Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim

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1 Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompriscom Reconnaitre les formes indéterminées Dans chaque cas, on donne la ite de u n et v n Déterminer si possible, (u n + v n ) et (u n v n ) u u u n = a) v b) v c) n = v n = d) u n = v n = 4 Dans chaque cas, on donne la ite de u n et v n Déterminer si possible, (u n v n ) et u n = a) v b) u n v n u n = v n = 3 c) u n = 3 v n = d) u n = 0 v n = Dans chaque cas, on donne la ite de u n et v n et le signe de v n Déterminer si possible, (u u n n v n ) et v n a) u n = v n = 0 v n > 0 b) u n = 4 v n = 0 v n < 0 c) u n = 0 v n = 0 v n > 0 A l aide des tableaux de la somme, du produit et du quotient, déterminer si possible a) u n = n + n b) u n = n n c) u n = n + d) u n = 3 n e) u n = n + n + Limite et suite géométrique Déterminer les ites éventuelles suivantes : f) u n = 3 05 n n 3 n Limite de suite et forme indéterminée Dans chaque cas, déterminer la ite éventuelle de la suite (u n ) : a) u n = n 3 3n b) u n = n n n + Limite et Algorithme Soit la suite u définie sur N par u n = n 3 3n + 5 Déterminer u n c) u n = n + n n n + 5 n 7 n Pour un réel A, on souhaite déterminer le plus petit rang n pour lequel u n A Construire un algorithme permettant de résoudre ce problème Dans chaque cas, déterminer la ite éventuelle de la suite u : a) u n = n n b) u n = 3 + n n c) u n = 4n 3 n + 5 Limite de suite, encadrement et théorème des gendarmes Dans chaque cas, déterminer la ite éventuelle de la suite (u n ) : a) u n = ( )n n + b) u n = n cos(n) c) u n = n + sin(n) n + 5 u n

2 Démontrer que la suite (( ) n ) diverge On pourra utiliser un raisonnement par l absurde

3 Limite d une somme ( d une ) suite géométrique n ) Déterminer 3 ) Déterminer n 3 ) On considère la suite (u n ) définie sur N par u n = + x + + x n où x est un nombre réel Déterminer la ite de (u n ) selon les valeurs de x Limite d une suite à l aide d une suite auxiliaire géométrique On considère la suite u définie par u 0 = et pour tout entier naturel n par u n+ = 3 u n + n L objectif de cet exercice est de déterminer la ite de cette suite u Pour cela, on considère la suite v définie par tout entier naturel n par v n = u n + 3n ) Démontrer que la suite v est une suite géométrique dont on précisera la raison ) Conclure Limite d une somme Soit la suite (u n ) définie pour tout entier n par u n = n ) Démontrer que pour tout entier n, u n n ) En déduire la ite de la suite (u n ) Problème ouvert On considère la suite (u n ) définie pour tout entier n par : u n = Démontrer que la suite (u n ) est convergente n k=n k = n + n n Somme et suite télescopique On considère la suite (u n ) définie pour tout entier n par u n = n(n + ) ) Vérifier que pour tout entier k, k k + = k(k + ) ) En déduire que pour tout entier n, u n = n + 3 ) En déduire la ite de la suite (u n ) On considère une suite (u n ) croissante qui n est pas convergente ) Démontrer que (u n ) n est pas majorée ) En déduire sa ite u0 = On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par : u n+ = u n ) Démontrer que pour tout entier naturel n, u n ) Démontrer que la suite (u n ) est croissante 3 ) Démontrer que la suite (u n ) n est pas majorée On pourra raisonner par l absurde 4 ) En déduire la ite de la suite (u n ) 3

4 On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par : PARTIE : Conjectures u0 = 0 u n+ = 3 u n + 4 a) Sur un même graphique, tracer les droites d équation y = x et y = 3 x + 4 b) Déterminer graphiquement, u, u, u 3 c) Déterminer par le calcul, u, u, u 3 Les résultats sont-ils cohérents? d) Conjecturer le sens de variation de (u n ) e) Conjecturer la ite de (u n ) PARTIE : Démonstration des conjectures a) Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 u n 6 b) Démontrer la conjecture du d) c) Démontrer la conjecture du e) PARTIE 3 : Démonstration des conjectures par une seconde méthode On considère la suite (v n ) définie sur N par v n = u n 6 3a) Déterminer v 0, v, v 3b) Conjecturer la nature de la suite (v n ) 3c) Démontrer cette conjecture 3d) Exprimer v n en fonction de n Exprimer u n en fonction de n 3e) En déduire la ite de la suite (u n ) Limite d une suite géométrique : démonstration du cours x est un réel positif ) Démontrer que pour tout entier naturel n, ( + x) n + nx ) En déduire la ite de la suite (q n ) où q > 3 ) On cherche maintenant la ite de (q n ) où 0 < q < a) On pose p = Déterminer q pn b) En déduire qn Limite d une somme Soit la suite (u n ) définie pour tout entier n par u n = n ) Démontrer que la suite (u n ) est croissante ) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u n n 3 ) Que peut-on en déduire? 4

