Epreuve de Mathématiques Durée 2 heures

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1 Collège Jules Ferry Session 2010 Diplôme National du Brevet Blanc n 2 Epreuve de Mathématiques Durée 2 heures L emploi des calculatrices est autorisé (circulaire n du 16 Novembre 1999 publiée au B.O. n 42 du 25 Novembre 1999) En plus des points prévus pour chacune des trois parties de l épreuve, la présentation, la rédaction et l orthographe seront évaluées sur 4 points. Le candidat traitera obligatoirement l ensemble des exercices sur les copies mises à sa disposition. Activités numériques (12 points) Exercice 1 Ecrire toutes les étapes des calculs. On donne les nombres : A = : 9 8 a) Calculer A et donner le résultat sous la forme d une fraction irréductible. b) Calculer B et donner le résultat sous la forme a où a est un nombre entier. c) Calculer C et donner le résultat sous la forme d un nombre entier. B = C = ( )( 7 4 ) Exercice 2 On considère l expression D = (2x + ) 2 + (x 5 )(2x + ) a) Développer et réduire l expression D. b) Factoriser l expression D. c) Résoudre l équation ( 2x + )( x 2 ) = 0. 1

2 Exercice On donne ci-dessous les représentations graphiques de trois fonctions. Ces représentations sont nommées C1, C2 et C. 1 ) Une des trois courbes représente une fonction linéaire. a) Laquelle? Justifier précisément la réponse. b) Quel est le coefficient directeur de cette fonction? 2 ) Une des trois courbes représente une fonction affine, non linéaire. Cette fonction est appelée f. a) Quelle est cette courbe? Justifier précisément la réponse. b) Quelle est l image de 2 par la fonction f? Activités Géométriques (12 points) Exercice 1 Soit ABC un triangle tel que AB = 8 cm, AC = 4,8 cm et BC = 6,4 cm. 1 ) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C. 2 ) Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées. Une seule est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse inexacte enlève 0,5 point. L absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note de l exercice est ramenée à 0. Questions Réponses proposées a. Quel est l arrondi de la mesure de l angle ABC? b. Quelle est la valeur de tan 5 4 CAB? 0,8 0,75 c. Quelle est l aire en cm² du triangle ABC? 19,2 15,6 25,6 0,72 d. Quel est le périmètre en cm du triangle ABC? 15,6 9,6 245,76 19,2 2

3 Exercice 2 Sur la figure ci-contre : Les points K, A, F et C sont alignés ; Les points G, A, E et B sont alignés ; Les droites (EF) et (BC) sont parallèles ; AB = 5 cm et AC = 6,5 cm; AE = cm et EF = 4,8 cm; AK = 2,6 cm et AG = 2 cm. 1. Démontrer que BC = 8 cm. 2. Tracer en vraie grandeur la figure complète.. Les droites (KG) et (BC) sont-elles parallèles? Justifier. 4. Les droites (AC) et (AB) sont-elles perpendiculaires? Justifier. Problème (12 points) Pendant les vacances, Roméo le parisien a rencontré Juliette la niçoise et il aimerait bien la revoir. L amour ne rendant pas forcément aveugle, Roméo veut se renseigner sur les différents prix et moyens de transport lui permettant d aller à Nice en partant de Paris. Partie 1 : l autocar Une entreprise de transport en autocar propose les tarifs correspondants à la représentation graphique ci-dessous. prix en distance en km 1 ) Dans ces conditions, combien de kilomètres peut-on faire avec 2? 2 ) Par la route, Nice est à peu près à 910 km de Paris. Combien paye t on pour faire ce trajet? ) Le trajet Paris-Nice dure 8h 45min. Calculer la vitesse moyenne en km/h de l autocar sur ce trajet.

4 Le temps de parcours étant trop long, Roméo se renseigne sur le train. Partie 2 : le train Une entreprise ferroviaire (de train) propose le trajet Paris-Nice aller-retour aux deux tarifs suivant : Tarif classique : le prix d un trajet est 75. Tarif abonnement : on paye une carte 150 qui est valable un an mais pendant cette année, le trajet ne coûte plus que 50. Roméo voudrait savoir quel tarif serait le plus avantageux en fonction du nombre d aller-retour qu il veut faire sur une année. 1 ) a ) Combien lui coûterait 4 trajets Paris-Nice aller-retour au tarif classique? b ) Combien lui coûterait 4 trajets Paris-Nice aller-retour au tarif abonnement? c ) Pour 4 trajets, quel serait le tarif le plus avantageux pour Roméo? 2 ) Nommons F ( x ) le prix que Roméo paierait pour faire x trajets au tarif classique et G ( x ) le prix qu il paierait pour faire x trajets au tarif abonnement. Exprimer F ( x ) et G ( x ) en fonction de x. ) Dans un même repère ayant pour unité 1 cm = 1 trajet en abscisse et 1 cm = 50 en ordonnée, tracer les représentations graphiques des fonctions f ( x ) = 75 x et g ( x ) = 50 x pour des valeurs de x allant de 0 à ) Répondre aux questions suivantes en observant le graphique fait dans la question précédente. a ) Pour 5 trajets, quel est le tarif le plus avantageux pour Roméo? b ) Pour 8 trajets, quel est le tarif le plus avantageux pour Roméo? c ) A partir de quel nombre de trajets le tarif abonnement devient-il plus avantageux que le tarif classique? 5 ) Vérifier le résultat trouvé à la question 4c ) par le calcul et en résolvant une inéquation. 4

