Université Pierre et Marie Curie - LP1 - UE Année Optique géométrique - Devoir surveillé N 2

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1 Université Pierre et Marie Curie - LP1 - UE nnée Optique géométrique - Devoir surveillé N 2 Reza.Samadi@obspm.fr I) Etude des conditions de stigmatisme d un miroir sphérique. On considère un miroir sphérique concave (voir igure 1) de rayon R, de centre C et de sommet S. a. ormuler la notion de stigmatisme rigoureux (ou exact). b. Soit un objet placé à l infini sur l axe optique. Y a-t-il stigmatisme exact pour cet objet vu à travers ce système optique? Expliquer qualitativement pourquoi. c. On considère un rayon issu de, celui-ci est donc parallèle à l axe optique. On désigne par yi son ordonné. On note M l intersection entre le rayon émergeant du système et l axe des abscisses. Soit enfin x l abscisse du point M et i l angle entre le rayon incident et la normale à la surface au point I (voir igure 1). Monter alors que CM=R / (2 cos i). Pour quelle condition sur i aura-t-on stigmatisme approché? d. Exprimer maintenant x en fonction de yi. Pour quelle condition sur yi a-t-on stigmatisme (approché)? Comment nomme-t-on cette condition? Comment appelle-ton alors le point M et que vaut la focale du système? e. quelle condition sur yi a t-on stigmatisme à 10% près? y I y i i C M H S x igure 1 UE103 Optique géométrique - Devoir surveillé N 2-02/11/07 1/6

2 II) Catadioptre 1 : On place un miroir plan dans le plan focal image d une lentille convergente de vergence D=0.1 dioptrie. a. Montrer qu un rayon lumineux ressort parallèlement à lui-même après avoir traversé le système optique (lentille+miroir). b. Trouver la position et la taille de l image d un objet placé dans le plan focal objet de la lentille. c. Donner la relation de conjugaison avec origine en et le grandissement du système étudié. III) Un observateur emmétrope (i.e. ayant une vision normale) regarde à l oeil nu un tout petit objet plan que l on assimile à un segment B de longueur l orthogonal à l axe optique Ox. On note d m la distance minimale de vision distincte (le punctum proximum). a. Déterminer l angle u m sous lequel est vu l objet à l oeil nu à la distance d m. b. L observateur regarde maintenant B à travers une loupe (lentille mince convergente) de distance focale f et de centre O. Son oeil est situé à distance a< d m de la loupe. Déterminer les positions de l objet rendant possible l observation nette. aire une construction géométrique d une telle image. L image est-elle droite ou renversée? Est-elle réelle ou virtuelle? c. Pour quelle position l observation se fait-elle sans fatiguer l oeil? Exprimer l angle u sous lequel est vu l objet dans ce cas. En déduire alors le grossissement commercial de la loupe (Gc=u / u m )? 1 Catadioptrique : Composé des deux mots catoptrique et dioptrique, et résumant les deux branches de la physique, et plus spécialement de l'optique, qui ont pour objet l'étude de la réflexion de la lumière à la surface des corps et l'étude de la transmission de la lumière au travers des corps transparents. La catadioptrique s'applique à tout ce qui appartient à la fois à ces deux branches et particulièrement à l'étude des instruments d'optique qui réunissent les effets combinés de la réflexion et de la réfraction. UE103 Optique géométrique - Devoir surveillé N 2-02/11/07 2/6

