TEMPS, MOUVEMENT ET EVOLUTION 3 CHAPITRE 6 - APPLICATION LOIS DE NEWTON ET KEPLER MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE PESANTEUR

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1 TEMPS, MOUVEMENT ET EVOLUTION 3 CHAPITRE 6 - APPLICATION LOIS DE NEWTON ET KEPLER MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE PESANTEUR

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3 Partie B: Le saut de la grenouille 1. Exploitation du document V 9 G 9 V G 11 V 11 a 1 a) v 9 = G 8 G 1,9 = =1,4.1 cm.s 1 = 1,4 m.s 1 représenté par une flèche de,8 cm partant de G τ et parallèle à G 8 G 1 v 11 = G 1 G 1 3, = τ.1 3 = 1,6 m.s 1 représenté par une flèche de 3,cm partant de G 11 et parallèle à G 1 G 1. b) V représenté par une flèche,75 cm soit V =,38 m.s 1 V,375 c) a 1 = = = 9,4 m.s (les erreurs de mesure et de tracés conduisent à une erreur relative de 4 % sur a 1 ) τ, 4

4 . Étude dynamique Système: grenouille référentiel: le sol, référentiel terrestre et supposé galiléen Inventaire des forces: poids de la grenouille D'après la deuxième loi de Newton: P = m. a m. g = m. a donc g = a le vecteur accélération possède une direction verticale, est dirigé vers le bas et a pour valeur g = 1 m.s Dans le repère proposé: a a x = a y = g dv a = donc v dt x (t) est la primitive de a x (t), la constante d'intégration étant égale à V x et v y (t) est la primitive de a y (t), la constante d'intégration étant égale à V y V(t) v x (t) = V x = V.cosα v y (t) = g.t + V y = g.t + V.sinα dog( t) v( t) = dt par intégration et sachant qu'à l'instant initial G est confondu avec O. x(t) = V.cosα.t OG 1 y(t) =. g. t + V.sinα.t x b) On a t = V. cosα que l'on remplace dans l'expression de y(t) 1 x x y(x) =. g. + V V.sinα.cos ² α V. cosα 1 x y(x) =. g. + x.tanα V.cos ² α En remplaçant α par 45 ; V par (sa valeur) et g par sa valeur, on obtient y(x) =,5.x² + x Cette équation correspond à une trajectoire parabolique et est donc conforme à l'enregistrement horizontal. De plus pour x =, m, on calcule que y =,1 m. Or on retrouve ce point sur l'enregistrement expérimental. c) Au sommet de la trajectoire, v y =. g.t + V.sinα = V t =. sin α g La hauteur maximale est atteinte par la grenouille à la date t. 1 y max =. g. t + V.sinα.t y max = 1 ( V.sin )².. α g ² V + V g.sinα.. sin α g y max = V. sin α ² sin ²45 = =,1 m ceci est conforme à l'enregistrement. g 1 d) Il faut y = pour x = 6 cm

5 1 x On a établi précédemment que y(x) =. g. + x.tanα V.cos ² α y(x) = 1. g. V x y(x) = 1 V + x x 1 V + x = 1 x² + x.v = x.v = 1.x² V = 1x V = 1 x x + x,5 V = 1, 6 V =,45 m.s 1 soit environ,4 m.s 1 Ce résultat semble cohérent par rapport au premier saut où pour V = m.s 1 la grenouille atteignait un nénuphar situé à 4 cm d'elle.

6 COMPRENDRE CHAPITRE 6 - APPLICATION LOIS DE NEWTON ET KEPLER EXERCICES La grêle se forme dans les cumulo-nimbus situés entre 1 m et 1 m d altitude où la température est très basse, jusqu à 4 C. Le grêlon tombe lorsqu il n est plus maintenu au sein du nuage. Au sol sa vitesse peut atteindre 16 km/h. On étudie un grêlon de masse 13 g qui tombe d un point M d altitude h = 15 m sans vitesse initiale. Il peut être assimilé à une sphère de diamètre 3, cm. Le point de chute O du grêlon sur le sol sera pris comme origine d un axe Oy orienté positivement vers le haut. L intensité de la pesanteur sera considérée comme constante et de valeur g o = 9,8 m.s Données : volume d une sphère V = π r ; masse volumique de la bille ρ = 1,3 kg.m -3 3 masse volumique de l air ρ a = 1,3 kg.m -3 On admettra que le grêlon tombe en chute libre 1. En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer les équations horaires donnant la vitesse et la position du centre d inertie G du grêlon en fonction de la durée t de la chute.. Calculer la valeur de la vitesse lorsqu il atteint le sol, ce résultat est-il vraisemblable? Justifier.