5 CORRECTION DU 2 e BREVET BLANC Activités numériques (12 points) Exercice 1 A = : 9 8 = = = = = = 5 6 B = = = = = 10 C = ( )( 7 4 ) = ( 7) = = = 6 16 = 47 Exercice 2 a) D = (2x + ) 2 + (x 5 )(2x + ) D = (2x) x x 2 + x 10x 15 D = 4x x x 2 7x 15 D = 6x 2 + 5x 6 c) ( 2x + )( x 2 ) = 0. Si un produit est égal à zéro alors au moins un des facteurs et égal à zéro. b) D = (2x + ) (2x + ) + (x 5 )(2x + ) D = (2x + ) [(2x + ) + (x 5 )] D = (2x + ) [2x + + x 5 ] D = (2x + )(x 2) 2x + = 0 ou x 2 = 0 donc 2x = ou x = 2 donc x = 2 ou x = 2 Les solutions de l équation sont 2 et 2. Exercice 1 ) a) C est la courbe C 1 qui représente une fonction linéaire. En effet la représentation graphique d une fonction linéaire est une droite qui passe par l origine et C1 est la seule courbe qui vérifie ces conditions. b) Le coefficient directeur se lit sur le graphique. Par exemple pour passer du point A(2 ; 1) au point B(4 ;2) le déplacement vertical est + 1 et le déplacement horizontal est +2. Le coefficient directeur est = 0,5. 2 ) Une des trois courbes représente une fonction affine, non linéaire. Cette fonction est appelée f. a) C est la courbe C qui représente la fonction affine f, non linéaire. En effet la représentation graphique d une fonction affine non linéaire est une droite qui ne passe pas par l origine et C est la seule courbe qui vérifie ces conditions. b) L image de 2 par la fonction f se lit sur le graphique. L image de 2 est 7. Activités Géométriques (12 points) Exercice 1 : 1 ) AB est le plus long côté du triangle. AB² = 8² = 64 AC² + BC² = 4,8² + 6,4² = 64 On a donc AB² = AC² + BC² D après le théorème réciproque de Pythagore le triangle ABC est rectangle en C. 2 ) a ) ABC 7 b ) tan CAB = 4 c ) L aire en du triangle ABC est de 15,6 cm². d ) Le périmètre du triangle ABC est de 19,2 cm 5

6 Exercice 2 : 1 ) Dans le triangle ABC, E est un point de [AB] et F est un point de [AC] et les droites (EF) et (BC) sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès : AE AF EF = = AB AC BC 4,8 4,8 5 Donc = ; d où BC = = 8 cm 5 BC 2 ) Figure ) Les points K, A, C et G, A, B sont alignés dans le même ordre. De plus : KA 2,6 2 GA 2 = = et = AC 6,5 5 AB 5 GA KA On a donc =. AB AC D après le théorème réciproque de Thalès, les droites (KG) et (BC) sont parallèles. 4 ) Dans le triangle ABC, le plus grand côté est BC. BC² = 8² = 64 et AC² + AB² = 5² + 6,5² = 67,25 Donc BC ² AC² + AB² D après le théorème de Pythagore (sa contraposée) le triangle ABC n est pas rectangle. Donc les droites (AB) et (AC) ne sont pas perpendiculaires. Problème (12 points) Partie 1 : on lit graphiquement a ) pour 2 on peut faire 400 km. b ) Pour faire 910 km, on doit payer 60. c ) t = 8h 45 min = 8,75 h et d = 910 km donc la vitesse moyenne est v = d t = 910 = 104 km/h. 8,75 Partie 2 : 1 ) a ) 4 trajets au tarif classique coûte 4 75 = 00 b ) 4 trajets au tarif abonnement coûte = 50 c ) le tarif classique est donc plus avantageux que le tarif abonnement pour 4 trajets. 2 ) on a F ( x ) = 75 x et G ( x ) = 50 x ) les fonctions f et g sont linéaires et affines donc leurs représentation graphique sont des droites. Voici leurs tableaux de valeurs : x 0 4 y = f ( x ) 0 00 y = g ( x ) ) Le tarif classique est celui dont la représentation graphique est celle de f. Le tarif abonnement est celui dont la représentation graphique est celle de g. a ) pour 5 trajets, le tarif classique est le plus avantageux. b ) pour 8 trajets, le tarif abonnement est le plus avantageux. c ) A partir de 6 trajets, le tarif abonnement est le plus avantageux. 5 ) le tarif abonnement est le plus avantageux que le tarif classique se traduit par : g ( x ) f ( x ) donc 50 x x donc x donc 6 x. Ceci confirme qu à partir de x = 6 trajets, le tarif abonnement est le plus avantageux le tarif classique y 1 g f 5 6 x 6