CHAPITRE II Premier principe de la thermodynamique

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1 CHAPITRE II Premier principe de la thermodynamique 1 - Travail 1.1. Définitions. Convention de signe. Unité Le travail c est l énergie qu un système échange avec le milieu extérieur, suite à un mouvement ou à une déformation du système, sous l action d une force. On utilise la lettre W pour désigner le travail, de l anglais «Work» qui veut dire travail, et on utilise W pour désigner un travail élémentaire. Convention de signe du travail Si W est supérieur à zéro, le système reçoit du travail : W > 0 (travail reçu). Si W est inférieur à zéro, le système fournit du travail : W < 0 (travail fourni). Unité Dans le système international, l unité du travail est le Joule (J). Travail des forces de pression C est le travail mécanique produit par les forces de pression sur les parois mobiles qui séparent un fluide du milieu extérieur. Ce travail n est en pratique utile que si la variation du volume du système est importante. C est pour cette raison qu on ne s intéresse qu aux gaz. Dans le cas d un liquide ou d un solide, le travail des forces de pression est quasiment nul. Expression du travail des forces de pression Soit un gaz enfermé dans un récipient cylindrique par un piston mobile, supposé de masse négligeable qui se déplace sans frottements. Une pression extérieure P ext agit sur le piston de section S. Cette pression donne naissance à une force d intensité F = P ext S.

2 Le travail élémentaire effectué par cette force est par définition : Sachant que, on a : Dans le cas considéré, on a une diminution du volume. Si dv est la variation algébrique du volume du gaz durant ce déplacement, dv = - Sdx. Le travail élémentaire s écrit alors : Cette expression est valable quelle que soit la forme de l enceinte et quel que soit le type de transformation. On notera que Pext est la pression qu exerce le milieu extérieur sur le gaz et non la pression du gaz Cas d une compression Dans une compression, le volume du gaz diminue, dv < 0, ce qui conduit à un travail W > 0. Dans une compression, le gaz reçoit du travail du milieu extérieur Cas d une détente Dans une détente, le volume du gaz augmente, dv > 0, ce qui conduit à un travail W < 0. Dans une détente, le gaz fournit du travail au milieu extérieur.

3 1. 4. Cas d une transformation réversible Au cours d une transformation réversible le système passe par une suite d états d équilibre, et le piston est à chaque instant en équilibre. Les forces qui agissent sur lui sont la force exercée par le milieu extérieur et la force exercée par le gaz. Ces forces sont égales et opposées (équilibre mécanique) : En projetant sur l axe Ox, on obtient : Soit, en divisant par la surface S du piston, gaz. L expression du travail s écrit donc : où P est la pression du Le travail résultant effectué au cours d une transformation réversible qui mène le gaz de l état A à l état B est ainsi : Ce travail ne peut être évalué que si l on connaît la façon dont dépend la pression P du volume V lorsque le système passe de l état A à l état B. Diagramme de Clapeyron Le diagramme de Clapeyron, désigné par diagramme (P, V), est un diagramme où la pression P est en ordonnée et où le volume V est en abscisse. Chaque point de ce diagramme représente un état d équilibre du système. Dans ce diagramme, une transformation réversible est représentée par une courbe.

4 Cette représentation montre que la valeur absolue du travail est égale à l aire limitée par la courbe P=f(V) représentant la transformation. W = aire limitée par la courbe Une transformation irréversible ne peut être représentée dans ce diagramme puisque le système est hors équilibre. Seuls, l état initial et l état final qui sont des états d équilibre peuvent être représentés. Propriété. Considérons deux transformations (1) et (2) entre les mêmes états : même état initial A et même état final B. Les transformations (1) et (2) délimitent deux aires différentes. Par suite, les travaux correspondants sont différents : On dit que " Le travail dépend du chemin suivi ".

5 Du point de vue mathématique, le travail élémentaire δw est une forme différentielle qui n est pas totale exacte. Par conséquent : le travail dépend du chemin suivi ; le travail effectué au cours d un cycle (courbe fermée) n est pas nul. Représentation d un cycle La représentation d un cycle dans le diagramme de Clapeyron suppose que toutes les transformations qui composent ce cycle sont réversibles. Signe du travail d un cycle Le signe du travail d un cycle est lié au sens dans lequel est décrit le cycle. Exercice Un cylindre vertical, dont les parois sont perméables à la chaleur, muni d un piston mobile, renferme n moles d un gaz parfait dont le volume est V 0. Ce cylindre se trouve dans l air dont la pression est P 0 et dont la température est T 0. 1/ On place sur le piston successivement de très petites masses dont la somme est m.