7 EXERCICE : LA GRELE CORRECTION A CHUTE LIBRE A.1. Considérons comme système le grêlon dans un référentiel terrestre (supposé galiléen) en chute libre. Il n est soumis qu à son poids. r r Appliquons la deuxième loi de Newton : P = m a ou r r r r m g = m a soit g = a Par projection sur l axe Oy vertical, il vient a = - g dv Or a = dt en faisant une primitive on obtient v = - g t + A avec A = constante. Pour déterminer la valeur de la constante A, on se place à t = : Le grêlon tombe sans vitesse initiale, soit v = m.s 1 donc : v ( ) = - g + A = A A est donc nulle, on obtient v = - g t

8 D autre part dy v = dt en faisant une primitive on obtient : y = - ½ g t² + B Pour déterminer la valeur de la constante B, on se place à t = : le grêlon est en M, donc y = 15 m d où : y ( ) = 15 = - ½ g ² + B B est donc égal à 15, on a donc y = - ½ g t² + 15 A.. Quand le grêlon atteint le sol, alors y = m, exprimons la date t d'arrivée au sol : 15 = ½ g o t² Soit t = 15 g o remplaçons t par son expression pour trouver la vitesse de chute : v = g t = v h = 15 g = 9,8 15 = 171 m.s -1 = 617 km.h -1 g 15 g Dans le texte, on nous dit que la vitesse d un grêlon au sol peut atteindre 16 km/h, la valeur obtenue avec ce modèle de chute libre, n est pas vraisemblable. L air exerce des forces de frottements

9 COMPRENDRE CHAPITRE 6 - APPLICATION LOIS DE NEWTON ET KEPLER TP1 - CHUTE PARABOLIQUE D UNE BALLE 1) EXPLOITATION D'UN DOCUMENT VIDEO On s'intéresse à la chute parabolique d'un ballon dans l'air. L'enregistrement s'appelle " chutpar.avi ", il est situé dans le dossier "PHYSIQUE" situé sur le bureau puis dans le dossier "vidéo". En vous aidant de la notice qui vous a été jointe à ce TP, réaliser le pointage de la balle au cours de son mouvement. On prendra : - comme origine O du repère, la position du centre de la balle quand elle quitte la main du lanceur - la régle verticale a une hauteur de 1m ) ETUDE DES COURBES EXPERIMENTALES a) Afficher le graphe représentant les variations de y en fonction de x. b) Faites une modélisation de la trajectoire obtenue en utilisant l outil «régression». Ecrire l équation numérique du modèle mathématique retenu pour modéliser la trajectoire. 3) MODELISATION DE LA CHUTE Pour vérifier que la chute de la balle peut être modélisée par une chute libre, on veut comparer les coordonnées de l accélération a x (t) et a y (t) avec les coordonnées de l accélération de la pesanteur. a) Utiliser les fonctionnalités du logiciel pour créer les grandeurs v x et v y. b) Afficher les graphes représentant les variations de v x et v y en fonction du temps. c) Modéliser mathématiquement les graphes v x (t) et v y (t) puis écrire les équations numériques des modèles mathématiques retenus. d) En déduire les coordonnées de l accélération du centre d inertie de la balle au cours du mouvement. e) Comparer la valeur absolue de la coordonnée a y avec celle de l accélération de la pesanteur g=9,8 m.s - 4) ETUDE THEORIQUE DE LA CHUTE PARABOLIQUE Les actions mécaniques dues à l air étant négligées, utiliser la deuxième loi de newton pour : a) déterminer les caractéristiques du vecteur accélération du centre d inertie G de la balle. b) montrer que les équations horaires x(t) et y(t) du point G sont x(t) = v.cosα.t et y(t) = - 1 g.t² + v.sinα.t c) En déduire l équation de la trajectoire du centre d inertie de la balle, c'est-à-dire exprimer y en fonction de x. Quelle est l allure de cette trajectoire?

10 TEMPS, MOUVEMENT ET EVOLUTION 3 CHAPITRE 6 - APPLICATION LOIS DE NEWTON ET KEPLER Rappel 1S MOUVEMENT DANS UN CHAMP ELECTROSTATIQUE En 1897, ni la masse m, ni la charge e de l électron n étaient connues ; son existence même n était pas prouvée. En utilisant un dispositif analogue à celui de la figure ci-dessous, joseph John Thomson détermina la valeur du rapport e/m canon à électrons dispositif de déviation

11 Le tube à électrons (dans lequel un vide poussé a été réalisé) comprend - un canon à électrons qui accélérer et focalise les électrons émis par un filament, afin d obtenir un faisceau rectiligne d électrons de même vitesse (tension U entre les plaques A et B) - un dispositif de déviation : deux plaques horizontales A et B séparés par une distance d =5, cm) entre lesquelles la même tension U permet de créer un champ électrique uniforme E r '. Le faisceau d électrons qui pénètre au point O est dévié par ce champ E r '. - un écran gradué recouvert d une substance fluorescente permet de matérialiser la trajectoire des électrons. Le canon à électrons : En s appuyant sur la force électrique f r qui s exerce sur un électron dans un champ E r, créé entre les plaques A et B, Reproduire la trajectoire des électrons puis tracer,avec des couleurs différentes, les vecteurs accélération a r, force électrique f r, et champ électrostatique E r en un point quelconque de la trajectoire, sans souci d échelle. Le dispositif de déviation du faisceau d électrons En s appuyant sur la force électrique f r ' qui s exerce sur un électron dans un champ E r ', créé entre les plaques A et B, Reproduire la trajectoire des électrons puis tracer, avec des couleurs différentes, les vecteurs accélération a r ', force électrique f r ', et champ électrostatique E r ' en un point quelconque de la trajectoire, sans souci d échelle. En utilisant la deuxième loi de newton montrer que la trajectoire d un électron est une parabole.

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13 TEMPS, MOUVEMENT ET EVOLUTION 3 CHAPITRE 6 - APPLICATION LOIS DE NEWTON ET KEPLER LOIS DE KEPLER Positions successives de Mercure au cours d une révolution de 88 jours. Demi-grand axe a et période de révolution T autour du Soleil de différentes planètes du système solaire

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