Aide mémoire : Suites et limites

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1 Aide mémoire : Suites et limites - Résumé RM-1011G 19 septembre 010 Table des matières 1 Avant-propos L étude des suites Qu est-ce qu une suite Exemples de suites Une histoire de lapins La suite harmonique Prérequis 5.1 L ensemble R Fonction valeur absolue Inégalités Inégalité triangulaire Inégalité triangulaire inverse Bornes Majorants et minorants Supremum et infimum Axiome de complétude La notion de voisinage Raisonnement par récurrence Définition d une suite Notations Convergence et limite d une suite Définition Critère de convergence de d Alembert Critère de convergence de Cauchy Suite divergente Suites infinies Théorèmes 11 7 Opérations algébriques sur les suites 11 1

2 8 Théorème de la convergence monotone 11 9 Théorème de Bolzano-Weierstrass Sous-suites Intervalles fermés emboités Théorème de Bolzano-Weierstrass Suites de Cauchy 1 11 Exercices 14

3 1 Avant-propos 1.1 L étude des suites Ce résumé est inspiré des livres :[][1] En général l étude des suites est le premier sujet d analyse mathématique que l on étudie au gymnase ou dans un premier cycle universitaire. Le sujet est un peu désarmant au début car il fait apparaître des notions auxquelles on est pas habitué, telles que "tendre vers", "convergence", "voisinage" etc.. Ces notions sont cependant fondamentales et il faut absolument les comprendre. Si vous vous sentez un peu "perdu" au début, cela est tout à fait normal. La meilleure chose à faire est de ne pas hésiter à reprendre depuis le début des notions que l on croyait acquises. (En particulier celle concernant les différents ensembles de nombres, surtout l ensemble des nombres réels R). Veillez à bien comprendre les exercices que vous faites et n hésitez pas à les refaire, car si la théorie est somme toute assez simple, son application est beaucoup plus difficile. Je n ai pas voulu alourdir le texte avec trop de démonstrations, vous les trouverez en annexe. Etudiez-les bien, appliquez vous premièrement à bien comprendre ce que l on veut démontrer et ensuite observez bien les artifices mathématiques utilisés, ils sont souvent assez subtiles. 1. Qu est-ce qu une suite Prenons une fonction très simple de N dans R f : n n L énumération des images de cette fonction est l ensemble {0,,4,6,8,10,...} c est une suite. Une suite est un ensemble de valeurs d une fonction de N dans R. 1.3 Exemples de suites Une histoire de lapins On se trouve à présent dans le monde parfait des mathématiques et de la physique en compagnie de lapins assez particuliers. Ces lapins ne meurent jamais et se reproduisent de manière particulière. Chaque couple de lapin engendre un et un seul couple de lapereaux après chaque période. Un couple de lapereaux ne peut se reproduire qu après deux périodes. On commence avec un couple de lapereaux. Au bout d une période il est toujours seul. Au bout de la deuxième période il est encore seul, mais à présent adulte et apte à se reproduire. Au bout de la troisième période il y a deux couples de lapins, celui du début et celui engendré par ces derniers à la fin de la deuxième période. Au bout de la quatrième période, nous avons deux couples adultes et une paire de lapereaux, donc trois paires de lapins... et ainsi de suite. 3

4 On vérifie facilement à l aide d un croquis que la population de couples de lapins peut être donnée par : x 0 = 0; x 1 = 1; x n+ = x n+1 +x n ; n N Numériquement parlant la suite se traduit par l ensemble : {0,1,1,,3,5,8,13,1,34,55,89,144,33,377,610,987,1597,584,4181,6765,...} Cette suite est plus connue sous le nom de suite de Fibonnaci et est donnée sous forme récursive, c.à.d. que chaque terme de la suite est donné en fonction d un ou plusieurs termes qui le précède La suite harmonique La suite harmonique (H n ) est la suite des termes H n = 1 n, pour n N. C est l ensemble des valeurs (H n ) = {1, 1, 1 3, 1 4, 1 5,...} Contrairement aux deux suites précédentes, cette suite converge vers une limite qui existe, c.à.d. zéro, on peut écrire 1 lim n n = 0 Cela ne veut pas dire que la suite aura un terme avec la valeur 0, mais que l on pourra toujours s approcher de zéro aussi près que l on veut, il suffira de choisir n assez grand. 4

