Jean-Louis CAYATTE

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1 Jean-Louis CAYATTE Chapitre 2 Le nombre es chômeurs Le nombre es chômeurs augmente lorsque les entrées au chômage sont supérieures aux sorties u chômage. Cette banalité, nous avons besoin e l écrire avec un peu plus e rigueur que ans la vie e tous les jours. Mais, pour ce faire, nous allons préalablement enrichir notre vocabulaire, en éfinissant les notions appariement et e séparation (section 1), puis poser es hypothèses simplificatrices (section 2). Nous serons alors en mesure e présenter un moèle élémentaire entrées au chômage (section 3) et e sorties u chômage (section 4), onc e variation u nombre es chômeurs (section 5). Section 1. Appariements et séparations Comme nous l avons vu au chapitre 1 (Définitions et notations), les personnes ont trois statuts possibles par rapport au marché u travail : inactif, actif occupé ou chômeur. Les postes e travail ont eux statuts possibles : poste vacant ou poste occupé. Les changements e statut es personnes et es postes sont souvent eux faces un même évènement. Consiérons, par exemple, le cas un chômeur qui trouve un poste vacant qui lui convient, et que l employeur accepte embaucher sur ce poste. Alors, le poste et le chômeur changent e statut en même temps : le chômeur evient actif occupé et le poste vacant evient poste occupé. Juriiquement, un contrat e travail est conclu (on pourrait ire signé, si le contrat e travail était toujours écrit). Cette opération s appelle, en langage courant, embauche ou recrutement. Mais ces mots ont eux inconvénients : ils font e cette opération une action e l employeur, à l égar un travailleur ainsi présenté comme purement passif. On peut certes amettre qu il existe un rapport e force entre les employeurs et les salariés (on l introuira explicitement au chapitre 14). Mais ce n est pas la même chose que e ire que l employeur est seul à écier. D ailleurs, le rapport e force entre l employeur et le salarié n est pas nécessairement en faveur e l employeur. ils mettent l accent sur le changement e statut e la personne, sans renre compte u changement e statut u poste. C est pourquoi les économistes préfèrent le terme technique appariement (match) pour ésigner ce ouble changement e statut. Ainsi, l appariement entre un chômeur et un poste vacant iminue le nombre es chômeurs une unité, augmente l emploi une unité, iminue le nombre es postes vacants une unité, augmente le nombre e postes occupés une unité. La figure 1 est une représentation schématique e cet évènement. Figure 1 L appariement entre un chômeur et un poste vacant. Une fois conclu, le contrat e travail peut cesser pour e nombreuses raisons : commun accor e l employeur et u salarié, licenciement, émission, épart à la retraite, accient, écès, etc. Le terme général pour ésigner cet évènement est séparation (separation) entre l actif occupé et le poste. Lorsque la séparation se prouit, la personne peut soit changer emploi (nouvel appariement) et rester actif occupé, soit evenir chômeur, soit evenir inactif. Le poste peut changer e titulaire, evenir vacant ou isparaître. Pour construire un moèle simple e ces appariements et séparations, il faut poser es hypothèses simplificatrices. Jean-Louis CAYATTE -1-

2 Section 2. Hypothèses simplificatrices Pour simplifier, nous neutralisons provisoirement les entrées et sorties e la vie active ( 1), puis nous effaçons toutes les particularités iniviuelles es situations concrètes, avec une hypothèse ite homogénéité ( 2). Nous arrivons alors à un schéma très simple ( 3). 1. Hypothèse sur la population active Limitons-nous, pour commencer, à un nombre onné actifs. Sous cette hypothèse, il n y a ni entrée ans ni sortie e la vie active. Pour fixer les iées, nous supposerons une population active e personnes, ont 500 au chômage, et onc occupées, à une ate initiale. 2. Hypothèse homogénéité L hypothèse homogénéité consiste à amettre que tous les actifs sont équivalents aux yeux e toutes les entreprises et que tous les postes e travail sont équivalents aux yeux e tous les actifs. 