Le multicurving et l importance du spread de base dans l évaluation actuelle des swaps de taux. Alexandre Nakhle

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1 Le multicurving et l importance du spread de base dans l évaluation actuelle des swaps de taux d intérêt Alexandre Nakhle 19 décembre 2012

2 Remerciements Je tiens à remercier toutes les personnes suivantes qui m ont aidé pour l élaboration de cette thèse : Ilan Abehsira et Vincent Tyrou, vendeurs de produits structurés chez CA-CIB, avec qui j ai travaillé durant mon stage et qui m ont donné l idée d écrire une thèse sur ce sujet, m ont également permis d y consacrer du temps et m ont constamment encouragé. Florian Pelgrin, directeur de thèse, pour m avoir conforté dans mon choix du sujet et m avoir aidé à définir une problématique précise. Christophe Viard, structureur chez CA-CIB, pour m avoir assisté pour les applications pratiques et guidé pour mes différentes recherches. Enfin, je remercie toutes les personnes avec qui j ai discuté de la thèse et qui m ont apporté leur différentes remarques et soutiens. Préface Je tiens à féliciter Alexandre pour avoir choisi un sujet de thèse intéressant et très actuel qui j espère lui a permis d étoffer ses connaissances sur le marché des taux et notamment sur le fonctionnements des swaps de taux d intérêt. J ai été ravi d accompagner Alexandre tout au long de sa thèse qui a constamment essayé d aller plus loin dans ses recherches et cherché à en apprendre le plus possible. Je souhaite que cette thèse professionnelle puisse lui servir dans un avenir proche, que les lecteurs apprécieront le travail fourni et apprendront éventuellement de nouveaux concepts vu l actualité brûlante du sujet. Bonne lecture. Christophe Viard 1

3 Résumé L éclatement de la bulle de crédit en 2007 a totalement bouleversé l univers de la finance quantitative et est devenue une source de nombreux débats. L un d entre eux étant concentré sur la remise en cause d un problème très simple dans ce domaine, du moins en apparence : comment évaluer de la meilleure des manières possibles un swap de taux d intérêt. Cette problématique est étroitement liée à la construction de courbe de taux sans risque, un concept fondamental en finance. Les swaps sont maintenant des produits normalisés et très liquides. Leur cotation permet à la plupart des banques et des gérants d actif de suivre le marché des taux d intérêt et de construire des courbes de taux. Avant la crise, les taux d intérêts cotés sur les marchés étaient cohérents avec ce que nous apprenions dans les livres et seuls les markets makers de swap de taux d intérêt s intéressaient aux infimes spreads de base existants. En effet, la simple condition de non-arbitrage permettait facilement de calculer les taux forwards et les taux d actualisation à partir des taux swaps observés sur le marché. Cependant, durant la crise, les risques de crédit et de liquidité ont écarté grandement ce spread de base. Un pic de 220 points de base d écart a même été atteint entre le taux Euribor 3 mois et le taux du SWAP OIS d échéance 3 mois, celui-ci oscillant historiquement entre 0 et 10 bps. De manière plus explicite, les taux Libor (taux d emprunt offert entre les banques), étaient supposés être sans risque car les faillites de banque, parmi celles qui contribuaient à la valorisation de ces taux, étaient inenvisageables. Ces écarts importants ont étendu la théorie des taux d intérêts et nous pousse à aborder une approche multi-courbe plutôt qu une approche mono-courbe. Inspiré par un article de la recherche d AXA, Construction des courbes de taux à l ère du resserrement du crédit et au-delà d Ethan Reiner, et motivé par l actualité brûlante de ce sujet, cette thèse a pour but d étudier et de proposer un nouveau cadre pour l évaluation (pricing) de swaps de taux d intérêts qui incorpore les écarts de points base (spreads). La première partie de la thèse sera consacrée à l étude de l approche traditionnelle du bootstrapping. Pour optimiser la construction de la courbe des taux spots, il faut choisir les produits les plus liquides, interpoler les taux spots majeurs, et éventuellement inclure l effet de changement d année pour affiner la courbe. En résulte ensuite les taux d actualisation et les taux forwards qui serviront à évaluer les swaps tout en négligeant le ténor du sous-jacent.

4 La deuxième partie de la thèse analyse les causes historiques de l élargissement des spreads de taux et explique pourquoi il est primordial d aborder une approche multi-courbe. Nous verrons que chaque ténor contient ses propres risques de crédit et de liquidité, donc différentes primes. Enfin, la troisième partie sera dédiée au cadre théorique post-crise pour les swaps. Celle-ci contiendra un exemple pratique avec la détermination d une courbe de taux swap actualisé à un taux EONIA. De plus, la collatéralisation sera un sujet majeur de cette partie. La comparaison du prix des swaps pré- et post-crise permettent de conclure que les spreads de base peuvent avoir un impact non-négligeable sur les taux swaps, en fonction du ténor du contrat (et le changement des taux d intérêt sous-jacent). 2

5 Table des matières Remerciements Preface Introduction Choix du sujet Problématique Structure de la thèse Etat actuel du marché des taux d intérêt 9 3 Etude théorique de l approche mono-courbe Théorie Définitions Choix du numéraire Introduction à l évaluation des swaps Bootstrapping Instruments pour les taux courts : les taux de dépôt Instruments pour les taux moyens : FRAs ou futures? Instruments pour les taux longs : les swaps La structure par terme de taux Choix d interpolation Charactéristiques nécessaires pour une bonne interpolation Les méthodes Spline Impact de la crise sur les spreads de taux Divergence taux Euribor et taux EONIA Divergence entre les taux FRA et les taux forwards implicites Ecart de taux entre différents ténors Ecart de taux entre différentes devises

6 5 Etude théorique de l approche multi-courbe Réplication du taux FRA incorporant l écart de taux Extension du cas des FRAs pour les swaps Evaluation des swaps sans collatéral Evaluation des swaps avec collatéral Cas des swaps de devise collatéralisés avec nominal constant Determination des courbes d actualisation Application : Construction d une courbe swap IRS 3M Euro actualisée au taux EONIA Détermination des taux forwards 3M Détermination des facteurs d actualisation OIS Détermination des taux swaps 3 mois actualisés au taux OIS Comparaison des taux swaps 3M Euribor 3M et EONIA Importance du spread de base et la collatéralisation sur l évaluation des swaps Importance du spread de base Importance de la collatéralisation Perspectives Critique de la thèse Mise en pratique Ouverture Conclusion 82 A Démonstration 86 2

7 Table des figures 2.1 Evolution Produits Dérivés Gré à Gré par classe d actifs (Trilliards USD) Structure par terme de taux Euro Evolution du taux Euribor 3 mois et du taux swap OIS d échéance 3 mois durant la période Ecart entre le taux Euribor 3 mois et le taux du swap OIS d échéance 3 mois Evolution de l écart entre le taux Euribor 3 mois et le taux du swap OIS d échéance 3 mois durant la période Différence entre les taux Libor et le taux du swap OIS des USA, de la Zone Euro et du Royaume-Uni Evolution de l écart entre le taux Euribor 3 mois et le taux du swap OIS d échéance 3 mois Evolution de l écart entre le taux EONIA mois et le taux REFI de la BCE Chronologie macroéconomique expliquant les écarts de taux Evolution du spread Forward EONIA vs FRAs Swaps de base Euro 3m vs 6m Maturité 1 an, 5 an et 10 ans Décomposition du SD selon Tuckman et Porfirio Swap de devise Maturité 5 ans Euro contre USD Standard Replication vs. Basis-Consistent Replication, 6x12 Market FRA Courbes des facteurs d actualisation EONIA Etapes Construction Courbe Forward Etapes Construction Facteurs d actualisation OIS Comparaison Swaps 3M EONIA et 3M Euribor

8 Liste des tableaux 2.1 Produit dérivés OTC par classes d actifs Juin Dérivés de taux par type 20 Avril Dérivés de taux par devise 20 Avril Portefeuille pour la démonstration de la relation Sport - forward Taux de dépôt Zone Euro 15 Octobre Euro FRAs 15 Octobre Taux swap Euro vs E3M 15 Octobre Structure par terme de taux Euro 15 Octobre Taux EONIA 15 Octobre Taux swap 3 mois actualisé au taux EONIA

9 Chapitre 1 Introduction 1.1 Choix du sujet Avant la crise de 2007, tout ce que les étudiants apprenaient en cours et dans les livres sur les taux d intérêt était très cohérent avec la réalité des marchés financiers. La récente crise financière et les perturbations associées au crédit et à la liquidité ont causé un élargissement et une volatilité plus importante parmi les spreads de base dans le monde du marché des taux d intérêt. Avant cette date, des écarts entre des taux similaires étaient présents mais très négligeables. Les taux de dépôt et les taux EONIA de même maturité se pourchassaient l un l autre en maintenant une distance de sécurité (le spread de base). De manière similaire, les taux de swap avec la même maturité, mais basé sur des différents ténors pour les taux variables sousjacents, étaient quotés avec un spread non nul mais négligeable 1. Les taux Euribor et OIS (EONIA pour l Europe) étaient extrêmement proches, le calcul pour les FRA étaient déduit des taux Euribor spot avec une relation précise et admise par tous, les paiements de flux de taux d intérêt différant uniquement par leur ténor étaient équivalents, à un très léger écart de point de base près. Cette consistance entre les taux d intérêt permettait la construction d une courbe zéro-coupon parfaitement définie notamment grâce aux techniques de bootstrapping et des méthodes d interpolation. Depuis le commencement de la crise, il existe maintenant un gap notable entre les taux Euribor et OIS et les taux FRA ne peuvent plus être répliqués è partir des taux Euribor spot, et les jambes flottantes différant uniquement par les maturités sont maintenant séparés par des larges spreads. A titre d exemple, deux taux forwards 1. Interest Rates and The Credit Crunch : New formulas and Market Models, Fabio Mercurio, p.2 5

10 calculés par deux dépôts consécutifs sont devenus différents des FRA affichés ou des taux forwards OIS implicites. On remarquera tout de même que cette divergence ne crée pas d opportunité d arbitrage quand les problématiques de crédit ou de liquidité sont pris en compte. Par exemple, un taux swap basé sur des paiements semi-annuels sur le Euribor 6 mois peut-être différent (et plus élevé) que le taux swap de même maturité basé sur des paiements trimestriels sur le Euribor 3 mois 2. Ce gap a eu un impact considérable sur les marchés financiers, puisque tout ce que nous pensions maitriser et connaître a été remis à plat. La communauté financière a du remettre en cause sa compréhension du marché des taux d intérêt en période de crise, ainsi que les techniques et les relations utilisées par toutes les banques pour construire la courbe de taux nécessaire au pricing de tous les produits financiers. Beaucoup d articles ont d ailleurs étaient publiés pour étudier et répondre è la problématique du multicurving. Au cours de cette thèse, nous ferons de nombreuses fois référence aux études de Fabio Mercurio, Fernando Ametrano et Marco Bianchetti ou aux articles de Masaaki Fujii, Yasufumi Shimada et Akihiko Takahashi. La plupart de ces études sont consacrées à la construction d une courbe de taux cohérente incorporant le risque de crédit et de liquidité. Par exemple, Mercurio décide d utiliser les taux FRA comme un nouveau paramètre pour établir un marché des taux Libor plus vaste tandis que Bianchetti établit une analogie avec le pricing des produits du marché des devises qui ont une longueur d avance concernant le multicurving. On peut considérer qu il y à priori pour l instant deux approches pour évaluer les swaps : l approche crédit et l approche par segmentation.la première consiste à utiliser un taux d intérêt sans risque pour actualiser des flux financiers dont le paiement sera systématiquement honoré et à ajouter à ce taux un spread de crédit pour calculer les taux Libor futurs. Pour la seconde, le marché de taux est modélisé par segments. Chaque segment fait référence à un unique taux Libor définit par une durée d investissement appelée ténor 3. Cependant, en attendant une approche crédit approuvée et efficace 4, les praticiens semblent s être mis d accord pour une approche empirique (celle par segmentation), basée sur la construction d autant de courbe que de ténors possible. Supposer dif- 2. Mercurio, p.2 3. Construction des courbes de taux à l ère du resserrement du crédit et au-delà, Ethan Reiner, p.7 4. Approche très difficile puisque le taux Libor contient un risque de défaut mais ne peut jamais faire défaut 6

11 férentes courbes pour différents ténors invalident l approche classique d une unique courbe zéro-coupon utilisée pour le calcul des cash flow futur ainsi que l évaluation de leur valeur actuelle. Cette thèse a pour but de généraliser un modèle de taux avec une approche multi-courbe. Chaque ténor a maintenant sa propre prime de liquidité et de crédit 5. Par conséquent, le cadre d évaluation est passé d une courbe à une surface composée de plusieurs courbes. Obtenir une simple courbe forward n est plus le sujet, la problématique est maintenant d aboutir à des surfaces forwards qui tiennent compte des spreads de base affichés. De plus, la manière historique d actualisation doit être revisitée. L objectif de cette thèse sera de proposer une approche pour évaluer les swaps d intérêt en se basant sur les différentes lectures et illustrations. 1.2 Problématique Inspiré par les différentes lectures et par la mise en place durant mon propre stage d un système de pricing basé sur le multicurving, cette thèse va tenter de montrer comment inclure le spread de base dans l évaluation des swaps de taux d intérêt. La problématique de la thèse est la suivante : l utilisation du multicurving pour le pricing de swap d intérêt à la lumière de la crise récente Ceci implique la détermination d une courbe swap actualisée à un taux OIS. Celleci servirait de pilier majeure pour la détermination d une surface de courbe forward de plusieurs ténors. On obtiendrait ainsi un cadre d évaluation commun pour les produits dérivés de taux, et ne permettant pas d opportunité d arbitrage. Etudier le cadre d évaluation des produits de taux avant la crise permet d insister sur les deux différences entre les deux méthodes d évaluation. Tout ceci sera fait de manière descriptive avec des exemples illustrant les deux cadres afin de montrer l importance d introduire un cadre multi-courbe. Enfin il est supposé ici que le lecteur de la thèse est familier avec le marché des taux d intérêt et a des connaissances mathématiques du niveau d un master spécialisé en finance. Des concepts plus élaborés auraient bien sur le mérite d être développés. 5. Mercurio, 2009, p.4 7

12 1.3 Structure de la thèse Cette thèse est composée de plusieurs chapitres dont le but est d aboutir à la conclusion que le passage au multicurving est indispensable pour l évaluation de produits de taux d intérêt, notamment pour les swaps. Le Chapitre1 justifie le choix d un sujet tel que le multicurving, la problématique majeure de la thèse et présente une partie des auteurs auxquels nous allons nous référer tout au long de notre analyse. Le Chapitre2 introduit les marché des taux d intérêts et sa place majeure en finance de marché. Dans un monde où la taille du marché des swaps ne cesse d augmenter, leur évaluation avant la crise était correcte sur un modèle mono-courbe mais cette évaluation s est dégradée suite aux évènements de Le Chapitre3 présente le cadre théorique d évaluation pré-crise. Nous nous intéresserons dans cette partie aux techniques les plus répandues pour le bootstrapping accompagnée des techniques d interpolation utilisées par les praticiens pour obtenir une structure par terme de taux continue et la plus lisse possible. L effet de changement d année sera évoquée mais non pris en compte pour la construction du cadre d évaluation. Le Chapitre4 explique les raisons de l évolution de ce spread de taux et analyse son impact dans un marché distressed. Des divergences entre différents taux seront abordées. Le Chapitre5 tente de répondre à la problématique puisque celui-ci contiendra la théorie et une application pratique pour le pricing de swap de taux d intérêt après la crise. Celui ci sera examiné avec des swaps collatéralisés et non collarisés. Le Chapitre6 est une réflexion sur les chapitres précédents. Nous apporterons nos critiques sur ce cadre post-crise et nous nous interrogerons sur l applicabilité de celui-ci par les praticiens. Le Chapitre7 synthétise la thèse et la conclut. 8

