Formes quasi-modulaires. Formes modulaires presque holomorphes

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1 Formes quasi-modulaires Formes modulaires presque holomorphes Nancy, 18 septembre 2003 Emmanuel Royer

2 Formes modulaires sur SL(2,Z) (Euler, Jaob Bernoulli, Gauss, Abel, Hermite, Klein, Poincaré) f ( ) az + b = (cz + d) f (z), cz + d { ( a b c d ) SL(2,Z) z H. ( a b ) ( c d = ) = f est 1-périodique, on demande l holomorphie et un développement de Fourier de la forme f (z) = + n=0 f (n)e(nz) ( e(x) = exp(2iπx) ). M : espace vectoriel sur C des formes modulaires de poids. Il est muni d un produit scalaire (, ). Si f (0) = 0, forme parabolique S.

3 Exemple fondamentaux (z) = e(z) + n=1 [1 e(nz)] 24, S 12. (1) (2) E (z) =! B = 1 2 B (m,n) Z 2 \{(0,0)} + n=1 σ 1 (n)e(nz) 1 (mz + n) ( 4) où t + e t 1 = n=0 B n t n n! σ 1 (n) = d N d n d 1. E M la formule (2) définit E 2 mais l absence de convergence absolue dans (1) empêche la modularité.

4 Structure M = S CE ( 4). M = 0 pour < 0 et = 2. dimm = 1 et dims = 0 pour {0,4,6,8,10}. M 12 f f. { dimm = 12 si 2 (mod 12) ; sinon. S M = C[E 4,E 6 ] N Exemple : = E3 4 E coefficients de Fourier τ(n) de.

5 L expression Remarque de structure M = C[E 4,E 6 ] N indique La somme est directe rigidité du poids (l addition de deux formes modulaires de poids distincts a peu de sens) ; Les fonctions E 4 et E 6 sont algébriquement indépendantes sur C. L espace vectoriel des formes modulaires de poids est isomorphe à l espace vectoriel des polynômes de poids, i.e. de la forme c(α,β)x α Y β. (α,β) N 2 4α+6β= Si f M et g M l alors f g M +l donc M est une algèbre graduée. N

6 Somme directe f j M j, (j = 1,..., r), j distincts r j =1 f j = 0. On fixe z H, on applique la modularité : ( ) r az + b r f j = 0 = (cz + d) j f j (z) = 0. cz + d j =1 Le polynôme r j =1 j =1 f j (z)x j s annule sur l ensemble infini { cz + d : (c, d) Z 2, pgdc(c, d) = 1 } donc f j (z) = 0.

7 Indépendance algébrique Une base de M est { } E4 α Eβ 6 : (α,β) N2, 4α + 6β =. Soit P C[X,Y ] tel que P (E 4,E 6 ) = 0. Par regroupement de termes : K P(X,Y ) = p αβ X α Y β Chaque terme (α,β) N 2 4α+6β= =1 (α,β) N 2 4α+6β= p αβ E α 4 Eβ 6 est une forme modulaire de poids. Par somme directe des M, chacun de ces termes est nul. Par indépendance linéaire, chaque coefficient p αβ est alors nul.

8 Dérivation des formes modulaires On note de sorte que De = e. D(f ) = 1 2iπ f

9 Par dérivation de la relation de modularité, on a ( ) az + b (3) D(f ) = (cz + d) +2 D(f )(z) + cz + d 2iπ c(cz + d)+1 f (z). Supposons, par l absurde, que D(f ) est modulaire de poids l. En comparant (3) et la condition de modularité de poids l, on obtient [ (cz + d) l (cz + d) +2] D(f )(z) = 2iπ c(cz + d)+1 f (z). Ayant fixé z H et c = 1, on en déduit que le polynôme (4) [ (z + X ) l (z + X ) +2] D f (z) 2iπ (z + X )+1 f (z) s annulant sur l ensemble infini des entiers est nul. Si l = + 2, cela implique f = 0. Si l + 2, la considération du coefficient de X max(l,+2) implique D(f )(z) = 0 puis (après report dans le polynôme (4))f (z) = 0.