3. Implications La combinaison e notre hypothèse e population active onnée et homogénéité a les implications suivantes. Un actif occupé ne émissionne pas (pourquoi émissionner si tous les postes sont équivalents?). Par conséquent, sous nos hypothèses, seuls les chômeurs sont emaneurs emploi. Un employeur ne licencie pas un salarié pour le remplacer par un autre. Il ne le licencie que s il supprime le poste. Toute séparation est à la fois un licenciement et une suppression e poste. Les entrées au chômage se font uniquement à la suite un licenciement. Les sorties u chômage se font uniquement à la suite un appariement. Cette hypothèse réuit le nombre es flux e personnes à eux : les appariements (nécessairement entre un chômeur et un poste vacant) et les séparations. Alors, la partie roite e la figure 1 u chapitre précéent peut être précisée comme sur la figure 2. Figure 2. Les eux flux qui lient le stock es chômeurs et celui es actifs occupés ans un moèle sans entrée ni sortie e la vie active. Reste à faire es hypothèses simples sur ces séparations et e ces appariements. Section 3. Les entrées au chômage Il nous faut une hypothèse sur les raisons es séparations ( 1) et une sur leur rythme ( 2). 1. Les chocs sur les postes occupés Nous amettons que les entreprises maximisent leur profit (ou, plus précisément, leur espérance e profit). Alors, si à une ate onnée, un certain nombre e postes sont occupés, c est que ces postes présentent es perspectives e profit positives. Si la situation se moifie, certains postes peuvent cesser être profitables. Si tel est le cas, les firmes les supprimeront. Pour employer le terme technique approprié, appelons choc sur les postes occupés tout évènement qui moifie la profitabilité un ou plusieurs postes. On istingue les chocs globaux et les chocs spécifiques. Les chocs globaux affectent la profitabilité e tous les postes en même temps. Ces chocs sont à l origine es variations e la conjoncture. Les chocs spécifiques affectent un poste onné, sans affecter les autres. Ces chocs spécifiques sont us soit à un changement es goûts es consommateurs (qui cessent par exemple e emaner le bien prouit ou le emanent moins), soit à la concurrence autres entreprises, qui ont trouvé un moyen e prouire le même bien à meilleur marché, ou qui prouisent un nouveau bien qui se substitue à Jean-Louis CAYATTE -2-

3 celui qui était prouit sur ce poste. En termes techniques, les chocs spécifiques sont us à es changements ans les fonctions utilité es consommateurs ou ans les fonctions e prouction es entreprises (innovations). Pour avoir un moèle simple, amettons, pour commencer, les hypothèses suivantes. Seuls surviennent es chocs spécifiques. Les postes sont alors atteints inépenamment les uns es autres. Lorsqu un choc se prouit, il ren le poste qu il atteint éfinitivement non profitable. Donc l entreprise le supprime. Le salarié qui occupait le poste est alors licencié (et non pas reclassé). Puisqu il ne sort pas e la population active, ce salarié evient chômeur. Sous ces hypothèses, l arrivée un choc sur un poste occupé, la suppression e ce poste, le licenciement e l actif qui l occupait, l entrée au chômage e cet actif, sont un seul et même évènement. Nous supposons que ces évènements se prouisent régulièrement, ans un sens à préciser. 2. La caence es entrées au chômage Nous n avons pas besoin e poser une hypothèse e régularité métronomique, u genre : il entre une personne au chômage toutes les 10 minutes. Il nous suffit une régularité plus générale, u genre : les entrées au chômage se font à la caence une toutes les 10 minutes, ou, plus généralement, à une caence c. Techniquement, nous supposerons que les entrées au chômage suivent ce qu on appelle un processus e Poisson e taux c ce qui signifie que le nombre es entrées au chômage, au cours une périoe e urée, est un nombre aléatoire, entier, nul ou positif. Son espérance mathématique est proportionnelle à la longueur e la périoe consiérée. Précisons cela, sans excès e rigueur, sous la forme e rappels e statistique. Rappel 1. Une variable aléatoire X suit une loi e Poisson e paramètre m > 0 si elle peut prenre n importe quelle valeur n entière non négative avec la probabilité { } L espérance mathématique une telle variable est E ( X ) n m m Pr X = n = e n = 0,1,2,... n! = m. Rappel 2. Les entrées au chômage suivent un processus e Poisson e taux c si le nombre cours une périoe e urée