2nde - Maths - CORRECTION D.S Commun (SUJET B)

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1 nde - Maths - CORRECTION D.S Commun (SUJET B) Jeudi 18 février - 1h30 Exercice 1 (5,5 points) Variations, signes et fonctions affines La courbe C fournie ci-dessous est la représentation graphique d une fonction f. 1. Les questions suivantes se font par lecture graphique. Les réponses comporteront donc des valeurs approchées. (a) Donner l ensemble (ou domaine) de définition de la fonction f. L ensemble de définition de la fonction f est [ 4 ; 9]. (b) Donner l image par f de 4. L image par f de 4 est. (c) Déterminer les antécédents éventuels de 1 par f. Les antécédents de 1 sont 3 et 3,. (d) Dresser le tableau de signes de f sur son ensemble de définition. On en déduit le tableau de signes suivant : (e) Dresser le tableau de variations de f sur son ensemble de définition. On en déduit le tableau de variations suivant : (f) Préciser la valeur du maximum de f sur son ensemble de définition. Le maximum de f est 4 sur son ensemble de définition. (g) Préciser la valeur du minimum de f sur son ensemble de définition. Pour quelle(s) valeur(s) de x ce minimum est-il atteint? Le minimum de f est 1,5, il est atteint pour environ x = 0,8. nde - D.S commun B - Page 1/ 5

2 . On considère la fonction g définie sur R par la relation g (x) = 1 3 x + 3 (a) Tracer la courbe représentative de g, notée C, dans le même repère que celle de f. (b) Déterminer graphiquement les solutions de l équation f (x) = g (x). On fera apparaître sur le graphique les traits de lecture graphique. Les solutions de l équation f (x) = g (x) sont ; 4 et 7,5. Exercice (,5 points) Distance et quadrilatère Dans un repère orthonormal, on considère les points A( 3; 1) ; B(0;1) ; C (; ) et D( 1; 4). 1. Soit M le milieu du segment [AC ], et N le milieu du segment [BD]. Calculer les coordonnées de M et N. Que peut-on en déduire à propos du quadrilatère ABCD? M est le milieu du segment [AC ] donc x M = x A + x C et y M = y A + y C donc x M = ( ) et y M = ( 1 M a pour coordonnées ; 3 ) ainsi x M = 1 et y M = 3 N est le milieu du segment [BD] donc x N = x B + x D donc x N = 0 + ( 1) et y N = 1 + ( 4) ( ) 1 et y N = y B + y D ainsi x N = 1 et y N = 3 N a pour coordonnées ; 3 Le quadrilatère ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, c est donc un parallélogramme.. On admet que AB = 13. Calculer la longueur BC. Que peut-on en déduire à propos du quadrilatère ABCD? On a BC = (x C x B ) + (y C y B ) ; BC = ( 0) + ( 1) ; BC = () + ( 3) ; BC = ; donc BC = 13 Or AB = 13 donc ABCD est un parallélogramme qui a côtés consécutifs de même longueur, c est donc un losange. 3. Le quadrilatère ABCD est-il un rectangle? un carré? Justifier par un ou des calculs. Prouvons que ABCD posséde un angle droit, c est à dire que le triangle ABC est rectangle en B : AC = (x C x A ) + (y C y A ) ; AC = ( ( 3)) + ( ( 1)) ; AC = ( + 3) + ( + 1) ; AC = (5 + ( 1) ) ; AC = donc AC = 6 Or, AB + BC = = 6 et AC = 6 donc AB + BC = AC. Ainsi, l égalité de Pythagore est vérifiée, donc le triangle ABC est rectangle en B. Par conséquent, le losange ABCD possède un angle droit, c est donc un carré. nde - D.S commun B - Page / 5

3 Exercice 3 ( 1 points) Algorithme On considère l algorithme suivant : Variables : x et y sont des nombres réels. Entrée : Saisir la valeur de x. Traitement : Si x > 11 alors Affecter à y la valeur 4x 6 Sinon Affecter à y la valeur 5x + 3 Fin de Si. Sortie : Afficher y. 1. Quelle valeur est affichée par l algorithme si l utilisateur saisit x = 9? On a x = 9 < 11 alors y = = = 48.. Quelle valeur est affichée par l algorithme si l utilisateur saisit x = 13? On a x = 13 > 11 alors y = 4 (13) 6 = = = Quelle valeur est affichée par l algorithme si l utilisateur saisit x = 3? On a x = 3 < 11 alors y = 5 ( 3) + 3 = = 1. Exercice 4 (,5 points) Tableau de signes 1. Dresser le tableau de signes sur R de la fonction f qui vérifie f (x) = 4x + 3.Justifier. On commence par résoudre l équation 4x + 3 = 0 : 4x + 3 = 0 4x = 3 x = 3 4 x = 3 4 On a une fonction affine avec un coefficient directeur de 4, elle est donc décroissante, on en déduit le tableau de signe suivant :. Dresser le tableau de signes sur R de la fonction g qui vérifie g (x) = (3x 7)( 8x + 3). Justifier. On commence par résoudre l équation (3x 7)( 8x + 3) = 0 : 3x 7 = 0 3x = 7 x = 7 3 8x + 3 = 0 8x = 3 x = 3 8 x = 4 nde - D.S commun B - Page 3/ 5