10 f modulaire = D(f ) non modulaire.

11 1 re solution : crochets de Ranin-Cohen Au lieu de prendre les dérivées, on prend des combinaisons de dérivées. Le produit de f M et g M l est modulaire. Sa dérivée ne l est donc pas, mais il est facile de modifier la dérivée du produit pour la rendre modulaire : [f, g ] 1 := f D(g ) ld(f )g S +l+2. Ce crochet est antisymétrique et satisfait l identité de Jacobi : [ [f, g ]1, h ] 1 + [ [h, f ] 1, g ] 1 + [ [g, h] 1, f ] 1 = 0. Ce crochet généralise le produit : [f, g ] 0 := f g M +l.

12 Si n N, si f M, si g M l, on définit ( )( ) n [f, g ] n := ( 1) r + n 1 l + n 1 D r (f )D n r (g ) S +l+2n. n r r r=0 On en déduit des relations entre fonctions arithmétiques : puisque et [E 4,E 6 ] 1 sont dans l espace S 12 de dimension 1, on a et donc 4E 4 D(E 6 ) 6E 6 D(E 4 ) = τ(n) = 5nσ 3 (n) + 7nσ 5 (n) 840 n 1 m=1 (5m 2n)σ 3 (m)σ 5 (n m). De même, [E 12, ] 1 et E 2 4 E 6 sont dans l espace S 26 de dimension 1, on a D( )E 12 D(E 12 ) = E 2 4 E 6.

13 Digression : d autres identités Les deux relations précédentes ont un point commun : certes elles sont des résultats dimension de 1 mais, elles sont des relations entre vecteurs propres des opérateurs de Hece. Cela explique l intérêt de ces relations puisque les coefficients de Fourier de tels vecteurs propres sont multiplicatifs. Existe-t il d autres relations de cette sorte? Un résultat de Lanphier & Taloo-Bighash (juillet 2003) donne la réponse (généralisant Due (1999) et Ghate (2002)). Si j {12,16,18,20,22,26}, l espace S j est de dimension 1, on note j le vecteur propre normalisé. Théorème. Il n existe qu un nombre fini de triplets (f, g, n) avec f et g des formes modulaires vecteurs propres de Hece normalisés, tels que [g, f ] n est une forme modulaire vecteur propre de Hece. Lanphier & Taloo-Bighash donnent la liste complète des triplets de solutions. Ils proviennent tous de relations entre formes d espaces de dimension 1.

14 L argument de Lanphier & Taloo-Bighash utilise les fonctions L de Ranin-Selberg puisque l argument final est la Proposition. On suppose que = h + l + 2n, avec h,l 4 des entiers pairs et n 0. Soit f S et g M l. On a ( ) ( 2)! h + n 1 f (m)ĝ (m) (f,[g,e h ] n ) = (4π) 1 n m 1 n. Cette proposition est utilisée via son m=1 Corollaire. On suppose que = h + l + 2n, avec h,l 4 des entiers pairs et n 0. Soit f S un vecteur propre normalisé des opérateurs de Hece. Alors, il existe C C tel que ( f,[eh,e l ] n ) = CL(f, n 1)L(f,l + n). Traitons un cas particulier : supposons que [E h,e l ] n S est vecteur propre de Hece (l > h 1). Les vecteurs propres de Hece normalisés de S forment une base orthogonale, si dims > 1, il existe donc un autre vecteur propre de Hece f S tel que (f,[e h,e l ] n ) = 0 ce qui est contredit par le corollaire.

15 Remarque Les crochets de Ranin-Cohen permettent de travailler avec des dérivées de formes modulaires mais ne résolvent pas le problème de non stabilité de l algèbre graduée NM par dérivation.

16 2 e solution : formes quasi-modulaires (Ranin, Zagier) Soit f M, on rappelle que ( ) az + b (cz + d) 2 D(f ) = D(f )(z) + c cz + d 2iπ cz + d f (z) ( c ) = P f,z. cz + d avec P f,z (X ) = D(f )(z) + 2iπ f (z)x. La notion de formes quasi-modulaires généralise cette relation.