suit une loi e Poisson e paramètre c : { } ( c ) n c Pr X = n = e n = 0,1,2,... n! X es entrées qui se prouisent au Par conséquent, l espérance mathématique u nombre es entrées au chômage penant une périoe e longueur est ( ) E X = c. Si la longueur e la périoe consiérée est celle e l unité e temps, = 1, l espérance mathématique u nombre es entrées au cours e cette périoe est c. C est pourquoi c est appelé la caence es entrées. A titre illustration numérique, prenons le mois comme unité e temps, et supposons que, penant un mois onné, la caence es entrées au chômage soit constante et égale à 200. Alors, la figure 3 vous onne les ifférentes valeurs possibles e X, avec leur probabilité : n Figure 3. Distribution u nombre mensuel es entrées au chômage selon un processus e Poisson e taux 200 par mois. Jean-Louis CAYATTE -3-

4 Toutes les valeurs entières non négatives sont théoriquement possibles (aucune n a une probabilité strictement nulle). Mais, comme vous le voyez, seules les valeurs proches e l espérance ont une probabilité non négligeable. Rappel 3. Il est équivalent e ire que les entrées suivent un processus e Poisson e taux c et e ire que les urées qui séparent eux entrées suivent une loi exponentielle e paramètre c. Le rapport entre la loi e Poisson et la loi exponentielle ans un processus e Poisson est onc simplement le suivant : la première s applique au nombre évènements penant une urée onnée, la secone aux urées qui s écoulent entre eux évènements. Rappel 4. L espérance mathématique une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle e paramètre c est 1 c. Ainsi, si la caence es entrées est c = 6 par heure, le temps qui s écoule, en moyenne, entre eux entrées est e 10 minutes. Quelle caence retenir? La plus logique es hypothèses simples est e supposer que la caence c es chocs affectant les postes à un moment onné est proportionnelle au nombre N es postes occupés à ce moment-là, soit c = sn ( s comme séparation). Ainsi, si on retient le mois comme unité e temps et si on pose s = 2%, alors, ans notre exemple numérique où les actifs occupés sont 9 500, la caence es chocs, onc es entrées au chômage, est : c = 0, = 190 (entrées au chômage par mois) à la ate consiérée. Entre eux entrées au chômage, il s écoule onc, en moyenne, un cent quatre-vingt ixième e mois (un peu moins e 4 heures, pour un mois e 30 jours e 24 heures). Cette caence reste constante tant que le nombre es actifs occupés reste constant. Section 4. Les sorties u chômage Dans notre moèle, un appariement entre un chômeur et un poste vacant, le passage u poste en question u statut e poste vacant au statut e poste occupé, l embauche u chômeur, onc son passage au statut actif occupé, la sortie u chômage e cet actif, sont un seul et même évènement. Comme pour les entrées au chômage, nous supposons que le nombre e ces évènements suit un processus e Poisson, ont nous notons la caence k. Par conséquent, l espérance mathématique u nombre e sorties u chômage penant n importe quelle périoe e longueur est k. Le temps attente entre eux sorties suit une loi exponentielle e paramètre k, onc espérance 1 k. Quelle caence retenir? L hypothèse la plus simple, mais pas la plus intuitive, est e supposer que la caence es appariements est proportionnelle au nombre es chômeurs : k = fu ( f comme to fin). La caence es sorties u chômage est alors constante tant que le nombre es chômeurs U est constant. Mais, autant il était naturel amettre que la caence es séparations était proportionnelle au nombre es actifs occupés, autant supposer que la caence es appariements est proportionnelle au nombre es chômeurs ne va pas e soi. En effet, un appariement résulte e la rencontre entre un chômeur et un employeur qui a un poste vacant. C est onc l aboutissement e eux activités e recherche, ou plus exactement, un processus e recherche mutuelle ans lequel sont impliqués un nombre U e chômeurs et un nombre employeurs corresponant à V postes vacants, comme le rappelle la figure 1. On atten onc plus logiquement une caence écrite k = M U, V ( ) où M (comme matching) ésigne une fonction appelée fonction appariement. Ecrire que la caence es appariements est proportionnelle au nombre es chômeurs, c est onc apparemment oublier qu un chômeur ne peut