauteur du triangle issue de. ombien y a-t-il de hauteurs dans un triangle? 3. a. Tracer un triangle tel que 70 et 50. onstruire toutes les hauteurs de ce triangle. Quelle constatation peut-on faire? b. Reprendre la question a avec 120 et Les trois bissectrices 1. Pour tracer la bissectrice d un angle, il suffit de construire les sommets d un losange à l aide d un compas (voir figure 1). En pratique, on ne construit que des arcs de cercle (voir figure 2). y y M M x x Le résultat de cette question est admis sans démonstration. Fig. 1 Fig. 2 La figure obtenue présente une symétrie. ndiquer laquelle. 2. onstruire un triangle et les bissectrices des trois angles, et. Que constate-t-on? 3. n note le point d intersection des trois bissectrices obtenu à la question 2. Tracer la perpendiculaire au côté [] issue de. Elle coupe [] en M. Procéder de même pour les côtés [] et []. n obtient ainsi les points N sur [] et P sur []. 4. a. omparer en les mesurant les longueurs M, N et P. b. Tracer le cercle qui passe par M, N et P. À la vue du dessin, indiquer si ce cercle coupe chaque côté du triangle en plusieurs points. 180 HPTRE 10 DRTES REMRQULES DU TRNGLE

4 TVTÉS 5 Les trois médianes 1. À l aide d un logiciel de géométrie, ou sur une feuille de papier, tracer un triangle. Placer les milieux M, N et P des côtés [], [] et [] comme sur la figure cidessous. Tracer les médianes [M], [N] et [P]. Que constate-t-on? 2. Soit G le point d intersection des médianes obtenu à la question 1. a. Recopier le tableau suivant et le compléter à l aide d un double décimètre ou du logiciel de géométrie : G... GM... G... G M... G GN... G G N... GP... G... G.... GP... Les résultats de cette question sont démontrés à l exercice 64, p.194. b. Parmi les affirmations suivantes, indiquer celles qui paraissent correspondre aux résultats du tableau précédent : G est situé aux 3 de chaque médiane en partant du sommet ; 4 G est situé à la moitié de chaque médiane en partant du sommet ; G est situé aux 2 de chaque médiane en partant du sommet ; 3 G est situé au tiers de chaque médiane en partant du milieu du côté ; GM 1 3 G ; GM 1 3 M ; G 1 2 GP. HPTRE 10 DRTES REMRQULES DU TRNGLE 181

5 retenir le cours 1 Médiatrices DÉFNTN La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. est un axe de symétrie du segment. PRPRÉTÉ La médiatrice d un segment est la droite constituée de tous les points qui sont à égale distance des extrémités de ce segment. M est un point de la médiatrice de []. M M M. M M. NLUSN NLUSN M est sur la médiatrice de []. THÉRÈME Les médiatrices des côtés d un triangle sont concourantes. Leur point d intersection est le centre du cercle circonscrit à ce triangle. (d ) (d ) (d), (d ) et (d ) sont les médiatrices des côtés du triangle. NLUSN (d), (d ) et (d ) sont concourantes en un point. est le centre du cercle circonscrit au triangle. 2 Hauteurs DÉFNTN Dans un triangle, on appelle hauteur une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. K EXEMPLE (H) est la hauteur du triangle issue du sommet. (K) est la hauteur du triangle issue du sommet. H 182 HPTRE 10 DRTES REMRQULES DU TRNGLE

6 retenir le cours THÉRÈME Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes. Leur point d intersection est appelé orthocentre de ce triangle. (d ) H (d ) (d), (d ) et (d ) sont les hauteurs du triangle. NLUSN (d), (d ) et (d ) sont concourantes en un point H. H est l orthocentre du triangle. 3 issectrices DÉFNTN La bissectrice d un angle est la droite qui le partage en deux angles de même mesure. est l axe de symétrie de l angle. x y THÉRÈME Les trois bissectrices d un triangle sont concourantes. Leur point d intersection est le centre du cercle inscrit dans ce triangle. (d ) (d ), (d ) et (d ) sont les bissectrices des angles du triangle. NLUSN, (d ) et (d ) sont concourantes en un point. est le centre du cercle inscrit dans le triangle. 4 Médianes DÉFNTN Dans un triangle, on appelle médiane un segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé. EXEMPLE Le segment [] est la médiane du triangle issue de. REMRQUE n dit aussi que la droite () est la médiane issue de. HPTRE 10 DRTES REMRQULES DU TRNGLE 183