13 Chapitre 2 Etat actuel du marché des taux d intérêt Le volume de produits dérivés traités sur le marche OTC a considérablement progressé ces 10 dernières demandes en raison d une demande plus élevée des produits sur-mesure pour se couvrir des risques financiers. Le tableau suivant nous permet de voir la proportion qu occupe les taux d intérêts dans les deals de produits dérivés sur le marché OTC. Représentant 77% du marché des dérivés OTC, la classe d actifs domine largement les autres actifs dérivés. Table 2.1 Produit dérivés OTC par classes d actifs Juin 2012 Actifs Trilliards USD % FX Interest Rates Equity Commodities CDS Non alloué Total Source : Bank for International Settlements, Amounts outstanding of OTC 9

14 Figure 2.1 Evolution Produits Dérivés Gré à Gré par classe d actifs (Trilliards USD) Source : Bank for International Settlements Maintenant que nous avons vu la place qu occupe les dérivés de taux d intérêt dans le marché OTC, il est intéressant d étudier la proportion qu occupe les différents dérivés uniquement de taux d intérêt. Le tableau 2.2 représente le volume en pourcentage qu occupe chaque dérivé de taux. Nous pouvons constater la place majeure qu occupe les swaps de taux parmi ces produits. 10

15 Table 2.2 Dérivés de taux par type 20 Avril 2012 Type Trilliards USD % CC - Swap IR - Basis Swap IR - Cap/Floor IR - FRA IR - Inflation Swap IR - OIS IR - Swap IR - Swap Exotique IR - Swaption Total Source : TriOptima, Interest Rate Trade Repository Report. Note : La différence du total entre les tables TABLE 2.1 et TABLE 2.2 s explique par une différence de date et de source. Enfin, il est également important de montrer la répartition des swaps de taux d intérêt en fonction de la devise. Nous voyons dans le tableau 3.4 que les deux monaiees les plus importantes en terme de volume sont évidemment l Euro et le Dollar, suivis du Yen Japonais et de la livre anglaise. Par conséquent, l évaluation des swaps dans cette thèse se concentrera sur les deux swaps de devise le plus traités (car cellesci sont les plus liquides). 11

16 Table 2.3 Dérivés de taux par devise 20 Avril 2012 Devises Trilliards USD (eqv.) % USD EUR JPY GBP AUD CHF Other Total % Source : TriOptima, Interest Rate Trade Repository Report. Le choix d écrire une thèse sur l évaluation des swaps de taux d intérêt est donc justifié par le fait que les marchés des taux est de loin le plus important parmi ceux des dérivés, les swaps représentant eux-même la plus grande partie des produits traités parmi les dérivés de taux. Le passage à une évaluation multi-courbe s avère donc primordial de par le volume et la taille traités. 12

17 Chapitre 3 Etude théorique de l approche mono-courbe Avant août 2007, les praticiens avaient pour habitude d utiliser une une structure par terme de taux sans risque, appelée riskless ou riskfree. Le concept de courbe sans risque ne veut pas dire qu il n y a pas de risque de taux d intérêt, mais que celle-ci ne prend pas en compte le risque de crédit et de liquidité, ceux-ci pouvant influencer de manière non négligeable la vraie valeur des taux d intérêt. La prochaine session a pour but de définir les différents éléments pris en compte lors de la méthode du bootstrapping. 3.1 Théorie Définitions Les différentes définitions mentionnées ici sont bien connues du monde des académiciens et des praticiens. Cependant, il est important de les mentionner à nouveau puisque que ce qui suit dans la thèse remet en cause ces définitions. Hypothèse de non arbitrage - Géman (2012) On considère un marché avec (n+1) titres primitives S j avec j=[0,1,...,n] Definition 1 Un portefeuille P à la date t est défini par N V p (t) = a j S j (t) avec a j R (3.1) j=0 13

18 Definition 2 Un portefeuille P est un portefeuille d arbitrage si et seulement si V p (t) = 0, V p (T )(ω) 0 ω Ω, P [V p (T )(ω) > 0 > 0 Definition 3 Dans un marché constitué de (n+1) titres primitifs, l hypothèse d AOA (Absence d Opportunité d Arbitrage) prévaut si et seulement si il n existe pas de portefeuille d arbitrage dans ce marché, en d autre termes : Si V p (t) = 0, et si V p (T )(ω) 0 ω Ω, alors V p (T )(ω) = 0 ω Ω Relation Spot - forward - Géman (2012) Pour la définition de la relation spot-forward, nous admettons comme hypothèse qu il n y pas de coût de transactions sur l actif S, que r est constant durant la période [t,t], et que nous sommes en situation d AOA. Nous construisons un portefeuille de la manière suivante : Table 3.1 Portefeuille pour la démonstration de la relation Sport - forward V p t T Achat S -S(t) Livraison de S à l acheteur du contrat forward Emprunt S au taux r +S(t) S(t) exp r(t t) Vente contrat forward - Reception f T (t) Remarques : P est auto financé (il n y a pas de cash flow intermédiaire), P est sans risque, V p (t) = 0 En invoquant l hypothèse de non arbitrage, nous avons : V p (t) = 0 S(t) exp r(t t) + f T (t) = 0 => f T (t) = S(t) exp r(t t) (3.2) Lorsque les taux sont aléatoires, la valeur du portefeuille à la date t pose problème 14

19 puisque r(t) n est plus une fonction déterministe du temps mais change aléatoirement durant la période [t,t]. Nous avons donc besoin de passer à un univers qu on appelle risque-neutre 1. La valeur à la date t d une unité d argent que l on recevrait de manière certaine à la date T serait alors : T ] V (t) = E Q [exp r(s)ds P (t, T ) (3.3) t P (t, T ) représente ici le prix de marché d une obligation zéro-coupon de maturité T. On peut donc établir une extension de la relation sport - forward avec des taux d intérêt stochastiques : f T (t) = S(t) P (t, T ) (3.4) Choix du numéraire Cette partie du chapitre 1 est une synthèse des travaux de Mme Géman et Mme El Karoui (1995), M. Mercurio (2006) et M. Hull (2009). Par définition, un numéraire est un actif de référence choisi dans le but de normaliser les prix des autres actifs en conséquence. Le nombre de possibilité pour choisir un numéraire est infime puisque n importe quel actif ne payant pas de dividende peut être considéré comme un numéraire. Lorsque l on travaille avec des taux d intérêts, choisir une obligation zéro-coupon est très utile. Prix de marché du risque - John Hull Considérons θ la variable d état qui suit un processus de diffusion définit par : dθ = µdt + σdz (3.5) θ Le prix de marché du risque λ est défini par John Hull par la relation : λ = µ r σ (3.6) 1. Dans une économie où tous les agents sont neutres face au risque, les investisseurs n exigent aucune compensation pour le risque ; la rentabilité attendue de tous les actifs est alors égale au taux sans risque. - Options, futures et autres actifs dérivés. 6ème - John HULL 15

20 où µ et σ représentent respectivement le rendement et la volatilité de θ et r le taux sans risque. (cf. Option, futures et autres actifs dérivés p.632 pour la démonstration) Le prix de marché du risque mesure le taux de substitution entre rentabilité (en excès du taux sans risque) et risque pour les actifs dépendant de θ. De plus, λ doit être identique pour tous les actifs dérivés considérés ne dépendant que de θ et de t. Martingales - (Options, futures et autres actifs dérivés - John Hull) Considérons un ensemble de variables aléatoires X 0, X 1,..., X t, la variable Xt est une martingale si, pour t > 0, la relation suivante est vraie : E[X t X t1, X t2,..., X 0 ] = X t1 (3.7) De manière similaire, un processus de diffusion qui est une martingale a un drift nul. En d autres termes, il vérifie : dθ = σdz (3.8) où dz est un processus de Wiener. Le paramètre de volatilité σ peut être considéré lui-même comme une variable stochastique, mais également dépendre de θ et possiblement d autres variables stochastiques. Une des propriétés importantes des martingales est la constance de l espérance. En d autres termes, l espérance à n importe quelle date future est égale à sa valeur présente : E[θ T ] = θ t (3.9) La variation entre t et T est la somme des variations sur de courts intervalles. Par conséquent, l espérance de cette variation est nulle. Existence d une mesure martingale équivalente - John Hull Soient f et g les prix de deux actifs échangés dépendant d une seule source d incertitude et ne payant pas de flux intermédiaire. Notons également que le prix g est toujours positif. La variable φ = f définit le prix relatif de f par rapport à g. On g exprime ainsi f en unités d actif g plutôt qu en unités monétaires et l actif g sert ici de numéraire. Dans un marché avec AOA, la relation entre les prix de ces deux actifs est une martingale pour un choix de prix du marché de risque. Plus précisément, dire qu il existe une mesure martingale équivalente signifie qu en l absence d opportunités d arbitrage, il excite un choix de prix de marché du risque (et donc une probabilité) tel que le processus φ soit une martingale sous cette probabilité.[...] En opérant ce 16

21 choix particulier de prix de marché du risque, les prix de tous les actifs, exprimés en unité de numéraire, sont des martingales. Pour prouver ce résultat, appliquons l équation 3.5 aux processus de prix d actifs f et g : df = (r + λσ f )fdt + σ f fdz (3.10) dg = (r + λσ g )gdt + σ g gdz (3.11) Le choix du même prix de marché pour f et pour g revient à définir λ tel que λ = σ f = σ g et démontre que φ est une martingale dont le drift est nul. Le terme en dt a en effet disparu comme le notre l équation suivante : dφ = (σ f σ g )φdz (3.12) Par analogie avec l équation 3.7, les processus φ est une martingale. La démonstration du passage des équations 3.9 et 3.10 à l équation 3.11 est présentée en dans Options, futures et autres actifs dérivés p.638. Obligation zéro-coupon comme numéraire La définition de martingale avec un changement de numéraire est défini dans l article Changes of Numéraire, Changes of Probability, Measure and Option Pricing de Géman, El Karoui et Rochet. Considérons comme hypothèse qu il existe un numéraire N et une mesure de probabilité Q N, équivalent au risque initial neutre Q 0, le prix de n importe quel actif X relatif à N est une martingale sous Q N (dans un univers avec AOA), soit : [ ] X t = E N XT F t (3.13) N t N T Cette équation est fondamental pour l évaluation des dérivés de taux puisque celle-ci est applicable pour tous les numéraires ne payant pas de dividendes. L application d un ZC en tant que numéraire fait que n importe quel taux forward capitalisé est une martingale sous la mesure de probabilité forward-neutre T. Par conséquent, le prix d un dérivé de taux d intérêt p(t) à la date t sous la mesure T -forward peut être considéré comme l espérance actualisée du payoff sur l actif contingent H : p(t) = P (t, T )E T [H T F t ] (3.14) 17

22 3.1.3 Introduction à l évaluation des swaps Nous considérons un ensemble de dates T 0,...,T n,...,t N. Le taux sans risque à la date t de maturité T n est le taux d intérêt R(t, T n ) s appliquant à un contrat de dépôt où la banque A prête une unité d argent à la banque B entre la date t et T n. Pour construire la structure par terme de taux, il existe une relation entre R(t, T n ) et P (t, T n ), prix d une obligation zéro-coupon sans risque de maturité T n. Cette relation est définie telle que : P (t, T n ) = E Q [D(t, T n ) F t ] (3.15) où E Q représente l espérance sous la mesure de probabilité risque neutre. Le flux de l information sur tout le marché est représenté par la filtration F = (F t ) t 0. Il existe un compte épargne B t et D(t, T n ) = Bt B Tn est le facteur d actualisation de la date t à T n. Dans un marché AOA, la relation entre P (t, T n ) et la maturité R(t, T n ) est claire. L achat d une obligation sans risque au prix P (t, T n ) de maturité T n, et prêter un montant P (t, T n ) jusqu à la date T n à une contrepartie non risquée, sont deux stratégies qui exposent l investisseur au même coût à t et au même risque, dans le but que le rendement à la date T n soit le même, on obtient donc lorsqu on utilise une simple capitalisation : P (t, T n )[1 + R(t, T n )δ n ] = 1, R(t, T n ) = 1 1 δ n [ 1], (3.16) P (t,t n) Le vrai marché interbancaire ne contient pas de banques totalement non risquées. Cependant, les praticiens en charge de calculer les courbes zéro-coupons émettent l hypothèse que le risque sur le marché du prêt interbancaire est négligeable. Cet hypothèse était justifiée avant la crise du fait du faible niveau de risque de la grande majorité des banques, et par le fait que ces taux étaient indexés au taux Libor (ou Euribor pour le marché Euro). Le taux Libor est un indice de taux calculé chaque jour ouvré à 11h (Heure de Londres) devant en principe refléter le taux moyen auquel un échantillon de grandes banques établie à Londres prête en blanc (i.e sans que le prêt soit gagé par des titres) à d autres grandes banques. L échantillon est choisie et connu à l avance et plutôt stable dans le temps. Les taux les plus extrêmes sont écartés du calcul, afin de protéger l indice d éventuelles erreurs ou d une crise de liquidité qui affecterait telle ou tell banque de l échantillon 2. Cet échantillon était considéré virtuellement sans risque avant la crise. 2. Source : fr.wikipedia.org/wiki/libor 18

23 Par conséquent, le taux Libor L(t, T n ) de maturité T n était considéré comme une bonne approximation du taux sans risque R(t, T n ) et servait donc de référence pour calculer les produits dérivés et construire un courbe d actualisation. R(t, T n ) = L(t, T n ) 1 1 (3.17) P (t, T n ) = 1+R(t,T n)δ n = 1+L(t,T n)δ n Nous voyons dans cette équation que le taux Libor est défini comme le taux de rendement de l achat d une unité d une obligation zéro-coupon à la date t et de sa vente à maturité T n. Le taux Libor est donc en fait le taux d actualisation : L(t, T n ) = 1 ( ) 1 δ n P (t, T n ) 1 (3.18) P (t, T n ) fait référence ici au facteur d actualisation sans risque de défaut et δ n correspond à l intervalle de temps [t, T n ]. Le taux forward Libor de T n 1 à T n à la date t est défini par l équation suivante : F (t, T n 1, T n) = 1 δ n ( P (t, Tn 1 ) P (t, T n ) ) 1 (3.19) δ n représente l intervalle de temps [T n 1, T n ]. La relation entre les forwards Libor et les facteurs d actualisations dans l équation 3.5 permet au cadre mono-courbe d éviter des opportunités d arbitrage. Toutes ces définitions et ces équations mènent au pricing des produits dérivés fondamentaux des taux d intérêt tels que les swaps. Le swap le plus basique (vanille) est le forward Rate Agreement. Celui-ci est notamment basé sur le taux forward Libor. Si l on adopte une position longue sur FRA, le payoff à la date T n est déterminé par la différence entre le taux Libor spot et le taux fixe K : V Tn = δ n (L(T n 1, T n ) K) (3.20) La valeur du FRA à la date t est donc la suivante : V (t) = δ n (E t [L(T n 1, T n )] K)P (t, T n ) (3.21) Par souci de simplicité, E t [] représentera tout au long de la thèse l opérateur espérance sous la probabilité forward-neutre Q associée. Ici, E t [] représente l opérateur espérance sous la probabilité forward-neutre Q Tn. Lors de l émission du FRA, le taux FRA K est défini de telle sorte que les deux jambes soient au pair soit : 19