6 Préciser le système et son milieu extérieur. Donner la nature de la transformation. Exprimer le volume V 0, la Température T, la pression P et le volume V à la fin de la transformation en fonction de P 0 et de T 0. 2/ Déterminer le travail des forces de pression au cours de cette transformation. Equation d état d un gaz parfait : PV = nrt. Solution 1/ Schéma Système : gaz Milieu extérieur : air Nature de la transformation. Masses ajoutées petites : évolution lente du système. La transformation est réversible et se fait à température constante : c est une isotherme. Volume V 0 : On a P 0 V 0 = nrt 0 d où V 0 = nrt 0 /P 0. Température. T = T 0, car le gaz est en contact permanent avec l air qui l entoure. Pression. Le poids de la masse m exerce sur le piston une pression mg/s qui s ajoute à la pression atmosphérique P 0 :

7 Volume V : On a PV = nrt, d où V = nrt/p, soit : 2/ Travail La transformation étant réversible, on a :. D où : Sachant que P = nrt/v et que T = constante = T 0, on a en remplaçant P par nrt 0 /V : Le travail résultant est : Comme il s agit d une compression on a bien W > 0. 2 Chaleur 2.1. Définitions. Chaleur sensible. Chaleur latente. La chaleur est une forme d énergie qu un système peut échanger avec un autre. L échange de chaleur est ainsi un transfert d énergie entre deux systèmes ou deux parties d un même système. On utilise la lettre Q pour désigner la chaleur et la quantité Q pour désigner la chaleur élémentaire. On distingue deux types de chaleur : a - Chaleur sensible Lorsque l échange de chaleur s accompagne d une variation de température du système, la chaleur échangée est appelée chaleur sensible.

8 b - Chaleur latente On appelle chaleur latente, la chaleur nécessaire pour faire passer à température constante une unité de masse d une phase donnée à une autre. On la désigne par L. Pour une masse m différente de l unité, la chaleur nécessaire est alors : Q = m L Changements de phase. Figure de gauche : de la phase la plus dense vers la phase la moins dense. Figure de droite : de la phase la moins dense vers la phase la plus dense. Remarque. On mesure la chaleur à l aide d instruments appelés calorimètres. Convention de signe On adopte les mêmes conventions de signe que pour le travail : Toute chaleur reçue par le système est positive. Q > 0 : chaleur reçue. Toute chaleur cédée par le système est négative. Q < 0 : chaleur cédée. Unités Dans le système international, l unité de la chaleur est le Joule (J). On utilise aussi comme unité spécifique de la chaleur la calorie (cal) définie par : 1 cal = 4,18 J. La signification de cette égalité est la suivante : une calorie (énergie sous forme de chaleur) est équivalente à 4,18 joules (énergie sous forme de travail).

9 Avant la découverte du premier principe, la chaleur n était pas considérée comme une forme d énergie. On l appelait le calorique et son unité la calorie. Depuis la découverte du premier principe, la chaleur est comme le travail, une forme d énergie. Ainsi, on peut convertir du travail en chaleur et de la chaleur en travail. Historiquement, la possibilité de la conversion de la chaleur en travail et du travail en chaleur s appelait " principe d équivalence ". Propriété Du point de vue mathématique, la chaleur élémentaire différentielle qui n est pas totale exacte. Par conséquent : δq est une forme la chaleur dépend du chemin suivi la chaleur échangée au cours d un cycle (courbe fermée) n est pas nulle. Ainsi, la chaleur et le travail ne sont pas des fonctions d état, leurs valeurs dépendent de la transformation Modes de transfert de la chaleur Le transfert de chaleur peut se faire de trois façons différentes : Par conduction. Il résulte du contact des corps dont les températures sont différentes. Par convection. Ce mode de transfert de la chaleur est associé à un déplacement macroscopique de la matière qui transporte avec elle l'énergie. Il n a lieu que dans les fluides, gaz ou liquide, dont la température n est pas uniforme. Par rayonnement. Tout corps rayonne de l énergie. Cette énergie est absorbée par un autre corps et se transforme en chaleur. Le transfert de chaleur par rayonnement a lieu même dans le vide Coefficients calorimétriques Capacités thermiques La capacité thermique d une substance est définie par : où δq est la chaleur nécessaire pour accroître, d une manière réversible, la température du système de dt lorsque le paramètre d état X est maintenu constant.

