Université d Orléans - Licence Economie et Gestion Statistique Mathématique

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1 Université d Orléans - Licence Economie et Gestion Statistique Mathématique C. Hurlin. Correction Examen Décembre 26 Exercice 1 Tests UPP et Théorème de Neyman Pearson. Barème : 12 oints. Soit X, une variable désignant le nombre d incidents de aiement sur un crédit à la consommation observés sur la durée du rêt. On suose que X suit une loi de Poisson de aramètre ( > ) : On disose d un échantillon de N clients d une banque noté fx 1 ; ::; X N g ; où X i désigne le nombre d incidents observés our l individu i: On suose que les variables X i sont i:i:d: de même loi que X et l on admet que : P (X i = k) = e k k Question 1 (1 oint) Cette idée se traduirait sous la forme : (1) H : = (2) H : = 1 > (3) ou sous la forme : H : = (4) Un bon client a en moyenne eu d incidents de aiement. Question 2 (2 oints) On considère le test suivant : H : > (5) H : = (6) H : = 1 (7) avec < 1 : On sait que d arès le théorème de Neyman Pearson (1 oint) : L (X 1 ; ::; X N ; ) L (X 1 ; ::; X N ; 1 ) = en( 1 ) où A est une constante. On en déduit que N ( 1 ) + N i=1x i log () N i=1x i > [log (A) N ( 1 )] log car 1 > : Ce qui eut se réécrire sous la forme : 1 1 N i=1 X i < A (8) < log (A) (9) 1 (1) X N = (1=N) N i=1x i > K (11) où K est une constante déterminée ar le niveau du risque de remière esèce : (1 oint). La région critique du test UPP de niveau est donc de la forme : W = X 1 ; ::; X N j X N > K (12)

2 C. Hurlin. Correction Examen Décembre 26 age 2 Question 3 (2 oints) On sait que d arès le théorème central limite, on a : X N E X N d N (; 1) (13) N1 qv X N Or, sait ici que : E X N = (1=N) N i=1 E (X i ) = (14) V X N = 1=N 2 N i=1v (X i ) = N (15) Donc, on a (1 oint) : Dès lors, le seuil critique véri e : = Pr X N d N (; 1) (16) =N N1 X N > K X N =N d N (; 1) N1 (17) ou encore 1 = Pr X N < K X N =N d N (; 1) N1 (18) D où l on tire que si N tend vers l in ni : 1 (1 ) X N =N (19) et donc nalement : K + 1 (1 ) r N où (:) désigne la fonction de réartition de la loi normale centrée réduite. (2) Question 4 (1.5 oints) On souhaite tester l hyothèse nulle selon laquelle les clients de la banque A sont faiblement risqués sous la forme suivante : H : = 1 contre H 1 : = 2: On sait que sur cet échantillon (.5 oint) : X N = ( )=1332 = :9565 (21) Or la RC associée au test UPP de niveau est dé nie ar : W = X 1 ; ::; X N j X N > K (22) avec K = + 1 (1 ) =N: On en déduit que our = 5%; on a (.5 oint) : K = (:95) 1=1332 = 1 + 1:64 1=1332 = 1:451 (23) Pour un risque de 5%, on ne eut as rejetter H ; c est à dire l hyothèse selon laquelle les clients de la banque A sont relativement eu risqués (.5 oint). 2

3 C. Hurlin. Correction Examen Décembre 26 age 3 Question 5 (1 oint) Il s agit ici de déterminer le risque de deuxième esèce de notre test : = Pr X N < K X N 1 1 =N d N (; 1) N1 K 1 1 =N (24) Ce qui conduit à : 1: =1332 ( 24: 643) (25) Ce risque est quasi nul. Question 6 (1.5 oints) On a vu que la RC du Test UPP d hyothèse simle H : = contre H 1 : = 1 > ne déend as de la valeur exlicite de sous H 1 ; donc la RC du test UPP de niveau H : = contre H : > est équivalente à la RC du test de la question 3. (1 oint) W = X 1 ; ::; X N j X N > 1:451 (26) Dans l échantillon, on observe X N = :9565: Pour un risque de 5%, on ne eut as rejetter H ; c est à dire l hyothèse selon laquelle les clients de la banque A sont relativement eu risqués (.5 oint). Question 7 (2 oints) On souhaite en n tester l hyothèse : H : = 1 (27) H 1 : 6= 1 (28) Construisez la région d accetation du test bilatéral corresond à l intersection des RA des deux test unilatéraux associés H : = 1 contre H 1 : > 1 et H : = 1 contre H 1 : < 1 dé nies our des risque de remière esèce de =2 = 2:5%: Soient K 1 et K 2 le deux seuils critiques corresondant (1 oint) : Donc la RC du test bilatéral s écrit (1 oint) : K 1 = + 1 () =N = :9549 (29) K 1 = + 1 (1 ) =N = 1:451 (3) W = X 1 ; ::; X N j X N =2 [:9549; 1:451] (31) Question 8 (1 oint) Puissance : P uissance () = Pr X N =2 [:9549; 1:451] j X N d N (; 1) =N N1 (32) D où l on tire : P uissance () 1 1:451 + :9549 =N =N (33) 3

4 C. Hurlin. Correction Examen Décembre 26 age 4 Exercice 2 Test d Indeendance : Relation Salaire / Dilôme (à artir d un examen de Mme Bessec, Université Paris IX Dauhine). Barème : 4 oints. (1 oint our tableau e ectif théorique + 1 statistique + 1 seuil et conclusion) 4

5 C. Hurlin. Correction Examen Décembre 26 age 5 Exercice 3 Test d Ajustement (Université Paris IX Dauhine, avec l autorisation de Mme Bessec). Barème : 4 oints. Question 1(2 oints) Soit fx 1 ; ::; X N g, avec N = 1; l échantillon des ventes quotidiennes suosées i:i:d: et de même loi que X où X suit une loi de oisson de aramètre : Ecrivons la log-vraisemblance de cet échantillon : L (X 1 ; ::; X N ; ) = N i=1p (X = X i ) = N i=1e X i X i (34) Ce qui eut se réecrire sous la forme d une log-vraisemblance (.5 oint) : log L (X 1 ; ::; X N ; ) = N + log () N i=1x i log N i=1x i (35) La condition nécessaire de la maximisation de la vraisemblance est alors (X 1 ; ::; X N ; = N + 1 N i=1x i = (36) D où l on déduit l estimateur du MV (.5 oint) : b = 1 N N i=1x i = X N (37) On véri e qu il s agit d un maximum (.5 oint) uisque 2 L (X 1 ; ::; X N ; 2 = 1 2 N i=1x i < (38) On en déduit nalement une estimation onctuelle du aramètre (.5 oint) : b = x N = 1:5 (39) Question 2 (1 oint) Cf Tableau de la Figure 2 Question 3 (1 oint) Si les ventes quotidiennes suivent e ectivement une loi de Poisson de aramètre 1.5, la robabilité que le roduit ne soit as acheté est égale à 22,31%. (.5 oint). Mais cette hyothèse n est as nécessairement valable. Tout déend de la uissance du test d adéquation : la uissance corresond à la robabilité de rejeter l hyothèse nulle d une loi de Poission alors qu e ectivement les ventes suivent une autre loi que la loi de Poisson. Plus cette uissance est faible, lus la direction rend un risque imortant. (1 oint bonus) 5

6 C. Hurlin. Correction Examen Décembre 26 age 6 Figure 1: 6