1) Calcule le PGCD de 1078 et 322 en utilisant l algorithme d Euclide. 2) a) Calcule le PGCD de 273 et 163 par la méthode de ton choix.

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1 3 ème D DS1 nombres entiers et rationnels sujet 1 Exercice 1. (5 points) 1) Calcule le PGCD de 1078 et 322 en utilisant l algorithme d Euclide. 2) a) Calcule le PGCD de 273 et 163 par la méthode de ton choix. b) Que peut-on en déduire pour ces deux nombres? Exercice 2. Extrait du Brevet (5 points) Pour le 1 er mai, Julie dispose de 182 brins de muguet et de 78 roses. Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs. 1) Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire? 2) Quelle sera la composition de chaque bouquet? Exercice 3 (3 points) Déterminer le PGCD des nombres 5148 et Puis écrire calculs). sous la forme d une fraction irréductible (on indiquera le détail des Exercice 4 : nombre caché (2 points) Je suis un nombre entier compris entre 100 et 400. Je suis pair. Je suis divisible par 11. J ai aussi 3 et 5 comme diviseurs. Qui suis-je? Explique ta démarche. Exercice 5 (5 points) Effectuer les calculs suivants ; on donnera le résultat sous forme d une fraction simplifiée le plus possible. A = D = :5 7 B = E = C =

2 Exercice 1. (5 points) 1) a) Calcule le PGCD de 231 et 130 par la méthode de ton choix. b) Que peut-on en déduire pour la fraction ? 2) Calcule le PGCD de 1395 et 525 en utilisant l algorithme d Euclide. Exercice 2. (5 points) Un vendeur possède un stock de 120 flacons de parfum au tiare et de 144 savonnettes au monoï. Il veut écouler tout ce stock en confectionnant le plus grand nombre de coffrets «Souvenirs de Polynésie» de sorte que : le nombre de flacons de parfum au tiare soit le même dans chaque coffret ; le nombre de savonnettes au monoï soit le même dans chaque coffret ; tous les flacons et savonnettes soient utilisés. Trouve le nombre de coffrets à préparer et la composition de chacun d eux. Exercice 3 (3 points) Déterminer le PGCD des nombres 1911 et Puis écrire calculs). sous la forme d une fraction irréductible (on indiquera le détail des Exercice 4 : nombre caché (2 points) Je suis un nombre entier compris entre 100 et 300. Je suis impair. Je suis divisible par 7. J ai aussi 3 et 5 comme diviseurs. Qui suis-je? Explique ta démarche. Exercice 5 (5 points) Effectuer les calculs suivants ; on donnera le résultat sous forme d une fraction simplifiée le plus possible. A = D = : 2 3 B = E = C =

3 3 ème D DS1 nombres entiers et rationnels sujet 1 Exercice 1. (5 points) 1) Calculer le PGCD de 1078 et 322 en utilisant l algorithme d Euclide. 2) a) Calcule le PGCD de 273 et 163 par la méthode de ton choix. b) Que peut-on en déduire pour ces deux nombres. 1) = = = = Le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives est 14. Donc PGCD(1078 ;112) = 14 2) a) = = = = = Le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives est 1. Donc PGCD(273 ;163) = 1 b) Comme PGCD(273 ;163) = 1 alors on en déduit que 273 et 163 sont premiers entre eux. 3

4 3 ème D DS1 nombres entiers et rationnels sujet 1 Exercice 2. Extrait du Brevet (5 points) Pour le 1 er mai, Julie dispose de 182 brins de muguet et de 78 roses. Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs. 1) Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire? 2) Quelle sera la composition de chaque bouquet? 1) Le nombre maximal de bouquets identiques est égal au PGCD de 182 et = = Le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives est 26. Donc PGCD(182 ;78) = 26 Julie pourra donc faire 26 bouquets identiques. 2) = 7 et = 3 Exercice 3 (3 points) Chaque bouquet sera composé de 7 brins de muguet et de 3 roses. Déterminer le PGCD des nombres 5148 et Puis écrire 5148 sous la forme d une fraction irréductible (on indiquera le détail des calculs) On utilise l algorithme d Euclide pour déterminer le PGCD des deux nombres : = = =

