1 e S - programme 2011 mathématiques ch.2 cahier élève Page 1 sur 38 Ch.7 : Géométrie plane Partir d'un bon pied. b) 4

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1 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 1 sur 8 Ch7 : Géométrie plane Partir d'un bon pied Exercice n A page 198 : Multiplication d'un vecteur par un réel QCM Déterminer la (ou les) bonne(s) réponse(s) On considère les points A, B, C D placés ci-contre sur l'axe orienté (O ; I) 1) Si OB = k OI, alors k est égal à : a) b) 5 c) 5 ) Si AD = koc, alors k est égal à : a) b) c) 5 ) Si DA = kbo, alors k est égal à : a) 5 b) 5 c) 5 ) Si CX = CB, alors le point X est : a) O b) I c) A 7 1) b ) b ) a ) b Exercice n B page 198 : Milieux distances QCM Déterminer la (ou les) bonne(s) réponse(s) Le plan est muni d'un repère orthonormé Les points A( ; ) B(6 ; 5) sont donnés K est le milieu de [AB] 1) K est le seul point du plan tel que : a) AK + KB = AB b) AK = KB c) AK = KB d) AK = 1 AB ) K a pour coordonnées : a) (8 ; ) b) ( ; ) c) x A + x B, y A + y B d) x A x B, y A y B ) a) AB 8 AB 8 c) AB = 68 d) AB = 17 1) b d ) b c ) a d Exercice n C page 198 : Coefficient directeur d'une droite du plan Vrai ou faux? 1) La droite (BC) a pour coefficient directeur ) La droite (AC) a pour coefficient directeur 1 ) La droite (AB) a pour équation y = x + ) La droite d'équation y = 1 x + est parallèle à la droite (BC) 1) Faux ) Vrai ) Vrai ) Vrai Exercice n D page 198 : Relation de Chasles sommes vectorielles Vrai ou faux? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses 1) AE + AC = AG ) AE + AC = NZ ) AE + BK = AK 5) AM + NB = 0 ) AE + 1 MP = AN 6) AF AE = AB 1) Vrai ) Faux H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

2 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page sur 8 ) Vrai ) Vrai 5) Vrai 6) Vrai Activité n 1 page 00 : Utiliser la colinéarité de vecteurs Dans un repère orthonormé (O ; I, J), on considère les points A( ; ), B( ; ), C(5 ; 1) D( ; ) Le point E est le milieu du segment [BC] 1) Calculer les coordonnées des vecteurs AD BC Justifier que ces vecteurs sont colinéaires En déduire la nature du quadrilatère ABCD ) Démontrer que le quadrilatère ABED est un parallélogramme ) Le point O appartient-il à la droite (AE)? Justifier la réponse 1) On a AD BC 8 Donc BC = AD, ces vecteurs sont colinéaires Donc les droites (AD) (BC) sont parallèles, par suite le quadrilatère ABCD est un trapèze ) Le milieu E de [BC] a pour coordonnées : + 5, + 1 = (1 ; 1) On en déduit que AB 1 5 DE 1 5, soit AB = DE Le quadrilatère ABED est un parallélogramme ) On a OA OE 1, donc 1 OA = OE En conséquence, le point O appartient à la droite (AE) Dans l'ensemble du chapitre, on considère un repère (O ; I, J) du plan 1 COLINÉARITÉ DE DEUX VECTEURS DÉFINITION 1 On dit que deux vecteurs non nuls u v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que : Autrement dit, leurs coordonnées dans le repère (O ; I, J) sont proportionnelles Remarque : Comme 0 u = 0, par analogie, on dit que 0 est colinéaire à tout vecteur PROPRIÉTÉ 1 Soit u x y v x' y' deux vecteurs du plan Les vecteurs u v sont colinéaires si, seulement si : xy' yx' = 0 Démonstration : Dans le cas où u (ou v ) est nul, le résultat est immédiat v = k u Supposons que u v sont non nuls La colinéarité de u v équivaut à la proportionnalité des coordonnées x y x', c'est-à-dire à l'égalité : y' xy' = yx' D'où le résultat Exemple : Soit u 1, v w u v ne sont pas colinéaires, car : ( ) 1 0 u w sont colinéaires, car leurs coordonnées sont proportionnelles : 1 = 0 H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

3 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page sur 8 Plus précisément, on a : w = u Exercice n 19 page 1 Vrai ou faux? Le plan est muni d'un repère Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses 1) Les vecteurs u 1 v 1 1 sont colinéaires ) Il existe un réel t pour lequel les vecteurs u t v 1 sont colinéaires 1 ) Pour tout réel m, les vecteurs u m v 1 m ne sont pas colinéaires 1) = 0, donc l affirmation est fausse ) t 1 ( 1) = 0 si, seulement si, t = L affirmation est vraie ) m m ( 1) = 0 si, seulement si, m = ; ce qui est impossible L affirmation est vraie Exercice n 0 page 1 Vrai ou faux? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses 1) Si AB = AC, alors les points A, B C sont alignés ) Si AB = 1 CD, alors les points A, B, C D sont alignés ) Si EF = EG, alors le point E appartient au segment [GF] ) Si MN + MP = 0, alors le point M appartient à la droite (NP) 1) Vrai ) Faux ) Faux ) Vrai Exercice n page 1 Le plan est muni d'un repère Dans les cas suivants, préciser si les vecteurs u v sont colinéaires Dans l'affirmative, préciser la valeur de k tel que v = k u 1) u 0 1 v 0 ) u v 6 ) u 1 v 1 + 1) =, donc les vecteurs u v ne sont pas colinéaires ) Les vecteurs u v sont colinéaires, car v = u, soit k = ) Les vecteurs u v sont colinéaires, car v = (1 + ) u, soit k = (1 + ) Exercice n page 1 Le plan est muni d'un repère Dans les cas suivants, préciser si les vecteurs u v sont colinéaires Dans l'affirmative, préciser la valeur de k tel que v = k u 1) u 1 v 1,5 5 ) u 1) Les vecteurs u v sont colinéaires, car v = 5 v ) u u, soit k = 5 ) Les vecteurs u v ne sont pas colinéaires, car = 0 v 1 ) Les vecteurs u v ne sont pas colinéaires, car 1( ) 6 = Exercice n 1 page 0 m est un réel quelconque Existe-t-il des valeurs de m telles que u m 1 v 1 soient colinéaires? m + 1 Les vecteurs u v sont colinéaires si, seulement si : (m 1) (m + 1) 1 = 0 m 5 = 0 m = 5 ou m = 5 H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

4 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page sur 8 Exercice n 5 page 1 Le plan est muni d'un repère Dans chacun des cas suivants, déterminer les valeurs possibles du réel x de sorte que les vecteurs u v soient colinéaires 1) u x 1 v x + 1 ) u x 1 v x + 1 ) u x + 1 v 1 x 1 1) u x 1 v x + 1 sont colinéaires si, seulement si : x 1 (x + 1) = 0 x = 1 ) u x 1 v x + 1 sont colinéaires si, seulement si : (x 1) (x + 1) = 0 x 5 = 0 x = 5 ou x = 5 ) Si x 0, u x + 1 v 1 x 1 sont colinéaires si, seulement si : (x + 1) 1 1 x = 0 x + x = 0 x = 1 ou x = Exercice n 6 page 1 Soit a un réel On considère dans un repère les points A( 1 ; ), B(0 ; ) C(a ; a + 1) 1) Déterminer les valeurs de a pour lesquelles les vecteurs AB AC sont colinéaires ) Déterminer les valeurs de a pour lesquelles les points A, B C sont alignés 1) AB 1 AC a + +1 sont colinéaires si, seulement si, a + 1 a + 1 = 0 ; soit a a + = 0 1 a 1 = 9 8 = 1, il y a adm deux solutions : 1 Les points C associés sont C 1 (1 ; ) C ( ; 7) = = ) Les points A, B C sont alignés, si, seulement si : AB AC sont colinéaires ; soit a = 1 ou a = (d après la question 1)) Exercice n 7 page 1 Le plan est muni d'un repère Préciser si les points A, B C sont alignés dans chacun des cas suivants : a) A( ; ), B(0 ; ) C( ; 1) ; c) A 5 b) A( 100 ; 15), B( 50 ; 15) C(0 ; 19) ;,, B 1, C 1, 1 a) AB AC 5 b) ( ) ( ) ( ) ( 5) = 1 non nul, donc les points A, B C ne sont pas alignés AB AC ( 6) ( 10) 10 = 0, donc les points A, B C sont alignés c) AB 1 AC 1 1 ( 1) = 0, donc les points A, B C sont alignés Exercice n 8 page 1 Le plan est muni d'un repère Préciser si les droites (AB) (CD) sont parallèles dans chacun des cas suivants : a) A(; ), B( 1 ; 5), C( ; 1) D( ; 1) ; c) A1, 5 b) A( ; 9), B(5 ; ), C( ; 1) D( 1 ; 1) ;, B, 1, C(1 ; 5) D(5 ; 1) a) AB 1 CD ( ) ( ) 1 = non nul, donc les droites (AB) (CD) ne sont pas parallèles H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

5 b) c) AB e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 5 sur 8 CD 9 ( 6) ( ) = 0, donc les droites (AB) (CD) sont parallèles AB 1 CD 1 ( ) = 0, donc les droites (AB) (CD) sont parallèles Exercice n 9 page 15 Voir les Outils pour l'algorithmique, page 8 Dans un repère (O ; I, J), on souhaite automatiser les calculs permtant d'affirmer si deux vecteurs u v sont colinéaires ou non 1) On propose l'algorithme partiel ci-contre : Compléter les pointillés de façon à résoudre le problème ) Modifier l'algorithme pour que dans le cas où u v sont colinéaires, la valeur de k telle que v = k u soit affichée Puis programmer la calculatrice ) Utiliser le programme pour résoudre les exercices 1) ) ) Exercice n 0 page 15 Voir les Outils pour l'algorithmique, page 8 Dans un repère (O ; I, J), on souhaite automatiser les calculs permtant d'affirmer que trois points A, B C sont alignés ou non 1) En s'inspirant de l'algorithme donné à l'exercice 9, construire un algorithme permtant de résoudre le problème ) Programmer la calculatrice Utiliser le programme pour résoudre l'exercice 7 H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