10 Les capacités thermiques les plus utilisées sont la capacité thermique à volume constant et la capacité thermique à pression constante : volume constant pression constante unité : J/K. Rapport des capacités Thermiques. Le rapport des capacités thermiques est désigné par : Ce rapport est supérieur à un pour tous les corps : > 1. a - Capacités thermiques massiques ou chaleurs spécifiques massiques Pour obtenir ces quantités on divise par la masse m du système les capacités thermiques : m est la masse du système. unité = J/kg.K ou J kg 1 K 1 b - Capacités thermiques molaires ou chaleurs spécifiques molaires Pour obtenir ces quantités on divise par le nombre de moles n du système les capacités thermiques : n désigne le nombre de moles du système. unité = J/mol.K ou J mol 1 K 1 Remarque. Les capacités thermiques massiques à volume constant et à pression constante, des solides et des liquides, sont presque égales, c'est-à-dire : c V c P On désigne alors leurs capacités thermiques massiques par la lettre c sans indice. Dans ce cas, la capacité thermique s écrit simplement C = mc. En général c ou C ne sont pas des constantes mais dépendent de la température.

11 Expressions de Q La chaleur élémentaire échangée par un système avec le milieu extérieur est liée aux variations des paramètres ou variables d état indépendants, par les expressions suivantes : variables indépendantes T et V : variables indépendantes T et P : variables indépendantes P et V : Les coefficients C V, C P, l, h, et sont appelés coefficients calorimétriques de la substance considérée Relations entre les coefficients calorimétriques Les six coefficients calorimétriques ci-dessus définis se rapportent à la même grandeur, qui est la chaleur. Ils ne sont donc pas indépendants. Des relations existent entre eux. a - Premier groupe de relations On exprime P en fonction de T et de V : P = P(T, V). Soit : En portant cette expression dans, on obtient : En comparant avec, on en déduit par identification que :

12 a - Deuxième groupe de relations On exprime V en fonction de T et de P : V = V(T, P). Soit : En portant cette expression dans, on obtient : En comparant avec que :, on en déduit par identification a - Troisième groupe de relations En partant de la relation et en exprimant soit V en fonction de T et de P, soit P en fonction de T et de V, on obtient de la même manière que ci-dessus les relations suivantes : Application : Coefficients calorimétriques d un gaz parfait Dans le cas d un gaz parfait, en utilisant l équation d état PV = nrt et les deux principes de la thermodynamique on montre que : C P - C V l = P h = - V = nr (relation de Mayer) A l aide du rapport des capacités thermiques remplaçant C P = C V dans la relation de Mayer : = C P /C V, on obtient en

13 Exercice 1 ) - n moles d un gaz parfait, contenues dans un récipient muni d un piston mobile, occupent un volume V 1 à la température T 1 et sous la pression P 1, subissent une transformation qui les fait passer de l état initial à un état final. On demande : Equation de la transformation Travail échangé Chaleur échangée dans chacun des cas suivants : Une isochore Une isobare Une isotherme Une adiabatique réversible 2 ) La transformation est une compression rapide effectuée à l aide d une masse M posée sur le piston. Déterminer la pression finale et le travail échangé par le gaz. Peut-on déterminer la température finale et la chaleur échangée? Solution 1 ) Equation, chaleur et travail. a - Isochore Equation de la transformation. V = const et PV = nrt entrainent : Soit, P 1 /T 1 = P 2 /T 2. Comme V 1 = V 2, il suffit de connaitre l une des variables T 2 ou P 2 pour calculer l autre. Travail On dv = 0, δw = 0 et par suite W = 0 : le travail est nul. Chaleur échangée Puisque le volume est constant, l expression qui convient dans ce cas est : Sachant que dv = 0, on obtient, et par suite : car la capacité thermique d un gaz parfait est constante : C V = nr / ( - 1).

