Calculer les déterminants des matrices suivantes (on les mettra sous forme factorisée si possible) : b + c + d a + c + d a + b + d a + b + c a)

Transcription

1 EX IV DÉTERMINANTS SYSTÈMES PSI* 6-7 DÉTERMINANTS SYSTÈMES Exemples de calculs de déterminants (ex à 4) Exercice : Calculer les déterminants des matrices suivantes (on les mettra sous forme factorisée si possible) : a) a + b b + c c + a a 2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2 b) xy x2 y 2 x 2 y 2 xy a 3 + b 3 b 3 + c 3 c 3 + a 3 y 2 xy x 2 Réponses : a) 2abc(a b)(b c)(c a) b) (x 3 y 3 ) 2 Exercice 2: Calculer les déterminants des matrices suivantes (on les mettra sous forme factorisée si possible) : a b c d b + c + d a + c + d a + b + d a + b + c a) a 2 b 2 a 2 c 2 b) b a d c c d a b c) b 2 + c 2 + d 2 a 2 + c 2 + d 2 a 2 + b 2 + d 2 a 2 + b 2 + c 2 b 3 + c 3 + d 3 a 3 + c 3 + d 3 a 3 + b 3 + d 3 a 3 + b 3 + c 3 b 2 c 2 d c b a b 4 + c 4 + d 4 a 4 + c 4 + d 4 a 4 + b 4 + d 4 a 4 + b 4 + c 4 Réponses : a) (a + b + c)(a + b c)(a b + c)(a b c) b) (a + b + c + d)(a + b c d)(a b + c d)(a b c + d) c) 3abcd(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d) (utiliser un produit de matrices) Exercice 3: ( ) 2 3 n n n n n n n Exercice 4: ( ) a a 2 a n a a 2 a n a a 2 a n Exercice 5: ( ) D n (a, b) = a + b ab a + b ab a + b ab a + b ab a + b Exercice 6: ( ) a + x a a a 2 a 2 + x a 2 a n a n a n + x Exercices TLEGAY Lycée d Arsonval /5 27 septembre 26

2 EX IV DÉTERMINANTS SYSTÈMES PSI* 6-7 Exercice 7: ( ) Pour tout réel x, on pose : D n (x) = x x 2 /2! x x 3 /3! x 2 /2! x x n /n! x 2 /2! x a) Montrer que D n est une fonction dérivable et calculer D n (x) b) En déduire l expression de D n (x) Exercice 8: Utilisation de la factorisation de polynômes ( ) Soit x C Déterminer les cas d annulation du déterminant suivant, puis le calculer, en fonction de x : x () () n x x a a 2 a n a x a 2 a n 2 Même question avec : a 2 an a a 2 a n x Exercice 9: déterminant d une matrice compagnon ( ) a a x a 2 x Calculer le déterminant d ordre n + : a n x a n x Exercice : Calculer les déterminants suivants : x a a a a a x a a a a) a a x a a a a a x b) x a a 2 a n a x a 2 a n a a 2 a 3 x a a 2 a 3 a n c) a a a 2 a 2 a n a n d) 2 3 n x 2 n x x n 2 x x x e) 2 3 n n 2 n n n n Réponses : a) ( (x + a) n + (x a) n) /2 b) (x a i ) c) ( ) n (n + ) a i d) ( x) n ( x) n e) ( n) n (n + )/2 Exercices TLEGAY Lycée d Arsonval 2/5 27 septembre 26