24 δ n KP (t, T n ) = δ n E t [L(T n 1, T n )]P (t, T n ) (3.22) Comme vu dans la section précédente, le choix d une obligation zéro-coupon de maturité T n en tant que numéraire est très utile lorsque que l on travaille avec les dérivés de taux. Il s en suit en effet que n importe quel taux forward capitalisé est une martingale sous la mesure T n -forward : F (t, T n 1, T n ) = E t [L(T n 1, T n )] (3.23) La démonstration qui mène à l équation ci-dessus est expliquée en Annexe 1. Appliquer cette équation à l équation 3.19 nous permet d obtenir : F (t, T n 1, T n ) = E t [L(T n 1, T n )] = 1 ( ) P (t, Tn 1 ) 1 (3.24) δ n P (t, T n ) Par conséquent, les dérivés de taux dépendant des taux d intérêt futurs peuvent être valorisés en appliquant des taux forwards. Ceci simplifie grandement leur évaluation, notamment les FRA. On peut donc pricer un swap de taux d intérêt (IRS) dans la mesure où celui-ci peut être évalué en tant que portefeuille contenant plusieurs FRAs où les deux jambes du swap doivent être égales à l initiation : IRS : C N N n=1 n P (t, T n ) = N δ n E t [L(T n 1, T n )]P (t, T n ) 3 (3.25) n=1 Par souci de simplification, nous considérerons que les paiements des pattes fixes et variables ont lieu au même moment. C N représente le taux de swap au pair des IRS de N-longueurs à la date t,δ n et δ n représentent respectivement les intervalles de temps pour la jambe fixe et la jambe flottante. Insérer l équation 3.24 dans l équation 3.25 nous donne : C N C N C N N n=1 N n=1 N n=1 n P (t, T n ) = n P (t, T n ) = N n=1 δ n ( 1 δ n P (t, T n 1 ) P (t, T n ) N P (t, T n 1 ) P (t, T n ) n=1 ) 1 P (t, T n ) n P (t, T n ) = P (t, T 0 ) P (t, T n ) (3.26) 3. A note on construction of multiple swap curves with and without collateral, Masaaki Fujii, Yasufumi Shimada et Akihiko Takahashi, 2009, p.2 20

25 La partie droite de l équation ci-dessus est analogue à une position longue sur un zéro-coupon de maturité T 0 et une position short sur une autre obligation ZC de maturité T N. On déduit ainsi le taux swap : C N = P (t, T 0) P (t, T n ) N n=1 np (t, T n ) (3.27) Swap de base - SB Lors de la mise en place du swap, les valeurs actuelles des deux jambes doivent être égales. On peut représenter un SB avec un portefeuille de deux IRS de même maturité avec des jambes fixes qui se matchent et de deux jambes variables. On ajoute à la jambe variable de ténor le plus faible un spread de base pour que les deux jambes variables matchent. Par conséquent, la relation entre les deux jambes variables est : SB : N δ n (E t [L(T n 1, T n )] + τ N )P (t, T n ) = n=1 M δ m (E t [L(T m 1, T m )] + τ m )P (t, T m ) τ N représente l écart de points de base de longueur N entre les deux sous-jacents des taux Libor de ténor n < m. A titre d exemple, la partie gauche de l égalité pourrait représenter l Euribor 3 mois et la partie droite l Euribor 6 mois. Ici, le payeur de l Euribor 3 mois compense le risque de crédit plus important avec l Euribor 6 mois en ajoutant à l Euribor 3 mois un spread de base (de ténor). La résolution de τ N lors de la mise en place du SB revient à calculer : m=1 (3.28) τ N = M m=1 δ m(e t [L(T m 1, T m )] + τ m )P (t, T m ) N n=1 δ n(e t [L(T n 1, T n )] + τ N )P (t, T n ) 4 N n=1 δ np (t, T n ) (3.29) Swap de devise - SD Dans un swap de devise, les paiements des taux d intérêt se font dans des devises différentes. Le SD jambe variable contre jambe variable est particulièrement impor- 4. M. Bianchetti et F. Ametrano considèrent cette équation comme étant la différence de deux taux de swap d IRS de même maturité et même sous-jacent mais avec différents ténor T N = T M : τ N = S M S N 21

26 tant puisqu il sert à générer les SD jambe fixe contre variable et les SD jambe fixe contre fixe de manière synthétique. Nous admettons comme hypothèse que les deux jambes ont le même ténor mais dépendent de taux d intérêt sous-jacents différents, la valeur du SD est donc : SD : ( P f (t, T 0 ) + ) N δn(e f f t [L f (T n 1, T n )] + b N )P f (t, T n ) + P f (t, T n ) f x (t) n=1 = P (t, T 0 ) + N δ n E t [L(T n 1, T n )]P (t, T n ) + P (t, T n ) 5 n=1 (3.30) L indice f représente les variables qui s appliquent à la devise étrangère. c N représente le spread de base de longueur N de telle sorte que la monnaie domestique soit traitée flat contre la monnaie étrangère. E f t [] représente l opérateur Espérance sous la T n -forward mesure Q Tn f dans la devise étrangère avec P f (t, T n ) comme numéraire. f x (t) représente le taux spot de la monnaie domestique par rapport à la monnaie étrangère à la date t. On trouve avec le même raisonnement que pour l équation 3.27 le spread de base (de devise) : b N = ( P f (t, T 0 ) ) N n=1 δf n(e f t [L f (T n 1, T n )])P f (t, T n ) + P f (t, T n ) f x (t) N n=1 δ np (t, T n ) + P (t, T 0) + N n=1 δ ne t [L(T n 1, T n )]P (t, T n ) + P (t, T n ) N n=1 δ np (t, T n ) (3.31) La condition de non arbitrage est fondamental pour l évaluation de tous ces différents swaps. Celle-ci est donc indispensable pour la détermination des courbes forwards qui servent à trouver les taux swaps et les différents spreads de points de base. 3.2 Bootstrapping Dans l article Bootstrapping the Illiquidity de F. Ametrano et M. Bianchetti, les auteurs présentent une méthode pour bootstrapper l illiquidité en utilisant une approche multi-courbe. Ils font cependant un rappel de l approche traditionnelle dans 22

27 leur introduction. C est de cette première approche que nous discuterons dans cette section. Ametrano et Bianchetti définissent l approche traditionnelle de la manière suivante : (1) Choisir un ensemble fini de taux d intérêts d instruments vanilles (et liquide de préférence) traités en temps réel sur le marché avec des maturités grandissantes. En pratique, sur le marché Euro, on choisit les instruments les plus liquides en fonction de la maturité, c est pour cette raison que l on utilise souvent les dépôts à courts termes pour les maturités courtes, les FRAs ou les Futures Euribor 3 mois pour les maturités de 3 mois à 3 ans et les swaps contre l Euribor pour des maturités supérieurs à 3 ans. (2) Construire la courbe des taux (zéro-coupon) avec les titres choisis et les méthodes de bootstrapping, principalement le principe d itération et les différentes techniques d interpolation. (3) En déduire ensuite grâce à cette courbe, les taux forwards, les cash-flows, les facteurs d actualisation et déterminer les prix des différents titres en additionnant la somme des cash flows actualisés. (4) (En déduire la sensibilité au delta et se couvrir grâce au même ensemble de titres vanilles.) Il est important de souligner que nous parlons ici d une approche mono-courbe et également monodevise, dans le sens où une unique courbe de taux est construite et utilisée pour évaluer et se couvrir des dérivés de taux. Nous notons également que cette procédure ne garantit pas entièrement l absence d opportunité d arbitrage car les facteurs d actualisation et les taux forwards obtenus grâce aux techniques d interpolation ne sont généralement pas totalement cohérents avec les conditions de non-arbitrage. En effet, en pratique, la fourchette demande-offre et les coûts de transactions cachent intrinsèquement les opportunités d arbitrage. De plus, comme il est écrit dans l article d Ametrano et Bianchetti, on notera également que le choix des instruments relève plus de l art que de la science 6 car il n existe pas de solution unique et d avis universel sur le choix des instruments. En théorie, aucun titre n est meilleur que les autres. Enfin, dans cette thèse, nous nous consacrerons uniquement sur les fondamentaux des méthodes de bootstrapping en détaillant l utilisation de trois titres différents. Cependant, nous n aborderons pas le sujet de la volatilité et de la corrélation qu impliquent les différents modèles de taux. La courbe zéro coupon sera construite dans cette thèse en fonction de la zone Euro. 6. much more a matter of art than science 23

28 3.2.1 Instruments pour les taux courts : les taux de dépôt La partie très courte de la courbe des taux est basé sur les taux de dépôt jusqu à une maturité de 3 mois. Table 3.2 Taux de dépôt Zone Euro 15 Octobre 2012 Contrats Date de début Date de fin Taux(%) EONIA 15 Oct Oct % Euribor 1W 17 Oct Oct % Euribor 2W 17 Oct Oct % Euribor 3W 17 Oct Nov % Euribor 1M 17 Oct Nov % Euribor 2M 17 Oct Déc % Euribor 3M 17 Oct Jan % Source : Ces instruments sont des produits zéro-coupon traités sur le marché de gré à gré qui commencent 2 jours ouvrés après la date de constatation et paient un taux fixe à la date de maturité. Pour la zone Euro, l EONIA et l Euribor servent de référence pour le marché court terme. Par conséquent, leur implémentation dans la courbe des taux pour la partie très courte de la courbe des taux est extrêmement utile puisqu il reflètent bien la liquidité pour des maturités aussi courtes. Ces taux étant par définition des zéro-coupons, on peut en déduire pour le boostrapping que R(t, T n ) = L(t, T n ). Une contradiction à relever ici est le taux Euribor de maturité 1 semaine et 3 semaine sont inférieurs au taux EONIA, ce qui siginifierait qu il serait moins cher à l instant présent (15 octobre 2012) pour une contrepartie d emprunter de l argent sur une période d une semaine plutôt que sur une période d une journée. Cette contradiction est expliquée par le fait que l EONIA est un taux constaté tandis que l Euribor est un taux auquel les banques contribuent. Les banques peuvent décider de montrer des taux plus bas que prévu afin justement de maintenir les taux bas (cf Chapitre 4 Partie 4.3). Rien ne prouve en effet que les banques vont effectivement prêter en réalité à ces taux sur ces maturités. Un autre argument pourrait justifier cette contra- 24

29 diction, les taux Euribor de maturité 1 semaine et 3 semaine sont des taux illiquides, la fourchette demande-offre est donc très large Instruments pour les taux moyens : FRAs ou futures? Toujours par souci de liquidité, on utilise maintenant les taux FRAs ou les futures jusqu à 3 ans çar se ce sont les contrats les plus traités jusqu à cette maturité. Les FRAs sont des contrats qui commencent à date T n 1 pour une période fixe et qui se dénouent à maturité T n. Si une contrepartie achète un contrat FRAs, le taux est fixe durant toute la période. Pour cette raison, on préfèrera les FRAs aux futures dans la mesure où les futures ont des dates de dénouement pré-définis et dont la variation de taux est quotidienne. Cependant, les futures sont plus liquides que les FRAs. La méthode optimale serait donc de prendre en compte les futures et FRAs. Pour transformer les taux forwards, il suffit d appliquer la relation ci-dessous : R(t, T n ) = [ (1 + F (t, T n 1, T n )) Tn T n 1 (1 + R(t, T n 1 )) T n 1 ] 1 Tn 1 (3.32) Autant l équation pour déduire d un taux FRA un taux ZC est simple et logique, autant déduire les taux ZC avec l aide des contrats futures est un autre challenge. En effet, les contrats forwards sont traités sur le marché de gré à gré et ont donc l avantage d être produits sur-mesure. Les contrats futures sont traités sur des marchés organisés et réduisent donc le risque de crédit et les coûts de transaction. De ce fait, la plupart des taux d intérêts des contrats future n ont pas de convexité. En d autres termes, ces taux payent un flux de paiement fixe pour la variation d un point de base, peu importe le niveau du taux d intérêt sous-jacent. Les FRAs, quant à eux, sont des instruments qui présentent de la convexité et sont des contrats biaisés. Empiriquement, on a constaté que les taux des contrats futures sont différents des FRAs implicite. La différence d un point de base pour la première année peut devenir une cinquantaine de base pour 10 ans. Ceci est expliqué par le fait que les marchés incorporent la volatilité des taux courts et ses conséquences.. La construction d un portefeuille dans lequel nous avons une position courte sur les contrats futures et une position longue sur les FRAs donne un portefeuille dont la convexité est positive. Si les taux d intérêts montent, avoir une position courte sur le future génère des profits qui peuvent être réinvestis à des taux plus élevés. D un autre côté, si les taux d intérêts baissent, cette position génère une perte qui peut être réinvestie à des taux plus bas. De plus, si les deux titres avaient le même taux in fine, il y aurait opportunité d arbitrage. Afin d éviter cette opportunité, les taux des contrats futures doivent être supérieurs taux des FRAs, et ce de manière croissante avec l allongement de la 25

30 maturité. Une autre explication de la convexité positive des FRAs peut s expliquer par le payoff à maturité. Les variations de taux in fine pour les FRAs menant à un payoff immédiat et linéaire, contrairement aux contrats futures, les gains ou pertes, actualisés, générés par les FRAs à maturité possèdent donc une convexité supérieure aux contrats futures. On parle d ailleurs de convexity bias. En conclusion, déduire les taux forwards des taux des futures nécessitent donc des ajustements de convexité. Pour obtenir une courbe de taux optimale, il faudrait donc mélanger sur le moyen terme les taux ZC déduits des FRAs et des futures. Cependant, étant donné la complexité du processus pour déterminer le taux zéro-coupon des futures et l objet de la thèse étant focalisé sur un autre sujet, nous travaillerons uniquement avec des taux ZC issus des taux FRAs. Table 3.3 Euro FRAs 15 Octobre 2010 Contrats Date de début Date de fin Taux (%) FRA 1x4 18 Nov Fev FRA 2x5 18 Dec Mars FRA 3x6 18 Jan Avril FRA 4x7 18 Fev Mai FRA 5x8 18 Mars Juin FRA 6x9 18 Avr Juillet FRA 7x10 18 Mai Aout FRA 8x11 18 Juin Sept FRA 9x12 18 Juil Oct FRA 10x13 18 Aout Nov FRA 11x14 18 Sept Dec FRA 12x15 18 Oct Jan FRA 12x18 18 Oct Mars FRA 18x24 18 Mars Sept FRA 12x24 18 Oct Sept Source : ICAP 26