pas sortir u chômage, quoi qu il fasse, s il n existe pas un poste vacant chez un employeur prêt à l embaucher. Mais nous verrons, au chapitre 12, e bonnes raisons e penser que V s ajuste proportionnellement à U. C est cette propriété qui permet M U, V = fu. Ici, il vous est emané e l amettre provisoirement. écrire ( ) Si f = 20%, ans notre exemple numérique où les chômeurs sont 500, la caence es sorties u chômage est k = 0, = 100 (appariements par mois) à la ate consiérée. Le temps qui s écoule entre 2 appariements est, en moyenne, e 1 centième e mois (un peu plus e 7 heures, pour un mois e 30 jours e 24 heures). Ayant ainsi précisé la caence es entrées et celle es sorties u chômage, nous sommes en mesure e préciser l évolution u nombre es chômeurs. Jean-Louis CAYATTE -4-

5 Section 5. Le nombre es chômeurs et son espérance mathématique Le nombre es chômeurs à la ate t ates, et iminué u nombre es sorties Y entre ces eux mêmes ates : Puisque nous connaissons les lois e probabilité e à la ate t + est égal à leur nombre à la ate t, augmenté u nombre es entrées X entre ces eux U ( t + ) = U ( t) + X Y X et Y, cette formule nous onne la loi e probabilité u nombre es chômeurs + (conitionnelle au nombre es chômeurs à la ate t ). Voyons cela sur notre exemple numérique. 1. La variation u nombre es chômeurs Dans notre exemple numérique, on part une situation initiale comptant 500 chômeurs. a) Ce nombre va rester constant jusqu à ce que survienne soit une séparation, soit un appariement. Quelle est la longueur e cette périoe e constance? Si on note T 1 la ate (aléatoire) e la première séparation après la ate 0 et D 1, la ate u premier appariement, la ate u premier changement u nombre es chômeurs est la variable aléatoire min ( T, D ) 1 1. On émontre que, si le processus arrivée es chocs sur les postes occupés et le processus es appariements sont inépenants, ce qui est le cas avec nos hypothèses, cette variable aléatoire suit une loi exponentielle e paramètre ( c k ) +, onc espérance +.. Par conséquent, le nombre es chômeurs reste égal à 500 penant une u- Dans notre exemple numérique, 190 rée aléatoire espérance c = et k = c k 1 1 0,003 c k = soit environ 3 millièmes e mois (2h30 pour un mois e 30 jours e 24 h), ans notre exemple complètement théorique. N.B. Si on consière que les séparations et les appariements ne se prouisent que les jours ouvrables, alors en arronissant grossièrement, on estime qu en France, il y a chaque jour ouvrable environ séparations (pas nécessairement es licenciements) et environ le même nombre appariements. Le nombre es chômeurs varie onc en France à une caence e l orre e c + k = , soit, si on se limite à 10 heures ouvrables par jour, environ toutes les 2 secones. b) A la fin e cette périoe (aléatoire) e constance, le nombre es chômeurs passera à 501 si le premier évènement qui se prouit est une séparation, à 499 si le premier évènement qui se prouit est un appariement. On émontre que la probabilité que le premier évènement soit une séparation est et onc la probabilité que ce soit un appariement, 1 Dans notre exemple numérique, c p = c + k k p = c + k. 190 p = = 0, et 1 p = 0,3448 c) Consiérons le premier cas. Si le nombre es chômeurs passe à 501, alors, le nombre es actifs occupés passe e à La caence es séparations se moifie onc et passe à 2% e 9 499, soit c = 189,98. De même, la caence es appariements se moifie et passe à 100,2. Le nombre es chômeurs reste alors à 501 penant une urée aléatoire, espérance k = onc un peu plus faible que la précéente. Après quoi, il passe soit à 502 avec une probabilité soit à 500 avec une probabilité 1 p = 0,3453. Etc. 1 1 = 189, , 2 290,18 189, 98 p = = 0, ,18 Jean-Louis CAYATTE -5-

6 ) Dans le euxième cas, le nombre es chômeurs passe e 500 à 499. Alors, le nombre es actifs occupés passe à La caence es séparations evient c = 190, 02, la caence es appariements passe à k = 99,8. Le nombre es chômeurs reste à 499 penant une urée aléatoire, espérance 1 289,82 onc supérieure aux eux urées e constance précéents. Après quoi, il passe soit à 500 avec une probabilité 190, 02 p = = 0, ,82 soit à 498 avec une probabilité 1 p = 0,3444. Etc. Ainsi, après 1 évènement (1 séparation ou 1 appariement), le nombre es chômeurs a 2 valeurs possibles : 499 ou 501. Après 2 évènements (2 séparations, ou 2 appariements, ou 1 appariement et 1 séparation), il a 3 valeurs possibles : 498, 500 et 502. Etc. La figure 4 représente quelques ébuts e trajectoires possibles pour le nombre e chômeurs e notre exemple numérique, avec les probabilités e chaque valeur future, conitionnelles à la valeur actuelle. Jean-Louis CAYATTE -6-