6 1) 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 6 sur 8 ) Exercice n 1 page 15 Dans un repère (O ; I, J), on considère les points : A( 1 ; ), B( 1 ; 1), C(5 ; 1) D(8 ; 8) Le point E est le milieu du segment [BC] 1) Calculer les coordonnées du point E ) Montrer que le point D appartient à la médiane du triangle ABC issue de A ) Le quadrilatère ABDC est-il un parallélogramme? 1) Le point E a pour coordonnées 1 + 5, 1 + 1, soit E (, 0) ) La médiane issue de A est la droite (AE) Or AE, AD 9, 1 ( 1) ( ) 9 = 0, donc les points A, D E sont alignés ) Le milieu de [AD] a pour coordonnées 7, Les diagonales de ABDC ne se coupent pas en leur milieu, donc le quadrilatère ABCD n est pas un parallélogramme Exercice n page 15 Dans un repère (O ; I, J), on donne les points A(6 ; ), B( ; 0), C(5 ; ) D( 1 ; 1) 1) Montrer que les droites (OA) (BC) sont parallèles ) Les points B, C D sont-ils alignés? ) Trouver x pour que le point M(5 ; x) appartienne à la droite (AB) 1) OA 6, BC 8, 6 8 = 0, donc OA est colinéaire à BC Les droites (OA) (BC) sont donc parallèles ) BC 8, BD 1, 8 1 = 0, donc BC est colinéaire à BD, les points B, C D sont alignés ) AM 19 x, AB 9 Ces deux vecteurs sont colinéaires si, seulement si, 19 ( ) (x ) ( 9) = 0 ; soit x 8 = 0, c est-à-dire x = 8 Donc M 5, 8 Exercice n page 15 Dans un repère orthonormé (O ; I, J), on considère les points A( ; 5), B(6 ; 1), C( ; ) D( ; 1) 1) Montrer que les droites (AB) (CD) sont parallèles ) Montrer que le triangle ABD est rectangle en A ) En déduire la nature du quadrilatère ABCD H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

7 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 7 sur 8 Coup de pouce : ) La distance entre deux points A B est : AB = (x B x A ) + (y B y A ) 1) AB 8 CD 8 Donc AB = CD Les droites (AB) (CD) sont parallèles Plus précisément le quadrilatère ABCD est un parallélogramme ) AD = 0, AB = 80 BD = 100 ; donc : BD = AB + AD, donc le triangle ABD est rectangle en A ) Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme qui a un angle droit ; donc c'est un rectangle Activité n page 00 : Décomposer des vecteurs Sur la figure ci-contre : ABCD est un rectangle de centre O ; les points I, J, K L sont les milieux respectifs des segments [BC], [CD], [DA] [AB] ; les segments [IJ] [AC] se coupent au point M 1) Exprimer chacun des vecteurs OM OD en fonction de OI OJ ) Exprimer chacun des vecteurs OM OD en fonction de LB LJ ) Exprimer chacun des vecteurs OM OD en fonction de OI OC 1) OM = 1 OC = 1 ( OI + IC ) = 1 ( OI + OJ ) = 1 OI + 1 OJ De même OD = OI + OJ ) Comme OI = LB OJ = 1 LJ, on a : OM = 1 LB + 1 LJ De même OD = LB + 1 LJ ) OM = 1 OC Et OD = OC + CD = OC OI = OI + OC Activité n page 00 : Démontrer en utilisant une décomposition Voici l'énoncé d'un exercice : «Dans un triangle ABC, on considère les points E F tels que : AE = AB AF = 1 AC I est le milieu du segment [AC] Démontrer que les droites (EF) (BI) sont parallèles» 1) Marc propose une démonstration dans laquelle il manque des justifications Expliquer chaque étape de son raisonnement ) On se place dans le repère (A ; B, C) a) Préciser les coordonnées des points A, B, C, E, I, F dans ce repère b) Déterminer les coordonnées des vecteurs BI EF c) Démontrer que les droites (EF) (BI) sont parallèles 1) Marc utilise la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs EF BI en fonction de vecteurs colinéaires à AB AC On en déduit que EF = BI, donc que les droites (EF) (BI) sont parallèles, car elles ont des vecteurs directeurs ) colinéaires a) A (0, 0), B (1, 0), C (0, 1), E, 0, I 0, 1, F 0, 1 H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

8 b) BI e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 8 sur 8 EF, 1 c) On a EF = BI Les vecteurs EF BI sont colinéaires, donc les droites (EF) (BI) sont parallèles EXPRESSION D'UN VECTEUR EN FONCTION DE DEUX VECTEURS NON COLINÉAIRES THÉORÈME 1 Soit u v deux vecteurs non colinéaires du plan Alors pour tout vecteur w du plan, il existe un couple unique de réels (a ; b) tels que : w= au + b v Le couple (a ; b) est appelé couple des coordonnées du vecteur w dans la base ( u ; v ) Démonstration : Existence : Dans un repère (O ; I, J) du plan, soit les points I', J' M tels que : u = OI', v = OJ' w = OM Les points O, I' J' ne sont pas alignés, car u v ne sont pas colinéaires Ainsi, (O ; I', J' ) est un repère du plan Notons (a ; b) les coordonnées de M dans ce repère On a alors : OM = aoi' + boj', c'est-à-dire : w = a u + b v Unicité : On suppose qu'il existe deux couples (a ; b) (a' ; b' ) tels que : w = a u + b v = a' u + b' v Alors (a a') u = (b' b) v Si a a' 0, on obtient : u = b' b v C'est impossible, car u v ne sont pas colinéaires a' a On a donc : a a' = 0, d'où a = a' Le même raisonnement conduit à l'égalité b = b' On aboutit ainsi à des couples de coordonnées (a ; b) (a' ; b' ) identiques Exemple : ABCD est un parallélogramme de centre O On veut exprimer le vecteur w = AB, en fonction de u = AO v = AD On a : AB = AO AD Exercice n page 6 Voir le savoir-faire page 0 Soit ABC un triangle 1) Placer les points E, F G tels que : BE = 1 ) Démontrer que les points E, F G sont alignés Méthode : Pour placer F, exprimer BF en fonction de BC On pourra exprimer GF FE en fonction de AB AC 1) On a FB + FC = 0, donc FB + ( FB + BC ) = 0 ; soit BF = 1 BC AB, FB + FC = 0 AG = 5 AC ) GF = GA + AF GF = 5 GF = 5 AC + AB + BF AC + AB + 1 BC FE = FB + BE FE = 1 BC + 1 AB FE = 1 ( BA + AC ) + 1 AB H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

9 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 9 sur 8 GF = AC + AB ( BA + AC ) GF = 1 1 AB AC GF = AB 15 AC FE = AB + 1 FE = 5 6 AB 1 Donc : GF = FE 5 D où les vecteurs GF FE sont colinéaires, donc les points E, F G sont alignés Exercice corrigé : Utiliser le calcul vectoriel pour étudier des configurations On considère un triangle AGF non aplati 1) Placer les points B C tels que AB = AG + AF GC = 1 ) Démontrer que les points A, B C sont alignés : AC GF a) en utilisant le calcul vectoriel ; b) en choisissant un repère du plan Solution : Méthode : 1) Voir ci-contre Pour démontrer que trois points A, B C sont alignés, on montre par exemple que les vecteurs AB ) a) Les vecteurs AG AF ne sont pas colinéaires : on exprime les vecteurs AC AB en fonction de ces deux seuls vecteurs AC = AG + GC AC = AG + 1 GF AC = AG + 1 ( GA + AF ) AC = On sait que AG + 1 AB = AF AG + 1AF Ainsi AB = AC Donc les vecteurs AC AB sont colinéaires Ainsi les points A, B C sont alignés b) Les vecteurs AG AF ne sont pas colinéaires Donc (A ; G, F) est un repère du plan Dans ce repère, on a : A(0 ; 0), G(1 ; 0) F(0 ; 1) On note (x ; y) les coordonnées de C Comme GC = 1 GF, on a : x 1 y 0 = D où x 1 = y = 1 AB = AG + 1AF avec AG Donc C, 1 AC AF 0 Donc 1 AB 1 1 AC AC sont colinéaires On peut exprimer les vecteurs AB AC en fonction de deux vecteurs non colinéaires du plan Pour cela, on utilise la relation de Chasles On lit une relation de la forme AB = k AC sur les décompositions des vecteurs AB AC On peut choisir un repère du plan, dans lequel on détermine les coordonnées des vecteurs AB AC 1 1 = 0 Donc les vecteurs AC AB sont colinéaires : les points A, B C sont alignés Pour aller plus loin : utiliser des configurations connues Que représente C dans le triangle ADF? En utilisant le quadrilatère ADBF, prouver que (AB) est une médiane de ce triangle, conclure Exercice n page 0 ABCD est un parallélogramme I J sont les points définis par AI = CJ = BD Démontrer que [AJ] [CI] ont le même milieu On a AI = CJ, donc le quadrilatère ACJI est un parallélogramme D où ses diagonales [AJ] [CI] se coupent en leur milieu D H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