14 Représentation Dans le diagramme (P, V), une isochore est un segment de droite vertical. b - Isobare Equation de la transformation. P = const et PV = nrt entrainent : Soit, V 1 /T 1 = V 2 /T 2. Comme P 1 = P 2, il suffit de connaitre l une des variables V 2 ou T 2 pour calculer l autre. Travail La transformation étant réversible, on a = P 1 = P 2. D où : = - P 2 dv W = - P 2 (V 2 - V 1 ) Chaleur échangée Puisque la pression est constante, l expression qui convient dans ce cas est : Sachant que dp = 0, on obtient, et par suite : car la capacité thermique d un gaz parfait est constante : C P = nr / ( - 1). Représentation Dans le diagramme (P, V), une isobare est un segment de droite horizontal. c - Isotherme Equation de la transformation. T = const et PV = nrt entrainent : PV = constante Soit, P 1 V 1 = P 2 V 2. Comme T 1 = T 2, il suffit de connaitre l une des variables P 2 ou V 2 pour calculer l autre. Travail La transformation étant réversible, on a soit :

15 Sachant que P = nrt/v et que T = constante = T 1 = T 2, on a en remplaçant P par nrt 1 /V : Le travail résultant est : Remarque. Puisque P 1 V 1 = P 2 V 2 le travail est aussi égal à : Chaleur échangée Dans le où la température est constante, on a le choix pour calculer la chaleur échangée. On peut utiliser l une des deux expressions ou. En faisant dt = 0 et puisque pour un gaz parfait on a l = P et h = - V, ces expressions se réduisent à : (première expression) (deuxième expression) La première expression montre que δq = - δw, soit : Q = - W Comme PV = constante, on a par différentiation PdV + VdP = 0. Soit donc : PdV = - VdP relation qui montre que la deuxième expression de δq est exactement égale à la première. Représentation Puisque la température est constante, posons a = nrt, ce qui donne PV = a ou : Dans le diagramme (P, V), cette relation est l équation d une hyperbole.

16 d Adiabatique réversible Equation de la transformation. L équation d une adiabatique est suivant les variables choisies : PV = constante TV - 1 = constante T P 1 - = constante On utilise l équation qui convient en fonction des données du problème. Si on connait P 2 et que l on demande V 2 on utilise la première : P 1 V 1 = P 2 V 2 Ce qui donne : Travail Calcul direct. On obtient en effectuant le calcul directement : Premier principe. Sachant que Q =0, le premier principe conduit à : ) On vérifiera que ces deux expressions sont égales en utilisant l équation d état PV = nrt et l expression de la capacité thermique CV = nr / ( - 1). Chaleur échangée Dans ce cas on a simplement δq = 0, soit Q = 0. Représentation

17 L équation PV = constante = a permet d écrire : Pour la représentation se reporter au premier principe. 2 ) Compression rapide. Pression finale. Puisqu il y a compression du gaz, la pression extérieure est supérieure à la pression initiale : P ext > Pinitiale = P1 Pendant la durée de la compression, la pression extérieure demeure constante. A la fin de la compression, le système est en équilibre avec son milieu extérieur. L équilibre mécanique impose l égalité des pressions : P ext = Pfinale Travail Comme P ext = constante = P 2, on a δw = - P 2 dv et par suite : W = - P 2 (V 2 - V 1 ) Température finale. Chaleur échangée Puisque la transformation est irréversible, la température et la pression du gaz ne sont pas définies à l exception des états initial et final. Dans ce cas : On n a plus d équation de transformation; On ne peut plus utiliser les expressions précédentes de δq. La résolution de ce type d exercice nécessite une donnée supplémentaire et l emploi du premier principe. Une étude complète en est donnée à la fin du premier principe.

18 3. Premier principe 3.1. Energie interne On appelle énergie interne U d'un système, l'énergie de ce système dans un état d'équilibre thermodynamique déterminé. Ce système étant au repos et ne subissant l'action d'aucun champ extérieur. Dans le cadre de ce cours, une partie seulement de cette énergie interne est considérée. Cette partie représente : L énergie d agitation thermique des atomes ou des molécules L énergie d interaction des atomes ou des molécules Enoncé du Premier principe de la thermodynamique La variation de l énergie interne d un système au cours d une transformation, qui le fait passer d un état initial vers un état final, est égale à la somme du travail et de la chaleur échangés par le système avec le milieu extérieur. Symboliquement : ΔU = Uf Ui = Q + W Cette variation est indépendante de la nature de la transformation mise en jeu et ne dépend que de l état initial et de l état final. L énergie interne U est ainsi une fonction d'état. Exemples Cas d un Système isolé Dans le cas d un système isolé, Q = 0 et W = 0, soit ΔU = 0. L énergie interne d un système isolé est constante. Cas d un Cycle Au cours d un cycle le système retourne à l état initial. On a donc : Ucycle = 0 Ainsi, au cours d un cycle, on a d après le premier principe : Qcycle + W cycle = 0