7 502 0, ,6552 0, ,3448 0, , t 1 t 2 t 3 Figure 4. Quelques (ébuts e) trajectoires possibles u nombre es chômeurs. Sur la figure 4, le trait plein qui part e 500 s arrête à la ate t 1. Il aurait pu s arrêter plus tôt, ou plus tar. Certes, au moment e l arrêt, la trajectoire passe nécessairement à 501 ou à 499, avec les probabilités iniquées. Mais il y a autant e (ébuts e trajectoires) que e ates possibles pour ce premier changement, onc une infinité. Le même commentaire peut être fait pour toutes les ates suivantes. 2. L espérance mathématique u nombre es chômeurs Le nombre es chômeurs U ( t ) à la ate t est onc un nombre entier, qui reste constant penant une urée ont nous connaissons la loi e probabilité, puis passe soit à l entier U ( t ) + 1 soit à l entier U ( t) 1, avec es probabilités que nous savons calculer. Sa trajectoire se présente onc comme une fonction en escalier. Le nombre e ces trajectoires possibles est infini. Mais cela n empêche pas e calculer celle e l espérance mathématique e ce nombre es chômeurs. Cette espérance mathématique, contrairement au nombre es chômeurs, n est pas nécessairement un nombre Jean-Louis CAYATTE -7-

8 entier, et elle est une fonction continue u temps. Si nous notons U ( t ) le nombre aléatoire es chômeurs à la ate t, la notation e son espérance à la ate t evrait être : ( ( ) ( 0) = U0 ) E U t U U t. Mais, une fois bien entenu que le nombre es chômeurs à la ate t est une variable aléatoire, que nous ne pouvons pas nous intéresser à es variations purement accientelles (es éviations par rapport à l espérance qui sont, en moyenne, nulles), nous négligerons systématiquement l écart entre le nombre effectif es chômeurs et son espérance mathématique. Nous nous permettrons e ire «nombre es chômeurs» là où nous evrions, en toute rigueur, ire «espérance mathématique u nombre es chômeurs». Et (pire!) nous noterons cette espérance comme nous notons le nombre, soit ( ) Au bout u compte, le nombre es entrées au chômage, le nombre es sorties u chômage, onc le nombre es chômeurs sont aléatoires. Il en écoule que le nombre es actifs occupés (population active moins chômeurs) et le taux e chômage (nombre e chômeurs ivisé par nombre es actifs) le sont aussi. Et, pour toutes ces graneurs aussi, nous irons nombre et taux là où nous evrions ire espérance u nombre et espérance u taux. Les seules graneurs qui ne sont pas aléatoires ans notre moèle sont celles que nous nous sommes onnées : les valeurs initiales : les paramètres s et f. s L et U 0, ont nous tirons N 0 et le taux e chômage initial u U L = ; 0 0 s On émontre (pour une émonstration propre, voyez, par exemple, Shelon M. Ross, Introuction to Probability Moels, Harcourt, 7 e éition, 2000) que l espérance mathématique u nombre es chômeurs varie comme la ifférence entre la caence es entrées et la caence es sorties. Formellement : ( ) U t t ( ) ( ) ( ) = Uɺ t = sn t fu t Si la caence es entrées au chômage et la caence es sorties sont égales, le nombre es chômeurs peut certes augmenter ou iminuer accientellement, mais en moyenne ou en espérance, il reste stable. Si au contraire, la caence es entrées est plus élevée que celle es sorties, l espérance mathématique u nombre es chômeurs augmente. Dans le cas inverse, elle iminue. * * * Au terme e ce chapitre, nous acceptons onc e ire nombre et taux pour ésigner ce qui est, en toute rigueur, leur espérance. D autre part, avec nos hypothèses, à partir une situation initiale quelconque, toutes les graneurs e notre moèle évoluent en fonction e 2 paramètres, s et f. Nous allons maintenant voir que les trajectoires e ces graneurs ne sont pas quelconques, mais qu elles tenent vers es graneurs stationnaires inépenantes e la situation initiale. En particulier, le taux e chômage ten vers une valeur équilibre qui mérite être analysée. Tel est l objet u chapitre suivant. Jean-Louis CAYATTE -8-