10 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 10 sur 8 Exercice n page 0 ABC sont trois points non alignés du plan Démontrer que, quel que soit le point M du plan, la somme MA + MB MC est égale à un vecteur indépendant de M que l'on représentera Coupe de pouce : Indiquer ses coordonnées dans la base ( AB, AC ) En utilisant la relation de Chasles, on obtient : MA + MB MC = MA + ( MA + AB) ( MA + AC ) = AB AC qui est un vecteur indépendant de M Exercice n page 0 ABC est un triangle Soit M le point tel que : MA + MB = MC Démontrer que les droites (AM) (BC) sont parallèles MA + MB = MC équivaut aux égalités suivantes : MA + ( MA + AB) = ( MA + AC ) MA + MA + AB = MA + AC MA = ( BA + AC ) MA = BC Les vecteurs AM BC sont colinéaires, donc les droites (AM) (BC) sont parallèles Exercice n 1 page 09 Choisir une décomposition adaptée pour étudier une configuration ABCD est un parallélogramme non aplati Les points E F sont définis par AE = 1 En utilisant le calcul vectoriel, démontrer que les droites (AF) (EC) sont parallèles On commence par réaliser une figure : les vecteurs DA DC sont non colinéaires On choisit d'exprimer les vecteurs AF EC en fonction de ces deux seuls vecteurs AF = AD + DF = DA + DC EC = EA + AD + DC Or EA = AE = 1 Donc EC = 1 DA DA + DC = DA DA + DC Ainsi AF = 1 DA + DC EC = DA + 1 DC On en déduit que EC = droites (AF) (EC) sont parallèles Exercice n page 15 Sur la figure ci-contre : E est le milieu du segment [AD] ; F est le symétrique de B par rapport à D ; le point G est tel que : AG = 1 AF Donc les vecteurs AF EC sont colinéaires : les AB 1) Déterminer les coordonnées des points de la figure dans le repère (A ; B, D) ) Démontrer que les points E, F G sont alignés 1) A (0, 0), B (1, 0), C (1, 1), D (0, 1), G 1, 0 E 0, 1 DA DF = DC Pour démontrer que les droites (AF) (EC) sont parallèles, on montre que les vecteurs AF EC sont colinéaires On choisit deux vecteurs non colinéaires «adaptés» pour exprimer les vecteurs AF EC ; pour cela on observe : - les définitions vectorielles des points E F ; - les possibilités de décomposition par la relation de Chasles ) AF = AB + BF = AB + BD = AB + ( BA + AD) = AB + AD, donc F ( 1, ) EF 1 EG, 1 1, = 0, donc EF EG sont colinéaires, les points E, F G sont alignés H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

11 Exercice n 5 page 15 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 11 sur 8 ABCD est un parallélogramme On considère les points E F tels que : AE = 1) On munit le plan du repère (A ; B, D) Déterminer les coordonnées des points B, D, E F dans ce repère ) Démontrer que les droites (EF) (BD) sont parallèles 1) Comme (A ; B, D) est le repère, alors B (1, 0), D (0, 1) Comme AE = AD, alors E 0, AD BF = 1 Comme AF = AB, alors F, 0 ) On en déduit que EF BD 1 1, donc EF = BD,, les droites (EF) (BD) sont parallèles Exercice n 1 page 16 QCM Donner la (ou les) bonne(s) réponse(s) A, B M sont trois points du plan 1) Si AM + BM = 0, alors : a) AM = BA b) AM = AB c) ) Si AM BM = 0, alors : a) AM = AB b) MB = AB c) 1) AM + BM = 0 équivaut aux égalités suivantes : AM + ( BA + AM) = 0 AM + BA = 0 AM = AB AM = AB Réponse b ) AM BM = 0 équivaut aux égalités suivantes : AM = BM AM = ( BA + AM) AM = BA AM = AB Réponses a c AB BM = AB BM = AB AM BM = 0 équivaut aux égalités suivantes : BM = AM BM = ( AB + BM) BM = AB Exercice n page 16 Vrai ou faux? A, B C sont trois points du plan non alignés Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses 1) Si u = AB + BC, alors u = AB + AC ) Si v = BC + AC, alors v = AB + 7 AC ) Si w = AB + AC, alors w = BC 5 BA 1) u = AB + BC = AB + ( BA + BC ) = AB + BC L affirmation est vraie ) v = BC + AC = ( BA + AC ) + AC = AB + AC L affirmation est fausse ) w = AB + AC = AB + ( AB + BC ) = BC + 5 AB = BC 5 BA L affirmation est vraie Exercice n 7 page 16 ABCD est un parallélogramme Les points E F sont définis par CE = 1 1) Faire une figure, puis émtre une conjecture : - sur la position des points B, C F ; - sur une relation entre les vecteurs BF BC ) Démontrer ces conjectures en choisissant un repère lié à la figure CD AF = AE H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

12 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 1 sur 8 1) Conjectures : les points B, C F semblent alignés ; il semble que BF = BC ) Dans le repère (D ; C, A), on a : E, 0, A(0 ; 1), B(1 ; 1) C(1 ; 0) 1 re méthode : e méthode : DF = DA + AF DF = DA + Si AE F(x ; y), alors AF x y 1 DF = DA + ( AD + DE ) DF = DA + DF = DA + DF = DA DF = 1 AD + AD + DE DE DA + DA + DC DF = 1 DC + 1 Donc F1, 1 DA DC Comme AF = AE AE, alors x = 1 y 1= ( 1), soit x = 1 y = 1 Donc les points B, C F sont alignés sur la droite d équation x = 1, on vérifie immédiatement que BF = BC Exercice n 9 page 16 ABCD est un carré les triangles AEB BCF sont équilatéraux 1) Justifier que (A ; B, D) est un repère du plan ) Quelles sont les coordonnées des points D, E F dans ce repère? ) Démontrer que les points D, E F sont alignés ) Autre méthode : Démontrer l'alignement des points D, E, F en prouvant que l'angle DEF a pour mesure 180 Coup de pouce : ) cos 60 = 1 sin 60 = 1) Les points A, B, D ne sont pas alignés, donc (A ; B, D) est un repère du plan ) D (0, 1) Soit I le milieu de [AB], alors le triangle AEI est rectangle en I, avec EAI = 60 car le triangle ABE est équilatéral D où sin EAI = EI EI, soit sin 60 = AI 1, puis EI = 1 = Donc E 1, F 1 +, 1 1 ) On obtient DE, DF 1 Or Donc les vecteurs DE = 1 1 = 1 1 = 1 1 = = 0 DF sont colinéaires, par suite, les points D, E F sont alignés ) Comme le triangle ABE est équilatéral, alors BAE = AEB = 60 De plus BAD = 90, alors DAE = Comme le triangle AED est isocèle en A, alors AED = = 75 Comme le triangle BCF est équilatéral, alors FBC = 60 H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

13 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 1 sur 8 Comme le triangle BEF est isocèle en B, alors BEF = = 5 Donc DEF = AED + AEB + BEF = = 180 On en déduit que les points D, E F sont alignés Exercice n page 16 Vrai ou faux? u v sont deux vecteurs du plan non colinéaires A, B, C D sont des points du plan Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses 1) Si AB = u v BC = 1 u 1 v, alors les vecteurs AB BC sont colinéaires ) Si AB = u + 5 v CD = u 5 v, alors les droites (AB) (CD) sont parallèles ) Si CB = u + 5 v AD = u 15 v, alors les points A, B, C D sont alignés 1) ) AB = 6BC, donc l affirmation est vraie AB = CD, donc l affirmation est vraie ) CB = AD, donc les droites (AD) (BC) sont parallèles, l affirmation est fausse Exercice n page 16 On considère le quadrillage régulier suivant : Exprimer les vecteurs FS, GN SP en fonction des vecteurs : a) AE AB ; b) AI AD ; c) AF BC a) b) FS = FR + RS = AE + AB GN = GO + ON = AE AB SP = SO + OP = AE + AB FS = FR + RS = AI + 1 AD GN = GO + ON = AI 1 AD c) SP = SO + OP = 1 AI + 1 AD FS = FE + ET + TS = BC + AF BC = AF BC GN = GL + LI + IN = AF BC + AF = AF BC SP = SN + NP = AF + BC Exercice n 5 page 17 Sur le triangle ABC ci-contre, les subdivisions sur les côtés sont régulières Les points P, Q R appartiennent respectivement aux droites (AB), (BC) (AC) 1) Déterminer par lecture graphique les réels x, y z tels que : AP = xab ; BQ = ybc ; AR = zac ) Exprimer le vecteur PR en fonction de AB AC ) Vérifier que : PQ = 9 AB + AC 8 7 ) En déduire que les points P, Q R sont alignés 1) AP = 1 AB ; BQ = 7 BC ; AR = 1 AC H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

14 ) On a PR = PA + AR = 1 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 1 sur 8 AB 1 AC ) PQ = PB + BQ PQ = AB + 7 BC PQ = AB + 7 ( BA + AC ) PQ = 9 8 AB + 7 AC ) On a PQ = 9 PR Donc les points P, Q R sont alignés 7 Exercice n 6 page 17 ABC est un triangle 1) Construire les points I, J, K définis par : AI = 1 AB ; ) Exprimer le vecteur IJ en fonction de AJ = AC ; AB AC ) a) Compléter les pointillés en utilisant la relation de Chasles : IK = I + AB + b) Exprimer le vecteur BK en fonction de AB AC c) En déduire que IK = AB + 9 AC 8 8 ) Déduire des questions ) ) que les points I, J K sont alignés 1) BK = 9 BC 8 ) ) a) IJ = IA + AJ IJ = 1 AB + AC IK = IA + AB + BK b) BK = 9 8 BC = 9 8 ( BA + AC ) = 9 8 AB AC c) IK = IA + AB + BK IK = 1 AB + AB + IK = AB IK = AB Exercice n 7 page 17 AC AB AC AC ABCD est un parallélogramme Les points E F sont tels que BE = 1) Réaliser une figure ) Exprimer les vecteurs CE BF en fonction de AB AD ) En déduire que les droites (CE) (BF) sont parallèles 1) AB DF = 1 DA H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