17 Soit et s deux entiers positifs. On appelle forme quasimodulaire de poids et profondeur s une fonction holomorphe f : H C telle que : pour tout z H, il existe un polynôme P f,z de degré s vérifiant, pour toute matrice ( ) a b c d SL(2,Z), la relation (cz + d) f ( ) az + b ( = P f,z cz + d c cz + d ). on demande aussi une condition de croissance ( ) y j f (z) 1 + z 2. On note M s l espace des formes de profondeur inférieure ou égale à s. Exemple : si f M alors D(f ) M 1. Remarque : on peut montrer l unicité du poids et de la profondeur.

18 Exemple fondamental On définit On montre que E 2 (z) = n=1 (cz + d) 2 E 2 ( az + b cz + d ) σ 1 (n)e(nz). = P E2,z ( c cz + d avec P E2,z(X ) = E 2 (z) + 6 iπ X. Ainsi, E 2 est quasi-modulaire de poids 2 et de profondeur 1. ) Il n existe pas de forme modulaire de poids 2.

19 Propriétés Si f M s est de profondeur s, on écrit P f,z = s n=0 f n (z)x n. Ainsi, pour toute matrice ( ) a b c d SL(2,Z), la relation de quasimodularité est ( ) az + b s ( (cz + d) c ) n f = f n (z). cz + d cz + d En appliquant la relation de quasi-modularité à la matrice ( ) on obtient f 0 = f puis le choix de ( ) implique que f est 1- périodique. n=0

20 Stabilité par dérivation Par un calcul élémentaire, on prouve la stabilité de l ensemble de toutes les formes quasi-modulaires. Lemme. L application linéaire D est une application de M s dans M s+1. Lorsque > 0, cette application est injective. Plus précisément, soit f M s, si pour toute matrice ( ) +2 a b c d SL(2,Z) on a ( ) az + b (cz + d) 2 D(f ) = cz + d s+1 i=0 ( g i (z) c cz + d ) i alors et g 0 = D(f 0 ), g n = D(f n ) + n + 1 2iπ f n 1 si 1 n s, g s+1 = s 2iπ f s. La dérivation augmente le poids de 2 et augmente la profondeur de 1.

21 L ensemble M s est un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel complexe s N M s (formes quasi-modulaires dont on oublie la profondeur). Les espaces s N M s sont en sommes directes. Le produit d une forme de M s 1 et d une forme de M s forme de M s 1+s 2 : M s 1 1 M s 2 2 M s 1+s est une L espace M s N s N a une structure d algèbre graduée.

22 Somme directe (1) Soit f 1,..., f r des formes quasi-modulaires non identiquement nulles de poids distincts 1 < < r. On note s la plus grande profondeur de ces formes et, pour chaque forme, son polynôme associé est s P fi,z(x ) = f i j (z)x j. j =0

23 Somme directe (2) On suppose par l absurde que r i=1 f i = 0. En évaluant cette égalité en az + b cz + d et après multiplication par (cz + d)s, on obtient r s i=1 j =0 f i j (z)c j (cz + d) i +s j = 0 pour tout z H et tout couple (c, d) d entiers premiers entre eux. On fixe z et c = 1, le polynôme r s i=1 j =0 f i j (z)(z + X ) i +s j s annule une infinité de fois (en toutes les valeurs entières) et est donc nul. Le coefficient dominant (associé au degré r + s) est f r0 (z) donc f r0 (z) = 0. On a f r0 = f r donc f r = 0.

24 Structure On sait décrire la structure des formes quasi-modulaire à l aide de celle des formes modulaires grâce au Lemme. Soit f M s. Alors, pour tout entier naturel i s, on a f i M s i 2i. En particulier, f s M 2s. On rappelle que M 2s est réduit à zéro si 2s < 0 ou si 2s est impair, on a donc une relation entre le poids et la profondeur : Corollaire. Soit f une forme quasi modulaire de poids et profondeur s. Alors, est pair et 2s.