31 3.2.3 Instruments pour les taux longs : les swaps A partir de 3 ans, il est optimal d utiliser les taux swaps pour construire la structure par terme de taux. Les taux de swaps utilisés ici sont des swaps Euro dont le sous-jacent est Euribor 3 mois. A partir des taux swaps, on peut retrouver les taux spots par itération en appliquant la relation suivante : P (t, T N ) = 1 C N 1 N n=1 δ np (t, T n ) (3.33) 1 + C N δ N Malheureusement, le manque de liquidité réduit le nombre d informations disponibles pour certaines maturités ce qui peut donner des facteurs d actualisation incohérents. Il est donc important d interpoler les taux swaps disponibles sur le marché afin de déduire des taux de swaps de maturité moins liquide et plus difficilement accessibles. Nous utiliserons pour cela la technique d interpolation cubic spline détaillée dans la section suivante. On peut ensuite en déduire les facteurs d actualisation. Une fois que nous les avons obtenu, nous pouvons déduire les taux spots R(t, T n ) (n>1)avec l égalité suivante : ( R(t, T N ) = 1 P (t, T n ) ) 1 δn 1 (3.34) Voici la liste des taux swaps que nous allons utiliser pour construire notre courbe de taux : 27

32 Table 3.4 Taux swap Euro vs E3M 15 Octobre 2012 Contrats Date de début Date de fin Taux (%) Swap 1Y 18 Oct Octobre % Swap 2Y 18 Oct Octobre % Swap 3Y 18 Oct Octobre % Swap 4Y 18 Oct Octobre % Swap 5Y 18 Oct Octobre % Swap 6Y 18 Oct Octobre % Swap 7Y 18 Oct Octobre % Swap 8Y 18 Oct Octobre % Swap 9Y 18 Oct Octobre % Swap 10Y 18 Oct Octobre % Swap 12Y 18 Oct Octobre % Swap 15Y 18 Oct Octobre % Swap 20Y 18 Oct Octobre % Swap 25Y 18 Oct Octobre % Swap 30Y 18 Oct Octobre % Source : ICAP La structure par terme de taux La construction de la structure par terme de taux dépend grandement du choix des instruments sélectionnés. Le fait de ne pas prendre en compte les contrats futures donne une courbe moins précise et les taux sur la partie 2 ans et 3 ans seront très approximatifs étant donné que nous favoriserons les taux swaps qui sont moins liquides. En fonction des circonstances, cette construction aurait pu être composé d instruments divers et de maturité différente. Il est important de noter qu il ne faut ni prendre trop de points clé ni pas assez. Prendre trop de points piliers pourrait donner un effet de surcharge de points sur la courbe tandis que pas assez pourrait exclure des données de marché. Ces deux cas possibles pourraient mener à une courbe sujette à de l arbitrage et dont la technique de bootstrapping serait défaillante (Hagan and West, 2006). 28

33 La structure par terme de taux obtenue ainsi que les points clés utilisés se trouvent ci-dessous. Quant à la technique d interpolation, son choix et son fonctionnement sont expliqués dans la section ci-dessous. Table 3.5 Structure par terme de taux Euro 15 Octobre 2012 Maturité Contrat Taux(%) 0.00 EONIA Euribor 1W Euribor 2W Euribor 3W Euribor 1M Euribor 2M Euribor 3M FRA 3x FRA 6x FRA 9x Swap 2Y Swap 3Y Swap 4Y Swap 5Y Swap 6Y Swap 7Y Swap 8Y Swap 9Y Swap 10Y Swap 12Y Swap 15Y Swap 20Y Swap 25Y Swap 30Y

34 Figure 3.1 Structure par terme de taux Euro 3.3 Choix d interpolation Patrick S. Hagan et Graeme West ont écrit deux articles très similaires, l un dans WILMOTT Magazine (plus succinct) et l autre dans le journal Applied Mathematical Finance (Vol.13, No.2, June 2006) concernant les techniques d interpolations en finance. De la même manière que pour les choix des instruments constituant la structure par terme de taux, il n existe pas une seule et unique solution approuvée par tous concernant les techniques d interpolation. Comme pour le nombre d instruments, il faut que la courbe de taux soit lisse mais pas trop pour ne pas éliminer des prix de marché valables. Dans cette section, nous analyserons les contraintes définies par Hagan et West que doivent inclure les méthodes d interpolation en finance. Puis nous étudierons en détail une technique d interpolation, la méthode dite cubic spline utilisée à l origine en physique et chimie puis adaptée à la finance, car celleci est très simple à appliquer et propose des résultats très satisfaisants. Enfin nous mentionnerons les dernières techniques optimisées pour affiner notre interpolation. 30

35 3.3.1 Charactéristiques nécessaires pour une bonne interpolation Hagan et West définissent des critères et des caractéristiques à prendre en compte pour une bonne interpolation 7 : (1) A quel point les taux forwards sont-ils corrects? Il est nécessaire que ces taux soient positifs et continus. Positifs dans le but d éviter une situation d arbitrage et continus afin de pouvoir évaluer des instruments sensible à la stabilité des taux forwards tels que les dérivés. (2) A quel point la méthode d interpolation est-elle locale? Si un point clé est changé, est-ce que la fonction d interpolation change uniquement autour de ce point, avec une légère modification aux alentours, ou peut-on observer des variations autre part? (3) A quel point l interpolation est-elle stable? Le degré de stabilité peut être défini par un changement d un point de base maximum sur la courbe obtenue en changeant, vers le haut ou vers le bas, un point de base dans les paramètres d entré. (4) A quel point les couvertures sont-elle locales? Considérons un portefeuille qui est couvert contre tout mouvement de marché de l instrument sous-jacent. Si l un des paramètres d entrée de la courbe change, il est important que ce même portefeuille soit toujours couvert. Avant de travailler sur le lissage de la courbe, il est important de s assurer que les taux sont positifs et continus, auquel cas la courbe de taux obtenue serait incorrecte Les méthodes Spline Les méthodes d interpolation linéaire sont les exemples les plus simples d interpolation polynomiale, ce sont tout simplement des méthode dont les fonctions sont de l ordre 1. Un courbe polynomiale est une fonction qui est polynomiale dans chaque partie de la courbe. Les coefficients sont calculés pour s assurer que la courbe coïncide et passe (du mieux que possible) à travers les points donnés et est donc continue. Dans le cas de l interpolation linéaire, les coefficients sont très faciles à déterminer. Lorsque les fonctions polynomiales sont d un degré supérieur, il faut utiliser le degré de liberté en exigeant tels que la différentiabilité. 7. Applied Mathematical Finance (Vol.13, No.2, June 2006) 31

36 La méthode Cubic Spline Il existe bien évidemment une méthode Quadratic Spline mais celle ci-ne donne pas des résultats satisfaisant et les courbes obtenues peuvent avoir une apparence sinusoïdale, ce qui ne correspond pas à une courbe de taux correct. Nous allons plutôt étudier plus en profondeur la méthode Cubic Spline qui donne des résultats plus convaincants et qui est donc logiquement utilisée par les praticiens. Supposons t 1, t 2,..., t n et r 1, r 2,..., r n :=r(t i ), étant respectivement les maturités et les taux équivalents, connus. Pour obtenir une courbe cubique, nous devons trouver les coefficients (a i, b i, c i, d i ) pour 1 i n-1. Pour tout t, la fonction serait : r(t) = a i + b i (t t i ) + c i (t t i ) 2 + d i (t t i ) 3 t i t t i+1 (3.35) Par conséquent, nous avons donc : r (t) = b i + 2c i (t t i ) + 3d i (t t i ) 2 t i t t i+1 r (t) = 2c i + 6d i (t t i ) t i t t i+1 r (t) = 6d i t i t t i+1 (3.36) Par souci de simplification, considérons δ i = t i+1 t i. Les contraintes communes de toutes les différentes méthodes cubiques - nous nous intéresserons uniquement à la méthode Natural Cubic Spline - sont : (1) La fonction d interpolation doit passer par les paramètres d entrée, donc a i = r i f i = 1, 2,..., n 1 et a n 1 + b n 1 δ n 1 + c n 1 δn d n 1 δn 1 3 = r n := a n. (2) La fonction est entièrement continue, donc a i + b i δ i + c i δi 2 + d i δi 3 = a i+1 pour i = 1, 2,..., n 2. (3) La fonction est entièrement différentiable, donc b i + 2c i δ i 2 + 3d i δi 2 = b i+1 pour i = 1, 2,..., n 2. Ceci représente un système de 3n 4 équations à 4n 4 inconnus. Il reste donc n contraintes linéaires à définir. Il est très important que la fonction soit différentiable pour que la courbe forward (f(t) = d r(t) qui est issue de la courbe de taux soit dt continue. f(t) est ainsi définie par f(t) = a i + b i (2t t i ) + c i (t t i )(3t t i ) + d i (t t i ) 2 (4t t i ) t i t t i+1 (3.37) 32

37 Posons b n := b n 1 + 2c n 1 δ n 1 + 3d n 1 δ 2 n 1 (3.38) de telle sorte que b n soit la dérivée de la fonction d interpolation sur l extrémité droite de la courbe. Si nous choisissons de spécifier les n contraintes linéaires comme être équivalent à spécifier b 1, b 2,..., b n, définir ensuite c 1, c 2,..., c n et d 1, d 2,..., d n se fait très facilement. Pour chaque i, nous avons deux équations à deux inconnues, ce qui se résout, pour 1 i n-1, grâce aux équations suivantes : m i = a i+1 a i δ i (3.39) c i = 3m i bi + 1 2b i δ i (3.40) d i = b i+1 + b i 2m i δ 2 i (3.41) (3.42) La Natural Cubic Spline a la particularité d être la seule cubic spline où les n conditions supplémentaires sont : (1) La fonction est entièrement différentiable deux fois. (2) La deuxième dérivée à chaque dérivée de la courbe est 0. Cette méthode est très utile et préconisée par Hagan et West pour la construction des courbes de taux issues des taux swaps parmi les différentes fonction d interpolation cubic spline. En effet, celle-ci est totalement satisfaisante pour un ensemble de taux dense et bien répartie. Cependant, elle n est pas satisfaisante pour courbes dont l ensemble de taux est plus éparpillé et moins dense. Cette courbe présente trop de convexité entre les points qui ont sont séparés d une distance trop importante. Voici donc la structure par terme de taux que l on obtient avec les taux zérocoupons interpolés avec la méthode Natural Cubic Spline 33

38 Chapitre 4 Impact de la crise sur les spreads de taux Une des premières conséquences de la crise de 2007 a été l écartement des taux qui jusque là étaient très proches l un de l autre. Ces taux étaient soit relatifs au même intervalle de temps soit déduits des autres cotations de marché. De même, les taux swaps de même maturité, mais dont la jambe variable différait (tant en terme de fréquence de paiements qu en terme de ténor), étaient considérés équivalents à un infime spread près. A partir de 2007, tous ces taux, qui étaient inter-dépendants l un de l autre, sont devenus des instruments à part entière, contenant chacun un risque de liquidité et de crédit intrinsèques. L exemple évoqué et commenté dans l article Construction des courbes de taux à l ère du resserrement du crédit et audelà illustre parfaitement les faits mentionnés ci-dessus et permet d introduire les différents spreads de taux que nous allons étudier dans ce chapitre. En août 2007, les praticiens ont réalisé que quelque chose ne collait plus, après avoir remarqué une divergence inhabituelle entre les taux de swaps d échéance courte sur le taux de référence du jour le jour (swap OIS 1 ) et les taux de dépôt de même maturité. [...] Il est important de noter qu un swap OIS est un instrument collatéralisé (garanti par un dépôt en devise) dont le risque de crédit est quasiment nul. [...] Si l on suppose que le risque de défaut est nul, il est possible de prouver qu un écart significatif entre le taux OIS et le taux Euribor constituerait une opportunité d arbitrage. Avant l éclatement de la bulle de crédit, c est probablement cette hypothèse 1. Le taux du swap OIS d échéance 3 mois est le taux fixe qu une contrepartie est prête à payer dans trois mois à l autre contrepartie pour recevoir en échange l équivalent du taux au jour le jour capitalisé quotidiennement jusqu à l échéance du swap 34

39 qui était retenue, puisqu au cours de la période allant de 2000 à 2007, la moyenne de l écart entre les deux taux s est établie à 6 points de base et son écart-type à 2 points de base. Pour la période s étalant d août 2007 à septembre 2011, la moyenne de cet écart et son écart-type ressortent à 55 points de base et 35 points de base respectivement 2. Depuis 2007, tous les praticiens sont d accord pour admettre que cet écart représente un réel risque qu il faut incorporer dans les risques de marché. L impact du risque du crédit sur les taux d intérêt doit être pris en compte même dans la mise en oeuvre d un concept aussi fondamental que la courbe de taux. Depuis la crise, l Euribor, de même que tous les autres taux Libor, ne peut plus et ne doit plus être considéré comme un taux sans risque Bien que l Euribor n ait jamais été un taux sans risque, la différence du taux Euribor et du taux sans risque de même période était considérée comme nulle. Aujourd hui le taux d un swap OIS et le taux Euribor de même période que ce swap présentent un écart systématique. Il a fallu donc mettre à jour et adapter les modèles pour prendre en compte cet écart. Celui-ci n est pas arrivé à par hasard, il est la résultante d un système financier qui ne prenait pas en compte toutes les composantes fondamentales pour l évaluation des actifs financiers. La crise des subprimes, l éclatement de la bulle du crédit ont causé des dommages irrémédiables au monde de la finance et ont créé une crise de liquidité qui est la conséquence principale de cet écart de taux. De même, la crise de la dette souveraine trois ans plus tard a été la preuve finale que cet écart ne pouvait plus être négligé et qu il y avait une réelle crise de confiance et de liquidité. Les analogies possibles avant 2007 sont devenus inadaptées au monde post-crise. De la même manière que l écart expliqué entre le taux swap OIS et le taux Euribor de même maturité, les taux forwards implicites de deux dépôts consécutifs se sont écartés des taux FRA équivalents. De même, on a constaté un élargissement des écarts pour les swaps de ténor différents et les swap de devise. Nous analysons dans les prochaines sections ces écarts et ses conséquences et justifions ainsi l intérêt de passer à un cadre multi-courbe pour l évaluation des swaps de taux d intérêt. 2. On obtient des résultats similaire en comparant les taux swaps OIS d échéance 1 mois, 6 mois et 12 mois aux taux Euribor 1 mois, 6 mois et 12 mois respectivement. 35

40 Figure 4.1 Evolution du taux Euribor 3 mois et du taux swap OIS d échéance 3 mois durant la période Source : Investment Acumen - Numéro 11 - Hiver 2011 Figure 4.2 Ecart entre le taux Euribor 3 mois et le taux du swap OIS d échéance 3 mois Source : Investment Acumen - Numéro 11 - Hiver

41 Figure 4.3 Evolution de l écart entre le taux Euribor 3 mois et le taux du swap OIS d échéance 3 mois durant la période Source : Investment Acumen - Numéro 11 - Hiver Divergence taux Euribor et taux EONIA Nous avons introduit la divergence des taux swaps OIS et des taux Euribor au début de cette section afin d illustrer les différents écarts de taux qui ont eu lieu après la crise. Dans l article Solving the puzzle in the market interest rate market, Morini détaille cette divergence. OIS est le diminutif d Overnight Interest rate Swap et représente un swap fixe contre variable avec la jambe variable liée à un des taux de référence quotidien des dépôts interbancaires en blanc tel que le taux Federal Funds aux Etats-Unis et l EONIA sur le marché Euro. Ces taux faisant référence à des prêts de durée très courte (une journée), on considère le risque de crédit et de liquidité comme étant nuls. De plus, le taux OIS est un bon indicateur des anticipations de marché concernant les prochains dépôts quotidien. Par conséquent, la différence entre l OIS et l Euribor est considéré comme une bonne indication des problèmes de crédit et de liquidité que peuvent affecter les contreparties pour des prêts supérieurs à une journée. Comme l on peut le constater sur la figure 4.4, l augmentation du spread Ibor- OIS a été particulièrement conséquent pour la maturité 3 mois. En septembre et décembre, ce spread a atteint un niveau jamais vu depuis la fin de l année 1999 et qui était dû aux craintes de l entrée dans le nouveau millénaire. Cet écart de taux 37