3 Solutions : I) Dioptre sphérique a) Stigmatisme rigoureux : on a stigmatisme rigoureux pour un objet donné, lorsque l ensemble des rayons lumineux passent, après avoir traversé le système optique, par un point unique appelé alors image de. b) Non : Le point objet situé à l infini n admet pas de stigmatisme exact à travers le système. En effet on montre par construction géométrique que des rayons parallèles à l axe optique ne convergent pas en un point unique après avoir traversé le miroir sphérique. c) La loi de la réflexion impose que l angle CIM soit égal à l angle d incidence i. Par conséquent on en déduit que le triangle CIM est isocèle. Soit N le projeté de M sur le segment CI : puisque CIM est isocèle CN=CI/2=R/2. Par ailleurs CM=cos(i)CN par conséquent CM=R/2/cos(i). On a stigmatisme (approché) pour un ensemble de rayons tels que CM soit constant. Pour le rayon confondu avec l axe optique : i=0 et CM=R/2. CM demeure alors constant et égal à R/2 lorsque cos(i) ~ 1 ce qui est réalisé lorsque i demeure petit. d) On a yi=r sin(i) d où : yi²=r² ( 1 cos² i) = R² [ 1 (2 R/CM) ² ]. Il vient alors la relation recherchée : CM= R /2 / [1 (-yi/r)²] 1/2. On a stigmatisme (approché) lorsque CM~cte~R/2. Ce qui est réalisé lorsque yi<<r. utrement dit les rayons doivent demeurer peu éloignés de l axe : cette condition est l une des deux conditions de Gauss. Le point M est alors l image unique de l objet placé à l infini : on le désigne alors par «foyer image» ( ). e) On cherche un stigmatisme à 10% près. utrement on veut que le point M soit à 10% près confondu avec le foyer image : on veut donc que CM γ C C. avec ( yi / R)² γ R γ=10%.ceci implique que : γ² soit enfin y i 1 ( yi / R)² 1+ γ² II) Catadioptre : a) Considérons le rayon quelconque (1) représenté sur la igure 2. Pour en déterminer le trajet à travers le système considérons le rayon (2) qui lui est parallèle et qui passe par le foyer objet. Ce rayon sort de la lentille (L) en un rayon parallèle à l axe optique et rencontre le miroir au point N pour y être réfléchi en un rayon à nouveau parallèle à l axe. près avoir traversé L, ce rayon ressort donc en passant par le foyer. près sorti du système le rayon (2) reste donc confondu avec lui même. Le rayon (1) étant parallèle à (2), il passe donc par le point N. Il est réfléchi par le miroir en faisant un angle i avec l axe optique (voir igure 2) et rencontre alors la lentille (L) au point M. En vertu du retour inverse le rayon qui serait parallèle au rayon (2) et qui passerait par le point M, convergerait, après avoir traversé L, vers le point N. En vertu du principe de retour inverse de la lumière il existe un rayon lumineux (3) qui effectue le même trajet. Par conséquent on conclue que le rayon NM ressort de la lentille sous forme du rayon (3) parallèle au rayon (1), CQD. b) En vertu de ce qui précède, l objet B admet par construction géométrique - l image B représentée sur la igure 3. Le trajet du rayon (1) permet d établir que B=- B, autrement dit le grandissement est égal à -1. c) L image B d un objet quelconque se construit en utilisant le trajet des deux rayons (1) et (2) (voir igure 4) : le rayon (1) permet d établir que B=- B, le rayon (2) permet d affirmer que est le symétrique de par, d ou la relation de conjugaison =- III ) La loupe UE103 Optique géométrique - Devoir surveillé N 2-02/11/07 3/6

4 a) L objet est «petit» par conséquent u m =l/d m. b) On a O=D-a (voir igure 5). Notons x=o. La relation de conjugaison s écrit alors : ( a D) f' =, il vient alors l expression x=. L image, pour être a D x f'' f ' a+ D observée de manière nette, doit être telle que D d m. Le cas limite où D= d m ( a dm) f' correspond à la valeur particulière x= xm=. La construction géométrique f' a+ dm permet d établir que lorsque O<O=-f, l image est réelle (et inversée) et ne peut pas être vu avec l oeil. En revanche lorsque O<O, l image est virtuelle et droite (grandissement positif) comme le montre la igure 5. On constate aussi géométrique que lorsque s approche de O, la distance D décroît. Par conséquent D d m implique que : f x x m. c) L image est observée sans fatiguer l oeil lorsque celle-ci se situe à l infini, ce qui se réalise lorsque est placé au foyer objet (voir igure 6). L angle u sous lequel l image correspondante est observée, est donc u =l/f. D ou le grossissement commercial : Gc u /u m =d m /f. (2) (1) (3) i M N i igure 2 UE103 Optique géométrique - Devoir surveillé N 2-02/11/07 4/6

5 B (1) 2i B 2i igure 3 B (1) (2) B igure 4 UE103 Optique géométrique - Devoir surveillé N 2-02/11/07 5/6

6 B B D O a igure 5 B u' O igure 6 UE103 Optique géométrique - Devoir surveillé N 2-02/11/07 6/6