5 Prérequis Les notions suivantes sont nécessaires pour comprendre la théorie des suites et leur limites..1 L ensemble R L ensemble R est formé par les nombres rationnels (ensemble Q) et les nombres irrationnels, c.à.d. tous les nombres qui ne peuvent pas être mis sous la forme d une fraction de deux entiers premiers entre eux. Par exemple, pi, e. La propriété la plus importante de R est sa complétude, c.à.d. le fait qu il soit sans "trou". Quelque soit le résultat d un calcul il existera dans R. La définition mathématique d un espace complet est un espace dans lequel toute suite de Cauchy est convergente (voir 10.).. Fonction valeur absolue Définition.1. La fonction valeur absolue de R dans R + est définie par : { x si x 0 f : x x si x < 0 On la note également : f : x x (1) La fonction valeur absolue renvoie la valeur positive de son argument, son graphe est : 4 y x Figure 1 Fonction valeur absolue f : x x de R dans R + Propriétés: a > 0 : 1. x < a a < x < a. x a a x < a 5

6 3. x > a x < a x > a 4. x a x a x a x,y R et y 0 1. xy = x y. x y = x y.3 Inégalités.3.1 Inégalité triangulaire.3. Inégalité triangulaire inverse x,y R; x+y x + y.4 Bornes.4.1 Majorants et minorants x,y R; x y x y Définition.. Un sous-ensemble non-vide S de R est majoré par b ssi pour tout x S, la relation x b est vérifiée. b est appelé un majorant de S. Définition.3. Un sous-ensemble non-vide S de R est minoré par a ssi pour tout x de S, la relation x a est vérifiée. a est appelé un minorant de S. Définition.4 (Sous-ensemble borné). Un sous-ensemble à la fois minoré et majoré est dit borné..4. Supremum et infimum Définition.5. On appelle supremum (ou borne supérieure) le plus petit majorant d un sous-ensemble. Si b est le supremum d un sous-ensemble S de R, alors b vérifie les deux conditions : 1. x S : x b. ǫ R et ǫ > 0, x ǫ : x ǫ > b ǫ Définition.6. On appelle infimum (ou borne inférieure) le plus grand minorant d un sous-ensemble. Si a est l infimum d un sous-ensemble S de R, alors a vérifie les deux conditions : 1. x S : x a. ǫ R et ǫ > 0, x ǫ : x ǫ < a+ǫ 6

7 Figure Borne supérieure b ou supremum Figure 3 Borne inférieure a ou infimum.4.3 Axiome de complétude Tout sous-ensemble de R non vide et borné possède une borne inférieure(infimum) et une borne supérieure (supremum). Intuitivement, R est un ensemble sans "trous"..5 La notion de voisinage Définition.7. Soit a R et ǫ > 0. On appelle ǫ-voisinage de a le sous-ensemble V ǫ = {x R : x a < ǫ} Remarque: x a < ǫ = ǫ < x a < ǫ a ǫ < x < a+ǫ.6 Raisonnement par récurrence Soit P(n) une relation dépendant d un entier naturel n, telle que P(n 0 ) soit vraie et que, pour tout entier n n 0, P(n) implique P(n+1). Alors, P(n) est vraie pour tout entier n n 0.[] Remarque: Il est important de vérifier que P(n 0 ) est vrai. 7