42 Figure 4.4 Différence entre les taux Libor et le taux du swap OIS des USA, de la Zone Euro et du Royaume-Uni Source : What Drives Interbank Rates est encore plus marqué pour la zone Euro. Morini explique que les écarts ci-dessus sont dus à des problèmes de liquidité tandis que Michaud et Upper les expliquent en décomposant la prime de risque. Sur les taux courts tel que des maturités 1 jour et 3 mois, la prime de risque peut être décomposée en plusieurs facteurs représentant les caractéristiques des banques emprunteuses aussi bien que les conditions globales du marché. Concernant les banques emprunteuses, on peut distinguer le risque de défaut (credit) et une prime liée à la capacité de financement de la banque (bliq). Quant aux conditions globales de marchés, elles incorporent l absence de certitude concernant le taux au jour le jour (tprem), la liquidité du marché (mliq) et les facteurs liés aux processus de fixing et de microstructure des marchés(micro) : riskpremium = credit + bliq + tprem + mliq + micro 3 (4.1) 3. What Drives Interbank Rates p.5 38

43 Séparer les différents composants de cette relation n est pas une mince affaire puisqu il n existe pas d instruments financiers dont les flux sont directement liés à chacun de ces facteurs individuellement. Il y a également une corrélation très importante entre le risque de liquidité et de financement d une contrepartie et son risque de défaut. C est en effet un cercle assez vicieux dans la mesure où une banque qui a du mal à se financer devra financer avec des taux plus élevés, ce qui augmente sa probabilité de faire défaut. Morini explique donc à juste titre qu il est très important de bien dissocier risque de crédit et de liquidité. Figure 4.5 Evolution de l écart entre le taux Euribor 3 mois et le taux du swap OIS d échéance 3 mois Source : Bloomberg Sur la Figure 4.2 utilisée en introduction de ce chapitre, on constate que le spread se crée réellement à partir d Août 2007 (cet écart avant n était jamais supérieur à 10 bps). C est à partir de cette date que les pertes du aux mortgages américains ont débuté. Cet écart a été au plus haut (209bps) début septembre 2008 juste après l annonce de la perte potentielle de la part de Lehman Brothers de 4 milliard de Dollars et la saisie du gouvernement américain de Fannie Mae et Freddie Mac. S en est suivi d un commun accord de la part des banques centrales, une baisse de leur taux de refinancement de 50 points de base. Pour le marché Euro, c est aussi la gestion des allocations de liquidité des banques de la part de la BCE (Banque Centrale Européenne) qui change totalement (Octobre 2008). Avant la crise, le montant alloué 39

44 par la BCE pour la semaine était fixe et limité, dorénavant le montant des allocations est illimité, en d autre termes la BCE a donné autant que les banques demandaient. Comme les banques avaient des besoins et ont agi de manière préventive pour amortir les conséquences de la crise, l excès de liquidité a systématiquement été très important dans le sens où il y a toujours eu plus d illiquidité que de réels besoins de la part des banques. A titre informatif, l excès de liquidité est actuellement à 700 milliard d Euros! Le marché à court terme, pour l EONIA en tout cas, n étant qu une question d offre et de demande, la quantité importante d offre de liquidité a fait baisser le prix de l EONIA (même en dessous du taux directeur). Avant la crise l EONIA oscillait étroitement autour du taux de refinancement de la BCE, après la crise l EONIA était en dessous de 30 à 40 points de base en-dessous de ce même taux directeur. Figure 4.6 Evolution de l écart entre le taux EONIA mois et le taux REFI de la BCE Source : Bloomberg Les écart se sont ensuite réduits jusqu à se réécarter timidement en Avril 2010 lorsque le FMI a du prêter 110 milliards d Euro à la Grêce pour ensuite se réécarter de manière plus conséquente en décembre 2011 en raison des 2 LTRO (Long Term Refinancing Operation) lancés par la BCE pour une taille totale de 1000 milliards 40

45 d Euro. Les banques ont ainsi eu le droit d emprunter un montant illimité d argent sur une durée de 3 ans sans aucun taux d intérêt. Ces opérations ont eu lieu dans le but de réduire les taux des obligations des pays Européens en difficulté. Le but a été atteint au début mais son effet semble s estomper et certains économistes envisagent dès maintenant un possible LTRO 3 début Même si ces opérations de financement ont permis de soulager pendant un moment la BCE et les pays Européens périphériques, ceci est une solution qui a permis de colmater quelques brèches mais ne sert en aucun cas à résoudre la dite cross. De plus, ces opérations ont créé un nouvel écart entre le taux de swap EONIA et l Euribor. Tous les écart de taux qui ont eu lieu depuis 2007 ont poussé les praticiens à construire une structure par terme de taux construit sur l EONIA plutôt que sur l Euribor Construction des courbes de taux à l ère du resserrement du crédit et au-delà 41

46 Figure 4.7 Chronologie macroéconomique expliquant les écarts de taux 42 Source : Recherche Economique Credit Agricole CIB

47 4.2 Divergence entre les taux FRA et les taux forwards implicites Dans l article Interest Rates and The Credit Crunch New formulas and Market Models, Mercurio mentionne cette divergence et l explique via un simple modèle de crédit, basé sur le fait que les contreparties interbancaires sont sujettes au risque de défaut. En effet, le risque sur le marché interbancaire, bien qu existant, a toujours été considéré comme epsilonesque étant donné le profil et la confiance accordés à une grande majorité des banques, surtout celles du panel contribuant à l Euribor. Comme vu précédemment, on pouvait approximer le taux Libor L(t, T n ) au taux spot sans risque R(t, T n ). On a donc l équation suivante : [ (1 + L(t, Tn )) Tn F (t, T n 1, T n ) = (1 + L(t, T n 1 )) T n 1 ] 1 ( ) δn 1 P (t, Tn 1 ) 1 = 1 δ n P (t, T n ) (4.2) Nous avons aussi vu qu une position longue dans un FRA à maturité donnait le payoff suivant : V (T n ) = δ n (L(t n 1, T n 1 ) K). On calcule le FRA de telle sorte que les deux parties de l équation F (t, T n 1, T n ) = E t [L(t n 1, T n )] suivantes soient égales lors de la mise en place du contrat. Comme l on peut le voir sur la figure 4.8, les forwards EONIA et les taux FRA étaient extrêmement proches avant Depuis, les taux forwards implicites sont largement supérieurs aux taux FRA. De juin 2007 à aujourd hui, la moyenne de cet écart est de 43 points de base avec un écart maximal constaté le 10 janvier 2008 à 119 points de base. Comme l explique Mercurio, ces écarts de taux ne créent pas pour autant des opportunités d arbitrage. En effet, considérons le taux FRA F X et le taux forward implicite F D du à deux dépôt à maturité T 1 et T 2 et supposons que F D > F X. La stratégie suivante permettrait en théorie de profiter d une opportunité d arbitrage : (1) Achat de (1+δ n F D ) dépôts de maturité T 2, payant (1+δ n F D )P (t, T 2 ) = P (t, T 1 ) Euros (2) Vente d 1 dépôt de maturité T 1, recevant P (t, T 1 ) Euros (3) Prendre une position longue sur un FRA, payant à la date T 1 δ n (L(T 1, T 2 ) F X ) 1 + δ n L(T 1, T 2 ) 43

48 Figure 4.8 Evolution du spread Forward EONIA vs FRAs Source : Bloomberg La valeur de cette stratégie lors de sa mise en place est naturellement nulle. A la date T 1, on peut déduire sa valeur d après (1) et (2) : δ n (L(T 1, T 2 ) F X ) 1 + δ n L(T 1, T 2 ) 1 = 1 + δ nf X 1 + δ n L(T 1, T 2 ) Cette stratégie est négative si les taux sont positifs. Pour payer cette dette résiduelle, nous vendons 1 + δ n F D dépôts de maturité T 2, nous laissant avec 1 + δ n F D 1 + δ n L 1 + δ nf X 1 + δ n L = δ n(f D F X ) 1 + δ n L(T 1, T 2 ) > 0 en cash à la date T 1, ce qui est totalement équivalent à δ n (F D F X ) reçu à la date T 2. Nous sommes ici en situation d opportunité d arbitrage puisqu un investissement nul rapporte un gain positif sans risque dans le futur. Le gain à la date T 1 est stochastique tandis que le gain à la date T 2 est déterministe. Il faut cependant souligner qu il existe des paramètres du marché actuel qui ne sont pas pris en compte dans cette stratégie et qu on ne peut plus négliger : 44

49 a) La contrepartie à laquelle on prête de l argent peut faire défaut avant la date T 2. b) Il existe une possibilité de crise de liquidité au dates 0 et T 1. c) Les contraintes règlementaires peuvent avoir un impact sur la valeur du crédit des acteurs du marché. Si l un de ces trois cas se produisait, nous pourrions terminer avec une perte à la date T 2 qui serait supérieure au gain positif δ n (F D F X ). On peut donc conclure que cette stratégie ne constitue pas une opportunité d arbitrage puisqu on ne peut plus considérer celle-ci comme sans risque. Mercurio explique d ailleurs que les taux forwards F D et F X sont autorisés à diverger et que cette différence peut être interprétée comme l anticipation future de la part des marchés concernant les problématiques de liquidité et de crédit. 4.3 Ecart de taux entre différents ténors Un écart de taux de ténor se calcule comme la différence entre les jambes fixes de deux swaps de taux d intérêt de même maturité, avec un taux de référence identique mais les maturité du sous-jacent étant différentes. Par exemple, on pourrait calculer un écart de taux en calculant la différence des VAN à la date t d un swap 5 ans contre E3M et d un swap 5 ans contre E6M. Cette différence représente ce qu on appelle un spread de points de base. De même, un swap qui paierait E3M tous les trimestres et E6M tous les semestres s appelle un swap de base (plus rarement un swap de ténor). Depuis 2007, la contrepartie qui reçoit le paiement du ténor le plus long (6 mois) est confronté à un risque de défaut de la contrepartie et à un risque de liquidité qui sont compensés par une valeur de marché plus élevée de l Euribor 6 mois en comparaison aux risques dûs à l Euribor 3 mois. Comme vu dans le chapitre précédent, le receveur de la jambe du ténor le plus long devra compenser cet avantage en ajoutant un écart de points de base à la jambe du ténor le plus court - si l on suppose que le risque de contrepartie et de liquidité peut être éliminé en collatéralisant et par indexation au Libor plutôt qu emprunter, le niveau plus élevé de l Euribor 6 mois n est plus justifié par un risque plus élevé. Ceci permet également de mieux comprendre les raisons pour lesquelles les taux FRAs sont systématiquement inférieurs aux taux forwards répliqués correspondants (voir section 4.2). 45

50 Figure 4.9 Swaps de base Euro 3m vs 6m Maturité 1 an, 5 an et 10 ans Source : Bloomberg Dans l article Solving the puzzle in the interest rate market, Morini explique certaines raisons qui attestent que prêter sur un ténor plus long implique un risque de liquidité et de contrepartie plus important que roller son prêt sur un ténor plus court. Par exemple, il est plus risqué de prêter sur un ténor 6 mois que de prêter sur un ténor 3 mois puis reprêter au bout des 3 mois à nouveau sur un ténor 3 mois. Morini nous donne cinq raisons principales concernant ce principe : 1) Il y a moins de perte en raison de la probabilité de défaut Si l on considère un prêteur pour une maturité 6 mois et un un autre prêteur qui va roller au bout de 3 mois, les deux à la même contrepartie. Si celle-ci fait défaut durant la période 3 à 6 mois, le prêteur pour une maturité 6 mois perd tout l intérêt tandis que le prêteur qui rolle perd uniquement l intérêt de la période 3-6 mois. En effet, le rolleur a au moins pu encaisser l intérêt de la période 0-3 mois. Dans cette situation, le deux prêteurs perdraient leur notionnel, mais seul le roller aura encaissé de l argent : l intérêt de la période 3-6 mois. 2) Il existe une possibilité de sortir au pair si les conditions de crédit empirent 46

51 Si l on considère les même prêteurs, le roller se trouve dans une position plus avantageuse si la qualité de crédit de l emprunteur se dégrade car il peut stopper son prêt sans aucun coût après 3 mois alors que le préteur sur 6 mois devra dénouer sa position à un coût qui aura déjà incorporé au moment du dénouement l augmentation du risque de crédit. D un autre côté, si la qualité de crédit de l emprunteur augmente, le prêteur sur 6 mois sera dans une position confortable puisqu il recevra un gain tandis que le prêteur 3 mois sortira seulement au pair. Par conséquent, le gain attendu pour le prêteur 3 mois comparé au prêteur 6 mois quand la qualité de la contrepartie se dégrade est compensé par la perte perdue lorsque celle-ci s améliore. Cette compensation n a en fait pas vraiment lieu en raison de la réalité des marchés. En effet, dénouer un contrat financier ne se fait pas si facilement sur les marchés. Premièrement, en raison de la fourchette demande-offre, le dénouement ne peut pas se faire à la juste valeur théorique. Deuxièmement, les banques sont assez réfractaires à dénouer leur position pour des raisons commerciales. En effet, la réputation de la contrepartie a un impact important sur ses coûts de financement. De plus, une dégradation de la qualité de crédit de l emprunteur aurait des effets indirects sur le prêteur. Par exemple, si le rating perd de sa valeur, il peut y avoir également des conséquences négatives concernant la réglementation sur le capital et des craintes concernant la solvabilité de la banque elle-même pourraient survenir. Par conséquent, la probabilité que l emprunteur sur 6 mois dénoue sa position est très faible. Ce cas est possible uniquement lorsque l on peut constater une perte en fair value, et quand la fourchette offre-demande est très large. Ceci contredit le principe de compensation mentionnée ci-dessus et il est très difficile de quantifier cet effet. 3) Existe-t-il un avantage de liquidité pour le prêt à 3 mois? Comme le rappelle Mercurio, Michaud et Upper dans l article What drives interbanks interest rates? prouvent qu il est très difficile de dissocier les facteurs de crédit des facteurs de liquidité lorsque le marché interbancaire (money market) est en crise. Le risque de liquidité est ici principalement un risque de financement. Le prêteur à court terme, i.e 3 mois, est donc avantagé par rapport au 6 mois car il peut sortir au pair au bout de 3 mois s il rencontre un souci de financement. Il se peut très bien que sa qualité de crédit se dégrade ou que ses coûts de financement augmentent. Cependant en appliquant les mêmes considérations que la partie 2), soit l existence d une compensation pour le gain ou la perte en fonction de la qualité 47

