2 cos x =. 0 ;2π l équation sin x =. Corrigés des exercices de trigonométrie

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1 Corrigés des eercices de trigonométrie I. Résoudre algébriquement des équations, des inéquations Pour les eercices suivants, on utilisera le cercle trigonométrique Eercice 1 Résoudre dans l intervalle [ ] l équation cos =. Les solutions sont S = 4 ; 5 4 Eercice Résoudre dans l intervalle [ ] l équation sin =. Les solutions sont S = ;

2 Eercice Résoudre dans l intervalle ] ; ] l équation 1 cos =. Les solutions sont S = ; Eercice 4 Résoudre dans l intervalle ] ; ] l équation sin =. Eercice 5

3 Résoudre dans l intervalle ] ; ] l inéquation cos >. Les solutions sont 4 ; 4 Eercice 6 Résoudre dans l intervalle ] ; ] l inéquation sin. Les solutions sont ; 4 4 ; Eercice 7

4 Résoudre dans l intervalle [ ] l inéquation 1 sin <. Eercice 8 Résoudre dans l intervalle[ ] l inéquation cos > 0. L ensemble des solutions est 0; ;

5 II. Eercice 9 Résoudre graphiquement des équations On a tracé sur l intervalle [ ] la représentation graphique de la fonction cosinus. Résoudre graphiquement dans l intervalle [ ] l équation 1 cos =. Graphiquement, on lit que les solutions sont 1 1,05 (soit 1 = ) et 5,5 (soit = 5 ). Eercice 10 On a tracé sur l intervalle ] ; ] Résoudre graphiquement dans l intervalle ] ; ] la représentation graphique de la fonction sinus. l équation sin =. Graphiquement, on lit que les solutions sont 1 1,05 (soit 1 = ) et,1 (soit = ).

6 III. Etudier le signe d une epression Eercice 11 On considère la fonction définie sur [ [ par f ( ) = sin a. Résoudre, en utilisant le cercle trigonométrique, l inéquation sin > sur l intervalle [ [. b. En déduire le signe de f ( ) sur [ [. a. L ensemble des solutions de 1 l inéquation sin > sur [ [ est 7 11 ; 6 6 b. 1 f ( ) > 0 sin + 1 > 0 sin > 1 sin >. On en déduit alors le signe de f ( ) sur [ [, en utilisant a. : f ( ) + 0 _ 0 + Eercice 1 On considère la fonction définie sur ] ; ] par f ( ) = cos. a. Résoudre, en utilisant le cercle trigonométrique, l inéquation cos > sur l intervalle ] ; ].

7 b. En déduire le signe de ( ) a. L ensemble des solutions de f sur ] ; ] l inéquation cos > sur 11 [ [ est ; 6 6. b. f ( ) > 0 cos > 0 cos > cos >. On en déduit alors le signe de f ( ) sur [ [, en utilisant a. : f ( ) + 0 _ 0 + Eercice 1 On considère la fonction définie sur ] ; ] a. Résoudre dans ] ; ] b. En déduire le signe de ( ) par f ( ) = cos +. l équation cos + = 0. f sur ] ; ].

8 cos + = 0 + = + k ou + = + k ( k Z ) = + k ou = + k ( k Z ) 5 = + k ou = + k ( k Z ) = + k ou = + k ( k Z ) Dans l intervalle ] ; ], les solutions sont ; ; ; Sur l intervalle ; 1, < < puis < < et + < + < + donc < + < et cos + > 11 5 Sur l intervalle ; 1 1, < < puis < < et + < + < + donc < + < et cos + <

9 5 Sur l intervalle ; 1 1, < < puis < < et + < + < + donc < + < et cos + > 7 Sur l intervalle ; 1 1, < < puis < < et + < + < + donc < + < et cos + < 7 Sur l intervalle ; 1, < < puis < < et + < + < + donc < + < et cos + > 0. On peut alors résumer ces résultats : f ( ) IV. Utiliser la parité et la périodicité des fonctions sinus et cosinus Eercice 14 On considère la fonction f définie sur par f ( ) = sin. Démontrer que f est paire. La fonction f est définie sur par f ( ) = sin. Pour tout réel, f ( ) = ( )sin( ), or sin( ) = sin, donc f ( ) = ( sin ) = sin = f ( ) ; la fonction f est donc paire. Eercice 15 On considère la fonction f définie sur par f ( ) = + sin. Démontrer que f est impaire. La fonction f est définie sur par f ( ) = + sin. Pour tout réel, f ( ) = + sin( ) ; or sin( ) = sin, donc

10 ( ) f ( ) = sin( ) = + sin = f ( ) ; la fonction f est donc impaire. Eercice 16 On considère la fonction f définie sur par f ( ) = sin. Démontrer que f est périodique de période. La fonction f est définie sur par f ( ) = sin. Pour tout réel, f ( + ) = sin(( + )) = sin( + ) ; or sin( a + ) = sin a, donc f ( + ) = sin( ) = f ( ) ; la fonction f est donc périodique de période. Eercice 17 On considère la fonction f définie sur par f ( ) = cos +. Démontrer que f est périodique de 4 période 6. La fonction f est définie sur par f ( ) = cos Pour tout réel, f ( + 6 ) = cos + = cos + + = cos , or cos( a + ) = cos a, donc f ( + 6 ) = cos + = f ( ) ; la fonction f est donc périodique 4 de période 6. V. Etudier des limites Eercice 18 Etudier la limite en 0 de la fonction f définie sur * par sin f ( ) =. sin La fonction f est définie sur * par f ( ) =. sin sin f ( ) =, or on sait d après le cours que lim = 1, donc par produit : 0 sin lim = 0 Eercice 19 Etudier la limite en 0 de la fonction f définie sur * par cos 1 f ( ) =.