8 Figure 4 Voisinage V ǫ du point a Exemple(s): On désire démontrer que : = n(n+1) 1. On vérifie P(n 0 ) P(n 0 ) = n 0(n 0 +1). On suppose l expression suivante vraie : = P(1) = 1(1+1) = 1 = 1 k k=1 P(n) = n k=1 k = n(n+1) 3. Finalement on vérifie l implication P(n) P(n + 1) n+1 k = k=1 n k=1 k +(n+1) = n(n+1) +(n+1) = (n+1)(n+) En réécrivant la dernière expression sous la forme (n+1)[(n+1)+1] On remarque qu elle a exactement la même structure que n(n+1), c.à.d que (n+1) se substitue à n. La démonstration est ainsi achevée. 8

9 3 Définition d une suite Définition 3.1 (Suite). Une suite (x n ) est un ensemble de nombres réesls x n obtenus en passant de manière successive toutes les valeurs de N comme argument d une fonction de N dans R. (x n ) = {x 1,x,x 3,x 4,...} où x n est une fonction de N dans R 3.1 Notations On définit une suite de différentes fa cons : 1. Par énumération de ses éléments :. Par son terme général : (x n ) = {1, 1, 1 4, 1 8, 1 16, 1 3,...} a n = 1 n pour tout n N (a n ) = {1, 1, 1 4, 1 8, 1 16, 1 3,...} 3. De manière récurente : x 0 = 0; x 1 = 1; x n+ = x n+1 +x n (x n ) = {0,1,1,,3,5,8,13,...} La partie intéressante d une suite est sa partie infinie et non pas les premiers termes. On s intéressera avant tout à savoir si la suite que l on étudie est convergente ou non, c.à.d. si elle tend vers une valeur l R lorsque n tend vers l infini. 4 Convergence et limite d une suite 4.1 Définition Définition 4.1 (Convergence d une suite). Une suite (a n ) converge vers une limite l si pour tout ǫ plus grand que zéro, on peut trouver une valeur N ǫ N telle que pour tout n N ǫ la relation a n l < ǫ est vérifiée. On dit alors que la suite est convergente et que sa limite est l pour n. Exemple(s): On va démontrer que la suite donnée par son terme général x n = + 1 converge vers lorsque n. En utilisant la définition 4.1 on peut écrire : n + 1 n < ǫ 1 n < ǫ 1 n < ǫ [ ] 1 En choisissant N ǫ = ǫ +1 on satisfera la définition. 9

10 4. Critère de convergence de d Alembert x n+1 Théorème 4.1. Soit la suite (x n ) et soit α = lim n x n. Si α < 1 alors x(n) converge et si α > 1 alors (x n ) diverge. Si α = 1 alors il y a incertitude. Exemple(s): Soit la suite x n = n n!. On calcule α = lim x n+1 n x n : α = lim n+1 n! n (n+1)! n = lim n n+1 = 0 Cela signifie que le numérateur croit beaucoup plus lentement que le dénominateur bien que les deux termes tendent vers l infini. 4.3 Critère de convergence de Cauchy Théorème 4.. Soit la suite (x n ) et soit α = lim n n n. Si α < 1 alors x(n) converge et si α > 1 alors (x n ) diverge. Si α = 1 alors il y a incertitude. 5 Suite divergente Définition 5.1. Une suite est dite divergente si elle n est pas convergente. Exemple(s): 1. La suite (x n ) définie par x n = ( ) n diverge vers + et.. La suite (y n ) définie par y n = n diverge et tend vers Suites infinies Parmi les suites divergentes, on s intéresse surtout aux suites infinies. Une suite est infinie lorsqu elle tend vers + ou. Définition 5.. Une suite tend vers + (resp. ) si à tout nombre réel A > 0(resp. A < 0), on peut associer n 0 tel que pour tout n > n 0, x n > A (resp. x n < A). Remarque: Il faut bien comprendre la condition A > 0. Cela veut dire que quelque soit A, aussi grand que l on veut, il y aura toujours un terme de la suite qui sera plus grand. 10