5 Suite homographique Soit la suite u définie sur N par u 0 = et pour tout entier naturel n, u n+ = + 3 u n L objectif du problème est d exprimer u n en fonction de n puis de trouver la ite de (u n ) ) On a tracé la courbe de la fonction f définie sur ]0; + [ par f(x) = + 3 x Déterminer graphiquement u, u, u 3 ) Déterminer par le calcul, u, u, u 3 Est-ce cohérent? 3 ) Quelles conjectures peut-on faire concernant le sens de variation, et la ite de cette suite (u n ) 4 ) La suite (u n ) est-elle arithmétique? géométrique? Justifier 5 ) Démontrer que pour tout entier naturel n, u n On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par : v n = u n 3 u n + 6 ) Déterminer par le calcul les 4 premiers termes de la suite (v n ) 7 ) La suite v semble-t-elle arithmétique? Géométrique? Justifier votre conjecture 8 ) Démontrer la conjecture du 7 ) 9 ) Exprimer v n en fonction de n En déduire l expression de u n en fonction de n 0 ) En déduire la ite de la suite (u n ) Est-ce cohérent? Suite arithmético-géométrique On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par u 0 = 0 et u n+ = u n + ) Montrer que pour tout entier n, u n u n+ ) En déduire que la suite (u n ) est convergente On note l sa ite 3) Déterminer la valeur de l Soit (u n ) la suite définie par son premier terme u 0 et, pour tout entier naturel n, par la relation : u n+ = au n + b (a et b réels non nuls tels que a ) On pose, pour tout entier naturel n, v n = u n b a Démontrer que la suite (v n ) est géométrique de raison a b En déduire que si a appartient à l intervalle ]- ;[, alors la suite (u n ) a pour ite a 3 On considère la suite (h n ) définie par h 0 = 80 et pour tout entier naturel n, h n+ = 075h n + 30 La suite (h n ) est-elle convergente? Justifier 5

6 Limite d une suite par deux méthodes u0 = 4 On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par u n+ = u n + PARTIE : Étude de la convergence a) Déterminer u, u, u 3 à 0 près b) Montrer que pour tout entier naturel n, u n 4 c) Démontrer que la suite (u n ) est décroissante d) En déduire que la suite (u n ) converge PARTIE : Déterminer la ite Soit l la ite de la suite (u n ) a) Démontrer que l est solution de l équation l = l + b) En déduire la ite de la suite (u n ) PARTIE 3 : Déterminer la ite par une deuxième méthode u n 4 3a) Montrer que pour tout entier naturel n, u n+ 4 = un b) En déduire que pour tout entier naturel n, u n+ 4 8 (u n 4) 3c) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 u n 4 8 n 3d) En déduire la ite de la suite (u n ) Suite : Exercice type Bac u0 = On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par u n+ = 0 u n(0 u n ) ) Soit la fonction f définie sur [0 ;0] par f(x) = x(0 x) 0 a) Étudier les variations de f sur [0 ;0] b) En déduire que si x [0; 0], alors f(x) [0; 0] ) Déterminer u, u 3 ) Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 u n u n+ 0 4 ) En déduire que la suite (u n ) est convergente 5 ) On note l la ite de la suite (u n ) a) Démontrer que l est solution de l équation l = l(0 l) 0 b) Résoudre cette équation et en déduire la valeur de l Suites croisées Soient (a n ) et (b n ) deux suites telles que a 0 > 0 et b 0 > 0 et pour tout entier naturel n : a n+ = a n + b n et b n+ = a n b n a n + b n ) Démontrer que (a n ) et (b n ) sont deux suites strictement positives ) Démontrer que pour tout entier naturel n : a n+ b n+ = a n + b n (a n + b n ) 3) En déduire le signe de a n b n pour n 4) Démontrer que les suites (a n ) et (b n ) sont décroissantes à partir du rang 5) Démontrer que les suites (a n ) et (b n ) sont convergentes vers une même ite 6

7 QCM ite de suite Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant : Si deux suites (u n ) et (v n ) sont strictement positives et convergent alors la suite Si pour tout entier naturel n, u n alors u n ( ) 3 Si la suite (u n ) est croissante et strictement négative alors la suite est décroissante 4 Si pour tout entier n, u n 5 n alors la suite (u n) converge vers 5 5 Si la suite (u n ) n est pas majorée, alors u 6 Si u alors la suite (u n ) n est pas majorée Suite de Héron - type Bac PARTIE : Étude d une fonction f On considère la fonction définie sur ]0; + [ par f(x) = (x + x ) a) Justifier que f est dérivable sur ]0; + [ b) Déterminer les variations de f sur ]0; + [ c) Démontrer que si x alors f(x) PARTIE : Étude de la suite (u n ) u0 = 4 On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par u n+ = f(u n ) a) Déterminer u, u, u 3 à 0 près b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u n+ u n c) En déduire que (u n ) est convergente d) On note l la ite de la suite u Démontrer que l est solution de l équation l = (l + l ) e) En déduire la valeur de l f) Que faut-il changer à la définition de la suite (u n ) pour qu elle converge vers 3 PARTIE 3 : Rapidité de convergence 3a) Démontrer que pour tout entier naturel n, u n+ = u n (u n ) u n ( un v n ) converge 3b) En déduire que pour tout entier naturel n, u n+ (u n ) 3c) Démontrer par récurrence que pour tout entier n, u n ( ) n (u 0 ) 4d) Quelle valeur de n faut-il choisir pour que u n soit une valeur approchée de à 0 3 près QCM ite de suite Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant : Si une suite est décroissante minorée alors elle est convergente Si une suite est croissante et convergente alors elle est majorée 3 Si une suite est convergente et majorée alors elle est croissante 4 Si une suite est croissante alors elle est minorée 5 Si une suite est croissante alors elle n est pas majorée 6 Si une suite est croissante et convergente alors elle est bornée Objectif : Trouver la ite d une suite récurrente, arithmétique, géométrique, explicite, croissante, décroissante, majorée, minorée, convergente, par conjecture, théorème des gendarme, ite d une somme 7