15 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 15 sur 8 ) CE = CB + BE = AB AD BF = BA + AD + DF = AB + AD + 1 DA = AB + AD + 1 AD = AB + AD ) On en déduit que : BF = CE Donc les droites (BF) (CE) sont parallèles Exercice n 8 page 17 On considère un triangle ABC Soit M le point du plan tel que : AM + MB + MC = 0 1) En utilisant la relation de Chasles, exprimer le vecteur AM en fonction de AB AC ) Construire le point M 1) En utilisant la relation de Chasles, AM + MB + MC = 0 équivaut aux égalités suivantes : AM + ( MA + AB) + ( MA + AC ) = 0 AM + MA + AB + MA + AC = 0 AB + MA + AC = 0 MA = BA + CA ) MA = 1 BA + CA AM = 1 AB + AC Exercice n 50 page 17 ABC est un triangle I est le milieu du segment [AB] J celui de [IC] Le point K est tel que : CK = 1 Montrer que les points K, B sont alignés CA On exprime BJ BK en fonction des vecteurs non colinéaires BC BA BJ = BC + CJ = BC + 1 CI = BC + 1 ( CB + BI ) = BC 1 BC + 1 BI = 1 BC + 1 BA BK = BC + CK = BC + 1 CA = BC + 1 ( CB + BA) = 1 BC 1 BC + 1 BA = BC + 1 BA Donc BK = BJ, par suite, les vecteurs BK BJ sont colinéaires Donc les points B, J K sont alignés Exercice n 9 page 17 Soit ABC un triangle On définit les points M, N P par : AM = AB ; NA CN = 0 5 1) À l'aide de la relation de Chasles, exprimer le vecteur AN en fonction de AC Faire une figure ) Exprimer les vecteurs MN MP en fonction des vecteurs AB AC ) En déduire que les points M, N, P sont alignés PC = 1 BC H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

16 1) 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 16 sur 8 NA CN = 0 équivaut à : NA ( CA + AN) = 0, soit : NA CA = 0, donc AN = AC ) MN = MA + AN = 5 AB + AC MP = MA + AC + CP = 5 AB + AC + 1 ( BA + AC ) = 9 10 ) On a MP = 9 MN Donc les vecteurs MP MN sont colinéaires On en déduit que les points M, N P sont alignés Exercice n 51 page 17 Dans l'espace Sur le tétraèdre ABCD ci-contre : I est le milieu du segment [BC] ; A' est le centre de gravité du triangle BCD ; G est le milieu du segment [AA' ] ; E est le point tel que AE = AI 5 On souhaite démontrer que les points D, G E sont alignés 1) Exprimer le vecteur DE en fonction de DA DI ) Justifier que DG = 1 DA + 1 DI AB + AC ) Résoudre le problème Aide : ) Dans un triangle ABC où K est le milieu du segment [BC], le centre de gravité L est situé sur [AK] avec AL = 1) AK, c'est-à-dire AL = AK DE = DA + AE DE = DA + 5 AI DE = DA + 5 ( AD + DI ) DE = DA + 5 Donc DE = 5 AD + 5 DA + 5 DI DI ) G est le milieu du segment [AA' ], donc DG = DA + AG = DA + 1 AA' = DA + 1 ( AD + DA') = 1 ( DA' + DA) Or A' est le centre de gravité du triangle BCD, donc DA' = Donc DG = 1 DI + 1 DA = 1 DA + 1 DI ) On a DG = 5 DE Donc les vecteurs DE DG sont colinéaires Donc les points D, G, E sont alignés 6 Exercice n 5 page 18 Soit ABC un triangle non aplati Soit D E les points vérifiant : BD = AC + 1 AB EC = 1) Réaliser une figure ) Démontrer que les droites (BC) (DE) sont parallèles DI BC 5 AB H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

17 1) 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 17 sur 8 ) DE = DB + BC + CE, soit : DE = AC 1 AB + BC + DE = CA + AB 1 BC CB + 5 AB DE = CB 1 DE = 5 BC BC Les vecteurs DE BC sont colinéaires, donc les droites (DE) (BC) sont parallèles Exercice n 5 page 18 ABCD est un parallélogramme Les points E, F, G H sont les symétriques de A, B, C D respectivement par rapport aux points B, C, D A Quelle est la nature du quadrilatère EFGH? EF = EB + BF = AB + AD HG = HD + DG = AB + AD Donc EF = HG, donc EFGH est un parallélogramme Exercice n 9 page ABC est un triangle Les points I, J K sont définis par : AI = 5 AB ; CJ = BC CK = AC On munit le plan du repère (B ; C, A) 1) Déterminer les coordonnées des points de la figure ) Démontrer que les droites (AJ), (BK) (CI) sont parallèles 1) B (0, 0), C (1, 0), A (0 ; 1), I 0, 5, J 5, 0 BK = BC + CK = BC + AC = BC + ( AB + BC ) = 5 BC BA, donc K 5, ) AJ 5, 1, IC 1, 5, BK 5,, donc AJ = 5 IC BK = 5 IC Donc les droites (AJ), (BK) (CI) sont parallèles Exercice n 9 page Soit ABC un triangle x un réel On considère les points M N tels que : AM = xab CN = x CA On désigne par I, J K les milieux respectifs des segments [AB], [AC] [MN] Montrer que les points I, J K sont alignés On se place dans le repère (A ; B, C) M(x ; 0), N(0 ; 1 x), Kx, 1 x, I 1, 0 J 0, 1 On a IK x 1, 1 x, donc IK = x 1 u avec u 1 1 H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

18 KJ On a x x 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 18 sur 8, donc KJ = x u avec u 1 1 Les vecteurs IK KJ sont colinéaires, donc les points I, J, K sont alignés Exercice n 100 page Plusieurs méthodes de résolution ABCD est un rectangle Soit I le milieu du segment [AB] K le point défini par DK = Après avoir fait une figure, démontrer que les points A, K C sont alignés : a) en utilisant l'outil vectoriel ; b) en utilisant le repère (A ; B, D) ; c) en utilisant les configurations DI a) AK = AD + DK AK = AD + DI AK = AD + ( DA + AI ) AK = AI + 1 AD Comme AC = AI + AD, on a AC = AK Donc les points A, K C sont alignés b) Dans le repère (A ; B, D), I 1, En utilisant le théorème de Thalès, K 1, 1 Donc AK 1 1 AC 1 1, donc AC = AK c) K est le centre de gravité du triangle DAB, car il se trouve au de la médiane [DI] Donc K appartient à la médiane (AO) issue de A, qui n est autre que la diagonale (AC) Exercice n 101 page Soit ABC un triangle x un réel À chaque valeur de x on associe les points E F tels que : AE = 1 1) Construire E F pour x = 1 AB + x AC AF = x AB + 1 AC ) Montrer que, pour tout réel x 1, les droites (EF) (BC) sont parallèles : a) en utilisant le calcul vectoriel ; b) en utilisant le repère (A ; B, C) ) Pour quelles valeurs de x a-t-on : a) E = F? b) BCFE est un parallélogramme? 1) ) a) EF = EA + AF Donc EF = 1 AB xac = xab + 1 AC H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

19 ) 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 19 sur 8 EF = x 1 ( AB AC ) = x 1 CB = 1 x BC Les vecteurs EF BC sont colinéaires, donc les droites (EF) (BC) sont parallèles Dans le repère (A ; B, C), on a : B(1 ; 0), C(0 ; 1), E 1, x, F x, 1 x 1 Donc 1 CB 1 x 1 Comme x 1 ( 1) 1 x 1 = 0, les vecteurs EF CB sont colinéaires, donc les droites (EF) (BC) sont parallèles EF a) E = F si, seulement si, EF = 0, soit x = 1 b) BCFE est un parallélogramme si, seulement si, EF = BC, c est-à-dire 1 x = 1, soit x = Exercice n 109 pages -5 On considère un triangle ABC quelconque 1) Construire les points D, E G tels que : AD = AB ; AE = AC ; GB + GD + GE = ( GA + AB) + ( GA + AD) + GE ) a) Justifier l'égalité : b) En déduire que : GC + GD + GE = 0 Que représente le point G pour le triangle BDE? ) En déduire que la droite (BG) coupe la droite (DE) au point F, milieu du segment [DE] 1) AG = 1 AC ) a) En utilisant la relation de Chasles : GB + GD + GE = ( GA + AB) + ( GA + AD) + GE b) On a : GB + GD + GE = GA + GE + AB + AD Or GE = GA + AE = GA + 1 AC = GA + AG Donc GE = AG Ainsi GA + GE = 0 AB + AD = 0 Donc GB + GD + GE = 0 Le point G est le centre de gravité du triangle BDE ) La droite (BG) est la médiane issue de B du triangle BDE Donc elle coupe la droite (DE) au point F, le milieu du segment [DE] Activité n page 01 : Appartenance à une droite On considère un repère du plan Soit la droite d'équation y = x + 1 dans ce repère, f la fonction définie sur IR par f (x) = x + 1 1) Déterminer, parmi les points suivants, lesquels appartiennent à la droite D : A(0 ; 1) ; B( ; ) ; C( ; 7) ; D( 5 ; 11) ) On souhaite automatiser les calculs permtant d'examiner si un point appartient à la droite D a) À la calculatrice, on a entré la fonction f en Y1, puis on a créé l'un des deux programmes suivants : Commentaires : est obtenu par : est obtenu par : Pour chaque programme, repérer : Voir les fiches Calculatrices, page 9 H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

20 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 0 sur 8 - la saisie des coordonnées d'un point M ; - le calcul permtant de savoir si le point M appartient à la droite D ; - le texte affichant le résultat b) Programmer la calculatrice, puis vérifier les résultats obtenus à la question 1) 1) Un point appartient à la droite D si, seulement si, ses coordonnées vérifient l équation de la droite D = 1, donc A D De même, B D, C D, D D ) a) Si M(x ; y), on compare y avec x + 1 S il y a égalité, la réponse est «oui» ; dans le cas contraire, c est «non» b) On vérifie les résultats du 1) Activité n 5 page 01 : Caractériser un ensemble de points Dans un repère (O ; I, J), on considère le point A( 1 ; 1) le vecteur u 1 L'objectif de l'activité est d'identifier l'ensemble E des points M tels que AM = au avec a IR, puis d'en donner une équation 1) a) En utilisant un logiciel de géométrie dynamique, construire le point A, le vecteur u, un réel variable ou curseur a le point M tel que AM = a u b) En faisant varier a, conjecturer l'ensemble E 1) a) b) On conjecture que l ensemble E est la droite passant par le point A de vecteur directeur u ) a) Si le point M appartient à l'ensemble E, que peut-on dire des vecteurs AM u? La réciproque est-elle vraie? b) Recopier compléter la phrase suivante : «Le point M appartient à E si, seulement si, les vecteurs AM u» Voir la fiche Geogebra, page 9 ) a) Si M E, alors il existe un réel a tel que AM = a u ; donc les vecteurs AM u sont colinéaires Réciproquement si AM u sont colinéaires, alors il existe un réel a tel que AM = a u b) «Le point M appartient à E si, seulement si, les vecteurs AM u sont colinéaires» ) a) Déterminer les coordonnées du point B tel que AB = u b) Démontrer que M appartient à la droite (AB) si, seulement si, les vecteurs AM u sont colinéaires c) Conclure sur la nature de E ) a) B (, ) b) M (AB) si, seulement si, AM AB sont colinéaires ; donc si, seulement si, AM u sont colinéaires c) L ensemble E est la droite (AB) ) Démontrer que M(x ; y) appartient à E si, seulement si, x y + = 0 ) Si M(x ; y), alors AM x + 1 y 1 En utilisant la condition analytique de colinéarité, AM u colinéaires équivaut à (x + 1) 1 (y 1) = 0 ; donc M E si, seulement si, x y + = 0 ÉQUATIONS CARTÉSIENNES D'UNE DROITE 1 Vecteurs directeurs d'une droite DÉFINITION On appelle vecteur directeur u d'une droite D tout vecteur non nul, colinéaire au vecteur AB où A B sont deux points distincts de D On dit alors que u dirige D Commentaires : La direction d'un vecteur directeur de D définit la direction de la droite D Deux vecteurs directeurs d'une même droite D sont donc non nuls colinéaires : ils ont même direction On peut définir une droite D par la donnée d'un point A d'un vecteur directeur u : M D équivaut à AM u sont colinéaires H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