25 Preuve du lemme de structure Si γ = ( ) a b c d, on définit des actions en posant ( ) az + b (f γ)(z) = (cz + d) f cz + d et Soit des matrices de SL(2, Z). γz = az + b cz + d. ( ) ( ) ( ) a b α β M =, N =, MN = c d γ δ q r

26 On a (5) (f MN)(z) = (γz + δ) (f M)(Nz) = (γz + δ) s n=0 ( c f n (Nz) cnz + d ) n. En utilisant (6) c cnz + d ( q = (γz + δ)2 qz + r γ ) γz + δ on obtient (7) (f MN)(z) = [ s s m=0 n=m ( n m ) ( γ) n m (γz + δ) n+m f n (Nz) ] ( q qz + r ) m.

27 Or, (8) (f MN)(z) = s m=0 f m (z) ( q qz + r ) m. La comparaison de (8) et (7) implique, pour tous γ et δ premiers entre eux ( ) s n (9) f m (z) = ( γ) n m (γz + δ) n+m f n (Nz) m En particulier, n=m f s (z) = (γz + δ) 2s f s (Nz) et f s est modulaire de poids 2s.

28 On fait alors l hypothèse de récurrence : si f M s 1 alors, pour tout γ = ( ) a b c d SL(2,Z), on a s 1 ( (f γ)(z) = f j (z) j =0 c cz + d ) j, avec fj M s 1 j 2j pour tout j.

29 Soit f M s sorte que g M s 1 s 1 ( (g γ)(z) = g j (z) ( iπ et g = f 6. On a donc j =0 c cz + d ) s f s E s 2. On sait déjà que f s M 2s de ) j, avec g j M s 1 j 2j pour tout j. Or, s 1 ( c ) ( j iπ (f γ)(z) = g j (z) + cz + d 6 ) s f s (z)[ E 2 (z) + 6 iπ j =0 cz + d [ s 1 ( ) ( ) ] iπ s j s ( = g j (z) + f s (z)e 2 (z) s j c ) j j =0 6 j cz + d ( c ) s + f s (z). cz + d On termine en remarquant que ( ) ( ) iπ s j s g j + f s E s j 2 M s j 6 j 2j. c ] s

30 Le lemme de structure précédent décrit les relations de quasimodularité plus que les formes quasi-modulaires elles-mêmes.

31 Structure (2) On a décrit la structure des formes quasi-modulaires à l aide des fonctions modulaires. On utilise maintenant la fonction E 2. Corollaire. Soit f M s. Alors f = s F i E2 i avec F i M 2i pour tout i {0,..., s}. i=0 Autrement dit, M s s = M 2i E2 i. i=0 Démonstration. Soit f M s. On pose ( ) iπ s g = f f s E2 s 6. D après le lemme de structure, f s M 2s et g M s 1. Le résultat énoncé s obtient alors par récurrence, l initialisation résultant de M 0 = M.

32 Remarque Plutôt que les puissances de E 2, on peut utiliser ses dérivées. Lemme. Soit > 0. Soit f M s. Alors avec Autrement dit, s 1 f = F 1 + F i D i (E 2 ) i=0 F i M 2i 2 pour tout i { 1,..., s 1}. M s = M s 1 M 2i 2 D i (E 2 ). i=0

33 Compte-tenu de l égalité Structure (3) N M = C[E 4,E 6 ], le lemme précédent conduit à la description naturelle suivante des formes quasi-modulaires : Proposition. On a l égalité M s = C[E 2,E 4,E 6 ]. N s N Les fonctions E 2, E 4, E 6 sont linéairement indépendantes sur C de sorte qu il y a un isomorphisme entre les formes quasimodulaires et l espace C[X,Y,Z] des polynômes en trois variables via E 2 X, E 4 Y, E 6 Z.

34 Indépendance algébrique (1) Soit P C[X,Y,Z] tel que P[E 2,E 4,E 6 ] = 0. Par regroupement des termes de P, on peut écrire P = K =1 (α,β,i) N 3 4α+6β+2i = p αβi X i Y α Z β. Par indépendance linéaire, pour tout on a l égalité (α,β,i) N 3 4α+6β+2i = p αβi E i 2 Eα 4 Eβ 6 = 0. S il existe un entier i 0 0 tel que p αβi0 0 pour au moins un couple (α,β) convenable, alors le terme de gauche est une forme quasi-modulaire de poids et de profondeur au moins i 0. Mais par unicité de la profondeur, le terme de gauche est de profondeur 0, autrement dit, p αβi = 0 lorsque i est non nul et (α,β) N 2 4α+6β= p αβ0 E α 4 Eβ 6 = 0.