52 de la contrepartie, le prêteur sur 6 mois est soit avantagé soit désavantagé en fonction du prix pour dénouer sa position. En toute logique si celui-ci est au dessus du pair, il est avantagé. Néanmoins, on constate aussi que certains éléments contredisent cette compensation. Le premier élément est encore la fourchette offre-demande. Le deuxième, plus important, est le parti pris à l égard du dénouement quand celui-ci implique une perte en fair value, mais ceci est vrai lorsque le dénouement est exécuté pour des raisons de crédit uniquement (risque de crédit de l emprunteur) plutôt que pour des raisons de financement (risque de crédit du prêteur). Dans le cas où le dénouement concernerait des raisons de financement, le principe de compensation n est plus applicable seulement si nous supposons une corrélation entre les risques de crédit du prêteur et de l emprunteur. 4) Il existe des anomalies sur le Libor Sur le marché US, les praticiens ont constaté que le Libor n était pas une indication valable pour les prêts interbancaires durant la crise. La raison étant que le Libor n était plus représentatif des vrais taux de prêt constatés à cette période. En effet, toute banque contribuant au taux Libor et présentant un taux élevé prenait le risque d être perçu comme une banque en besoin de liquidité, ce qui augmenterait son risque de crédit et de liquidité. Pour éviter ce risque, les banques présentaient donc des taux plus bas que les taux auxquelles elles traitaient en pratique. Cette idée est confirmée dans l article de Michaud et Upper qui ont constaté que les banques dont le risque de crédit augmentaient - en étudiant le niveau des CDS - n ont pour autant pas contribué un taux Libor plus élevé que les banques avec un risque de crédit moindre. Ceci peut être perçu de deux manières : soit le risque de crédit n avait pas d impact sur le financement des banques contribuant au taux Libor soit le Libor ne reflétait pas le réel coût de financement des banques en difficulté. Des accusations de manipulation de ce taux ont même eu lieu récemment (2012) sur un grand nombre de banques afin que celles-ci puissent maintenir les taux bas. On parle du scandale du Libor. A noter que cette analyse est assimilable au marché Euro - donc à L Euribor - mais à un degré moindre. 5) Les contributeurs au taux Libor peuvent changer Si la qualité de crédit d une des banques contribuant au taux Libor est amenée à se dégrader, ses taux de prêt et d emprunt ne seront plus représentatifs et cette banque sera retirée du panel de contributeur. La BBA (British Bank Association) s est engagé à réétudier son panel deux fois par an et à s assurer que les banques du 48

53 panel soient les plus actives, expertes dans la devise du taux Libor concerné, aient une réputation reconnue par tous et que la qualité de leur crédit soit élevée. La BBA doit s assurer que les meilleures banques du moment soient dans le panel qui contribue au Libor. Par conséquent, si l on considère un prêteur 12 mois et un rolleur 6 mois, le rolleur 6 mois a l avantage de pouvoir vérifier si la banque/contrepartie a qui elle a prêté de l argent est toujours dans le panel des banques du Libor. Si ce n est plus le cas, elle a l option de pouvoir changer de contrepartie tandis que le prêteur 12 mois ne peut pas. On peut donc en déduire que la probabilité de survie de l emprunteur pour la jambe 6 mois durant la période 6-12 mois est supérieure à celle l emprunteur pour la jambe 12 mois durant la même période (6-12 mois). Ceci explique d ailleurs (comme mentionné chapitre 3) pourquoi en moyenne la jambe du ténor court contient moins de risque de contrepartie que le jambe du ténor long. Enfin, l observation de l effet changement de fin d année qu on observe sur l écart Euribor-OIS prouve qu il y a plus de pression sur les ténors longs que sur les ténors courts. Les comptes de résultat des entreprises étant annoncé en fin d année, si celleci présente des mauvais chiffres, sa qualité de crédit sera dégradée. Pour un prêt de maturité 12 mois, le prêteur est donc inévitablement confronté à un risque de dégradation de crédit entre la date du prêt et sa fin tandis que le prêteur 6 mois peut éviter ce risque. La pression est donc accrue sur les ténors les plus longs. Tous les arguments de 1) à 5) détaillés ci-dessus justifient un écart positif de points de base à ajouter au ténor le plus court quand les flux sont répliqués dans un swap de base collatéralisé sans risque de contrepartie Ecart de taux entre différentes devises Un swap de devise est tout simplement un échange de taux variable dans une devise contre un taux variable dans une autre devise. Ce type de swap est très utile pour convertir un prêt d une devise en une autre. Il existe deux types de swap de devise (SD) : un SD à nominal constant (SDNC) et un SD mark-to-market (SDMTM). Dans un SDNC, les deux contreparties s échangent les nominaux au taux de change spot constaté lors de la mise en place du swap et lors de sa fin dans les deux devises. Cependant, les praticiens traitent beaucoup plus souvent des SDMTM car les nominaux sont actualisés à chaque date de paiement au taux de change spot actuel, ceci réduit le risque de change présent dans un SDNC. Le risque de change étant réduit 5. Solving the puzzle in the inverser rate market, Morini, p.23 49

54 dans un SDMTM, le risque de marché est isolé et dépend uniquement de la variation relative d un écart de taux du SD. L écart de taux est ajouté à la devise la plus faible dans un SD. La raison est expliquée dans l article nterest Rate Parity, Money Market Basis Swaps, and Cross-Currency Basis Swaps de Tuckman et Porfirio. En théorie, un SDNC qui échange une devise à un taux sans risque au jour le jour contre une autre à un taux sans risque au jour le jour devrait avoir une VAN nulle étant donné que les deux jambes peuvent être répliqués par deux taux variable payant un taux sans risque. Logiquement, payer 1 unité de la devise A au début du swap, recevoir le taux sans risque liée à la devise A et recevoir une unité de devise A à maturité doit valoir une unité de la devise A aujourd hui. Par conséquent, pour un flux en date d aujourd hui égal à la valeur initiale du nominal, le taux fixe et le taux d actualisation sont les mêmes. C est également le cas de manière similaire pour l autre jambe du swap où cette fois-ci le nominal est déterminé par le taux de change spot. On en déduit donc que les deux taux variable traitent au par. C est pour cette raison que l échange de deux taux au jour le jour sans risque est équilibré à la date d aujourd hui pour un SD. En réalité, les SD sur le marché s échange des taux de référence tels que l Euribor ou le Libor. Tuckman et Porfirio définissent un SD de taux Libor comme un portefeuille de trois swaps fictifs : un SD de taux sans risque au jour le jour, un swap de base du Libor domestique contre le taux au jour le jour équivalent (les deux taux étant sans risque), et un dernier swap de base du Libor étranger (dans leur exemple l Euribor) contre le taux au jour le jour équivalent (les deux taux étant sans risque également). La figure ci-dessous représente un SD décomposé pour les devises Euro et USD. Ceci montre que l écart de taux pour les SD vient de la différence entre les structures par termes d écart de crédit entre les devises domestiques et étrangères. Par exemple, si le Libor 3 mois domestique contient plus de risque de crédit que le Libor 3 mois étranger, alors, dans un monde risque neutre, les flux de paiement du Libor domestique auront plus de valeur que les flux de paiement du Libor étranger. Par conséquent, le Libor étranger plus un écart traiterait à niveau égal au Libor domestique. (p.4) A titre d exemple, la figure 4.11 permet de constater l écart de taux qu il s est créé sur les SD depuis la crise. Celle-ci représente le SD 5 ans de l Euro contre l USD. On constate que l écart avant la crise était infime, positif et quasi constant jusqu à la fin de l année Puis celui-ci est devenu et reste négatif, large et bien plus volatile jusqu à aujourd hui. Il est intéressant de remarquer que l écart le plus important 50

55 Figure 4.10 Décomposition du SD selon Tuckman et Porfirio Source : Pricing of Interest Rate Swaps in the Aftermath of the Financial Crisis constaté correspond à l un de ces fameux changement de fin d année : -66 points de base le 31/12/2011. Le chapitre que nous venons d étudier montre l impact de la crise sur différents taux avec une création de différents d écarts de taux qui étaient inexistants en période pré-crise. Ces évènements ont donc du modifier notre manière d évaluer les produits financier et moderniser notre utilisation des outils financiers. 51

56 Figure 4.11 Swap de devise Maturité 5 ans Euro contre USD Source : Bloomberg 52

57 Chapitre 5 Etude théorique de l approche multi-courbe Les écarts de taux qu on a pu constater durant la crise ont montré qu il valait mieux favoriser avec les IRS les paiements dont la fréquence de paiement est plus élevée, on préfèrera un paiement semi-annuel plutôt qu un paiement annuel. Les prêteurs exigent une compensation plus importante pour les périodes plus longues et les emprunteurs sont prêts à payer cette compensation pour réduire le risque de liquidité quand ils veulent se financer à nouveau. Ce constat introduit une segmentation 1, du marché des taux d intérêt en sous-partie correspondants à des instruments de maturité OIS, 1M, 3M, 6M et 12M. Chaque taux de ténor sous-jacent contient sa propre dynamique, est défini par ses risques de liquidité et de crédit intrinsèques, et représente les différentes attentes et intérêts des intervenants de marché. Bianchetti souligne cependant que cette segmentation était déjà présente et assimilée par les praticiens mais n était pas appliquée vu les écart de taux de base quasi nuls. L approche mono-courbe étudiée lors du chapitre 3 ne peut plus s appliquer à l univers post-crise car celle-ci ne prends pas en compte les écarts de taux de base qui sont plus conséquents qu auparavant et par conséquent ne sont plus négligeables. Comme écrit ci-dessus, la segmentation n était pas non plus pris en compte dans l évaluation des produits dérivés de taux. Une approche mono-courbe qui incorpore des sous-jacents avec différents ténors amène à de mauvais résultat car on y incorpore différentes dynamiques et éventuellement les incohérences liées au différentes sous-partie. Les prix obtenus sont donc moins stables et plus difficiles à interpréter. Enfin, dans un monde avec absence d opportunités d arbitrage, l actualisation doit 1. Construction des courbes de taux à l ère du resserrement du crédit et au-delà 53

58 être unique : deux identiques flux futurs de cash doivent avoir la même valeur actuelle peu importe leur origine. Malheuresement, il n existe pas encore de théorie cohérente sur la liquidité et le crédit incorporée à la segmentation du marché des taux d intérêts. Celle ci expliquerait les raisons pour lesquelles les asymétries expliquées dans les sections précédentes ne mènent pas nécessairement à des opportunités d arbitrage une fois que les risques de contrepartie et de liquidité sont pris en compte. Un cadre d évaluation incorporant ces risques est cependant très dur à construire 2. En pratique, une approche empirique a émergé sur les marchés et prend en compte les divergences crées à cause de la crise en segmentant les taux de marché, en construisant autant de courbes forwards qu il existe de ténor et générer les flux futurs associés au ténor du sous-jacent. On actualise ensuite via une unique courbe d actualisation. Supposer différentes courbes pour différents ténors invalident immédiatement l approche d évaluation classique, qui est fondée sur une courbe zéro-coupon unique et entièrement cohérente, utilisée à la fois dans la génération des flux futurs et dans le calcul de la valeur actuelle 3. Divers théoriciens au travers de nombreux d articles ont essayé de définir un cadre d évaluation pour les swaps en y incorporant les écart de points de base dû au ténor ou aux devises. Le but de ce chapitre est d introduire et d étudier l approche multicourbe. Puis nous tenterons d appliquer ce nouveau cadre d évaluation pour obtenir une courbe de taux swap 3 mois actualisée à un taux OIS. 5.1 Réplication du taux FRA incorporant l écart de taux Les écarts qui se sont produits durant la thèse ont nécessairement modifié le cadre d évaluation des produits dérivés de taux. Avant la crise, le rendement d 1 unité investie sur une période était équivalent au rendement d 1 unité investie deux fois de suite sur une période 6 mois. L équation fondamentale utilisée dans l approche monocourbe n est plus valable avec cette nouvelle approche : F (t, T n 1, T n ) = 1 δ n ( P (t, Tn 1 ) P (t, T n ) ) 1 (5.1) 2. Bianchetti, p.8 3. Morini p.2 54

59 Le but de cette section est donc de répliquer les taux FRAs en incluant les primes de liquidité et de crédit présentes dans les marchés financiers. Nous avons vu le chapitre précédent que les swaps de base sont définis par deux swaps classiques avec une jambe fixe et une jambe variable. La jambe variable étant la même et les jambes variables étant différentes, et τ n représentant l écart de base de la longueur N entre les deux sous-jacents des deux jambes fixes de même maturité. Il est équivalent de considérer un seul swap dont les deux jambes seraient variables et qui différeraient uniquement par leur fréquence de paiement. Logiquement, l écart de base est soustrait à la jambe dont la fréquence de paiement est la moins élevée. Morini rappelle à juste titre que les swaps sont des contrats collatéralisés qui ne sont pas impactés par le risque de défaut mais sont indexés à des taux Libor qui sont maintenant considérés comme risqué (p.15) Morini définit les fréquences des deux jambes variables α pour le 6m et 2α pour le 12m. Cet exemple permet de pouvoir ensuite généraliser ce cas pour des ténors ou des maturités plus longues. Le prix d un swap de base de maturité T N = 2α peut donc se calculer de la manière suivante : T S(t, 2α, τ2α) = E t [P (t, α)αl(t, α) + P (t, 2α)αL(t, α, 2α) P (t, 2α)2α(L(t, 2α) τ 2α )] = E t [P (t, 2α)αL(α, 2α)] + P E (t, α)α 1 ( 1 1) P α P L (t,α) E(t, 2α)2α( 1 ( 1 1) τ 2α P L (t,2α) 2α) 1 = E t [P (t, 2α)αL(α, 2α)] + P E (t, α)( 1) P 1 P L (t,α) E(t, 2α)(( 1) τ P L (t,2α) 2α) = E t [P (t, 2α)αL(α, 2α)] P E (t, 2α)( 1 P L (t,2α) 1 2α P E(t,α) P E (t,2α) ( 1 P L (t,2α) 1)) (5.2) P E représente le facteur d actualisation sans risque qui dans la plupart cas peut être estimé comme le taux OIS (cf. section 4.2) et P L est le facteur d actualisation Libor correspondant. Le prix du swap de base est trouvé grâce à l espérance du flux du Libor correspondant actualisé au taux sans risque. Morini définit ensuite K(τ 2α ) tel que : ( 1 K(τ 2α ) = P L (t, 2α) 1 2ατ 2α P ( )) E(t, α) 1 P E (t, 2α) P L (t, α) 1 /α (5.3) On peut donc en déduire que l équation 5.2 peut être réécrite de la manière suivante : 55