7 retenir le cours THÉRÈME Les trois médianes d un triangle sont concourantes. Leur point d intersection est appelé centre de gravité de ce triangle. l est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet. K G J [], [J] et [K] sont les trois médianes du triangle. NLUSN Les trois médianes sont concourantes en un point G. G 2 3. G 2 3 J. G 2 3 K. 5 Triangles particuliers a Triangle isocèle PRPRÉTÉ Dans un triangle isocèle, la hauteur, la bissectrice et la médiane issues du sommet principal sont confondues avec la médiatrice du côté opposé. b Triangle équilatéral PRPRÉTÉ Dans un triangle équilatéral, le centre du cercle circonscrit, l orthocentre, le centre du cercle inscrit et le centre de gravité sont confondus. 184 HPTRE 10 DRTES REMRQULES DU TRNGLE

8 savoir démontrer savoir démontrer ÉNNÉ n considère un triangle. Le point E est le pied de la perpendiculaire à () issue de. D est le pied de la perpendiculaire à () issue de. (D) et (E) sont sécantes en H. Démontrer que (H) et () sont perpendiculaires. Première étape Je lis l énoncé u brouillon, je note les données : E H STUE Je reproduis la figure sur une feuille volante afin de l avoir toujours sous les yeux quand j écris mes réponses! D Je note le but de la question : (H) (). Deuxième étape Je recherche Je reconnais une configuration du cours : Je l adapte au problème : Deux hauteurs d un triangle suffisent pour connaître la position de la troisième hauteur. Troisième étape Je rédige J énonce les données utiles : D après les données, (E) et (D) sont deux hauteurs du triangle. Elles se coupent en H. Je cite le théorème utilisé : Dans un triangle, les hauteurs sont concourantes. Je conclus : H est donc l orthocentre du triangle et (H) est sa troisième hauteur. Donc (H) est perpendiculaire à (). HPTRE 10 DRTES REMRQULES DU TRNGLE 185

9 choisir les outils choisir les outils Exercice 1 Reconnaître le centre du cercle inscrit et utiliser une de ses propriétés Dans le triangle PS représenté ci-contre, les droites () et (S) sont les bissectrices des angles PS et PS. De plus, PS 76. alculer PS. S P 76 Solution Le point est le point d intersection des bissectrices de deux angles du triangle PS. Les trois bissectrices des angles d un triangle sont concourantes, donc la bissectrice du troisième angle passe aussi par. La droite (P) est la bissectrice de l angle PS. ommentaires Les bissectrices de deux angles du triangle suffisent à déterminer le centre du cercle inscrit et à connaître la position de la troisième bissectrice. Donc PS 1 2 PS. omme , on conclut : PS Exercice 2 Reconnaître le centre de gravité et utiliser une de ses propriétés G J Dans le triangle représenté ci-contre, on donne 33 mm et G 30 mm. alculer G et J. Solution D après le codage de la figure, [] et [J] sont deux médianes du triangle. Donc leur point d intersection G est le centre de gravité du triangle. e point est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet. G donc G 22 mm. 3 Par ailleurs, G 2 3 J donc J. n multiplie chaque membre de l égalité par 3 et on 2 obtient : ommentaires Le codage indique que est le milieu de [] et que J est le milieu de []. Deux médianes d un triangle suffisent pour connaître la position du centre de gravité. n utilise une propriété du centre de gravité d un triangle J. D où finalement 45 J, autrement dit J 45 mm. n utilise l égalité pour chercher la valeur de J. 186 HPTRE 10 DRTES REMRQULES DU TRNGLE

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