19 3.1. Expression différentielle de l énergie interne On considère une transformation infinitésimale au cours de laquelle le système échange avec le milieu extérieur le travail élémentaire W et la chaleur élémentaire Q. La variation infinitésimale de l énergie interne est alors : du = Q + W Puisque U est une fonction d état, du est une différentielle totale exacte. Cas d un système monophasé. Considérons une transformation infinitésimale réversible qui fait passer le système de l état (P, V, T) à l état (P + dp, V + dv, T + dt). Puisque la transformation est réversible, on a : Soit donc : δw = - P dv (P ext = P ) δq = CVdT + ldv du = CVdT + (l - P)dV Application : Energie interne d un gaz parfait. Si le système est un gaz parfait, on a l = P. On a donc l - P = 0 et par suite : du = CVdT Comme la capacité thermique CV d un gaz parfait est constante, on obtient la première loi de Joule : "L énergie interne d un gaz parfait ne dépend que de sa température". La variation de l énergie interne d un gaz parfait au cours d une transformation durant laquelle la température varie de T1 à T2 est donc : ΔU = CV (T2 - T1) En fonction de la chaleur spécifique molaire cv : ΔU = ncv (T2 - T1).

20 4. Transformations particulières 4.1. Transformation adiabatique réversible a Application du premier principe Au cours d une transformation adiabatique, le système n échange pas de chaleur avec le milieu extérieur. On dit qu il est thermiquement isolé. On a donc, δq = 0. Le premier principe se réduit à du = W ou : ΔU = W b Equation d une adiabatique réversible d un gaz parfait En fonction des variables P et V, la chaleur élémentaire échangée par le gaz est : Le gaz étant parfait, on a : δq = dp + dv En portant dans l expression de δq, on obtient : Comme la transformation est adiabatique, Q = 0 et par suite : car CP / CV = par définition. Cette équation représente l équation différentielle de l adiabatique réversible. Comme est constant, on obtient donc par intégration : ln P + Soit, ln PV = const. ou encore : ln V = const. PV = const. C est l équation d une transformation adiabatique réversible d un gaz parfait.

21 c Pente de la tangente à une adiabatique réversible On a vu que l'équation différentielle d'une adiabatique réversible est : En divisant par dv et en multipliant par P, on obtient : Cette expression représente la pente de la tangente à une adiabatique réversible au point de coordonnées (P, V) dans le diagramme de Clapeyron. d Pente de la tangente à une isotherme A partir de l équation PV = const. d une isotherme d un gaz parfait, on obtient ln PV = const. et par différentiation on obtient l équation différentielle : En divisant par dv et en multipliant par P, on obtient : Cette expression représente la pente de la tangente à une isotherme au point de coordonnées (P, V) dans le diagramme de Clapeyron. e Rapport des pentes d une isotherme et d une adiabatique réversible. En un même point de coordonnées (P, V) on a donc la relation suivante entre les pentes des deux transformations : Comme les deux pentes sont négatives et que > 1, on en déduit que :

22 Conclusion : Au point d intersection d une isotherme et d une adiabatique réversible, la pente de l adiabatique réversible est, en valeur absolue, supérieure à celle de l isotherme. L adiabatique réversible passe en dessous de l isotherme après le point d intersection Transformation isochore Une isochore est une transformation qui s effectue à volume constant. Comme dv = 0, on a δw = 0 soit W =0 : le travail est nul. La variation de l énergie interne est donc égale à la chaleur échangée par le système avec le milieu extérieur : ΔU = QV L indice " V " rappelle que cette relation n'est vraie que si le volume du système est constant Transformation isobare Expression du premier principe. Enthalpie Une isobare est une transformation qui s effectue à pression constante. Calculons la variation de l énergie interne d un système qui subit une transformation isobare. Du fait de la réversibilité de la transformation, P = P = const. et l on a W = - PdV. Le travail résultant est donc : D après le premier principe : ΔU = Q + W = Q - P(V2 - V1)