60 T S(t, 2α, τ2α) = E t [P (t, 2α)αL(α, 2α)] P E (t, 2α) K(τ 2α )α (5.4) Nous avons défini précédemment qu il était important de prendre l impact de la collatéralisation sur le marché des FRAs. Celle-ci permet selon les praticiens d éliminer le risque de défaut. Par conséquent, le flux du FRA doit être actualisé au taux d actualisation sans risque. Morini défini ainsi la formule du FRA collatéralisé (P.14) : F RA Col (t, α, 2α, K) = E t [P (t, 2α)α(L(α, 2α) K] (5.5) On constate par analogie que le swap de base est égal au FRA collatéralisé lotsque K = K(τ 2α ) et quand l écart de point de base est donnée par τ 2α. Une autre analogie est possible entre le swap de base et le FRA dans la mesure où ces deux produits impliquent un échange de deux jambes. Une jambe est déterministe et fixée aujourd hui pour les deux produits. Pour celle du FRA, son paiement se fait en date 2α. Pour le swap de base, la jambe fixe est déterminée par le paiement de la jambe 2α à la date 2α moins le premier paiement de la jambe α. Il reste dont une jambe variable qui pour les deux contrats correspond au paiement L(t, α, 2α) à la date α. Analysons maintenant K(τ 2α ) : ( 1 K(τ 2α ) = P L (t, 2α) P E(t, α) 1 P E (t, 2α) P L (t, α) + P ) E(t, α) P E (t, 2α) 1 2ατ 2α /α ( 1 PL (t, α) = P L (t, α) P L (t, 2α) P ) ( ) E(t, α) PE (t, α) + P E (t, 2α) P E (t, 2α) 1 2ατ 2α /α 1 = F E (t, α, 2α) + P L (t, α) (F L(t, α, 2α) F E (t, α, 2α)) 2τ 2α ( ) 1 = F L (t, α, 2α) + P L (t, α) 1 (F L (t, α, 2α) F E (t, α, 2α)) 2τ 2α (5.6) Lors de la mise en place d un swap de base, la VAN de ce produit doit être nulle. K(τ2α ) doit donc répliquer le taux FRA en utilisant uniquement des facteurs déterministes. Le résultat ci-dessus nous permet de dire que le prix du FRA est juste lorsque K = K(B(0, 2α)) où (B(0, 2α)) représente la valeur d équilibre pour l écart de base τ 2α. Morini réplique ainsi un taux FRA en incorporant le spread de base : 56

61 ( F B (0, α, 2α) = F L (0, α, 2α)+ 1 P L (t, α) 1 ) (F L (t, α, 2α) F E (t, α, 2α)) 2B(0, α, 2α) (5.7) Dans la figure ci-dessous, nous pouvons voir que le taux FRA répliqué incorporant l écart de base est indissociable du taux FRA de marché. On constate également que la réplication classique des taux FRA a beaucoup divergé des taux de FRA marché en raison des écarts de base mentionnés dans le chapitre 4. La réplication classique avant la crise était indissociable des taux FRA de marché. Nous pouvons donc maintenant répliquer les taux FRA en incorporant les écarts de base. Figure 5.1 Standard Replication vs. Basis-Consistent Replication, 6x12 Market FRA Source : Solving the puzzle in the interest rate market 57

62 5.2 Extension du cas des FRAs pour les swaps L analyse faite ci-dessus sur l incorporation des écarts de points de base dans l évaluation des FRAs permet d introduire l évaluation des swaps après la crise. On étudiera en première partie les swaps sans collatéral pour approcher en douceur la méthode d évaluation. Puis nous nous concentrerons sur les swaps collatéralisés en portant une attention toute particulière aux swaps de devise à nominal constant. Cette section se base sur les articles de Fujii, Shimada et Takashi. Ces auteurs utilisent comme exemple de devise locale le Yen et en devise étrangère le Dollar tandis que nous utiliserons respectivement le Dollar et l Euro Evaluation des swaps sans collatéral Cas 1 : Banque située aux USA dont le financement est en Dollar Nous avons pour rappel défini la formule des IRS, des SB et des SD dans le chapitre 2 : IRS : C M M m=1 m P (t, T m ) = M δ m (E t [L(T m 1, T m )]P (t, T m ) (5.8) m=1 SB : SD : N δ n (E t [L(T n 1, T n )] + τ N )P (t, T n ) = n=1 ( P f (t, T 0 ) + M δ m (E t [L(T m 1, T m )] + τ m )P (t, T m )(5.9) m=1 ) N δn(e f f t [L f (T n 1, T n )] + s N )P f (t, T n ) + P f (t, T n ) f x (t) n=1 = P (t, T 0 ) + N δ n E t [L(T n 1, T n )]P (t, T n ) + P (t, T n ) n=1 (5.10) Nous supposons ici que la banque est située aux USA et considère le Libor 3 mois comme son taux Libor d actualisation. n et m représentent respectivement les paiements trimestriels et semi-annuels 4. L écart de base se fait pour des ténors 3 mois et 6 mois et le Dollar est la monnaie domestique dans le SD. 4. A note on Construction of Multiple Swap Curves with and without Collateral, p.5 58

63 On suppose ici que N = 2M et f x (t) représente le taux de change du Dollar contre une devise étrangère à la date t. L équation 5.1 permet avec le taux forward 3 mois et le taux d actualisation de réécrire l équation 5.9 : P (t, T 0 ) P (t, T N ) + τ N N n=1 δ n P (t, T n ) = M δ m E t [L(T m 1, T m )]P (t, T m ) (5.11) Eliminer les parties variables de l équation ci-dessous et l équation 5.8 devient : C M M m=1 m P (t, T m ) τ N N n=1 m=1 δ n P (t, T n ) = P (t, T 0 ) P (t, T N ) (5.12) Grâce aux équations ci-dessus et avec l ensemble des facteurs d actualisation P (t, T ) bien calculé et correctement interpolé. On peut déduire les taux forwards Libor 3 mois Dollars à partir de l équation 5.1 et déduire également les taux forwards Libor 6 mois Dollars à partir de l équation 5.9. Enfin l équation sur le SD permet d obtenir la courbe d actualisation Euro et la courbe forward 3M Euro. Comme l on suppose que le taux Libor 3 mois Dollar est le taux d actualisation, la partie gauche de l équation doit être nulle et peut être réécrite ainsi (p.4) : P f (t, T 0 ) P f (t, T n ) b N N n=1 δ f np f (t, T n ) = N δn(e f f t [L f (T n 1, T n )]P f (t, T n ) (5.13) De plus, nous avons une contrainte supplémentaire vu qu un IRS en Euro est défini par la relation suivante : C f N n=1 N δnp f f (t, T n ) = n=1 N δn(e f f t [L f (T n 1, T n )]P f (t, T n ) (5.14) n=1 De la même manière que précédemment, l élimination des jambes variables pour les équations 5.12 et 5.13 nous permet d aboutir à l équation suivante (la partie droite de ces deux équations devient nulle) : (C f N + b N) N δnp f f (t, T n ) = P f (t, T 0 ) P f (t, T n ) (5.15) n=1 59

64 Comme pour un swap de base, un ensemble P (t, T ) permet d obtenir une courbe d actualisation à partir de laquelle on peut déduire les taux forwards Euribor 3 mois (à partir de l équation 5.13). On notera qu en utilisant un taux Libor domestique, le spread de base cross currency n affecte pas les facteurs d actualisation Dollar (cf. Eq 5.12) alors que la courbe d actualisation Euro dépend non seulement des valeurs du swap EUR mais également de l écart de base dans le SD EUR/USD. Cas 2 : Banque située en Europe dont le financement est en Dollar La prise en compte du spread de base du à une devise et un ténor différents est différente pour les banques non situées aux USA mais dont leur financement est en Dollar et qui par conséquent appliquent un taux Dollar comme taux d actualisation. Ce cas est important à prendre en compte pour les grandes banques étrangères dont le financement se fait également en Dollar. Le cas 2 étudie donc l hypothèse où le Libor USD 3m est le taux d actualisation du point de vue d une banque Européenne. Les conditions initiales pour les IRS, SB et SD adaptées au Cas 2 peuvent être réécrites de la manière suivante : M M IRS : C f M m P f (t, T m ) = δm(e f f t [L f (T m 1, T m )]P f (t, T m ) (5.16) m=1 m=1 N M SB : δn(e f f t [L(T n 1, T n )] + τ f N )P f (t, T n ) = δm(e f f t [L(T m 1, T m )] + τ m )P (t, T m ) f n=1 m=1 (5.17) ( ) N SD : P f (t, T 0 ) + δn(e f f t [L f (T n 1, T n )] + s N )P f (t, T n ) + P f (t, T n ) f x (t) n=1 = P (t, T 0 ) + N δ n E t [L(T n 1, T n )]P (t, T n ) + P (t, T n ) n=1 Les variables N, M, τ f n et f x (t) sont analogues au cas 1. (5.18) 60

65 Par transitivité de l égalité pour les équation 5.16 et 5.17, nous obtenons : C f M m=1 M m P f (t, T m ) C f M m=1 M m P f (t, T m ) = N δnτ f f N P f (t, T n ) = n=1 N δn(e f f t [L f T n 1,T n ] + τ f N )P f (t, T n ) n=1 N δn(e f f t [L f (T n 1, T n )]P f (t, T n ) n=1 (5.19) Le taux Libor 3 mois est toujours considéré comme le taux d actualisation, la partie droite de l équation 5.20 doit être nulle et peut donc être réécrite de la manière suivante : N n=1 N n=1 δ f ne f t [L T f n 1,Tn]P f (t, T n ) + δ f n(e f t [L T f n 1,Tn] + b N)P f (t, T n ) = P f (t, T 0 ) P f (t, T n ) N δnb f N P f (t, T n ) = P f (t, T 0 ) P f (t, T n ) (5.20) n=1 Insérer l équation 5.19 dans l équation 5.20 revient à écrire l équation suivante : C f M m=1 M m P f (t, T m ) + N δn(b f N τ f N )P f (t, T n ) = P f (t, T 0 ) P f (t, T n ) (5.21) n=1 De la même manière que pour le cas 1, on peut maintenant à partir de cette équation déduire l ensemble des facteurs d actualisation P f (t, T n ). Ensuite, en utilisant ces facteurs d actualisation, on peut obtenir les taux forwards Euribor 6 mois et 3 mois à partir des équations 5.16 et 517. Les banques étrangères peuvent donc évaluer en permanence, sous l hypothèse que le taux Libor Dollar 3 mois soit le taux d actualisation, les swaps Euro en incluant le swap de base Euro et le swap de devise EUR/USD. Dans l article A Note on Construction of Multiple Swap Curves with and without collateral, Fujii, Shimada et Takashi expliquent que pour comprendre la relation entre les taux d actualisation et les taux incluant les écarts de point de base, il est utile d utiliser l approximation suivante : 61

66 f mp f (t, T m ) f m 2 (P f (t, T m 3m) + P f (t, T m )) (5.22) En posant f n = f m/2, l équation 5.15 peut être simplifiée : N [ f nc f M + δf n(b N τ f N )]P f (t, T n ) = P f (t, T 0 ) P f (t, T n ) (5.23) n=1 Cette approximation montre que le taux swap incluant les écarts de point de base est différent du taux swap classique dans la relation suivant : C f C f M incl M + δf n (b N τ f N ) (5.24) Par conséquent, même si nous avons une position longue uniquement sur un IRS Euro classique, nous avons besoin de nous couvrir contre les sensibilités aux écarts de base et de devise. f n Impact du choix des taux d actualisation Que la banque soit localisée aux Etats-Unis ou à l étranger, le choix du taux Libor en tant que taux d actualisation a inévitablement un impact sur les courbes d actualisation, qui elles même auront comme résultante différentes valeurs actuelles même pour le même flux de paiement. Cette ambivalence reflète la différence des coûts de financement des banques tout en permettant de l arbitrage. Nous pouvons distinguer deux situations. Prenons par exemple une banque située aux Etats-Unis dont le rating est élevé et qui peut emprunter au taux Libor 3 mois USD sans aucun écart de taux, on emploie généralement l expression emprunter Libor 3 mois flat. Il est donc adéquat d appliquer ce taux en tant que taux d actualisation. Les banques les plus importantes se financent souvent dans plusieurs devises différentes afin de, par exemple, proposer et émettre des produits de plusieurs devises aux diverses contreparties. Il est donc intéressant de se demander combien coûte le fait d emprunter dans une devise étrangère et si ceci peut être plus avantageux. La banque pourrait emprunter du Dollar sur le marché Dollar et entrer dans un SD EUR/USD afin de convertir le Dollar en Euro. Dans ce cas la banque reçoit des paiements en Dollar du swap qui sont utilisés pour rembourser l emprunt en Dollar, ce qui implique un cout de financement de l Euribor 3 mois plus un écart de base. Puisque, l écart de base EUR/USD est généralement 62

67 négatif (cf chapitre 4), la banque peut emprunter de l Euro à un cout moins élevé que le marché Européen domestique. Par conséquent, la banque située aux US qui a accès au marché domestique Européen est en mesure de propose des prêts tout en générant un profit. L autre situation est nettement plus désavantageuse. Considérons une banque du même rating mais située en Europe. Celle-ci ne peut pas générer de profit en prêtant au taux Euribor 3 mois flat sur le marché domestique vu que son cout de financement est également l Euribor 3 mois flat. Imaginons maintenant que cette banque veut proposer des prêts en Dollar à un taux Libor 3 mois USD à ses clients, la banque aura cette fois-ci besoin d emprunter en Euro et d entrer dans une EUR/USD SD. La banque paie le Libor 3 mois US à la contrepartie avec laquelle la banque est entrée dans le swap (grâce au remboursement des clients qui auront emprunté du Dollar) et reçoit en retour l Euribor 3 mois plus un écart de base. Ceci est équivalent à dire que la banque a proposé des prêts à un taux plus bas que son cout de financement à cause de l écart de base EUR/USD négatif. La banque est donc dans une situation de perte pour ce cas.(fujii, Shimada et Takashi, p.8) Grâce à ces deux situations, nous pouvons comprendre pourquoi chaque banque doit choisir le taux de référence qui représente au mieux leur cout de financement. L évaluation des produits financiers serait sinon biaisé et ne représenterait pas la valeur exact de ces produits. Fuji, Shimada, et Takahashi attestent de la difficulté, dans la pratique, à trouver un accord sur le prix lorsqu il faut clore un swap (car les banques actualisent leur cash flow en utilisant leur propre cout de financement). Les auteurs insistent également sur le fait que la possibilité de se financer au sein de la même banque à l aide de différentes devises peut créer des situations d arbitrage, il faut donc dans la mesure du possible éviter cette possibilité sur les marchés financiers 5. La prise en compte de l écart de base dû aux devises dans le cadre d évaluation permet de s assurer de l asymétrie des couts de financements dans l évaluation des swaps. (p.8) Evaluation des swaps avec collatéral En raison de l augmentation et de la place majeure qu occupe le risque de crédit ces dernières années, de plus en plus d opérations financières ont été établies avec des accords de collatéral. Les praticiens cherchent en effet à réduire leur exposition au 5. Cet arbitrage est encore plus marquant sur les marchés émergents où les écart de base sont extrêmement larges (et négatifs) 63