5 3 ème D DS1 nombres entiers et rationnels sujet 1 Le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives est 143. Donc PGCD(5148 ;2431) = 143 Pour simplifier la fraction 5148 on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD : = = Exercice 4 : nombre caché (2 points) Je suis un nombre entier compris entre 100 et 400. Je suis pair. Je suis divisible par 11. J ai aussi 3 et 5 comme diviseurs. Qui suis-je? Explique ta démarche. Si le nombre est divisible par 3, 5 et 11 alors il est divisible par = 165. Les multiples de 165 compris entre 100 et 400 sont 165 et 330. Seul 330 est pair. Le nombre cherché est donc 330. Exercice 5 (5 points) Effectuer les calculs suivants ; on donnera le résultat sous forme d une fraction simplifiée le plus possible. A = D = :5 7 B = E = C = A = B = C = D = = = = 12 4 = 3 = = = = : 5 7 = : 5 7 = = = E = = = =

6 Exercice 1. (5 points) 1) a) Calcule le PGCD de 231 et 130 par la méthode de ton choix. b) Que peut-on en déduire pour la fraction ? 2) Calcule le PGCD de 1395 et 525 en utilisant l algorithme d Euclide. 1) a) On peut utiliser l algorithme d Euclide : = = = = = Le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives est 1. Donc PGCD(231 ;130) = 1 b) Comme PGCD(231 ;130) = 1 alors 231 et 130 sont premiers entre eux et la fraction 231 est irréductible ) = = = = = Le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives est 15. Donc PGCD(1395 ;525) = 15 6

7 Exercice 2. (5 points) Un vendeur possède un stock de 120 flacons de parfum au tiare et de 144 savonnettes au monoï. Il veut écouler tout ce stock en confectionnant le plus grand nombre de coffrets «Souvenirs de Polynésie» de sorte que : le nombre de flacons de parfum au tiare soit le même dans chaque coffret ; le nombre de savonnettes au monoï soit le même dans chaque coffret ; tous les flacons et savonnettes soient utilisés. Trouve le nombre de coffrets à préparer et la composition de chacun d eux. Le nombre maximal de coffrets est égal au PGCD de 144 et 120. Déterminons le PGCD de 144 et 120 avec l algorithme d Euclide = = Le dernier reste non nul dans la liste des divisions euclidiennes successives est 24. Donc PGCD(144 ;120) = 24 Le nombre de coffrets à préparer est donc = 6 et = 5. Chaque coffret sera donc composé de 6 savonnettes au monoï et de 5 flacons de parfum au tiare. Exercice 3 (3 points) Déterminer le PGCD des nombres 1911 et Puis écrire sous la forme d une fraction irréductible (on indiquera le détail des calculs). On utilise l algorithme d Euclide pour déterminer le PGCD des deux nombres : 7

8 = = = Le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives est 147. Donc PGCD(1911 ;2499) = 147 Pour simplifier la fraction 1911 on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD : = = Exercice 4 : nombre caché (2 points) Je suis un nombre entier compris entre 100 et 300. Je suis impair. Je suis divisible par 7. J ai aussi 3 et 5 comme diviseurs. Qui suis-je? Explique ta démarche. Si le nombre est divisible par 3, 5 et 7 alors il est divisible par = 105. Les multiples de 105 compris entre 100 et 300 sont 105 et 210. Seul 105 est impair. Le nombre cherché est donc 105. Exercice 5 (5 points) Effectuer les calculs suivants ; on donnera le résultat sous forme d une fraction simplifiée le plus possible. A = D = : 2 3 B = E = C = A = = =

9 B = C = D = = = = 30 9 = = 10 3 = = : 2 3 = : 2 3 = = = E = = = =