11 cos 1 La fonction f est définie sur * par f ( ) =. cos 1 1 cos 1 f ( ) = =, or on sait d après le cours que cos 1 lim = 0. 0 cos 1 lim = 0, donc par produit : 0 Eercice 0 Etudier la limite en + de la fonction f définie sur par f ( ) = sin. La fonction f est définie sur par f ( ) = sin. On sait que, pour tout réel, 1 sin 1, donc 1 sin 1, puis f ( ) 1. lim (1 ) =, donc d après le théorème de comparaison, lim f ( ) =. + + Eercice 1 Etudier la limite en de la fonction f définie sur par f ( ) = cos +. La fonction f est définie sur par f ( ) = cos +. On sait que, pour tout réel, 1 cos( ) 1, donc 1+ cos( ) + 1+, puis f ( ) 1+. lim (1 + ) =, donc d après le théorème de comparaison, lim f ( ) =. VI. Calculer des dérivées Eercice On considère la fonction définie sur par f ( ) = sin. Calculer f '( ). La fonction est définie sur par f ( ) = sin. u( ) = ; u '( ) = 1 On remarque que f = u v avec v( ) = sin ; v '( ) = cos Pour tout réel, f '( ) = 1 sin + cos = sin + cos. ;

12 Eercice On considère la fonction définie sur * par cos f ( ) =. Calculer f '( ). cos La fonction est définie sur * par f ( ) =. u u( ) = cos ; u '( ) = sin On remarque que f = avec v v( ) = ; v '( ) = 1 (sin ) cos sin cos Pour tout réel, f '( ) = =. ; Eercice 4 On considère la fonction définie sur par f ( ) = sin( ). Calculer f '( ). La fonction est définie sur par f ( ) = sin( ). On remarque que f On sait que ( ) = sin uavec u( ) = ; u '( ) = ; sin u ' = u 'cosu, donc pour tout réel, f '( ) = cos( ). Eercice 5 On considère la fonction définie sur par f ( ) = cos +. Calculer f '( ). La fonction est définie sur par f ( ) = cos +. 1 On remarque que f = cosuavec u( ) = + ; u '( ) = ; 1 On sait que ( cos u) ' = u 'sin u, donc pour tout réel, f '( ) = sin +. VII. Etude d une fonction Eercice 6 1 f ( ) = cos( ) + cos( ) +. f ( ) = sin( ) cos( ) 1 et en déduire le signe de f ( ) 0;. Soit f la fonction dérivable sur [ 0; ], définie par Vérifier que [ ] Dresser le tableau de variation de f sur [ 0; ] sur [ ]

13 La fonction est définie sur [ 0; ], par Elle est dérivable sur [ 0; ] et pour tout de [ ] 1 f '( ) = ( sin( )) sin( ) = sin( ) sin( ) = sin( ) cos( ) sin( ) [ ] = sin( ) cos( ) 1 1 f ( ) = cos( ) + cos( ) +. 0;, Sur [ 0; ], sin( ) est positif et s annule en 0 et en ; f '( ) est donc du signe de cos( ) 1. 1 Sur [ 0; ], cos( ) 1 = 0 cos( ) = = et 1 cos( ) 1 > 0 cos( ) > 0 <. On en déduit le tableau de variation de f : 0 f '( ) f VIII. Pour aller plus loin.etude de la fonction tangente Eercice 7 1. Définition La fonction tangente, notée tan, est la fonction définie pour tout réel différent de + k, avec k entier, par sin tan =. cos Valeurs particulières à connaître : Compléter le tableau suivant 0 tan 6 4

14 . Propriétés a. Montrer que, pour tout réel différent de + k, avec k entier, tan( + ) = tan. La fonction tangente est donc périodique de période. b. Montrer que, pour tout réel différent de + k, avec k entier, tan( ) = tan. La fonction tangente est donc impaire. On peut alors réduire l intervalle d étude de la fonction tangente à l intervalle.. Etude de la fonction tangente a. Montrer que : lim tan = +. < La droite d équation = est donc asymptote à la courbe représentant la fonction tangente. b. La fonction tangente est dérivable sur (quotient de deu fonctions dérivables sur, le dénominateur ne s annulant pas sur ). Montrer que, pour tout de 1, tan'( ) = = 1+ tan. cos En déduire le sens de variation de la fonction tangente sur. c. Tracer la courbe représentative de la fonction tangente sur [ ; ] tan a. Soit un réel différent de + k, avec k entier, sin( + ) sin tan( + ) = = = tan. cos( + ) cos

15 b. Soit un réel différent de + k, avec k entier, sin( ) sin tan( ) = = = tan cos( ) cos. a. lim sin = 1et lim cos = 0 lim tan = +. < La droite d équation avec cos > 0, lorsque. Donc : = est donc asymptote à la courbe représentant la fonction tangente. b.la fonction tangente est dérivable sur (quotient de deu fonctions dérivables sur, le dénominateur ne s annulant pas sur ). Et pour tout de cos cos sin ( sin ) cos + sin 1, tan'( ) = = = cos cos cos et cos + sin cos sin tan'( ) 1 tan cos cos cos = = + = +. Pour tout de, tan () > 0. La fonction tangente est strictement croissante sur. Courbe

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