21 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 1 sur 8 Exemple : La droite D : y = x + 1 passe par les points A( 1 ; ) B(1 ; 1) D adm comme vecteur directeur AB ou u 1 Équations cartésiennes d'une droite PROPRIÉTÉ Les coordonnées (x ; y) de tous les points M d'une droite D vérifient une équation de la forme : ax + by + c = 0, où a, b c sont des réels avec (a ; b) (0 ; 0) Une telle équation s'appelle une équation cartésienne de D Démonstration : Soit une droite D passant par un point A(x A ; y A ) de vecteur directeur (non nul) u Pour tout point M(x ; y) du plan, M D équivaut à : AM x x A y y u A sont colinéaires (x x A ) (y y A ) = 0 x y + ( x A + y A ) = 0 ( ; ) (0 ; 0), car u 0 Remarque : Une droite D adm une infinité d'équations cartésiennes, dont les coefficients sont deux à deux proportionnels Exemple : Soit D la droite passant par A( ; ) dirigée par u 5 M(x ; y) D équivaut à : AM x + y u sont colinéaires 5 5(x + ) (y ) = 0 5x + 10 y + 6 = 0 5x y + 16 = 0 D adm pour équation cartésienne 5x y + 16 = 0 PROPRIÉTÉ Soit des réels a, b, c, a', b' c' avec (a ; b) (0 ; 0) (a' ; b') (0 ; 0) L'ensemble des points M(x ; y) vérifiant ax + by + c = 0 est une droite de vecteur directeur u b a Les droites D D' d'équations respectives : ax + by + c = 0 a' x + b' y + c' = 0 sont parallèles si, seulement si, (a ; b) (a' ; b') sont proportionnels Démonstration : Voir les exercices 77 78, page 0 Exemple : La droite D d'équation : x + y 10 = 0 adm comme vecteur directeur u Exemples : D : x y + = 0 D' : x + y + 1 = 0 sont parallèles, car ( ; 1) ( ; ) sont proportionnels D D" : x + y + = 0 ne sont pas parallèles, car ( ; 1) ( ; ) ne sont pas proportionnels Exercice corrigé : Déterminer une équation cartésienne de droite Le plan est rapporté au repère (O ; I, J) On considère les points A(0 ; ) B( ; 1), le vecteur u 1 Déterminer une équation cartésienne de chacune des droites suivantes : a) d 1 est la droite passant par le point A de vecteur directeur u ; b) d est la droite (AB) ; H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

22 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page sur 8 c) d est la parallèle à l'axe des ordonnées passant par B Solution : Méthode : Pour déterminer une équation cartésienne d'une droite d : a) La droite d 1 passe par le point A(0 ; ) a pour vecteur directeur d est la droite passant par un point u 1 Donc pour tout point M(x ; y) du plan, M d A de vecteur directeur u, alors d 1 équivaut à : est l'ensemble de points M(x ; y) x y u 1 sont colinéaires x 1 (y ) = 0 En développant, on obtient une équation cartésienne de la droite d 1 : x y + = 0 AM b) La droite d a pour vecteur directeur AB 1 Alors d a une équation cartésienne du type : 1x y + c = 0 Comme les coordonnées du point A vérifient cte équation, on doit avoir : c = 0 Donc c = 6 La droite d a pour équation cartésienne x y + 6 = 0 c) La droite d passe par le point B( ; 1) a pour vecteur directeur OJ Donc pour tout point M(x ; y) du plan, M d équivaut à : BM x y 1 OJ 0 1 sont colinéaires (x ) 1 (y 1) 0 = 0 En développant, on obtient une équation cartésienne de la droite d : x = 0 Exercice n 7 page 05 On considère le triangle ABC ci-contre 1) Déterminer une équation cartésienne de chaque droite portant un côté du triangle ABC ) Si E est le milieu du segment [AB] F le milieu du segment [BC], déterminer une équation cartésienne de la droite (EF) tels que AM u sont colinéaires On utilise la condition analytique de colinéarité Si la droite d passe par deux points A B, alors d a pour vecteur directeur AB Si la droite d est parallèle à l'axe des ordonnées, alors d a pour vecteur directeur OJ On peut aussi écrire que si la droite d a pour vecteur directeur u a b alors d a une équation cartésienne du type bx ay + c = 0 1) Soit M(x ; y) A( ; ), on a AB AM x + y Le point M appartient à (AB) équivaut à AM AB sont colinéaires, c'est-à-dire (y ) (x + ) = 0 La droite (AB) a pour équation : x y + 6 = 0 La droite (AC) passe par A( ; ) C( ; 1), donc son coefficient directeur est : 1 ( ) = 1 ; donc (AC) a pour équation y = 1 La droite (AC) a pour équation y = 1 x + x + p Comme elle passe par A, on a = 1 ( ) + p ; donc p = La droite (BC) est parallèle à l'axe des ordonnées Elle adm pour équation est x = ) La droite (EF) est parallèle à (AC), donc elle a pour équation y = 1 x + p Comme elle passe par E(0 ; ), on a p = ; donc (EF) a pour équation y = 1 x + Exercice n 17 page 1 QCM Pour chacune des questions suivantes, déterminer toutes les réponses correctes 1) ABC est un triangle, AM = 1 a) MN BC sont AB b) non colinéaires MN = 1 BC c) MN = 1 CB H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

23 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page sur 8 AN = 1 AC, alors : ) Les vecteurs u a v a + sont colinéaires si, seulement si ) A B sont deux points donnés Si le point M vérifie MA + BM = 0, alors : ) La droite a pour équation x y + = 0, donc : 5) a) a = b) a = 1 c) a { ; 1} a) AM = AB b) AM = AB c) MA = BA a) A( ; 8) b) B( ; 1) c) C( ; 1) a) M( ; ) (AB) b) N(9 ; ) (AB) c) P(1 ; 1) (AB) 6) La droite d passant par A( ; 1) qui a pour vecteur directeur u 1 1 a pour équation cartésienne : 7) La droite d'équation y = x + a pour coefficient directeur : 8) Les droites (AB) (CD) : a) x y = 0 b) x + y 1 = 0 c) x + y 1 = 0 a) b) x c) a) sont parallèles b) se coupent en M1, 56 c) se coupent en M1, 55 1) b ) c a ) c 5) b 6) b 7) a 8) b Exercice n 18 page 1 Vrai ou faux? Préciser dans chaque cas si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses 1) Toute droite du plan adm un coefficient directeur ) La droite d d'équation x + 5y 10 = 0 adm aussi pour équation y = 5 x + ) La droite tracée ci-contre adm pour vecteur directeur u x y = 8 ) Le système adm une solution unique 6x + 9y = 7 1) Faux ) Faux ) Faux ) Vrai H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

24 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page sur 8 Exercice n 10 page Le plan est rapporté au repère (O ; I, J) 1) Tracer la droite d d'équation y = x + Préciser son coefficient directeur donner un de ses vecteurs directeurs u 1) Voir le schéma ci-dessous Le coefficient directeur de d est Le vecteur u dirige d ) Vérifier que les points A( ; ) B( ; 0) sont des points de d ) Pour A : x A + = + = + = = y A Pour B : x B + = ( ) + = + = 0 = y B ) Construire la droite passant par le point D( ; 1) de vecteur directeur v 6 ) ) Démontrer que les droites d sont parallèles ) Les droites d ont pour vecteurs directeurs u v 6, qui sont tels que v = u Donc les droites d sont parallèles a) ; Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AD] b) Construire le symétrique E du point B par rapport à I déterminer ses coordonnées a) ; Le milieu I du segment [AD] a pour coordonnées +, + ( 1), soit 5, b) Si on pose E(x E ; y E ), on a BI 11 IE x E 5 y E = x E 5 x BI = E = 8 = y E, soit à : Donc E (8, ) y E = 5) Démontrer que les droites (BD) (AE) sont parallèles 5) Le quadrilatère ABDE a ses diagonales qui se coupent en leur milieu I, donc ABDE est un parallélogramme Donc les droites (BD) (AE) sont parallèles Exercice n 5 page 05 Dans un repère du plan (O ; I, J), déterminer une équation cartésienne de : a) la droite (AB) où A( ; ) B( 1; ) ; b) la droite passant par C( ; ) de vecteur directeur u c) la droite d parallèle à l'axe des abscisses passant par A IE équivaut à : 11 H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