68 risque de contrepartie.en 2012, 84% des transactions ont été exécutés avec un accord de collatéral contre seulement 30% en 2003 (ISDA). Ceci remet en question les fondamentaux de la structure par terme de taux et l actualisation au taux Libor pour les swaps collatéralisés. C est l une des raisons pour laquelle la plupart des banques estiment qu il faut utiliser le te taux OIS plutôt que le taux Libor pour actualiser les flux de paiement futurs 6. Nous allons voir dans cette section que l existence de collatéral réduit non seulement le risque de crédit mais change de manière significative les couts de financement, ce qui a un impact non négligeable sur l évaluation des swaps. Avant d entrer dans les détails mathématiques, définissons tout d abord ce qu est un swap collatéralisé. Dans un swap collatéralisé, le collatéral est donné à la contrepartie qui a une valeur actuelle positive sur le contrat et celle-ci, pour compenser, doit payer une marge appelé le taux de collatéral sur le collatéral du au payeur. Dans la plupart des cas, le collatéral est en devise de pays développés tels que l Euro, le Dollar et le yen et le taux de collatéral est le taux OIS correspondant à la devise, par exemple l EONIA pour l Euro. L évaluation des swaps collatéralisés est confronté aux problème d asymétrie du au risque de crédit que nous avons mentionné ci-dessus. Fuji, Shimada et Takahashi supposent, pour gérer ce problème, une collatéralisation en liquide continue et parfaite avec un montant seuil de zéro. En d autre termes, le collatéral est échangé en permanence et le montant échangé en liquide représente 100% de la valeur actuelle du contrat. Cette hypothèse est assez proche de la réalité dans la mesure où l ajustement sur le collatéral se fait de plus en plus de manière quotidienne. Cette simplification permet de négliger le risque de contrepartie et de retrouver la symétrie des paiements de collatéral. On peut par conséquent décomposer les flux de paiement d un swap collatéralisé et les traiter en tant que portefeuille de jambes de paiements indépendantes. La suite de la thèse s inspire grandement de l article de Fujii, Shimada et Takashi qui ont publié un article sur la construction des courbes swaps avec et sans collatéral. Considérons un processus stochastique sur le compte de collatéral V (t) avec une stratégie auto-financée appropriée sous la mesure de probabilité risque-neutre. Puisque l on peut investir le collatéral reçu au taux d intérêt sans risque mais que l on a besoin de payer le taux de collatéral, le processus du compte de collatéral est donné par la formule suivante dv (s) = y(s)v (s)ds + a(s)dh(s) (5.25) 6. Construction des courbes de taux à l ère du resserrement du crédit et au-delà 64

69 y(s) = r(s) c(s) représente la différence entre le taux sans risque r(s) et le taux de collatéral c(s) dans la monnaie domestique au temps s,h(s) est la valeur du produit dérivé au temps s arrivant à maturité à la date T avec le flux de paiement h(t), a(s) étant le nombre de positions sur h. Intégrer l équation ci-dessus nous donne : V (T ) = e T T t y(u)du V (t) + e T s y(u)du a(s)dh(s) (5.26) t La stratégie définie par Fujii, Shimada et Takahashi (collatéralisation continue et parfaite, montant seuil de zéro) est définie par : V (t) = h(t) a(s) = e s t y(u)du (5.27) et nous permet de réécrire l équation 5.26 de la manière suivante : V (T ) = e T t y(s)ds h(t) (5.28) La valeur actuelle de h(t) est donc donné par la relation suivante : h(t) = E Q t [e ] T t (r(s) y(s))ds h(t ) = E Q t [e ] T t (c(s))ds h(t ) (5.29) Ici, E Q t [] représente l opérateur espérance sous la mesure de probabilité Q à date t. Considérons maintenant le cas ou le collatéral est donné dans une devise étrangère. Le processus du collatéral V f s écrit donc dv f (s) = y f (s)v f (s)ds + a(s)d[h(s)/f x (s)] (5.30) f x (s) représente le taux de change à la date s et y f (s) = r f (s) c f (s) représente la différence entre le taux sans risque et le taux de collatéral de la devise étrangère. De la même manière que précédemment, intégrer l équation ci-dessous nous donne : V f (T ) = e T T t y f (u)du V f (t) + e T s yf (u)du a(s)d[h(s)/f x (s)] (5.31) t La stratégie pour un collatéral donné dans une devise étrangère est définie par : V (t) = h(t)/f x (t) a(s) = e s t yf (u)du (5.32) 65

70 Ce qui donne : V f (T ) = e T t y f (s)ds h(t)/f x (t) (5.33) La valeur actuelle du dérivé dans la devise domestique est donc donnée par : h(t) = V f (t)f x (t) = E Q t [e ] T t (r(s)ds V f (T )f x (T ) = E Q t [e T t r(s)ds (e ] T t (rf (s) c f (s))ds h(t ) (5.34) Nous pouvons constater avec les résultats ci-dessus que l actualisation au taux Libor n est pas appropriée pour l évaluation des swaps collatéralisés. Comme nous pouvons le voir avec l équation 5.29, il faut actualiser les flux de paiement futurs avec le taux de collatéral. Sur les marchés à risque, le taux de collatéral pour une devise équivalente peut être beaucoup plus bas que le taux Libor. Le constat est le même lorsque le collatéral est donné dans une devise étrangère, la seule différence étant que le collatéral gagne le taux sans risque étranger moi le taux de collatéral étranger contrairement aux taux domestiques. On peut également analyser ces résultats en termes de coût de financement. D un côté, considérons le cas où un flux de paiement est reçu à une date future, i.e le swap a une valeur actuelle positive. La contrepartie donne immédiatement le collatéral sur lequel le receveur paie le taux de collatéral et rend le montant total à la fin. Ceci est analogue à un prêt alloué de la part du payeur du collatéral, ou le financement de la position se fait au taux de collatéral. D un autre coté, dans le cas cas où le flux de paiement est payé à une date future, i.e valeur actuelle négative, le collatéral nécessaire donné peut être considéré comme un prêt fourni à la contrepartie au même taux. Par conséquent, en comparaison avec les swaps non collatéralisés, i.e financés au taux Libor, la contrepartie reçoit plus lorsque la valeur actuelle est positive puisque on peut financer le prêt à un cout peu cher, mais perd plus dans le cas d une valeur actuelle négative du au taux de rendement plus faible du prêt fait au client. Comme écrit précédemment, il est important de déterminer une courbe d actualisation fondée sur les taux au jour le jour pour l évaluation des swaps de collatéral. Il est très pratique ici d utiliser le taux OIS que l on trouve sur les marchés. Si l on suppose ici le taux OIS est continûment et parfaitement collatéralisé avec un seuil zéro, et que l on approxime la capitalisation quotidienne avec une capitalisation continue, la condition de l OIS peut être obtenue de l équation 5.X tel que : 66

71 S N N n=1 n E Q t [e Tn t (c(s))ds ] = N n=1 E Q t [e Tn t (c(s))ds (e Tn T (c(s))ds n 1 1)] (5.35) S N représente le taux de swap au pair à la date t et de longueur N, et c(t) est le taux au jour le jour à la date t. On peut simplifier l équation ci-dessus : OIS : S N N n=1 n D(t, T n ) = D(t, T 0 ) D(t, T n ) (5.36) En définissant le facteur d actualisation du taux de collatéral : D(t, T ) = E Q t [e Tn t (c(s))ds ] (5.37) De la même manière que précédemment, obtenir l ensemble des facteurs d actualisation D(t, T ) est obtenue par une bonne interpolation. Obtenir les facteurs d actualisation à partir des taux de collatéral est utile pour les différents taux Libor forwards (cf. section suivante). Nous assumons ici que le marché des swap OIS est disponible jusqu à la maturité nécessaire Cas des swaps de devise collatéralisés avec nominal constant Nous avons vu dans la section précédente comment évaluer un swap mono-devise avec collatéral. Le cas est beaucoup plus délicat lorsque le swap collatéralisé se fait dans deux devises différentes. Nous avons vu précédemment qu on distinguait deux types de swaps de devise : les SDNC et les SDMTM. Nous nous concentrerons uniquement dans cette thèse sur l approche multi-courbe concernant les SDNC. Dans un SDNC, calculer les taux forwards est plus compliqué dans la mesure où il faut prendre en compte au même moment à la fois le taux sans risque et le taux collatéral. Le but de cette section est de déterminer une structure par terme de taux avec le SDNC comme instrument de calibration. Actuellement, le Dollar est très utilisé en tant que collatéral pour les produits comprenants plusieurs devises (Fujii, Shimada et Takashi, p.12). Pour la suite de la section, nous noterons D(t, T ) le facteur d actualisation faisant référence au taux de collatéral c tandis que P (t, T ) est le facteur d actualisation 67

72 faisant référence au taux sans risque r. Pour faciliter le problème, nous considérons le taux Fed-Fund, qui est le taux de collatéral pour le Dollar, en tant que taux sans risque. Cette hypothèse implique que le taux d actualisation domestique, i.e le Dollar, soit défini par : D(t, T ) = E Q t [e Tn t (c(s))ds ] = E Q t [e Tn t (c(s))ds ] = P (t, T ) (5.38) Les conditions nécessaires pour un swap en Dollar collatéralisé en Dollar sont donnés par : N OIS : S N n D(t, T n ) = D(t, T 0 ) D(t, T N ) (5.39) n=1 M IRS : C M m D(t, T m ) = SB : m=1 M δ m Et c [L(T m 1, T m )]D(t, T m ) (5.40) m=1 N δ n (Et c [L(T n 1, T n )] + τ N )D(t, T n ) = n=1 M δ m Et c [L(T m 1, T m )]D(t, T m ) m=1 (5.41) De manière équivalente, les conditions nécessaires pour un swap collatéralisé et dont la dénomination est dans une devise étrangère sont : OIS f : IRS f : SB f : S f N n=1 C f M m=1 N n=1 N f nd f (t, T n ) = D f (t, T 0 ) D f (t, T N ) (5.42) M f md f (t, T m ) = M m=1 δ f n(e cf t [L(T n 1, T n )] + τ f N )Df (t, T n ) = δ f me cf t [L f (T m 1, T m )]D f (t, T m ) (5.43) M m=1 δ f me cf t [L f (T m 1, T m )]D f (t, T m ) (5.44) D(t, T ) et D f (t, T ) sont utilisés en tant que numéraires respectivement sous les opérateurs espérance Et c [] et Et cf []. On peut donc maintenant trouver les taux d actualisation D(t, T ) et D f (t, T ) à partir des conditions sur les taux OIS et ensuite trouver les taux forwards Libor. 68

73 Maintenant, considérons un swap de devise étrangère collatéralisé avec du cash en Dollar, l équation 5.x appliquée à ces conditions devient : où N δn(e f tl(t [ n 1, T n )] + b N )P (t, T n ) P (t, T 0 ) + P (t, T N ) = V N (5.45) n=1 { N } V N = δ n Et c [L(T n 1, T n ]D(t, T n ) D(t, T 0 ) + D(t, T N ) f xt (5.46) n=1 Comme nous pouvons le voir, il est impossible de déterminer les taux d actualisation étrangers P f (t, T n ) et les taux forwards Libor E f t [L f (T n 1, T n )] uniquement à partir de cet ensemble de swaps standards. On a donc besoin d obtenir des informations supplémentaires à partir des IRS et des SB de devise étrangère collatéralisé en Dollar éventuellement disponibles sur le marché. Les informations supplémentaires nous donnerait : IRS : SB : Cf M M f mp f (t, T m ) = m=1 M δmp f f (t, T m )E f t [L f (T m 1, T m )] (5.47) m=1 N δn(e f f t [L(T n 1, T n )] + τ f N )P f (t, T n ) = n=1 M δme f f t [L f (T m 1, T m )]P f (t, T m ) m=1 (5.48) Ici, Cf M et τ f N représentent les taux au pair des swaps de devise étrangère mais collatéralisé en Dollar et il est important de les dissocier de C f M et de τ f N qui sont les taux au pair des swaps de devise étrangère collatéralisés dans cette même devise. Comme vu précédemment, éliminer les jambes variables des équations 5.47 et 5.48 et remplacer l expression dans l équation 5.45 nous donne : N δn(b f N τ f N ) + C f M n=1 M f mp f (t, T m ) V N = P f (t, T 0 ) P f (t, T N ) (5.49) m=1 L équation 5.50 permet de trouver l ensemble des taux d actualisation P f (t, T ) et les taux forwards Libor US en appliquant une méthode d interpolation convenable. 69

74 Cependant, il peut être difficile d obtenir la cotation des swaps de devise étrangère peu populaire collatéralisés avec du Dollar US. Il se peut donc qu on ne puisse pas utiliser les équations 5.47 et 5.48 pour la construction de la courbe. Une approche alternative pour pouvoir outrepasser ce problème serait de considérer que : E f t [L f (T n 1, T n ] = E cf t [L f (T n 1, T n ] (5.50) Cette hypothèse est raisonnable si les propriétés dynamiques du taux sans risque étranger et du taux de collatéral sont similaires l un avec l autre (Fujii, Shimada et Takashi, p.13). Si l on néglige la correction due au changement de numéraire, on peut déterminer l ensemble des taux forwards à partir de l équation Enfin, il est également possible pour un swap US d être collatéralisé dans une devise étrangère. Il est important de noter que l approche serait totalement différente de celle que nous avons employé car le taux sans risque étranger et le taux de collatéral ne peuvent pas être considérés comme égaux. 5.3 Determination des courbes d actualisation On peut utiliser les taux OIS du tableau ci-dessous afin de déterminer l ensemble des facteurs d actualisation D(t, T ) où l on considère comme devise domestique l Euro. Ce facteur est déterminé à partir des relations suivantes : D(t, T N ) = 1 S N N 1 n=1 δ nd(t, T n ) 1 + S N δ N (5.51) La courbe d actualisation est sur le graphe ci-dessous. Nous calculons les taux jusqu à une maturité 10 ans pour les taux swaps EONIA. 70

75 Table 5.1 Taux EONIA 15 Octobre 2012 Maturité Date de début Date de fin EONIA(%) 1Y 17 Oct Oct Y 17 Oct Oct Y 17 Oct Oct Y 17 Oct Oct Y 17 Oct Oct Y 17 Oct Oct Y 17 Oct Oct Y 17 Oct Oct Y 17 Oct Oct Y 17 Oct Oct Source : Bloomberg Figure 5.2 Courbes des facteurs d actualisation EONIA 71

76 5.4 Application : Construction d une courbe swap IRS 3M Euro actualisée au taux EONIA La construction de cette courbe se fait en plusieurs étapes : 1) Détermination des taux forwards 3M 2) Détermination des facteurs d actualisation OIS 3) Détermination des taux swaps 3 mois actualisés au taux OIS Détermination des taux forwards 3M Les taux forwards 3 mois sont calculés à partir des taux swaps 3 mois de la Table 3.4. Pour se faire, on détermine les facteurs d actualisation grâce à l équation On peut ensuite comme pour l approche mono-courbe déterminer les taux zéro-coupon afin d avoir une homogénéité pour les maturités du swap. On interpole ensuite les taux ZC afin d obtenir au final une courbe de facteurs d actualisation interpolée. On peut donc ensuite déduire les taux forwards 3 mois. Ci-dessous se trouve une capture d écran du fichier Excel qui montre la détermination des taux forwards 3 mois Détermination des facteurs d actualisation OIS La détermination des facteurs OIS se fait de la même manière que la détermination des facteurs d actualisation des taux swaps 3 mois. Ci-dessous se trouve une capture d écran du fichier excel qui montre la détermination des facteurs d actualisation OIS Détermination des taux swaps 3 mois actualisés au taux OIS Pour la troisième étape, on doit employer le processus inverse et fonctionner par itération pour déterminer les taux swaps 3 mois actualisés au taux OIS, i.e au taux du collatéral. On peut déduire les taux swaps à partir de l équation suivante : N n C n D(t, T n ) = n=1 N F (t, T n 1, T )δ n D(t, T N ) (5.52) n=1 72

77 Figure 5.3 Etapes Construction Courbe Forward Grâce à Excel, on peut donc déduire les taux swaps 3 mois actualisés au taux EONIA. 73

78 Figure 5.4 Etapes Construction Facteurs d actualisation OIS Table 5.2 Taux swap 3 mois actualisé au taux EONIA Maturité IRS 3M OIS(%) 1Y Y Y Y Y Y Y Y Y 1.653