11 6 Théorèmes Théorème 6.1. Toute suite convergente est bornée. Théorème 6.. Théorème des deux gendarmes : Soit les suites(a n ),(b n ),(c n ). Les suites (a n ) et (b n ) ont pour limite l. Si a partir d un certain entier n 0, la relation a n b n c n est vérifiée pour tout n > n 0 alors (b n ) converge également vers l. Théorème 6.3. Soit (x n ) une suite qui converge vers l. Alors la suite y n = x n converge vers l. 7 Opérations algébriques sur les suites Soit lim(x n ) = x et lim(y n ) = y, alors : 1. lim(αx n ) = αlim(x n ) = αx. lim(x n +y n ) = limx n +limy n = x+y 3. lim(x n y n ) = limx n limy n = x y 4. lim ( xn y n ) = limx n limy n = x y si y 0 8 Théorème de la convergence monotone Définition 8.1. Une suite (x n ) est dite croissante si pour tout n on a x n x n+1 Définition 8.. Une suite (x n ) est dite décroissante si pour tout n on a x n x n+1 Définition 8.3. Une suite est dite monotone si elle est croissante ou décroissante. Théorème 8.1. Convergence monotone Une suite monotone et bornée converge. 9 Théorème de Bolzano-Weierstrass Pour bien comprendre le théorème de Bolzano-Weierstrass il est nécessaire d étudier avant tout quelques notions et théorèmes. 11

12 9.1 Sous-suites Définition 9.1. Soit (x n ) une suite dans R et soit un sous-ensemble ouvert ordonné de N définit par n 1 < n < n 3 < n 4... alors a n1,a n,a n3,a n4... est une sous-suite de (a n ) et on la note (a nj ). Exemple(s): 1. {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1,...} est une sous-suite de la suite harmonique {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1,...} n est pas une sous-suite de la suite harmonique Théorème 9.1. Toute sous-suite d une suite convergente à la même limite que la suite originale. 9. Intervalles fermés emboités Théorème 9.. Soit les intervalles de R définis par I n = [a n,b n ] = {x R : a n x b n } tels que I n I n+1 pour tout n N. Alors la suite d intervalles emboités I 1 I I 3 a une intersection non vide I n n=1 9.3 Théorème de Bolzano-Weierstrass Théorème 9.3. Toute suite bornée contient une sous-suite convergente. 10 Suites de Cauchy Définition 10.1 (Suite de Cauchy). Une suite (x n ) est une suite de Cauchy si pour tout ǫ > 0 il existe un nombre N N tel que pour tout n,m N x n x m < ǫ Théorème Toute suite de Cauchy est bornée. 1

13 Théorème 10.. Critère de Cauchy Une suite converge ssi c est une suite de Cauchy. Remarque: Grâce au théorème 10., on n a pas besoin de connaître la limite de la suite pour démontrer qu elle est convergente, ce qui est un grand avantage. 13

14 11 Exercices Les réponses détaillées aux exercices sont sur le site à la page "réponses aux exercices". Ex Vérifiez à l aide de la définition de la convergence d une suite (4.1) que : 1. lim n 1 n = 0. lim n 3n+1 n+5 = 3 Ex 11.. Calculer [ les limites ] suivantes : (10+n) 1. lim n où f : x [x] est la fonction partie entière. n. lim n n + n 3. lim n cos n n 4. lim n n ( n 4 +n+5 n ) 5. lim n sinn Ex Calculer les limites suivantes : 1. lim n n n!. lim n 3 n e 3n 3. lim n 1 n n k=1 k 4. lim n n k= 1 k 1 Ex Montrer que la suite (x n ) donnée par converge. Quelle est sa limite? x n+1 = 1 4 x n ; x 0 = 3 Ex Montrer que la suite (x n ) donnée par converge. Quelle est sa limite? x n+1 = x n +4 ; x 0 =

15 Ex Calculez la limite de la suite (x n ) donnée par : x n+1 = 1 x n et x 0 = Ex Calculez quelques termes de la suite ) (x n + xn x 1 = ; x n+1 = 1. que x n > pour tout n. 3. Démonter que limx n =. Références [1] Stephen Abbot. Understanding analysis. Springer, nd edition, 00. [] B.Zwahlen J.Douchet. Calcul différentiel et intégral. PPUR,