25 a) 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 5 sur 8 AB 5 Le point M(x ; y) appartient à la droite (AB) si, seulement si, AM x y + AB sont colinéaires ; soit : (x ) 5 (y + ) ( ) = 0 Donc la droite (AB) a pour équation 5x + y 1 = 0 b) Le point M(x ; y) appartient à la droite d si, seulement si, CM x y u sont colinéaires ; soit : (x ) (y ) ( ) = 0 Donc la droite d a pour équation x + y 17 = 0 c) La droite d a pour vecteur directeur OI 1 Donc elle a pour équation 0 y = Exercice n 6 page 05 On considère la droite d d'équation cartésienne (a 1)x y + = 0, où a est un réel Déterminer le réel a pour que d passe par le point A( ; 5) Dans ce cas-là, donner un vecteur directeur de d La droite d passe par A si, seulement si, (a 1) ( ) 5 + = 0 ; soit a = La droite d a pour équation cartésienne : 7 x y + = 0 a pour vecteur directeur u 6 7 Lien entre équation réduite équations cartésiennes PROPRIÉTÉ Soit D une droite d'équation ax + by + c = 0 avec (a ; b) (0 ; 0) Si b = 0, alors D est une droite parallèle à l'axe des ordonnées, qui adm une équation réduite de la forme : x = k, où k est un réel Le vecteur de coordonnées 0 est alors un vecteur directeur de D 1 Si b 0, alors D est une droite qui adm une unique équation réduite de la forme : y = mx + p m est le coefficient directeur de D ; p est l'ordonnée à l'origine de D Le vecteur de coordonnées 1 est alors un vecteur directeur de D m Démonstration : Soit D une droite d'équation ax + by + c = 0 avec (a ; b) (0 ; 0) Si b = 0 : comme (a ; b) (0 ; 0), alors a 0 L'équation ax + by + c = 0 est équivalente à : ax + c = 0, c'est-à-dire : x = c a On sait que le vecteur de coordonnées b a, donc ici 0, est un vecteur directeur de D Le vecteur de a coordonnées 0 est colinéaire à ce vecteur non nul : donc il dirige D 1 Si b 0 : l'équation ax + by + c = 0 est équivalente à : y = a b x + c b Le coefficient directeur m de D est : m = a b On sait que le vecteur de coordonnées b a est un vecteur directeur de D Le vecteur de coordonnées 1 a, c'est-à-dire 1 est colinéaire à ce vecteur non nul : donc il dirige D m b H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

26 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 6 sur 8 Interprétation graphique : Si b = 0 : Si b 0 : On rrouve l'interprétation graphique du coefficient directeur : lorsqu'on passe d'un point de augmentant l'abscisse de 1, l'ordonnée varie de m Synthèse Équation cartésienne Soit D la droite admtant pour équation cartésienne : ax + by + c = 0 avec (a ; b) (0 ; 0) Le vecteur de coordonnées b est un vecteur directeur a de la droite D à un autre en Équation réduite Si b = 0 : x = k (k réel fixé) Si b 0 : y = mx + p Le vecteur de coordonnées 0 1 est Le vecteur de coordonnées 1 m est un vecteur directeur de la droite D un vecteur directeur de la droite D Exercice corrigé : Utiliser les équations de droites les vecteurs directeurs pour étudier alignement ou parallélisme Dans le repère (O ; I, J), on considère les points A( 1 ; ), B(1 ; ) C(195 ; 100) 1) a) Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB) b) Les points A, B C sont-ils alignés? ) La droite d d'équation y = 1 x + 1 est-elle parallèle à la droite (AB)? ) Le point C appartient-il à la droite passant par le point J de coefficient directeur 5? Solution : Méthode : La figure ci-contre a été complétée au fur à mesure des questions 1) a) La droite (AB) passe par le point A a pour vecteur directeur AB 1 ( 1) = 1 Donc pour tout point M(x ; y) du plan, M (AB) équivaut à : x + 1 y AB sont colinéaires 1 (x + 1) 1 (y ) = 0 En développant, on obtient une équation de la droite (AB) : x y + 5 = 0 AM b) On a 195 (100) + 5 = 0 ; les coordonnées du point C vérifient l'équation obtenue pour la droite (AB) Donc les points A, B C sont alignés ) La droite (AB) a pour vecteur directeur AB 1 directeur u 1 1 Comme AB = u, les vecteurs Pour étudier l'alignement de trois points A, B C, on peut examiner si les coordonnées du point C vérifient une équation de la droite (AB) (Voir d'autres méthodes dans le Savoir-faire, p 05), la droite d a pour vecteur AB u sont colinéaires ; ils définissent donc la même direction, les droites (AB) d sont parallèles ) La droite a pour coefficient directeur 1 5 Le vecteur 5 est donc un vecteur directeur de Si C appartient à, J appartenant aussi à, alors le Pour démontrer que deux droites sont parallèles, on peut prouver qu'elles ont des vecteurs directeurs colinéaires : le vecteur de coordonnées H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) b a dirige la droite d'équation ax + by + c = 0 ; le vecteur de

27 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 7 sur 8 vecteur JC dirige est donc colinéaire à v Le vecteur JC a pour coordonnées , soit Or = 7 (non nul) 5 Donc les vecteurs JC v ne sont pas colinéaires : le point C n'appartient pas à la droite Exercice n page 6 Droite définie par deux points Voir le savoir-faire page 055 Déterminer une équation de la droite passant par A(1 ; ) B( ; ) Méthode : Considérer la droite (AB) comme la droite passant par A de vecteur directeur AB La droite passant par A(1 ; ) B( ; ) a pour vecteur directeur AB M(x ; y) appartient à (AB) si, seulement si, AB AM x 1 sont colinéaires, y + soit (x 1) (y + ) = 0, ou encore x y 8 = 0 La droite (AB) adm pour équation x y = 0 coordonnées 1 m dirige la droite d'équation y = mx + p Exercice n 6 page 6 Droites parallèles Voir le savoir-faire page 07 On considère la droite d d'équation cartésienne x 6y 6 = 0 la droite d' passant par A( ; ) de vecteur directeur u Démontrer que les droites d d' sont parallèles Méthode : On pourra démontrer que les droites d d' ont des vecteurs directeurs colinéaires La droite d d équation cartésienne x 6y 6 = 0 a pour vecteur directeur v 6 Comme ( ) ( ) 6 = 0, les vecteurs u v sont colinéaires Donc les droites d d' sont parallèles Exercice n 7 page 6 Des points alignés On considère les points A( 1 ; ), B(1 ; ) C(51 ; 8) 1) Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB) ) Les points A, B C sont-ils alignés? 1) La droite (AB) adm pour vecteur directeur AB 1 M(x ; y) appartient à (AB) si, seulement si, AB AM x + 1 sont colinéaires, y soit (x + 1) 1 (y ) = 0, ou encore x y + 5 = 0 Une équation cartésienne de la droite (AB) est x y + 5 = 0 ) On a : = = 0 Donc le point C appartient à la droite (AB) Les points A, B C sont alignés Exercice n 10 page 07 Sur le dessin ci-contre fait à main levée, EAF est un triangle rectangle en A ABCD un carré Les points F, C E sont-ils alignés? Parmi toutes les méthodes possibles, choisissons celle faisant intervenir tes équations de droites On se place dans un repère orthonormé d'origine A dont les axes sont portés par (AE) (AF) On a E(1 ; 0) F(0 ; 1) Pour tout M(x ; y), M appartient à la droite (EF) si, seulement si, EF 1 1 EM x 1 sont colinéaires, c'est-àdire 1y 1 (x 1) = 0 y D'où l'équation de (EF) : 1y 1x + 7 = 0 Comme les coordonnées de C(8 ; 8) ne vérifient pas cte équation, les points F, C E ne sont pas alignés H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

28 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 8 sur 8 Exercice n 11 page 08 Étudier les positions relatives de deux droites On considère les droites D 1, D D définies par leurs équations dans un repère (O ; I, J) : D 1 : x + y 1 = 0 ; D : y = x + ; D : x + y + 5 = 0 1) Les droites D 1 D sont-elles parallèles? Si non, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection ) Les droites D 1 D sont-elles parallèles? Si non, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection 1) La droite D 1 a pour équation 1x + y 1 = 0 Donc elle est dirigée par le vecteur u 1 de coordonnées 1 La droite D a pour équation réduite y = 1 x + Donc elle est dirigée par le 1 vecteur u de coordonnées 1 On a : u 1 = u Les vecteurs u 1 u sont colinéaires, donc les droites D 1 D sont parallèles ) La droite D a pour équation x + y + 5 = 0 Donc elle est dirigée par le vecteur u de coordonnées Comme ( ) 1 ( ) = 7 (non nul), les vecteurs u 1 u ne sont pas colinéaires : les droites D 1 D sont sécantes en un point Pour déterminer si deux droites sont parallèles, on examine si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires On utilise le fait que : le vecteur de coordonnées b a dirige la droite d'équation ax + by + c = 0 ; le vecteur de coordonnées 1 dirige la droite m d'équation y = mx + p Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites, on résout le système formé des équations des deux droites Les coordonnées (x ; y) du point d'intersection des droites D 1 D vérifient les équations des deux droites On résout le système : x + y 1 = 0 x + y + 5 = 0 ; x = y + 1 ( y + 1) + y + 5 = 0 ; x = y + 1 y = 7 ; x = y + = 0 ; x = 1 7 y = 7 Donc D 1 D sont sécantes au point de coordonnées 1 7, 7 Exercice n 1 pages Utiliser les équations de droites pour étudier une configuration Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle isocèle rectangle en A Les points I J sont tels que AI = AB CJ = CA Le point K est le symétrique du point C par rapport à B 1) Dans le repère (A ; B, C), lire les coordonnées des points de la figure ) Démontrer que les droites (AK), (BJ) (CI) sont concourantes en un point dont on précisera les coordonnées 1) On lit : A(0 ; 0), B(1 ; 0), C(0 ; 1), I( ; 0), J 0, 1 K( ; 1) ) La droite (AK) passe par le point A a pour vecteur directeur AK Donc pour tout point M de coordonnées (x ; y) : M (AK) équivaut à : AM x y AK 1 sont colinéaires 1 x y = 0 Donc la droite (AK) a pour équation x + y = 0 On détermine par exemple les coordonnées du point d'intersection E des droites (AK) (CI) Il faut pour cela d'abord déterminer des équations de chacune des deux droites (AK) (CI) La droite (CI) passe par le point C a pour vecteur directeur CI Donc pour tout point M de coordonnées (x ; y) : M (CI) équivaut à : CM x y 1 CI sont colinéaires 1 1 x ( ) (y 1) = 0 En développant, on obtient une équation de la droite (CI) : x + y = 0 On résout : x + y = 0 x + y = 0 En ajoutant les deux lignes, le système est Le couple des coordonnées de E est solution du système formé H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