3 EX IV DÉTERMINANTS SYSTÈMES PSI* 6-7 Exercice : déterminant de Zorro ( ) Calculer le déterminant de Zorro : Z 4 =, Z 5 =, Z n = Exercice 2: ( ) Soit A = (a ij ) M n (K) Calculer det A dans les cas suivants : a ij = sin(a i + a j ) (penser au déterminant d un produit de matrices) 2 a ij = (i + j ) 3 (même indication) Exercice 3: Soit A = (a ij ) M n (K) Calculer det A dans les cas suivants : a ij = i j 2 a ij = min(i, j) 3 a ij = + a i b j 4 a ij = δ ij + a i b j 5 a ij = + (a i ) j (on pourra ajouter une colonne de ) Exercice 4: Déterminant de Cauchy ( ) Soient (a,, a n ) et (b,, b n ) deux familles de scalaires vérifiant : a i + b j pour tout (i, j) ; n 2 A = (a ij ) M n (K), avec a ij = a i + b j Calculer det A (retrancher la première ligne toutes les autres, puis la première colonne toutes les autres) En déduire le déterminant de Hilbert, ie celui de A avec a ij = i + j Déterminants : questions diverses (ex 5 à 2) Exercice 5: ( ) Montrer que le déterminant d une matrice antisymétrique d ordre impair est nul Exercice 6: ( ) Soient a, a,, a n n + complexes deux deux distincts Montrer que la famille des polynômes (X a ) n, (X a ) n,, (X a n ) n forme une base de C n [X] (utiliser le déterminant de Vandermonde ; une autre démonstration de ce résultat a été proposée dans la feuille n ) Plus généralement, montrer que, si P C n [X], avec deg P = n, la famille des polynômes P (X a i ), i n, forme une base de C n [X] Exercices TLEGAY Lycée d Arsonval 3/5 27 septembre 26

4 EX IV DÉTERMINANTS SYSTÈMES PSI* 6-7 Exercice 7: ( ) Soient A M n,p (K) et B M p,n (K) Montrer que, si p n, det AB = ou det BA = 2 Montrer que : det(i n AB) = det(i p BA) (on pourra utiliser un produit par blocs) Exercice 8: ( ) [ aa ba Soit A M n (K) et (a, b, c, d) K 4 Calculer le déterminant de la matrice d ordre 2n : ca da ] 2 Soient A, B M n (K) Montrer que : [ ] A B det = det(a + B)det(A B) B A 3 Soient A, B, C, D M n (K) telles que CD = DC Montrer que : [ ] A B det = det(ad BC) C D (commencer par examiner le cas où D est inversible, en utilisant un produit par blocs) Donner un contre-exemple si on ne suppose plus CD = DC Exercice 9: ( ) Soient A, B M n (C), telles que AB = BA et B nilpotente Montrer que det(a + B) = det A (on pourra commencer par traiter le cas où A = I n, puis le cas où A est inversible) Exercice 2: ( ) Soit M M n (C) On note R et J les uniques matrices de M n (R) telles que M = R + ij Justifier leur existence On les note alors R = Re (M) et J = Im (M) Si on suppose que M GL n (C), que peut-on dire de Re (M) et de Im (M)? 2 Soient A et B deux matrices de M n (R), semblables dans M n (C) : il existe donc une matrice P GL n (C) telle que A = P BP On veut montrer qu en fait A et B sont semblables dans M n (R), c est dire qu il existe Q GL n (R) tel que A = Q BQ On note R = Re (P ) et J = Im (P ) Montrer que RA = BR et JA = BJ { C C 3 Montrer que, si P / GL n (R), l application ψ : est une fonction λ det(r + λj) polynomiale non nulle 4 En déduire l existence d un nombre réel λ tel que R + λ J GL n (R) ; conclure ( ) ( ) 5 Application : montrer que et sont semblables dans M 2 2 (R) Systèmes linéaires (ex 2 à 23) Exercices TLEGAY Lycée d Arsonval 4/5 27 septembre 26

5 EX IV DÉTERMINANTS SYSTÈMES PSI* 6-7 Exercice 2: ( ) Résoudre les systèmes suivants (d inconnues x, y, z, t C et de paramètres a, b, c, d, m C) : 2 x y + 2z + t = m 2x + 3y + z 4t = m + 3x + 5y + 5z 2t = m + 2 x + 2y 4z 38t = ax + by + az + bt = a bx + cy + bz + ct = b cx + dy + cz + dt = c dx + ay + dz + at = d Exercice 22: ( ) Soit M GL n (K), L M,n (K) et C M n, (K) ( L et C non nulles) déterminer quelle condition le système linéaire ci-dessous est de Cramer, et préciser alors sa solution (on pourra commencer par le cas M = I n ; remarquer que rg(cl)=) : (M + CL)X = B, X M n, (K) Exercice 23: ( ) En utilisant les formules de Cramer, résoudre le système AX = B, o : 2 n A = et B = 2 n n n 2 Montrer qu il existe (a,, a n ) C n tel que : P C n [X] : P (X) = l aide de la question précédente, déterminer les a k n a k P (X + k) k= Exercices TLEGAY Lycée d Arsonval 5/5 27 septembre 26