23 Soit : U2 - U1 = Q - P (V2 - V1) Puisque P 1 = P2 = P, on obtient en regroupant les termes de même indice : (U2 + P2V2) - (U1 + P 1 V1) = Q Cette relation permet de définir une nouvelle fonction thermodynamique notée H, appelée enthalpie : H = U + PV L enthalpie H est une fonction d état car c est une somme de fonctions d état. Sa variation ne dépend donc que de l état initial et de l état final. Dans le cas d une isobare on a donc : ΔH = QP L indice " P" rappelle que cette relation n'est vraie que si la pression du système est constante. Expression de la différentielle de l enthalpie Par définition de l enthalpie H d'un système : H = U + PV Si la transformation est réversible, le premier principe peut s exprimer à l aide de la fonction enthalpie. En effet, on a : dh = du + d( PV) dh = du + PdV + VdP S agissant d une transformation réversible δw = - P dv et l on a d après le premier principe : D'où : soit : du = Q + W = Q - PdV dh = Q - PdV + PdV + VdP dh = Q + VdP

24 Cas d un système monophasé. Considérons une transformation infinitésimale réversible qui fait passer le système de l état (P, V, T) à l état (P + dp, V + dv, T + dt). Puisque la transformation est réversible, on a : δq = CPdT + hdp Soit donc : dh = CPdT + (h + V)dP Application : Enthalpie d un gaz parfait. Si le système est un gaz parfait, on a h = - V. On a donc h + V = 0 et par suite : dh = CPdT Comme la capacité thermique CP d un gaz parfait est constante, on obtient la deuxième loi de Joule : "L enthalpie d un gaz parfait ne dépend que de sa température". La variation de l enthalpie d un gaz parfait au cours d une transformation durant laquelle la température varie de T1 à T2 est donc : ΔH = CP (T2 - T1) En fonction de la chaleur spécifique molaire cp : 5. Expressions des capacités thermiques ΔH = ncp (T2 - T1). Considérons une transformation infinitésimale réversible. On sait que deux variables suffisent pour décrire le système au cours de cette transformation. En fonction des variables choisies, le premier principe peut être exprimé en utilisant soit l énergie interne soit l enthalpie. Variables T et V La variation de l énergie interne en tant que fonction des variables T et V choisies pour décrire le système est dans ce cas donnée par : du = CVdT + (l - P)dV

25 Mathématiquement, cette même variation peut être exprimée en fonction des dérivées partielles de l énergie interne U: On en déduit donc, par identification, que : Variables T et P La variation de l enthalpie en tant que fonction des variables T et P choisies pour décrire le système est dans ce cas donnée par : dh = CPdT + (h + V)dP Mathématiquement, cette même variation peut être exprimée en fonction des dérivées partielles de l enthalpie H: On en déduit donc, par identification, que : Exercice : Compression rapide d un gaz parfait. On avait déterminé dans ce cas, la pression finale, P ext = Pfinale = P 2, et le travail échangé, W = - P 2 (V 2 - V 1 ). Il restait à déterminer la température finale et la chaleur échangée. Le premier principe fournit la relation qui manquait pour déterminer la température finale et la chaleur échangée. Les données sont : P 1, V 1, T 1 et P ext. Les inconnues sont : V 2, T 2 et Q. Les relations sont : L équation d état à l état final P 2 V 2 = nrt 2 Le premier principe : ΔU = Q + W

26 On a donc un problème à trois inconnues et deux relations seulement. Il est donc nécessaire de fournir une donnée supplémentaire. a) Premier cas : On donne le volume final V 2. Température finale Dans ce cas, on a simplement T 2 = P 2 V 2 / nr. Chaleur échangée Q = ΔU - W Comme le gaz est parfait ΔU = ncv (T2 - T1), d où : Q = ncv (T2 - T1) - P 2 (V 2 - V 1 ) b) Deuxième cas : La transformation est adiabatique. Chaleur échangée Dans ce cas, on a simplement Q = 0. Température finale Puisque Q = 0 le premier principe s écrit : ΔU = W. Soit donc : ncv (T2 - T1) = - P 2 (V 2 - V 1 ) ncv (T2 - T1) = - P 2 V 2 + P 2 V 1 Sachant que P 2 V 2 = nrt 2, V 1 = nrt 1 / P 1, ncv + nr = ncp = nr / ( - 1) et que ncv = nr / ( - 1) on arrive au bout de quelques opérations algébriques simples à : Volume final On détermine le volume final à l aide de l équation d état : V 2 = nrt 2 / P 2.