29 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 9 sur 8 équivalent à : x + y = 0 y = 0, soit x = y x = 1 y = 1, ou encore y = 1 Ainsi, les droites (AK) (CI) sont sécantes au point E 1, 1 Les vecteurs BJ BE ont respectivement pour coordonnées 1 1 Comme ( ) = 0, les vecteurs BJ BE sont colinéaires : le point E appartient à la droite (BJ) Conclusion : (AK), (CI) (BJ) sont concourantes au point E 1, 1 Exercice n 58 page 18 Vrai ou faux? On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses 1) Deux droites d'équations cartésiennes différentes sont distinctes ) Toute droite adm un vecteur directeur ) Toute droite adm un coefficient directeur 1) Faux ) Vrai ) Faux 1 Exercice n 8 page 07 Dans un repère, on considère les points A(0 ; 1), B(1,5 ; ), C(5,5 ; ) D(1 ; 0) Les droites (AB) (CD) sont-elles parallèles? AB 1,5 1 CD,5 Comme 1,5 ( ) 1 (,5) =,5 +,5 = 0, alors AB CD sont colinéaires Les droites (AB) (CD), qui ont des vecteurs directeurs colinéaires, sont parallèles Exercice n 9 page 07 On considère les points A(1 ; 1), B( ; ), C(5 ; 6) D(1 97 ; 1 79) Les quatre points A, B, C D sont-ils alignés? On a AB, AC 5 ( 5) = = 1 0, donc AB AC ne sont pas colinéaires Donc les points A, B, C D ne sont pas alignés des équations des droites (AK) (CI) On montre ensuite que le point E appartient à la droite (BJ), par exemple en montrant que les vecteurs BJ BE sont colinéaires Exercice n 10 page 7 Avec un paramètre Soit m un réel quelconque Dans un repère du plan on considère l'ensemble E m des points M(x ; y) tels que : (m 1)y (m + )x + 10 = 0 1) Pourquoi l ensemble E m est-il toujours une droite du plan? ) Parmi les droites E m, y a-t-il des droites parallèles aux axes de coordonnées? Si oui, les déterminer ) Démontrer que toutes les droites E m passent par un point fixe noté K ) Combien de droites E m passent par le point A(a ; b)? Discuter suivant les valeurs des réels a b 1) L équation (m 1)y (m + )x + 10 = 0 est du type ax + by + c = 0 avec (a ; b) (0 ; 0), c est donc une équation cartésienne D où l ensemble E m est toujours une droite du plan ) L ensemble E m est parallèle à l axe des ordonnées si, seulement si, m 1 = 0, soit m = 1 L ensemble E m est alors la droite d équation x = L ensemble E m est parallèle à l axe des abscisses si, seulement si, (m + ) = 0, soit m = L ensemble E m est alors la droite d équation y = ) Le point commun à toutes les droites E m ne peut être que I( ; ), le point d intersection de deux droites précédentes Vérifions : (m 1) (m + ) + 10 = 0 pour tout réel m H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

30 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 0 sur 8 ) Le point A(a ; b) appartient à l ensemble E m si, seulement si : (m 1)b (m + )a + 10 = 0 mb b ma a + 10 = 0 (b a)m = b + a 10 b + a 10 Si b a, alors la droite de paramètre : m = passe par le point A(a ; b) b a Si b = a, alors l équation de l ensemble E m s écrit 0 = b + a 10 On a alors le système suivant : b = a 0 = b + a 10 qui équivaut à : b = a 0 = a + a 10 ; b = a = Si a = b =, alors toutes les droites passent par ce point (on rrouve le résultat de la question )) Si a b = a, alors aucune droite ne passe par le point de coordonnées (a ; b) Exercice n 5 page 18 QCM Donner la bonne réponse A, B C sont trois points distincts du plan 1) L'ensemble des points M qui vérifient : CA + CB = CM est : a) la droite (AB) b) le milieu du segment [AB] c) le milieu du segment [BC] ) L'ensemble des points M du plan qui vérifient AM = AC + t BA (t réel quelconque) est : a) le point A b) la droite (BA) c) la droite parallèle à (AB) passant par le point C 1) CA + CB = CM équivaut à : MC + CA + MC + CB = 0 MA + MB = 0 MA = BM ) Réponse b AM = AC + t BA équivaut à : CA + AM = t BA CM = t BA Réponse c Exercice n 59 page 18 Vrai ou faux? On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses 1) La droite d'équation x 5y + 60 = 0 coupe les axes de coordonnées en A( ; 0) B(0 ; 5) ) Les deux droites d'équations respectives : x 6y + 10 = 0 x y + 7 = 0 sont parallèles ) Les points A( ; ) B(1 ; 1) sont alignés avec l'origine du repère 1) Pour y = 0, on a x + 60 = 0, soit x = 15 Pour x = 0, on a 5y + 60 = 0, soit y = 1 Donc la droite coupe les axes aux points de coordonnées ( 15 ; 0) (0 ; 1) L affirmation est fausse ) Des vecteurs directeurs ont pour coordonnées respectives 6, qui sont colinéaires L affirmation est vraie ) Les vecteurs OA OB 1 ne sont pas colinéaires, car = 6 6 = 1 0 L affirmation est fausse Exercice n 57 page 18 QCM On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) Donner toutes les bonnes réponses 1) La droite d'équation cartésienne x y + = 0 a pour vecteur directeur : a) u 1 ; b) u ; c) 1 u 1 0,5 ) La droite d'équation cartésienne x + y 5 = 0 passe par les points : a) A( ; ) ; b) B(1 ; 1) ; c) C( ; ) ) La droite passant par le point A(1 ; ) qui a pour vecteur directeur u 1 a pour équation cartésienne : a) x + y = 0 ; b) x + y = 0 ; c) y = x + 1) b c ) b c H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

31 ) a c 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 1 sur 8 Exercice n 60 page 19 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) Dans un repère, on considère le point A( ; ) Tracer les droites 1,, passant par le point A de vecteur directeur respectif : u 1 1, u 1 1, u u 0 Exercice n 61 page 19 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) On considère les droites d 1, d, d, d d 5 suivantes : On propose les vecteurs suivants : u 5 1, u ; u 7 ; u ; u Associer droites vecteurs directeurs u 1 est associé à d ; u est associé à d 5 ; u est associé à d 1 ; u est associé à d ; u 5 est associé à d Exercice n 6 page 19 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) Dans un repère, on considère la droite d'équation : y = x 1) Donner un vecteur directeur de la droite ) Donner le vecteur directeur de ayant pour ordonnée 1) u 1 ) v x Soit v est un vecteur directeur de la droite est un vecteur directeur de équivaut à u v colinéaires, soit x = 0 ; donc x = Exercice n 6 page 19 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) Soit la droite d d'équation x + y 5 = 0 1) Déterminer les points d'intersection de d avec les axes de coordonnées ) Tracer d dans un repère orthonormé ) Donner un vecteur directeur de la droite d H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

32 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page sur 8 ) Donner le vecteur directeur de d ayant pour abscisse 7 1) Le point d'intersection A(x ; 0) de d avec l'axe des abscisses est tel que : x = 0, soit x = 5 ) Le point d'intersection B(0 ; y) de d avec l'axe des ordonnées est tel que : 0 + y 5 = 0, soit y = 1 Donc d coupe les axes en A (, 0) en B 0, 5 ) La droite d a pour vecteur directeur u ) On doit avoir v = k u ; si v 7 on doit avoir 7 = k y y = k soit y = 7 = 1 Donc v, donc k = 7, 7 1 Exercice n 6 page 19 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) On considère la droite d'équation : x y + = 0 Parmi les vecteurs suivants, préciser lesquels dirigent la droite : u 1, u ; u 1 ; u 10 0 ; u 5 6 La droite d équation x y + = 0 a pour vecteur directeur u 1, tout vecteur qui lui est colinéaire Les vecteurs u u sont aussi des vecteurs directeurs de la droite Exercice n 65 page 19 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) Déterminer un vecteur directeur de chaque droite par lecture directe des équations Préciser un vecteur directeur à coordonnées entières a) D 1 : x y 5 = 0 b) D : 7x = 0 c) D : y = x + 1 d) D : x + y = 0 a) D 1 a pour vecteur directeur u b) D a pour vecteur directeur u 0 7 c) y = x + 1 équivaut à : x + y 1 = 0 D a pour vecteur directeur u 1 d) x + y = 0 équivaut à : x + 1 y = 0, ou encore à : x + y = 0 D a pour vecteur directeur u 1 Exercice n 66 page 19 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) Déterminer un vecteur directeur de chaque droite par lecture directe des équations Préciser un vecteur directeur à coordonnées entières a) D 1 : y 5 = 0 b) D : x y = 0 c) D : ( 1 ) x y 1 + = 0 d) D : y = x 5 a) D 1 a pour vecteur directeur u 1 0 H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

33 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page sur 8 b) x y + 1 = 0 équivaut à : 5x y + 10 = 0 5 D a pour vecteur directeur u 5 y c) ( 1 ) x 1 + = 0 équivaut à : ( 1 )( ) D a pour vecteur directeur u 1 d) y = x 5 équivaut à : x y 15 = 0 D a pour vecteur directeur u Exercice n 67 page 19 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) 1 + x y = 0, ou encore à : x y = 0 On considère les droites d d'équations respectives : x + y + 5 = 0 5 x y + 1 = 0 1) Pour chacune des droites, déterminer un vecteur directeur un point de la droite ) Construire les droites d dans un repère orthonormé 1) passe par A ( 1, 1) a pour vecteur directeur u ) 5 x + 1 y + 1 = 0 équivaut à : x + y + 5 = 0 5 d passe par B (, 1) a pour vecteur directeur v 1 Exercice n 68 page 19 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne de la droite D passant par le point A de vecteur directeur u a) A(1 ; ) u 1 ; b) A( ; ) u 0 a) La droite D a une équation du type : x + y + c = 0 Et comme A est un point de la droite, alors c = 0, soit c = 5 La droite D a pour équation x + y 5 = 0 b) M(x ; y) appartient à D si seulement si : AM x + y u 0 sont colinéaires (x + ) (y ) 0 = 0 x + 6 = 0 x = Une équation de D est x = Exercice n 70 page 19 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne de la droite D passant par le point A de vecteur directeur u 1 a) A( ; ) u 1 0 ; b) A(1 ; 1) u a) La droite D a une équation du type : 0x y + c = 0, soit y = c Et comme A est un point de la droite, alors = c La droite D a pour équation y = H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