35 Indépendance algébrique (2) Puisque (α,β) N 2 4α+6β= p αβ0 E α 4 Eβ 6 = 0, par indépendance algébrique sur C de E 4 et E 6, on a finalement la nullité de chacun des coefficients p αβ0 et enfin de P.

36 On a et Or, Applications D(E 2 ) M 2 4 M 2 4 = M 4 + M 2 E 2 + M 0 E 2 2. M 4 = CE 4, M 2 = {0} et M 0 = C donc il existe des complexes α et β tels que D(E 2 ) = αe 4 + βe 2 2. Par comparaison des développements de Fourier, on a 24q +O(q) = α [ q +O(q) ] + β [ 1 48q +O(q) ]. Ainsi, D(E 2 ) = 1 12 ( E 2 2 E 4 ). 5σ 3 (n) = (6n 1)σ 1 (n) + 12 n 1 m=1 σ 1 (m)σ 1 (n m).

37 De même, et D(E 4 ) M 1 6, M 1 6 = M 6 + M 4 E 2 = CE 6 + CE 4 E 2. Les premiers coefficients de Fourier conduisent à D(E 4 ) = 1 3 (E 4E 2 E 6 ).

38 Enfin, et donne D(E 6 ) M 1 8 M 1 8 = M 8 + M 6 E 2 = CE CE 6E 2 D(E 6 ) = 1 2 ( E6 E 2 E 2 4).

39 De D(E 2 ) = 1 12 ( E 2 2 E 4 ) D(E 4 ) = 1 3 (E 4E 2 E 6 ) D(E 6 ) = 1 ( E6 E 2 E 2 ) 4 2 on déduit que D 2 (E 2 ) = 1 72 E E 2E E 6 D 3 (E 2 ) = E E E2 2 E E 2E 6 puis que E 2 est solution de l équation de Chazy D 3 (E 2 ) = E 2 D 2 (E 2 ) 3 2 [D(E 2)] 2.

40 Un autre corollaire de cette théorie est le Lemme. Soit f une forme modulaire. Alors f est solution d une équation différentielle (non nécessairement linéaire) d ordre 3. Démonstration. Supposons par l absurde que {f,d f,d 2 f,d 3 f } est algébriquement indépendante. Alors, on a un isomorphisme entre C[f,D f,d 2 f,d 3 f ] et C[X,Y,Z,T ]. Mais l inclusion de C[f,D f,d 2 f,d 3 f ] dans C[E 2,E 4,E 6 ] contredit alors l isomorphisme entre C[E 2,E 4,E 6 ] et C[X,Y,Z].

41 Un autre opérateur différentiel Soit f une forme modulaire de poids. On a D f = F 0 + F 1 E 2 avec F 0 modulaire de poids + 2 et F 1 modulaire de poids. On en déduit, pour toute matrice γ = ( ) a b c d SL(2,Z) et tout z H que (10) (D f γ)(z) = F 0 (z) + F 1 (z)e 2 (z) iπ F c 1(z) cz + d. D autre part, on a vu dans le lemme de stabilité par dérivation que (11) (D f γ)(z) = D f (z) iπ f (z) c cz + d.

42 La comparaison des équations (10) et (11), donne l équation F 0 (z) + F 1 (z)e 2 (z) + 6 iπ F c 1(z) cz + d = D f (z) + 2iπ f (z) c cz + d valable pour tout z H et tout couple (c, d) d entiers premiers entre eux. On en déduit F 0 = D f 12 f E 2 et F 1 = 12 f. En particulier, cela montre que l application ϑ définie par ϑ (f ) = D f 12 f E 2 est une application de M dans M +2. Les calculs des dérivées de E 4 et E 6 impliquent ϑ 4 (E 4 ) = 1 3 E 6 et ϑ 6 (E 6 ) = 1 2 E2 4.