4 On a un produit de deux fonctions affines avec un coefficient directeur de 3 pour la première qui est donc croissante et un autre de 8 donc la deuxième est décroissante, on en déduit le tableau de signe suivant : 3. Résoudre g (x) < 0 dans R. On peut en déduire à l aide du tableau de signe que x ] ; 7 [ ]4 ; + [. 3 Exercice 5 (4,5 points) Statistiques Le tableau suivant résume les résultats obtenus par les 31 élèves de la classe de seconde C d un lycée lors d un devoir de mathématiques. Note Effectif Effectif Cumulé Croissant Compléter la dernière ligne du tableau précédent. Aucune justification n est demandée. Voir le tableau ci-dessus.. Quel est le pourcentage d élèves ayant obtenu une note inférieure ou égale à 9? (Le résultat sera arrondi à l unité près). Justifier. Il y a 18 élèves sur 31 qui ont obtenu une note inférieure ou égale à 9. De plus, 18 0,58 donc le 31 pourcentage est de 58%. 3. Déterminer en justifiant la moyenne, la médiane, le premier quartile et le troisième quartile de la série de notes. La moyenne est d environ 9,06 car ,45. Il y a un nombre impair de valeur, on a = 16, donc la médiane est la 16 ème valeur de la série rangée dans l ordre croissant, c est à dire 9. On a 31 1 = 7,75, donc le premier quartile est la 8 ème valeur de la série rangée dans l ordre croissant 4 ainsi c est 7. De plus 31 3 = 3,5 donc le troisième quartile est la 4 ème valeur de la série rangée dans l ordre 4 croissant qui est Ce devoir était le troisième du trimestre. Tous les devoirs ont le même coefficient et jusqu alors Bastien avait 10 de moyenne ; après ce devoir, il a 11,5 de moyenne. Quelle note a-t-il obtenu à ce devoir? Justifier. On note x la note du troisième devoir, de plus on sait que tous les devoirs sont de même coefficient et Bastien avait 10 de moyenne, ainsi il a obtenu 10 = 0 points en cumulant ses deux premières notes. Alors sa moyenne peut se calculer ainsi : nde - D.S commun B - Page 4/ 5

5 x + 0 = 11,5 3 x + 0 = 11,5 3 x = 34,5 0 x = 14,5 On peut conclure que Bastien a obtenu 14,5 au dernier devoir. Exercice 6 (4 points) Probabilités Une urne contient 60 boules indiscernables au toucher numérotées 00 ; 01 ; 0 ;... ; 58 ; 59. On tire une boule au hasard et on lit le numéro obtenu. On considère les évènements : A : «Le chiffre 4 figure dans le numéro» B : «Le chiffre 0 figure dans le numéro». 1. Quelles sont les issues qui réalisent l évènement A? En déduire sa probabilité. Le chiffre 4 apparait dans les boules 04 ; 14 ; 4 ; 34 ; 54 et toutes les boules de 40 à 49. Il y a donc 15 boules où le chiffre 4 apparait sur un total de 60 boules. Les issues correspondantes à l évènement A sont {04;14;4;34;54;40;41;4;43;44;45;46;47;48;49}. Puisque toutes les boules ont la même chance de sortir, on est en situation d équiprobabilité donc la probabilité de l évènement A est de = Quelles sont les issues qui réalisent l évènement B? En déduire sa probabilité. Les boules numérotées de 00 à 09 contiennent le chiffre 0 et les boules des dizaines aussi : 10 ; 0 ; 30 ; 40 ; 50. Les issues correspondantes à l évènement B sont {00;01;0;03;04;05;06;07;08;09;10;0;30;40;50}. On est en situation d équiprobabilité donc la probabilité de l évènement B est de = Quelles sont les issues qui réalisent l évènement A B? Donner sa probabilité. On cherche les boules contenant les chiffres 0 et 4. Il n y a que 04 et 40. Les issues qui réalisent l évènement A B sont {04;40}. On est en situation d équiprobabilité donc la probabilité de l évènement A B est de 60 = En déduire, à l aide d une formule du cours que l on rappellera, la probabilité de l évènement A B. On sait que : p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) = = 8 60 = 7 15 La probabilité de l évènement A B est donc de 8 60 = nde - D.S commun B - Page 5/ 5