34 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page sur u de coordonnées 1 1 Donc la droite D a une équation du type : x y + c = 0 Et comme A est un point de la droite, alors c = 0, soit c = 0 b) Un vecteur directeur est ( ) La droite D a pour équation x y = 0 Exercice n 71 page 19 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne de la droite (AB) a) A( ; 1), B(1 ; 9) ; b) A(0 ; 5), B( ; 15) a) La droite (AB) passe par A( ; 1) a pour vecteur directeur 1 AB 1 Donc la droite (AB) a une équation du type : x y + c = 0 Et comme A est un point de la droite, alors ( ) 1 + c = 0, soit c = 7 Une équation est x y + 7 = 0 b) La droite (AB) passe par A(0 ; 5) a pour vecteur directeur AB 0 Donc la droite (AB) a une équation du type : 0x y + c = 0 Et comme A est un point de la droite, alors c = 0, soit c = 15 Une équation est 0x y + 15 = 0, ou aussi 0x + y 15 = 0 Exercice n 7 page 0 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) Reproduire compléter le tableau suivant : Point A Point B Vecteur directeur de (AB) Équation cartésienne de (AB) Coefficient directeur de (AB) ( ; 5) (1 ; 0) x y + = 0 (0 ; 0) y = x + 5 ( ; 5) Point A Point B Vecteur directeur de (AB) Équation cartésienne de (AB) Coefficient directeur de (AB) ( ; 5) (1 ; 0) ( 1, 0) (, ) (, ) (0 ; 0) (, 1) (0, 5) ( ; 5) (1, ) d : y = x ; d : y = x ; 5x y 5 = 0 5 x y + = 0 x + y = 0 H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) y = x + 5 x y + 1 = 0 Exercice n 79 page 0 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) Parmi les droites ayant les équations suivantes, préciser celles qui sont parallèles : d 1 : x y + 5 = 0 ; d : (x + 1) = (y 1) ; d 5 : x + y + 1 = 0 ; d 1 a pour équation réduite y = x + 5 pour coefficient directeur 1 d a pour équation réduite y = x pour coefficient directeur 1 d a pour équation réduite y = x pour coefficient directeur 1 d a pour équation réduite y = x pour coefficient directeur 1 d 5 a pour équation réduite y = x 1 pour coefficient directeur 1 d 6 a pour équation réduite y = x + 10 pour coefficient directeur 1 d 6 : x + y = 10

35 Donc d 1 // d d // d // d 5 // d 6 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 5 sur 8 Exercice n 69 page 19 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne de la droite D passant par le point A de vecteur directeur u a) A(0 ; 0) u 1 ; b) 1 A( 5 ; ) u 1 a) La droite a une équation du type x + y + c = 0 Et comme A est un point de la droite, alors c = 0, soit c = 0 La droite D a pour équation x + y = 0 b) M(x ; y) D si, seulement si : AM x + 5 y + u 1 sont colinéaires (x + 5)( ) (y + ) 1 = 0 Une équation de D est x + y + = 0 Exercice n 7 page 19 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne de la droite (AB) a) A( 5 ; ), B(9 ; ) ; b) A( ; 5), B( ; ) a) La droite (AB) a pour vecteur directeur AB 1 0 La droite (AB) est parallèle à l'axe des abscisses, donc elle a pour équation y = b) La droite (AB) a pour vecteur directeur AB M(x ; y) (AB) équivaut à : AM x + y + 5 AB sont colinéaires x y 16 = 0 Donc (AB) a pour équation x y 8 = 0 Exercice n 80 page 0 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) Les droites (AB) (CD) sont-elles parallèles? (AB) (CD) ont pour vecteurs directeurs AB 7 6 CD 6 5, = 1 (non nul) Donc les deux droites (AB) (CD) ne sont pas parallèles Exercice n 81 page 0 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) La droite D' est la parallèle à la droite D passant par le point A Dans chaque cas, déterminer une équation de la droite D' a) A( ; 1) D : x + y 1 = 0 ; b) A( 5 ; ) D : y = x ; c) A( ; ) D : x 5y + 1 = 0 a) D' a pour équation x + y + c = 0 Et comme elle passe par A( ; 1), on a + + c = 0, donc c = 1 On obtient x + y + 1 = 0 b) D' : x y + 7 = 0 c) D' : x 5y + 1 = 0 H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

36 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 6 sur 8 Exercice n 8 page 0 On considère le plan muni d'un repère (O ; I, J ) Dans chaque cas, préciser si les droites d sont sécantes Si oui, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection 1) : x + y + = 0 d : y = x + 1 ) : x y = d : x + y = 0 ) : x + y = d : x + y = 8 1) a pour vecteur directeur u 1, d a pour vecteur directeur u d 1 1 Comme ( 1) 1 1 = (non nul), alors les droites sont sécantes x + y + = 0 y = x = 0, soit x x + 8 = 0, ou encore x = Les coordonnées du point d intersection de d sont les solutions du système Par substitution de y, on obtient x + x 8 D où y = + 1 = + 1 = 7 On obtient le point d intersection de coordonnées 8, 7 ) De même on a u, u d Comme ( ) ( ) = 1 0, alors ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires Les droites d sont sécantes x + y = On résout le système x + y = 8 Par addition membre à membre, on obtient 6y = 1, soit y = Et en remplaçant dans x + y =, on obtient x + =, soit x = 1 Donc d sont sécantes en B ( 1, ) ) De même on a u 1, u 1 d Comme ( ) 1 1 = 7 0, alors ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires Les droites d sont sécantes On résout le système x y = x + y = 0 La première équation s écrit : x = y + En substituant dans la deuxième : (y + ) + y = 0, soit y = D où x = + = 6 Donc d sont sécantes en C (6, ) Exercice n 85 page 1 Dans un repère (O ; I, J), on considère les points : A( ; 5), B( ; ), C( ; 1) D(7 ; 5) 1) Justifier que les droites (AB) (CD) sont sécantes ) Déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites (AB) (CD) 1) On a AB 6 CD 10, comme 6 ( ) 10 = 5, les vecteurs AB CD ne sont pas colinéaires, donc les droites (AB) (CD) sont sécantes ) La droite (AB) a pour équation cartésienne x + y 8 = 0 la droite (CD) a pour équation cartésienne x 5y + 11 = 0 Les coordonnées (x ; y) du point d'intersection des deux droites, vérifient les équations de ces droites : x + y = 8 qui a pour solution 1x 5y = 11 ( ; ) Le point d'intersection est le point de coordonnées (, ) Exercice n 88 page 1 Dans un repère (O ; I, J), on considère les points A( ; ), B( ; 5) C( ; ) 1) Déterminer les coordonnées du milieu E du segment [BC] ) Déterminer une équation cartésienne de la médiane du triangle ABC issue du somm A ) Justifier que le point G(1 ; ) est le centre de gravité du triangle ABC 1) Le milieu E du segment [BC] a pour coordonnées 1, H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)

37 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 7 sur 8 ) La médiane du triangle ABC issue du somm A est la droite passant par A de vecteur directeur AE M(x ; y) (AE) si, seulement si : AM x y AE 1 1 sont colinéaires (x ) 1 (y ) 1 = 0 x y + = 0 x y + 1 = 0 Une équation de (AE) est x y + 1 = 0 ) Le milieu F de [AB] a pour coordonnées (0 ; ) En procédant comme ci-dessus, la médiane (CF) a pour équation x + y = 0 Comme = = 0, alors le point G appartient aux médianes (AE) (CF) Donc G est le centre de gravité du triangle ABC Exercice n 89 page 1 Dans un repère, on donne les points A( ; ), B( ; 6), C( ; 1) D(6 ; ) La parallèle à (AC) passant par le point D coupe la droite (AB) en E 1) Déterminer une équation de la droite (DE) ) Déterminer par le calcul les coordonnées du point E ) Réaliser une figure vérifier les résultats obtenus à la question ) 1) La droite (DE) passe par D(6 ; ) a pour vecteur directeur AC 1 M(x ; y) appartient à (DE) si, seulement si : x 6 y (x 6) ( ) (y ) ( 1) = 0 x y = 0 x + y + 8 = 0 DM AC 1 sont colinéaires Une équation de (DE) est x + y + 8 = 0 ) La droite (AB) passe par A( ; ) a pour vecteur directeur AB 6 En procédant comme ci-dessus, (AB ) adm donc pour équation x y + 8 = 0 Le point E est l intersection de (DE) (AC), ses coordonnées sont solution du système x + y + 8 = 0 x y + 8 = 0 La deuxième équation s écrit x = y 8 En substituant dans la première : (y 8) + y + 8 = 0, soit y = 8 ) D où x = 8 8 = 8 Donc le point E a pour coordonnées (8, 8) Exercice n 9 page Le dessin ci-contre représente trois carrés ABGH, BCFG CDEF I est le milieu de [AG] Les droites (AE) (BG) sont sécantes en J 1) On considère le repère (A ; B, H) Déterminer les coordonnées du point J ) Prouver que les points I, J C sont alignés 1) AE, donc la droite 1 (AE) a pour équation x y + c = 0 Comme A(0 ; 0) appartient à (AE), alors c = 0, soit c = 0 Une équation de (AE) est donc x y = 0 Comme x B = x G = 1, alors une équation de (BG) est x E = 1 H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)