Synthèse de cours (CPGE) Applications linéaires
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- Marc Renaud
- il y a 8 ans
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1 Synthèse de cours (CP Alications linéaires Alications linéaires Définition Soit et deux K-esaces vectoriels et ϕ une alication de dans. On dit que ϕ est une «alication linéaire» si on a : ( x, y, ( αβ, K, f ( αx βy αf ( x βf ( y + = + n d autres termes, l alication ϕ est, dans ce cas, un morhisme de dans our chacune des lois de et. L ensemble des alications linéaires de dans est noté : (, confondus : L (. L ou, lorsque et sont Vocabulaire Soit ϕ une alication linéaire de dans. Si =, on dit que ϕ est un «endomorhisme de». Si = K, on dit que ϕ est une «forme linéaire sur». L ensemble L (, K des formes linéaires sur est noté * et est aelé «esace dual» de l esace vectoriel. Si ϕ est bijective, on dit que ϕ est un «isomorhisme de dans». Un endomorhisme bijectif est aelé «automorhisme». L ensemble des automorhismes de est aelé «groue linéaire de» et est noté : L (. PanaMaths [1-6] évrier 010
2 Soit et deux K-esaces vectoriels. Si ϕ est un isomorhisme de dans (resectivement automorhisme de alors l alication réciroque automorhisme de. 1 ϕ est un isomorhisme de dans (resectivement Soit et deux K-esaces vectoriels. L ensemble L (, des alications linéaires de dans est un sous-esace vectoriel de l ensemble des alications de dans. On retiendra que toute combinaison linéaire (y comris la combinaison linéaire nulle d alications linéaires est une alication linéaire. Soit, et trois K-esaces vectoriels. L alication Φ définie ar : est bilinéaire ; c'est-à-dire : et : L (, L (, L (, ( f, g ( f, g gof Φ : Φ = ( ( L ( L ( ( K ( f, f,, g,, αβ,, go αf + βf = αgof + βgof ( ( L ( L ( ( K ( g, g,, f,, αβ,, αg + βg of = αg of + βg of PanaMaths [-6] évrier 010
3 Noyau et image d une alication linéaire Définitions Soit et deux K-esaces vectoriels et ϕ une alication linéaire de dans. On aelle «noyau de l alication linéaire ϕ», noté «kerϕ», l ensemble des vecteurs de dont l image ar ϕ est le vecteur nul de (c'est-à-dire l ensemble des antécédents du vecteur nul de : 1 { x ( x } ({ } kerϕ = / ϕ = 0 = ϕ 0 On aelle «image de l alication linéaire ϕ», noté Imϕ, l ensemble des vecteurs de images ar ϕ de vecteurs de : { y x y ( x } ( Imϕ = /, = ϕ = ϕ ( 0 1 Remarque : ϕ { } désigne l image réciroque du singleton { } des antécédents ar ϕ du vecteur nul de. 0, c'est-à-dire l ensemble Soit et deux K-esaces vectoriels et ϕ une alication linéaire de dans. Le noyau de ϕ est un sous-esace vectoriel de et l image de ϕ est un sous-esace vectoriel de. Soit et deux K-esaces vectoriels et ϕ une alication linéaire de dans. ϕ est injective ϕ = { } ker 0 ϕ est bijective Imϕ = PanaMaths [3-6] évrier 010
4 Projecteurs et symétries Définitions Soit un K-esaces vectoriel. Soit et deux sous-esaces vectoriels sulémentaires de. Pour tout x de, il existe un unique coule de vecteurs (, x x de tel que : x = x + x Le vecteur x (resectivement x est aelé «rojeté de x sur arallèlement à» : x x = x (resectivement sur arallèlement à et l alication : ( (resectivement : x ( x = x est aelée «rojection sur arallèlement à» (resectivement «rojection sur arallèlement à. et On a : sont des endomorhismes de aelés «rojecteurs de». ker (resectivement : Im = = et ker = et Im = Le vecteur x x = ( ( x (resectivement x x ( ( x = est aelé «symétrique de x ar raort à arallèlement à» (resectivement ar raort à s : x x x = x (resectivement arallèlement à et l alication ( ( s : x x x = ( ( x est aelé «symétrie ar raort à arallèlement à» (resectivement «symétrie ar raort à arallèlement à». s et s sont des endomorhismes de aelés «symétries de». Remarques : + = id ; A artir de s = et + = id, on obtient : 1 1 ( id s = id Symétriquement : 1 1 ( id s = id + = + et ( s = et ( s PanaMaths [4-6] évrier 010
5 Soit un K-esaces vectoriel. Soit ϕ un endomorhisme de. On a : ϕ rojecteur ϕoϕ = ϕ ϕ symétrie ϕoϕ = id Alications linéaires en dimension finie Image d une base Soit et deux K-esaces vectoriels, de dimension finie. B une base de. Soit = ( e1, e,..., e Soit ϕ une alication linéaire de dans. L alication linéaire ϕ est comlètement définie ar la donnée des images ϕ ( e 1, ( e ϕ,, ( e ϕ des vecteurs de la base B : ( ( e1 ( e ( e Imϕ = Vect ϕ, ϕ,..., ϕ Rang d une alication linéaire Définition Soit et deux K-esaces vectoriels, de dimension finie. B une base de. Soit = ( e1, e,..., e Soit ϕ une alication linéaire de dans. ( La dimension de Imϕ Vect ϕ( e1, ϕ( e,..., ϕ( e linéaire ϕ» et on la note : rgϕ. = est aelé «rang de l alication PanaMaths [5-6] évrier 010
6 Soit et deux K-esaces vectoriels de dimensions finies, et n resectivement. B une base de. Soit = ( e1, e,..., e Soit ϕ une alication linéaire de dans. On a : ( ϕ injective ϕ( e, 1 ϕ( e,..., ϕ( e ϕ surjective ( ϕ( e, 1 ϕ( e,..., ϕ( e ϕ bijective ϕ( e, 1 ϕ( e,..., ϕ( e est libre dans rgϕ = est génératrice de rgϕ = n ( est une base de rgϕ = = n Remarques : Pour toute alication linéaire ϕ : rg inf (, n diml (, = n. ϕ ; du rang Soit et deux K-esaces vectoriels, de dimension finie. Soit ϕ une alication linéaire de dans. Dans ces conditions, Im f est isomorhe à tout sulémentaire de ker f dans et on a : dim ker f + rgf = dim PanaMaths [6-6] évrier 010
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