43 Applications hors théorie des nombres L espace des formes quasi-modulaires apparaît dans des contextes assez variés : par exemple, des travaux de Dijgraaf et Kaneo-Zagier ont montré qu il intervient dans le cadre de la théorie de la symétrie miroir en dimension 1. Les formes quasimodulaires interviennent également en physique des hautes énergies et matières condensées. W. LERCHE, S. STIEBERGER & N.P. WARNER «Quartic Gauge Couplings from K 3 Geometry». hep-th/ C.P. BURGESS & C.A. LÜTKEN «On the Implication of Discrete Symmetries for the β-function of Quantum Hall Systems». condmat/

44 Formes modulaires presque holomorphes L espace des formes quasi-modulaires est une extension possible des formes modulaires obtenue en transformant la condition de modularité. Cette extension est adaptée à la dérivation habituelle D. On peut aussi généraliser la définition des formes modulaires en changeant la condition d holomorphie. On étudie cette deuxième extension adaptée à une autre dérivation et on établit un diagramme commutatif reliant les deux extensions et les deux dérivations.

45 Soit et s deux entiers positifs. On appelle forme modulaire presque holomorphe de poids et de profondeur égale à s toute fonction F : H C, vérifiant ( ) az + b F = (cz + d) F(z) cz + d pour toute matrice ( a b c d ) SL(2,Z), telle qu il existe s+1 fonctions holomorphes sur H, f 0,..., f s, avec f s non constamment nulle et F(z) = s n=0 f n (z) y n, où z = x + i y. On demande aussi une condition de croissance On note M s l espace des formes modulaires presque holomorphes de poids et de profondeur inférieure ou égale à s. M 0 = M.

46 Exemple fondamental On considère la fonction E2 (z) = E 2(z) 3 πy = n=1 σ 1 (n)e(nz) 3 πy est une forme modulaire presque holomorphe de poids 2 et de profondeur 1.

47 Lien avec les formes quasi-modulaires (1) Les coefficients des formes modulaires presque holomorphes sont des formes quasi-modulaires. Si F M s on a s écrit pour tout n [0, s]. F(z) = s n=0 f n M s n f n (z) y n, En particulier, f 0 est une forme quasi-modulaire de même poids et même profondeur que la forme modulaire presque holomorphe F.

48 Lien avec les formes quasi-modulaires (2) Il existe un isomorphisme Υ entre l espace M s des formes quasimodulaires et l espace M s des formes modulaires presque ho- lomorphes. Si F M s on a s écrit F(z) = s n=0 Υ(F) = f 0. f n (z) y n,

49 Lien avec les formes quasi-modulaires (3) Si f M s est une forme quasi-modulaire de poids et profondeur s, on lui a associé un polynôme P f,z tel que ( ) az + b ( (cz + d) c ) f = P f,z. cz + d cz + d L image inverse de l isomorphisme Υ: M s ( ) 1 Υ 1 (f )(z) = P f,z 2i y M s. est donné par Exemple. E 2 = Υ(E 2).

50 Structure L existence de l isomorphisme Υ et le lemme de structure M s = C[E 2,E 4,E 6 ]. implique N s N N s N M s = C[E 2,E 4,E 6 ].

51 Dérivation Sur l espace M s des formes presque holomorphes de poids et profondeur au plus s, on définit une dérivation en posant δ(f)(z) = D(F)(z) 4πy F(z). Cet opérateur envoie M s dans M s De même que pour la dérivation D sur les formes quasimodulaires, la dérivation δ augmente le poids de 2 et augmente la profondeur de 1.

52 Bon comportement des dérivations On rappelle qu on a définit un isomorphisme Υ: M s des dérivations D : M s M s+1 s et δ: M M s M s, On a une relation de commutation : Υ δ = D Υ.

53 Références Cours de D. ZAGIER au Collège de France, et F. MARTIN & E. ROYER «Formes modulaires pour la transcendance». Cours au colloque «formes modulaires et transcendance» CIRM printemps À paraître. Bientôt disponible à